5.2: Funciones monótnicas

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Definición

Supongamos\(D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) y\((a, b) \subset D .\) Nosotros decimos\(f\) está aumentando\((a, b)\) si\(f(x)<f(y)\) cada vez que\(a<x<y<b ;\) decimos\(f\) está disminuyendo en\((a, b)\) si\(f(x)>f(y)\) cada vez que\(a<x<y<b ;\) decimos\(f\) es no decreciente en\((a, b)\) si\(f(x) \leq f(y)\) siempre\(a<x<y<b ;\) y decimos \(f\)no está aumentando\((a, b)\) si\(f(x) \geq f(y)\) cada vez\(a<x<y<b .\) Vamos a decir que\(f\) es monótona en\((a, b)\) si\(f\) es no decreciente o no creciente\((a, b)\) y diremos que\(f\) es estrictamente monótona en\((a, b)\) si\(f\) está aumentando o disminuyendo en\((a, b)\).

Proposición\(\PageIndex{1}\)

Si\(f\) es monótono en\((a, b),\) entonces\(f(c+)\) y\(f(c-)\) existir para cada uno\(c \in(a, b)\).

Prueba

Supongamos\(f\) que no disminuye en\((a, b) .\) Let\(c \in(a, b)\) y let

\[\lambda=\sup \{f(x): a<x<c\}.\]

Tenga en cuenta que\(\lambda \leq f(c)<+\infty .\) Dada alguna debe\(\epsilon>0,\) existir\(\delta>0\) tal que

\[\lambda-\epsilon<f(c-\delta) \leq \lambda .\]

Dado que no\(f\) es decreciente, se deduce que

\[|f(x)-\lambda|<\epsilon\]

siempre que\(x \in(c-\delta, c) .\) Así\(f(c-)=\lambda .\) Un argumento similar muestra que\(f(c+)=\kappa\) donde

\[\kappa=\inf \{f(x): c<x<b\}.\]

Si no\(f\) es creciente, los argumentos similares rinden

\[f(c-)=\inf \{f(x): a<x<c\}\]

\[f(c+)=\sup \{f(x): c<x<b\}.\]

Proposición\(\PageIndex{2}\)

Si\(f\) es no decreciente\((a, b)\) y\(a<x<y<b,\) luego

\[f(x+) \leq f(y-).\]

Prueba

Por la proposición anterior,

\[f(x+)=\inf \{f(t): x<t<b\}\]

\[f(y-)=\sup \{f(t): a<t<y\}.\]

Dado que no\(f\) es decreciente,

\[\inf \{f(t): x<t<b\}=\inf \{f(t): x<t<y\}\]

\[\sup \{f(t): a<t<y\}=\sup \{f(t): x<t<y\}.\]

Así

\[f(x+)=\inf \{f(t): x<t<y\} \leq \sup \{f(t): x<t<y\}=f(y-).\]

Q.E.D.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

\(\varphi: \mathbb{Q} \cap[0,1] \rightarrow \mathbb{Z}^{+}\)Sea una correspondencia uno a uno. Definir\(f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) por

\[f(x)=\sum_{q \in \mathbb{Q} \cap[0,1]_{q \leq x}} \frac{1}{2^{\varphi(q)}}.\]

a. Demostrar que\(f\) va en aumento\((0,1)\).

b. Demostrar que para cualquier\(x \in \mathbb{Q} \cap(0,1), f(x-)<f(x)\) y\(f(x+)=f(x)\).

c. Demostrarlo por cualquier irracional\(a, 0<a<1, \lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a)\).