8.7.E: Problemas en la Integración de Funciones Complejas y Vector-Valoradas
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Demostrar teoremas 2 y 3 componentwise para\(E=E^{n}\left(C^{n}\right)\).
Hazlo por Corolario 3 en §6.
Demostrar el teorema 1 con
\ [\ int_ {A} |f|<
\ infty\]
reemplazado por
\ [\ int_ {A}\ izquierda|f_ {k}\ derecha|<\ infty,\ quad k=1,\ ldots, n.
\]
Demostrar que si\(f: S \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right)\) es integrable en\(A,\) así es\(|f| .\) Disprove the converse.
Desmentir Lema 1 para\(m A=\infty\).
Completa el comprobante de Lema 3.
Completar la prueba del Teorema 3.
Hacer Problema 1 y\(2^{\prime}\) para\(f: S \rightarrow E\).
Demostrar la fórmula (1) a partir de definiciones de la Parte II de esta sección.
\(\Rightarrow 10\). Mostrar que
\ [
\ izquierda|\ int_ {A} f\ derecha|\ leq\ int_ {A} |f|
\]
para mapas integrables\(f: S \rightarrow E .\) Ver también Problema 14.
[Pista: Si\(m A<\infty,\) usa Corolario\(1(\text { ii ) of } §4 \text { and Lemma } 1 . \text { If } m A=\infty,\) nos imitamos” la prueba de Lemma\(3 .\)]
Hacer el Problema 11 en §6 para\(f_{n}: S \rightarrow E .\) Hazlo componentwise para\(E=\)\(E^{n}\left(C^{n}\right) .\)
Mostrar que si\(f, g: S \rightarrow E^{1}(C)\) son integrables en\(A,\) entonces
\ [
\ izquierda|\ int_ {A} f g\ derecha|^ {2}\ leq\ int_ {A} |f|^ {2}\ cdot\ int_ {A} |g|^ {2}.
\] ¿
En qué caso se sostiene la igualdad? Deducir Teorema\(4\left(\mathrm{c}^{\prime}\right)\) en el Capítulo\(3,\) §§1-3, a partir de este resultado.
[Pista: Argumentar como en ese teorema. Considera el caso
\ [
\ izquierda. \ left (\ existe t\ en E^ {1}\ derecha)\ quad\ int_ {A} |f-t g|=0. \ derecho]
\]
Mostrar que si\(f: S \rightarrow E^{1}(C)\) es integrable on\(A\) y
\ [
\ izquierda|\ int_ {A} f\ right|=\ int_ {A} |f|,
\]
entonces
\ [
(\ existe c\ in C)\ quad c f=|f|\ quad\ text {a.e. on} A.
\]
[Pista: Vamos \(a=\int_{A} f .\)El caso\(a=0\) es trivial. Si se\(a \neq 0,\) deja
\ [
c=\ frac {|a|} {a}; |c|=1; c a=|a|.
\]
Vamos\(r=(c f)_{\mathrm{re}} .\) Mostrar eso\(r \leq|c f|=|f|\),
\ [
\ begin {alineado}\ izquierda|\ int_ {A} f\ derecha| &=\ int_ {A} c f=\ int_ {A} r\ leq\ int_ {A} |f|=\ int_ {A} f\ derecha|,\\ &\ int_ {A} |f|=\ int_ {A} r=\ int_ {A} (c f) _ {\ mathrm {re,}}\ end {alineado}
\]
\(\left.(c f)_{\mathrm{re}}=|c f|(\mathrm{a.e.}), \text { and } c f=|c f|=|f| \text { a.e. on } A .\right]\)
Hacer Problema 10 por\(E=C\) usar el método de Problema\(13 .\)
Mostrar que si\(f: S \rightarrow E\) es integrable en\(A,\) es integrable en cada\(\mathcal{M}\) -set\(B \subseteq A .\) Si, además,
\ [
\ int_ {B} f=0
\]
para todos esos\(B,\) muestran que\(f=0\) a.e. en\(A .\) Probarlo por\(E=E^{n}\) primera vez.
[Pista para\(\left.E=E^{*}: A=A(f>0) \cup A(f \leq 0) . \text { Use Theorems } 1(\mathrm{h}) \text { and } 2 \text { from } §5 .\right]\)
En Problem\(15,\) mostrar que
\ [
s=\ int f
\]
es una función de conjunto\(\sigma\) -aditivo en
\ [\ mathcal {M} _ {A} =\ {X\ in\ mathcal {M} | X\ subseteq A\}.
\]
(Nota\(4 \text { in } §5) ; s\) se llama la integral indefinida de\(f\) in\(A .\)