7.2: Integrales

Definición

Supongamos$a<b$ y$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ está acotado. Decimos que$f$ es

$$\underline{\int_{a}^{b}} f=\overline{\int_{a}^{b}} f.$$

Si$f$ es integrable, llamamos al valor común de las integrales superior e inferior la integral de$f$$[a, b],$ sobredenotada

$$\int_{a}^{b} f.$$

Es decir, si$f$ es integrable en$[a, b]$,

$$\int_{a}^{b} f=\underline{\int_{a}^{b}} f=\overline{\int_{a}^{b}} f.$$

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Definir$f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ por

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {\text { if } x \in \mathbb{Q},} \\ {0,} & {\text { if } x \notin \mathbb{Q}.}\end{array}\right.$$

Para cualquier partición$P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\},$ tenemos

$$L(f, P)=\sum_{i=1}^{n} 0\left(x_{i}-x_{i-1}\right)=0$$

y

$$U(f, P)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)=x_{n}-x_{0}=1.$$

Así

$$\underline{\int_{0}^{1}} f=0$$

y

$$\overline{\int_{0}^{1}} f=1.$$

De ahí$f$ que no sea integrable en$[0,1]$.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Definir$f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ por

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{1}{q},} & {\text { if } x \text { is rational and } x=\frac{p}{q},} \\ {0,} & {\text { if } x \text { is irrational, }}\end{array}\right.$$

donde$p$ y$q$ se toman para ser números enteros primos relativamente con$q>0,$ y tomamos$q=1$ cuando$x=0 .$ Mostrar que$f$ es integrable en$[0,1]$ y

$$\int_{0}^{1} f=0.$$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Dejar$f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ ser definido por$f(x)=x$ y, para$n \in \mathbb{Z}^{+},$ dejar$P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}$ ser la partición de$[0,1]$ con

$$x_{i}=\frac{i}{n}, i=0,1, \ldots, n.$$

Demostrar que

$$U(f, P)-L(f, P)=\frac{1}{n},$$

y de ahí concluir que$f$ es integrable en$[0,1] .$ Mostrar que

$$\int_{0}^{1} f=\frac{1}{2}.$$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Definir$f:[1,2] \rightarrow \mathbb{R}$ por

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x,} & {\text { if } x \in \mathbb{Q},} \\ {0,} & {\text { if } x \notin \mathbb{Q}.}\end{array}\right.$$

Demostrar que no$f$ es integrable en$[1,2]$.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Supongamos que$f$ es integrable en$[a, b],$ y, para algún número real$m$ y$M, m \leq f(x) \leq M$ para todos$x \in[a, b] .$ Mostrar eso

$$m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M(b-a).$$

7.2.1 Notación y Terminología

La definición de la integral descrita en esta sección se debe a Darboux. Se puede demostrar que es equivalente a la integral definida por Riemann. De ahí que las funciones que son integrables en el sentido de esta discusión son referidas como funciones integrables de Riemann y llamamos a la integral la integral de Riemann. Esto es en distinción a la integral de Lebesgue, parte de una teoría más general de la integración.

A veces nos referimos a esta integral como la integral definida, a diferencia de una integral indefinida, siendo esta última un nombre dado a una antiderivada (una función cuya derivada es igual a una función dada).

Si$f$ es integrable en$[a, b],$ entonces también denotaremos

$$\int_{a}^{b} f$$

por

$$\int_{a}^{b} f(x) d x.$$

La variable$x$ en esta última es una variable “ficticia”; también podemos escribir

$$\int_{a}^{b} f(t) d t$$

o

$$\int_{a}^{b} f(s) d s.$$

Por ejemplo, si$f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ se define por$f(x)=x^{2},$ entonces

$$\int_{0}^{1} f=\int_{0}^{1} x^{2} d x=\int_{0}^{1} t^{2} d t.$$