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8.4.E: Problemas en la Integración de Funciones Elementales

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    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Verificar Nota 2.

    Ejercicio\(\PageIndex{1'}\)

    Demostrar Corolario\(1(\mathrm{iv})-(\text { vii })\).

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Demostrar que\(\int_{A} f=0\) si\(m A=0\) o\(f=0\) en\(A .\) Desacreditar lo contrario con ejemplos.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Encuentra un primitivo\(F\) para\(f=C_{R}\) en nuestro ejemplo. Mostrar que
    \ [
    \ int_ {[0,1]} f d m=F (1) -F (0).
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Rellene los datos de prueba en Teorema\(2 .\)
    [Pista: Usar prueba de comparación para series.]

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    \(\Rightarrow 5\). Mostrar que si\(f\) y\(g\) son elementales y no negativos con\(f \geq g\) on\(A,\) entonces
    \ [
    \ int_ {A} f\ geq\ int_ {A} g\ geq 0.
    \]
    [Pista: Como en Teorema\(2,\) vamos
    \ [
    f=\ suma_ {i} a_ {i} C_ {A_ {i}}\ text {y} g=\ suma_ {i} b_ {i} C_ {A_ {i}}.
    \]
    Entonces\(\left.f \geq g \geq 0 \text { implies } a_{i} \geq b_{i} \geq 0 .\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    \(\Rightarrow 6\). Demostrar que si\(f\) y\(g\) son elementales y (extendidos) reales en\(A,\) entonces

    \ [\ int_ {A} (f\ pm g) =\ int_ {A} f\ pm\ int_ {A} g,
    \]
    siempre que
    (i)\(\int_{A} f\) o\(\int_{A} g\) sea finito, o
    (ii)\(\int_{A} f, f_{A} g,\) y todos\(\int_{A} f \pm \int_{A} g\) son ortodoxos.
    [Esquema: Como en Teorema\(2,\) vamos
    \ [
    f=\ sum_ {i} a_ {i} C_ {A_ {i}}\ texto {y} g=\ suma_ {i} b_ {i} C_ {A_ {i}},
    \]
    así que
    \ [
    f\ pm g=a_ {i}\ pm b_ {i}\ text {on} A_ {i}.
    \]
    Ahora bien, si
    \ [
    \ izquierda|\ int_ {A} f\ right|<\ infty,
    \]
    entonces por el Problema 14 en el Capítulo 4, §13, y la fórmula\((4), \sum a_{i} m A_{i}\) converge absolutamente; por lo que su adición a términos a cualquier otra serie no afecta al absoluto convergencia o divergencia de esta última, es decir, la finitud o infinidad de sus partes positiva y negativa. Por ejemplo,
    \ [
    \ sum_ {i}\ left (a_ {i}\ pm b_ {i}\ right) ^ {+} m A_ {i} =\ infty
    \]
    iff
    \ [
    \ sum b_ {i} ^ {+} m A_ {i} =\ infty.
    \]
    Así si
    \ [
    \ int_ {A} g=\ pm\ infty,
    \]
    entonces
    \ [
    \ int_ {A} (f\ pm g) =\ int_ {A} g=\ pm\ infty=\ int_ {A} f\ pm\ int_ {A} g.
    \]
    Si ambos
    \ [
    \ int_ {A} f,\ int_ {A} g\ neq\ pm\ infty,
    \]
    Teorema\(2(\) ii) aplica. En el caso infinito ortodoxo, una prueba similar trabaja en señalar que las partes positivas o negativas de ambas series son finitas si
    \ [
    \ int_ {A} f\ pm\ int_ {A} g
    \]
    es ortodoxa, también. (¡Verifica!)]

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Mostrar que si\(f\) es elemental y no negativo on\(A\) y
    \ [
    \ int_ {A} f>p\ en E^ {*},
    \]
    entonces hay un mapa elemental y no negativo\(g\) en\(A\) tal que
    \ [
    \ int_ {A} f\ geq\ int_ {A} g>p,
    \]
    \(g=0\) on\(A(f=0),\) y
    \ [
    f>g\ text {on} A-A (f=0).
    \]
    [Consejos: Vamos
    \ [
    B=A (f=\ infty)
    \]
    y
    \ [
    C=A-B;
    \]
    así\(g_{n}\) es elemental y no negativo en\(A\) y
    \ [
    g_ {n} =n\ text {on} B
    \]
    y
    \ [
    g_ {n} =\ left (1-\ frac {1} {n}\ right) f\ text {on} C;
    \]
    así\(g_{n}\) es elemental y no negativo on\(A\) y
    \ [
    f>g_ {n}\ text {on} A-A (f=0). (\ mathrm {¿Por qué}?)
    \]
    Por Teorema 1 y Corolario 1 (iv) (vii),
    \ [
    \ int_ {A} g_ {n} =\ int_ {B} g_ {n} +\ int_ {C} g_ {n} =\ int_ {B} (n) +\ int_ {C}\ izquierda (1-\ frac {1} {n}\ derecha) f=n\ punto m B+\ izquierda (1-\ frac {1} {n}\ derecha)\ int_ {C} f.
    \]
    Deducir que
    \ [
    \ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ int_ {A} g_ {n} =\ int_ {B} f+\ int_ {C} f=\ int_ {A} f>p;
    \]
    así que
    \ [
    (\ existe n)\ quad\ int_ {A} g_ {n} >p.
    \]
    Tomar\(\left.g=g_{n} \text { for that } n .\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Mostrar que si el\(E=E^{*},\) Teorema\(1(\text { i })\) sostiene también si\(\int_{A} f\) es infinito pero ortodoxo.

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    (i) Demostrar que si\(f\) es elemental e integrable en\(A,\) así es\(-f,\) y

    \ [\ int_ {A} (-f) =-\ int_ {A} f.
    \]
    (ii) Demostrar que esto sostiene también si\(f\) es elemental y (extendido) real y\(\int_{A} f\) es ortodoxo.


    8.4.E: Problemas en la Integración de Funciones Elementales is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.