4.2: Conjuntos Abiertos
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\[(x-\epsilon, x+\epsilon) \subset U.\]
Cada intervalo abierto\(I\) es un conjunto abierto.
- Prueba
-
Supongamos\(I=(a, b),\) donde\(a<b\) se extienden los números reales. Dado\(x \in I,\) dejar\(\epsilon\) ser el más pequeño de\(x-a\) y\(b-x .\) Supongamos que\(y \in(x-\epsilon, x+\epsilon) .\) si\(b=+\infty,\) entonces de\(b>y ;\) otra manera, tenemos
\[b-y>b-(x+\epsilon)=(b-x)-\epsilon \geq(b-x)-(b-x)=0,\]
así que\(b>y .\) si\(a=-\infty,\) entonces\(a<y ;\) lo contrario,
\[y-a>(x-\epsilon)-a=(x-a)-\epsilon \geq(x-a)-(x-a)=0,\]
\(a<y .\)así\(y \in I\) y\(I\) es un conjunto abierto. \(\quad\)Q.E.D.
Obsérvese que\(\mathbb{R} \text { is an open set (it is, in fact, the open interval }(-\infty,+\infty)),\) tal cual\(\emptyset\) (satisface trivialmente la definición).
Supongamos que\(A\) es un conjunto y, para cada uno\(\alpha \in A, U_{\alpha}\) es un conjunto abierto. Entonces
\[\bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha}\]
es un conjunto abierto.
- Prueba
-
Let\(x \in \cup_{\alpha \in A} U_{\alpha} .\) Entonces\(x \in U_{\alpha}\) para algunos\(\alpha \in A .\) Ya que\(U_{\alpha}\) está abierto, existe\(\epsilon>0\) tal que\((x-\epsilon, x+\epsilon) \subset U_{\alpha} .\) Así
\[(x-\epsilon, x+\epsilon) \subset U_{\alpha} \subset \bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha}.\]
De ahí\(\bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha}\) que esté abierto. \(\quad\)Q.E.D.
Supongamos que\(U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n}\) es una colección finita de conjuntos abiertos. Entonces
\[\bigcap_{i=1}^{n} U_{i}\]
está abierto.
- Prueba
-
Deja\(x \in \bigcap_{i=1}^{n} U_{i} .\) Entonces\(x \in U_{i}\) por cada\(i=1,2, \ldots, n .\) Para cada uno\(i\), elige\(\epsilon_{i}>0\) tal que\(\left(x-\epsilon_{i}, x+\epsilon_{i}\right) \subset U_{i} .\)\(\epsilon\) Sea el más pequeño de\(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \ldots, \epsilon_{n} .\) Entonces\(\epsilon>0\) y
\[(x-\epsilon, x+\epsilon) \subset\left(x-\epsilon_{i}, x+\epsilon_{i}\right) \subset U_{i}\]
para cada\(i=1,2, \ldots, n .\) Así
\[(x-\epsilon, x+\epsilon) \subset \bigcap_{i=1}^{n} U_{i}.\]
De ahí\(\bigcap_{i=1}^{n} U_{i}\) que sea un conjunto abierto. \(\quad\)Q.E.D.
\(A \subset \mathbb{R} .\)Digamos que\(x \in A\) es un punto interior de\(A\) si existe\(\epsilon>0\) tal que\((x-\epsilon, x+\epsilon) \subset A .\) Llamamos al conjunto de todos los puntos interiores\(A\) del interior de\(A,\) denotado\(A^{\circ} .\)
Demostrar que si\(A \subset \mathbb{R},\) entonces\(A^{\circ}\) está abierto.
Mostrar que\(A\) está abierto si y solo si\(A=A^{\circ}\).
Dejar\(U \subset \mathbb{R}\) ser un conjunto abierto no vacío. Demuestre que sup\(U \notin U\) y\(\inf U \notin U\).