7.2: Integrales
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Supongamos\(a<b\) y\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) está acotado. Decimos que\(f\) es
\[\underline{\int_{a}^{b}} f=\overline{\int_{a}^{b}} f.\]
Si\(f\) es integrable, llamamos al valor común de las integrales superior e inferior la integral de\(f\)\([a, b],\) sobredenotada
\[\int_{a}^{b} f.\]
Es decir, si\(f\) es integrable en\([a, b]\),
\[\int_{a}^{b} f=\underline{\int_{a}^{b}} f=\overline{\int_{a}^{b}} f.\]
Definir\(f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) por
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {\text { if } x \in \mathbb{Q},} \\ {0,} & {\text { if } x \notin \mathbb{Q}.}\end{array}\right.\]
Para cualquier partición\(P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\},\) tenemos
\[L(f, P)=\sum_{i=1}^{n} 0\left(x_{i}-x_{i-1}\right)=0\]
y
\[U(f, P)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)=x_{n}-x_{0}=1.\]
Así
\[\underline{\int_{0}^{1}} f=0\]
y
\[\overline{\int_{0}^{1}} f=1.\]
De ahí\(f\) que no sea integrable en\([0,1]\).
Definir\(f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) por
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{1}{q},} & {\text { if } x \text { is rational and } x=\frac{p}{q},} \\ {0,} & {\text { if } x \text { is irrational, }}\end{array}\right.\]
donde\(p\) y\(q\) se toman para ser números enteros primos relativamente con\(q>0,\) y tomamos\(q=1\) cuando\(x=0 .\) Mostrar que\(f\) es integrable en\([0,1]\) y
\[\int_{0}^{1} f=0.\]
Dejar\(f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) ser definido por\(f(x)=x\) y, para\(n \in \mathbb{Z}^{+},\) dejar\(P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}\) ser la partición de\([0,1]\) con
\[x_{i}=\frac{i}{n}, i=0,1, \ldots, n.\]
Demostrar que
\[U(f, P)-L(f, P)=\frac{1}{n},\]
y de ahí concluir que\(f\) es integrable en\([0,1] .\) Mostrar que
\[\int_{0}^{1} f=\frac{1}{2}.\]
Definir\(f:[1,2] \rightarrow \mathbb{R}\) por
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x,} & {\text { if } x \in \mathbb{Q},} \\ {0,} & {\text { if } x \notin \mathbb{Q}.}\end{array}\right.\]
Demostrar que no\(f\) es integrable en\([1,2]\).
Supongamos que\(f\) es integrable en\([a, b],\) y, para algún número real\(m\) y\(M, m \leq f(x) \leq M\) para todos\(x \in[a, b] .\) Mostrar eso
\[m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M(b-a).\]
7.2.1 Notación y Terminología
La definición de la integral descrita en esta sección se debe a Darboux. Se puede demostrar que es equivalente a la integral definida por Riemann. De ahí que las funciones que son integrables en el sentido de esta discusión son referidas como funciones integrables de Riemann y llamamos a la integral la integral de Riemann. Esto es en distinción a la integral de Lebesgue, parte de una teoría más general de la integración.
A veces nos referimos a esta integral como la integral definida, a diferencia de una integral indefinida, siendo esta última un nombre dado a una antiderivada (una función cuya derivada es igual a una función dada).
Si\(f\) es integrable en\([a, b],\) entonces también denotaremos
\[\int_{a}^{b} f\]
por
\[\int_{a}^{b} f(x) d x.\]
La variable\(x\) en esta última es una variable “ficticia”; también podemos escribir
\[\int_{a}^{b} f(t) d t\]
o
\[\int_{a}^{b} f(s) d s.\]
Por ejemplo, si\(f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) se define por\(f(x)=x^{2},\) entonces
\[\int_{0}^{1} f=\int_{0}^{1} x^{2} d x=\int_{0}^{1} t^{2} d t.\]