1.3: Convergencia uniforme de integrales inadecuadas

En adelante tratamos funciones\(f=f(x,y)\) con dominios\(I\times S\), donde\(S\) es un intervalo o una unión de intervalos y\(I\) es de una de las siguientes formas:

• \([a,b)\)con\(-\infty<a<b\le \infty\);
• \((a,b]\)con\(-\infty\le a<b< \infty\);
• \((a,b)\)con\(-\infty\le a\le b\le \infty\).

En todos los casos se debe entender que\(f\) es integrable localmente con respecto a\(x\) on\(I\). Cuando decimos que la integral impropia\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\) tiene una propiedad declarada “en S” nos referimos a que tiene la propiedad para cada uno\(y\in S\).

[definición:1] Si la integral impropia

\[\label{eq:10} \int_{a}^{b}f(x,y)\,dx=\lim_{r\to b-}\int_{a}^{r}f(x,y)\,dx\]

converge en\(S,\) él se dice que converge uniformemente (o sea uniformemente convergente) en\(S\) si\(,\) para cada uno\(\epsilon>0,\) hay\(r_{0} \in [a,b)\) tal que

\[\left|\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx-\int_{a}^{r}f(x,y)\,dx\right| < \epsilon,\quad y\in S, \quad r_{0}\le r<b,\]

o\(,\) equivalentemente\(,\)

\[\label{eq:11} \left|\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\right|< \epsilon, \quad y\in S,\quad r_{0}\le r<b.\]

La diferencia crucial entre convergencia puntual y uniforme es que\(r_{0}(y)\) en [eq:8] puede depender del valor particular de\(y\), mientras que el\(r_{0}\) in [eq:11] no: una elección debe funcionar para todos\(y\in S\). Así, la convergencia uniforme implica convergencia puntual, pero la convergencia puntual no implica convergencia uniforme.

(Criterio Cauchy para Convergencia Uniforme I) [teorem:4] La integral impropia en [eq:10] converge uniformemente sobre\(S\) si y solo si\(,\) para cada uno\(\epsilon>0,\) hay\(r_{0} \in [a,b)\) tal que

\[\label{eq:12} \left|\int_{r}^{r_{1}}f(x,y)\,dx\right|< \epsilon, \quad y\in S,\quad r_{0}\le r,r_{1}<b.\]

Supongamos que\(\int_{a}^{b} f(x,y)\,dx\) converge uniformemente sobre\(S\) y\(\epsilon>0\). De la definición [definición:1], hay\(r_{0}\in [a,b)\) tal que

\[\label{eq:13} \left|\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\right| <\frac{\epsilon}{2} \text{\, and\,} \left|\int_{r_{1}}^{b}f(x,y)\,dx\right| <\frac{\epsilon}{2} ,\quad y\in S, \quad r_{0}\le r,r_{1}<b.\]

Desde

\[\int_{r}^{r_{1}}f(x,y)\,dx= \int_{r}^{b}f(x,y)\,dx- \int_{r_{1}}^{b}f(x,y)\,dx,\]

[eq:13] y la desigualdad triangular implica [eq:12].

Para lo contrario, denotar

\[F(y)=\int_{a}^{r}f(x,y)\,dx.\]

Dado que [eq:12] implica que

\[\label{eq:14} |F(r,y)-F(r_{1},y)|< \epsilon,\quad y\in S, \quad r_{0}\le r, r_{1}<b,\]

Teorema [teorem:2] con\(G(r)=F(r,y)\) (\(y\)fijo pero arbitrario en\(S\)) implica que\(\int_{a}^{b} f(x,y)\,dx\) converge puntualmente para\(y\in S\). Por lo tanto, si\(\epsilon>0\) entonces, para cada uno\(y\in S\), hay\(r_{0}(y) \in [a,b)\) tal que

\[\label{eq:15} \left|\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\right|< \epsilon, \quad y\in S,\quad r_{0}(y)\le r< b.\]

Para cada uno\(y\in S\), elija\(r_{1}(y)\ge \max[{r_{0}(y),r_{0}}]\). (Recordemos [eq:14]). Entonces

\[\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx = \int_{r}^{r_{1}(y)}f(x,y)\,dx+ \int_{r_{1}(y)}^{b}f(x,y)\,dx, \quad\]

así [eq:12], [eq:15], y la desigualdad triangular implica que

\[\left|\int_{r}^{b} f(x,y)\,dx\right|< 2\epsilon, \quad y\in S, \quad r_{0}\le r<b.\]

En la práctica, no exponemos explícitamente\(r_{0}\) para cada dado\(\epsilon\). Baste con obtener estimaciones que impliquen claramente su existencia.

[ejemplo:4] Para la integral impropia de Ejemplo [ejemplo:2],

\[\left|\int_{r}^{\infty}f(x,y)\,dx\right|= \int_{r}^{\infty} |y|e^{-|y|x}=e^{-r|y|}, \quad y\ne0.\]

Si\(|y| \ge \rho\), entonces

\[\left|\int_{r}^{\infty}f(x,y)\,dx\right| \le e^{-r\rho},\]

así\(\int_{0}^{\infty}f(x,y)\,dx\) converge uniformemente sobre\((-\infty,\rho]\cup[\rho,\infty)\) si\(\rho>0\); sin embargo, no converge uniformemente en ningún vecindario de\(y=0\), ya que, para alguno\(r>0\),\(e^{-r|y|}>\frac{1}{2}\) si\(|y|\) es suficientemente pequeño.

[definition:2] Si la integral impropia

\[\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx=\lim_{r\to a+}\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\]

converge en\(S,\) él se dice que converge uniformemente (o sea uniformemente convergente) en\(S\) si\(,\) para cada uno\(\epsilon>0,\) hay\(r_{0} \in (a,b]\) tal que

\[\left|\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx-\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\right| <\epsilon, \quad y\in S,\quad a<r\le r_{0},\]

o\(,\) equivalentemente\(,\)

\[\left|\int_{a}^{r} f(x,y)\,dx\right|< \epsilon, \quad y\in S,\quad a<r\le r_{0}.\]

Te dejamos prueba del siguiente teorema (Ejercicio [exer:3]).

(Criterio de Cauchy para Convergencia Uniforme II) [teoremo:5] La integral impropia

\[\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx =\lim_{r\to a+}\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\]

converge uniformemente en\(S\) si y solo si\(,\) para cada uno\(\epsilon>0,\) hay\(r_{0}\in (a,b]\) tal que

\[\left|\int_{r_{1}}^{r}f(x,y)\,dx\right|< \epsilon,\quad y\in S,\quad a <r,r_{1}\le r_{0}.\]

Necesitamos una definición más, de la siguiente manera.

[definition:3] Let\(f=f(x,y)\) be defined on\((a,b) \times S,\) where\(-\infty\le a<b\le \infty.\) Supongamos\(f\) es integrable localmente\((a,b)\) para todos\(y\in S\) y dejar\(c\) ser un punto arbitrario en\((a,b).\) Entonces\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\) se dice que converge uniformemente en\(S\) if\(\int_{a}^{c}f(x,y)\,dx\) y \(\int_{c}^{b}f(x,y)\,dx\)ambos convergen uniformemente en\(S.\)

Te dejamos a ti (Ejercicio [exer:4]) demostrar que esta definición es independiente de\(c\); es decir, si\(\int_{a}^{c}f(x,y)\,dx\) y\(\int_{c}^{b}f(x,y)\,dx\) ambos convergen uniformemente\(S\) para algunos\(c\in(a,b)\), entonces ambos convergen uniformemente\(S\) para cada uno\(c \in (a,b)\).

También te dejamos (Ejercicio [exer:5]) para demostrar que si\(f\) está acotado\([a,b]\times [c,d]\) y\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\) existe como una integral adecuada para cada uno\(y\in [c,d]\), entonces converge uniformemente\([c,d]\) según las tres Definiciones [definición:1] — [definición:3].

[ejemplo:5] Considerar la integral impropia

\[F(y)=\int_{0}^{\infty}x^{-1/2}e^{-xy}\,dx,\]

que diverge si\(y\le 0\) (verificar). Definición [definition:3] aplica si\(y>0\), entonces consideramos las integrales impropias

\[F_{1}(y)=\int_{0}^{1}x^{-1/2}e^{-xy}\,dx \text{\quad and\quad} F_{2}(y)=\int_{1}^{\infty}x^{-1/2}e^{-xy}\,dx\]

por separado. Además, podríamos definir

\[\label{eq:16} F_{1}(y)=\int_{0}^{c}x^{-1/2}e^{-xy}\,dx \text{\quad and\quad} F_{2}(y)=\int_{c}^{\infty}x^{-1/2}e^{-xy}\,dx,\]

donde\(c\) hay cualquier número positivo.

Definición [definición:2] se aplica a\(F_{1}\). Si\(0<r_{1}<r\) y\(y\ge 0\), entonces

\[\left|\int_{r}^{r_{1}}x^{-1/2}e^{-xy}\,dx\right| < \int_{r_{1}}^{r}x^{-1/2}\,dx<2r^{1/2},\]

así\(F_{1}(y)\) converge para uniformemente encendido\([0,\infty)\).

Definición [definición:1] se aplica a\(F_{2}\). Desde

\[\left|\int_{r}^{r_{1}}x^{-1/2}e^{-xy}\,dx\right| < r^{-1/2} \int_{r}^{\infty}e^{-xy}\,dx = \frac{e^{-ry}}{yr^{1/2}},\]

\(F_{2}(y)\)converge uniformemente en\([\rho,\infty)\) si\(\rho>0\). No converge uniformemente sobre\((0,\rho)\), ya que el cambio de\(u=xy\) rendimientos variables

\[\int_{r}^{r_{1}}x^{-1/2}e^{-xy}\,dx=y^{-1/2} \int_{ry}^{r_{1}y}u^{-1/2}e^{-u}\,du,\]

que, para cualquier fijo\(r>0\), puede hacerse arbitrariamente grande tomando\(y\) suficientemente pequeña y\(r=1/y\). Por lo tanto concluimos que\(F(y)\) converge uniformemente sobre\([\rho,\infty)\) si\(\rho>0.\)

Obsérvese que la constante\(c\) en [eq:16] no juega ningún papel en este argumento.

[Ejemplo:6] Supongamos que tomamos

\[\label{eq:17} \int_{0}^{\infty}\frac{\sin u}{u}\,du =\frac{\pi}{2}\]

según lo dado (Ejercicio [exer:31] (b)). Sustituir\(u=xy\) con\(y>0\) rendimientos

\[\label{eq:18} \int_{0}^{\infty}\frac{\sin xy}{x}\,dx=\frac{\pi}{2},\quad y>0.\]

¿Qué pasa con la convergencia uniforme? Dado que\((\sin xy)/x\) es continuo en\(x=0\), Definición [definición:1] y Teorema [teorema: 4] se aplican aquí. Si\(0<r<r_{1}\) y\(y>0\), entonces

\[\int_{r}^{r_{1}}\frac{\sin xy}{x}\,dx=-\frac{1}{y} \left(\frac{\cos xy}{x}\biggr|_{r}^{r_{1}}+ \int_{r}^{r_{1}}\frac{\cos xy}{x^{2}}\,dx\right), \text{\, so\quad} \left|\int_{r}^{r_{1}}\frac{\sin xy}{x}\,dx\right|<\frac{3}{ry}.\]

Por lo tanto [eq:18] converge uniformemente en\([\rho,\infty)\) if\(\rho>0\). Por otro lado, a partir de [eq:17], hay\(\delta>0\) tal que

\[\int_{u_{0}}^{\infty}\frac{\sin u}{u}\,du>\frac{\pi}{4}, \quad 0 \le u_{0}<\delta.\]

Esto y [eq:18] implican que

\[\int_{r}^{\infty}\frac{\sin xy}{x}\,dx=\int_{yr}^{\infty}\frac{\sin u}{u}\,du >\frac{\pi}{4}\]

para cualquier\(r>0\) si\(0 <y<\delta/r\). Por lo tanto, [eq:18] no converge uniformemente en ningún intervalo\((0,\rho]\) con\(\rho>0\).