8.3.E: Problemas sobre las Funciones Medibles en\((S, \mathcal{M}, m)\)
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Rellene todos los datos de prueba en Corolarios 1 a 4.
Verificar Notas 3 y 4.
Demostrar los Teoremas 1 y 2 en §1 y Teorema 2 en §2, para funciones casi medibles.
Prueba Nota 2.
[Pista: Si\(f: S \rightarrow E^{*}\) es\(\mathcal{M}\) -medible en\(B=A-Q(m Q=0, Q \subseteq A),\) entonces\(A=B \cup Q\) y
\ [
\ left (\ forall a\ in E^ {*}\ right)\ quad A (f>a) =B (f>a)\ cup Q (f>a).
\]
Aquí\(B(f>a) \in \mathcal{M}\) por el Teorema 1 en §2, y\(Q(f>a) \in \mathcal{M}\) si\(m\) está completo. Para\(\left.f: S \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right), \text { use Theorem } 2 \text { of } §1 .\right]\)
*4. Mostrar que si\(m\) está completo y\(f: S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) es\(m\) -medible en\(A\) con\(f[A]\) separable en\(T,\) entonces\(f\) es\(\mathcal{M}\) -medible en\(A .\)
[Pista: Usar problema\(13 \text { in } §2 .]\)
*5. Demostrar el teorema 1 por\(f: S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right),\) asumir que\(f[A]\) es separable en\(T .\)
Dado\(f_{n} \rightarrow f(\text { a.e. })\) en\(A,\) probar que\(f_{n} \rightarrow g(\text { a.e. })\) en\(A\) iff\(f=g(\text { a.e. })\) en\(A .\)
Dada\(A \in \mathcal{M}\) en\((S, \mathcal{M}, m),\) let\(m_{A}\) be la restricción de\(m\) a
\ [
\ mathcal {M} _ _ {A} =\ {X\ in\ mathcal {M} | X\ subseteq A\}.
\]
Demostrar que
(i)\(\left.\left(A, \mathcal{M}_{A}, m_{A}\right) \text { is a measure space (called a subspace of }(S, \mathcal{M}, m)\right)\);
(ii) si\(m\) es completo, topológico,\(\sigma\) -finito o (fuertemente) regular, así es\(m_{A}\).
(i) Mostrar que si\(D \subseteq K \subseteq\left(T, \rho^{\prime}\right),\) entonces el cierre de\(D\) en el subespacio\(\left(K, \rho^{\prime}\right)\) es\(K \cap \bar{D},\) donde\(\bar{D}\) está el cierre de\(D\) en\(\left(T, \rho^{\prime}\right) .\)
[Pista: Uso Problema\(11 \text { in Chapter } 3, §16 .]\)
(ii) Demostrar que si\(B \subseteq K\) y si\(B\) es separable en\(\left(T, \rho^{\prime}\right),\) él es así en\(\left(K, \rho^{\prime}\right) .\)
[Pista: Use Problema 7 de\(\xi 1\).]
*9. Rellene todos los datos de prueba en Lemma 4.
Simplificar la prueba del Teorema 2 para el caso\(m A<\infty .\)
[Esquema: (i) Primero,\(f\) seamos elementales, con\(f=a_{i}\) on\(A_{i} \in \mathcal{M}, A=\cup_{i} A_{i}\) (disjuntos),\(\sum m A_{i}=m A<\infty\).
Dado\(\varepsilon>0\)
\ [
(\ existe n)\ quad m A-\ suma_ {i=1} ^ {n} m A_ {i} <\ frac {1} {2}\ varepsilon.
\]
Cada uno\(A_{i}\) tiene un subconjunto cerrado\(F_{i} \in \mathcal{M}\) con\(m\left(A_{i}-F_{i}\right)<\varepsilon / 2 n .\) (¿Por qué?) Ahora use el Problema 17 en el Capítulo 4, §8, y establezca\(F=\bigcup_{i=1}^{n} F_{i} .\)
(ii) Si\(f\) es\(\mathcal{M}\) -medible\(H=A-Q, m Q=0,\) entonces por el Teorema 3 en\(\xi 1,\)
\(f_{n} \rightarrow f\) (uniformemente) en\(H\) algunos mapas elementales\(f_{n} .\) Por\((i),\) cada uno\(f_{n}\) es relativamente continuo en un\(\mathcal{M}\) conjunto cerrado\(F_{n} \subseteq H,\) con\(m H-m F_{n}<\varepsilon / 2^{n} ;\) por lo que todos\(f_{n}\) son relativamente continuos en\(F=\bigcap_{n=1}^{\infty} F_{n} .\) Show que\(F\) es el conjunto requerido.
Dado\(f_{n}: S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right), n=1,2, \ldots,\) decimos que
(i)\(f_{n} \rightarrow f\) casi uniformemente en\(A \subseteq S\) iff
\ [
(\ forall\ delta>0) (\ existe D\ in\ mathcal {M} | m D<\ delta)\ quad f_ {n}\ fila derecha f (\ text {uniformemente})\ text {on} A-D;
\]
(ii)\(f_{n} \rightarrow f\) in medir en\(A\) iff
\ [
\ begin {aligned} (\ forall\ delta,\ sigma>0) (\ existe k) (\ forall n>k)\ left (\ existe D_ {n}\ in\ mathcal {M} | m D_ {n} <\ delta\ derecha)\\ rho^ {\ prime}\ izquierda (f, f_ {n}\ derecha) <\ sigma\ text {on} A-D_ {n}. \ end {aligned}
\]
Demostrar lo siguiente.
(a)\(f_{n} \rightarrow f\) (uniformemente) implica\(f_{n} \rightarrow f\) (casi uniformemente), y este último implica ambos\(f_{n} \rightarrow f\left(\text { in measure) and } f_{n} \rightarrow f(a . e .) .\right.\)
(b) Dado\(f_{n} \rightarrow f\) (casi uniformemente), tenemos\(f_{n} \rightarrow g\) (casi uniformemente) iff de\(f=g(\text { a.e. }) ;\) manera similar para convergencia en medida.
(c) Si\(f\) y\(f_{n}\) son\(\mathcal{M}\) -medibles\(f_{n} \rightarrow f\) en\(A,\) entonces en medida sobre\(A\) iff
\ [
(\ forall\ sigma>0)\ quad\ lim _ {n\ fila derecha\ infty} m A\ left (\ rho^ {\ prime}\ left (f, f_ {n}\ right)\ geq\ sigma\ right) =0.
\]
Suponiendo que\(f_{n}: S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) es\(m\) -medible en\(A\) para\(n=1,2, \ldots,\) eso\(m A<\infty,\) y que\(f_{n} \rightarrow f(a . e .)\) en\(A,\) probar lo siguiente.
(i) Teorema de Lebesgue:\(f_{n} \rightarrow f\) (en medida) sobre\(A\) (ver Problema 11).
(ii) Teorema de Egorov:\(f_{n} \rightarrow f\) (casi uniformemente) en\(A\).
[Esquema: (i)\(\left.f_{n} \text { and } f \text { are } \mathcal{M} \text { -measurable on } H=A-Q, m Q=0 \text { (Corollary } 1\right),\) con\(f_{n} \rightarrow f\) (pointwise) on\(H .\) Para todos los\(i, k,\) conjuntos
\ [
H_ {i} (k) =\ bigcap_ {n=i} ^ {\ infty} H\ left (\ rho^ {\ prime}\ left (f_ {n}, f\ right) <\ frac {1} {k}\ right)\ in\ mathcal {M}
\]
por Problema 6 en \(\text { §1. Show that ( } \forall k) H_{i}(k) \nearrow H\); por lo tanto
\ [\ lim _ {i\ fila derecha\ infty} m H_ {i} (k) =m h=m A<\ infty;
\]
so
\ [
(\ forall\ delta>0) (\ forall k)\ izquierda (\ existe i_ {k}\ derecha)\ quad m\ izquierda (A-H_ {i_ {k}} (k)\ derecha)\ frac {\ delta} {2^ {k}},
\]
demostrando\((\mathrm{i}),\) desde
\ [
\ izquierda (\ forall n>i_ {k}\ derecha)\ quad\ rho^ {\ prime}\ izquierda (f_ {n}, f\ derecha) <\ frac {1} {k}\ text {on} H_ {i_ {k}} (k) =A-\ izquierda (A-H_ {i_ {k}} (k)\ derecha).
\]
(ii) Continuando, establece\((\forall k) D_{k}=H_{i_{k}}(k)\) y
\ [
D=A-\ bigcap_ {k=1} ^ {\ infty} D_ {k} =\ bigcup_ {k=1} ^ {\ infty}\ izquierda (A-D_ {k}\ derecha).
\]
Deducir eso\(D \in \mathcal{M}\) y
\ [
m D\ leq\ suma_ {k=1} ^ {\ infty} m\ izquierda (A-H_ {i_ {k}} (k)\ derecha) <\ suma_ {k=1} ^ {\ infty}\ frac {\ delta} {2^ {k}} =\ delta.
\]
Ahora bien, a partir de la definición del\(H_{i}(k),\) espectáculo que\(f_{n} \rightarrow f\) (uniformemente) al\(A-D,\) probar (ii). \(]\)
Desmentir lo contrario a Problema\(12(\mathrm{i})\).
[Esquema: Supongamos que\(A=[0,1) ;\) para todos\(0 \leq k\) y todos los\(0 \leq i<2^{k},\) conjuntos
\ [
g_ {i k} (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll} {1} & {\ text {if}\ frac {i-1} {2^ {k}}\ leq x<\ frac {i} {2^ {k}}}\\ {0} & {\ text {de lo contrario}}\ end {array}\ derecho.
\]
Poner el\(g_{i k}\) en una sola secuencia por
\ [
f_ {2^ {k} +i} =g_ {i k}.
\]
Mostrar que\(f_{n} \rightarrow 0\) en L medida\(A,\) todavía para\(x \in A\) no\(f_{n}(x)\) converge como\(n \rightarrow \infty .]\)
Demostrar que si\(f: S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) es\(m\) -medible en\(A\) y\(g: T \rightarrow\left(U, \rho^{\prime \prime}\right)\) es relativamente continuo\(f[A],\) entonces\(g \circ f: S \rightarrow\left(U, \rho^{\prime \prime}\right)\) es\(m\) -medible en\(A .\)
[Pista: Use Corolario 4 en §1.]