8.4.E: Problemas en la Integración de Funciones Elementales

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Verificar Nota 2.

Ejercicio\(\PageIndex{1'}\)

Demostrar Corolario\(1(\mathrm{iv})-(\text { vii })\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar que\(\int_{A} f=0\) si\(m A=0\) o\(f=0\) en\(A .\) Desacreditar lo contrario con ejemplos.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encuentra un primitivo\(F\) para\(f=C_{R}\) en nuestro ejemplo. Mostrar que
\ [
\ int_ {[0,1]} f d m=F (1) -F (0).
\]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Rellene los datos de prueba en Teorema\(2 .\)
[Pista: Usar prueba de comparación para series.]

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

\(\Rightarrow 5\). Mostrar que si\(f\) y\(g\) son elementales y no negativos con\(f \geq g\) on\(A,\) entonces
\ [
\ int_ {A} f\ geq\ int_ {A} g\ geq 0.
\]
[Pista: Como en Teorema\(2,\) vamos
\ [
f=\ suma_ {i} a_ {i} C_ {A_ {i}}\ text {y} g=\ suma_ {i} b_ {i} C_ {A_ {i}}.
\]
Entonces\(\left.f \geq g \geq 0 \text { implies } a_{i} \geq b_{i} \geq 0 .\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

\(\Rightarrow 6\). Demostrar que si\(f\) y\(g\) son elementales y (extendidos) reales en\(A,\) entonces

\ [\ int_ {A} (f\ pm g) =\ int_ {A} f\ pm\ int_ {A} g,
\]
siempre que
(i)\(\int_{A} f\) o\(\int_{A} g\) sea finito, o
(ii)\(\int_{A} f, f_{A} g,\) y todos\(\int_{A} f \pm \int_{A} g\) son ortodoxos.
[Esquema: Como en Teorema\(2,\) vamos
\ [
f=\ sum_ {i} a_ {i} C_ {A_ {i}}\ texto {y} g=\ suma_ {i} b_ {i} C_ {A_ {i}},
\]
así que
\ [
f\ pm g=a_ {i}\ pm b_ {i}\ text {on} A_ {i}.
\]
Ahora bien, si
\ [
\ izquierda|\ int_ {A} f\ right|<\ infty,
\]
entonces por el Problema 14 en el Capítulo 4, §13, y la fórmula\((4), \sum a_{i} m A_{i}\) converge absolutamente; por lo que su adición a términos a cualquier otra serie no afecta al absoluto convergencia o divergencia de esta última, es decir, la finitud o infinidad de sus partes positiva y negativa. Por ejemplo,
\ [
\ sum_ {i}\ left (a_ {i}\ pm b_ {i}\ right) ^ {+} m A_ {i} =\ infty
\]
iff
\ [
\ sum b_ {i} ^ {+} m A_ {i} =\ infty.
\]
Así si
\ [
\ int_ {A} g=\ pm\ infty,
\]
entonces
\ [
\ int_ {A} (f\ pm g) =\ int_ {A} g=\ pm\ infty=\ int_ {A} f\ pm\ int_ {A} g.
\]
Si ambos
\ [
\ int_ {A} f,\ int_ {A} g\ neq\ pm\ infty,
\]
Teorema\(2(\) ii) aplica. En el caso infinito ortodoxo, una prueba similar trabaja en señalar que las partes positivas o negativas de ambas series son finitas si
\ [
\ int_ {A} f\ pm\ int_ {A} g
\]
es ortodoxa, también. (¡Verifica!)]

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Mostrar que si\(f\) es elemental y no negativo on\(A\) y
\ [
\ int_ {A} f>p\ en E^ {*},
\]
entonces hay un mapa elemental y no negativo\(g\) en\(A\) tal que
\ [
\ int_ {A} f\ geq\ int_ {A} g>p,
\]
\(g=0\) on\(A(f=0),\) y
\ [
f>g\ text {on} A-A (f=0).
\]
[Consejos: Vamos
\ [
B=A (f=\ infty)
\]
y
\ [
C=A-B;
\]
así\(g_{n}\) es elemental y no negativo en\(A\) y
\ [
g_ {n} =n\ text {on} B
\]
y
\ [
g_ {n} =\ left (1-\ frac {1} {n}\ right) f\ text {on} C;
\]
así\(g_{n}\) es elemental y no negativo on\(A\) y
\ [
f>g_ {n}\ text {on} A-A (f=0). (\ mathrm {¿Por qué}?)
\]
Por Teorema 1 y Corolario 1 (iv) (vii),
\ [
\ int_ {A} g_ {n} =\ int_ {B} g_ {n} +\ int_ {C} g_ {n} =\ int_ {B} (n) +\ int_ {C}\ izquierda (1-\ frac {1} {n}\ derecha) f=n\ punto m B+\ izquierda (1-\ frac {1} {n}\ derecha)\ int_ {C} f.
\]
Deducir que
\ [
\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ int_ {A} g_ {n} =\ int_ {B} f+\ int_ {C} f=\ int_ {A} f>p;
\]
así que
\ [
(\ existe n)\ quad\ int_ {A} g_ {n} >p.
\]
Tomar\(\left.g=g_{n} \text { for that } n .\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Mostrar que si el\(E=E^{*},\) Teorema\(1(\text { i })\) sostiene también si\(\int_{A} f\) es infinito pero ortodoxo.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

(i) Demostrar que si\(f\) es elemental e integrable en\(A,\) así es\(-f,\) y

\ [\ int_ {A} (-f) =-\ int_ {A} f.
\]
(ii) Demostrar que esto sostiene también si\(f\) es elemental y (extendido) real y\(\int_{A} f\) es ortodoxo.