1.4: Integrales inpropias convergentes absolutamente uniformemente

(Convergencia Absoluta Uniforme I) [definición:4] La integral impropia

\[\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx=\lim_{r\to b-}\int_{a}^{r}f(x,y)\,dx\]

se dice que convergen de manera absolutamente uniforme en\(S\) si la integral impropia

\[\int_{a}^{b}|f(x,y)|\,dx=\lim_{r\to b-}\int_{a}^{r}|f(x,y)|\,dx\]

converge uniformemente sobre\(S\); es decir, si, para cada uno\(\epsilon>0\), hay\(r_{0}\in [a,b)\) tal que

\[\left|\int_{a}^{b}|f(x,y)|\,dx-\int_{a}^{r}|f(x,y)|\,dx\right| <\epsilon, \quad y\in S,\quad r_{0}<r<b.\]

Para ver que esta definición tiene sentido, recordemos que si\(f\) es localmente integrable on\([a,b)\) for all\(y\) in\(S\), entonces así es\(|f|\) (Teorema 3.4.9, p. 161). Teorema [teorem:4] con\(f\) reemplazado por\(|f|\) implica que\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\) converge absolutamente uniformemente sobre\(S\) si y solo si, para cada uno\(\epsilon>0\), hay\(r_{0}\in [a,b)\) tal que

\[\int_{r}^{r_{1}}|f(x,y)|\,dx<\epsilon,\quad y\in S,\quad r_{0}\le r<r_{1}<b .\]

Desde

\[\left|\int_{r}^{r_{1}}f(x,y)\,dx\right| \le \int_{r}^{r_{1}}|f(x,y)|\,dx,\]

Teorema [teorem:4] implica que si\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\) converge absolutamente uniformemente en\(S\) entonces converge uniformemente en\(S\).

[teorema:6] (Prueba de Weierstrass para Convergencia Absoluta Uniforme I) Supongamos que no\(M=M(x)\) es negativo en\([a,b),\)\(\int_{a}^{b}M(x)\,dx<\infty,\) y

\[\label{eq:19} |f(x,y)| \le M(x), \quad y\in S,\quad a\le x<b.\]

Luego\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\) converge de manera absolutamente uniforme en\(S.\)

Denote\(\int_{a}^{b}M(x)\,dx=L<\infty\). Por definición, para cada uno\(\epsilon>0\) hay\(r_{0}\in [a,b)\) tal que

\[L-\epsilon < \int_{a}^{r}M(x)\,dx \le L,\quad r_{0}<r<b.\]

Por lo tanto, si\(r_{0}< r\le r_{1},\) entonces

\[0\le \int_{r}^{r_{1}}M(x)\,dx=\left(\int_{a}^{r_{1}}M(x)\,dx -L\right)- \left(\int_{a}^{r}M(x)\,dx -L\right)<\epsilon\]

Esto y [eq:19] implican que

\[\int_{r}^{r_{1}}|f(x,y)|\,dx\le \int_{r}^{r_{1}} M(x)\,dx <\epsilon,\quad y\in S, \quad a\le r_{0}<r<r_{1}<b.\]

Ahora Teorema [teorem:4] implica la conclusión declarada.

[ejemplo:7] Supongamos que\(g=g(x,y)\) es integrable localmente\([0,\infty)\) para todos\(y\in S\) y\(a_{0}\ge 0\), para algunos, hay constantes\(K\) y\(p_{0}\) tales que

\[|g(x,y)| \le Ke^{p_{0}x},\quad y\in S, \quad x\ge a_{0}.\]

Si\(p>p_{0}\) y\(r\ge a_{0}\), entonces

\[\begin{aligned} \int_{r}^{\infty}e^{-px} |g(x,y)|\,dx &=& \int_{r}^{\infty} e^{-(p-p_{0})x}e^{-p_{0}x}|g(x,y)|\,dx\\ &\le& K\int_{r}^{\infty} e^{-(p-p_{0})x}\,dx= \frac{K e^{-(p-p_{0})r}}{p-p_{0}},\end{aligned}\]

así\(\int_{0}^{\infty}e^{-px} g(x,y)\,dx\) converge absolutamente en\(S\). Por ejemplo, desde

\[|x^{\alpha}\sin xy|<e^{p_{0}x}\text{\quad and \quad} |x^{\alpha}\cos xy|<e^{p_{0}x}\]

para\(x\) suficientemente grande si\(p_{0}>0\), Teorema [teorema: 4] implica eso\(\int_{0}^{\infty}e^{-px}x^{\alpha}\sin xy\,dx\) y\(\int_{0}^{\infty}e^{-px}x^{\alpha}\cos xy\,dx\) convergen absolutamente uniformemente sobre\((-\infty,\infty)\) si\(p>0\) y\(\alpha~\ge~0\). De hecho,\(\int_{0}^{\infty}e^{-px}x^{\alpha}\sin xy\,dx\) converge absolutamente en\((-\infty,\infty)\) si\(p>0\) y\(\alpha>-1\). (¿Por qué?)

(Convergencia Uniforme Absoluta II) [definición:5] La integral impropia

\[\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx=\lim_{r\to a+}\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\]

se dice que convergen de manera absolutamente uniforme en\(S\) si la integral impropia

\[\int_{a}^{b}|f(x,y)|\,dx=\lim_{r\to a+}\int_{r}^{b}|f(x,y)|\,dx\]

converge uniformemente sobre\(S\); es decir, si, para cada uno\(\epsilon>0\), hay\(r_{0}\in (a,b]\) tal que

\[\left|\int_{a}^{b}|f(x,y)|\,dx-\int_{r}^{b}|f(x,y)|\,dx\right| <\epsilon, \quad y\in S, \quad a<r<r_{0}\le b.\]

Te dejamos a ti (Ejercicio [exer:7]) probar el siguiente teorema.

[teorem:7] (Prueba de Weierstrass para Convergencia Uniforme Absoluta II) Supongamos que no\(M=M(x)\) es negativo en\((a,b],\)\(\int_{a}^{b}M(x)\,dx<\infty,\) y

\[|f(x,y)| \le M(x), \quad y\in S, \quad x\in (a,b].\]

Entonces\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\) converge absolutamente uniformemente en\(S\).

[ejemplo:8] Si\(g=g(x,y)\) es integrable localmente\((0,1]\) para todos\(y\in S\) y

\[|g(x,y)| \le Ax^{-\beta}, \quad 0<x \le x_{0},\]

para cada uno\(y \in S\), entonces

\[\int_{0}^{1} x^{\alpha}g(x,y)\,dx\]

converge de manera absolutamente uniforme en\(S\) if\(\alpha>\beta-1\). Para ver esto, tenga en cuenta que si\(0<r< r_{1}\le x_{0}\), entonces

\[\int_{r_{1}}^{r}x^{\alpha}|g(x,y)|\,dx \le A\int_{r_{1}}^{r} x^{\alpha-\beta}\,dx= \frac{Ax^{\alpha-\beta+1}}{\alpha-\beta+1}\biggr|_{r_{1}}^{r}< \frac{Ar^{\alpha-\beta+1}}{\alpha-\beta+1}.\]

Aplicando esto con\(\beta=0\) muestra que

\[F(y)=\int_{0}^{1} x^{\alpha}\cos xy\,dx\]

converge de manera absolutamente uniforme en\((-\infty,\infty)\) si\(\alpha>-1\) y

\[G(y)=\int_{0}^{1}x^{\alpha}\sin xy \,dx\]

converge de manera absolutamente uniforme en\((-\infty,\infty)\) if\(\alpha>-2\).

Al recordar el Teorema 4.4.15 (p. 246), se puede ver por qué asociamos Teoremas [teorema:6] y [teorem:7] con Weierstrass.