7.7: Una Integral Impropia

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Definición

Si es\(f\) integrable\([a, b]\) para todos\(b>a\) y

\[\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x\]

existe, entonces definimos

\[\int_{a}^{+\infty} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x.\]

Si\(f\) es integrable\([a, b]\) para todos\(a<b\) y

\[\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x\]

existe, entonces definimos

\[\int_{-\infty}^{b} f(x) d x=\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x.\]

Ambas integrales son ejemplos de integrales impropias.

Proposición\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\(f\) es continuo en\([a, \infty)\) y\(f(x) \geq 0\) para todos\(x \geq a .\) Si existe\(g:[a,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) para el cual

\[\int_{a}^{+\infty} g(x) d x\]

existe y\(g(x) \geq f(x)\) para todos\(x \geq a\), entonces

\[\int_{a}^{+\infty} f(x) d x\]

existe.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar la proposición anterior.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Supongamos

\[f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}\]

\[g(x)=\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {\text { if } 0 \leq x<1}, \\ {\frac{1}{x^{2}},} & {\text { if } x \geq 1}.\end{array}\right.\]

Entonces, para\(b>1\)

\[\int_{0}^{b} g(x) d x=\int_{0}^{1} d x+\int_{1}^{b} \frac{1}{x^{2}} d x=1+1-\frac{1}{b}=2-\frac{1}{b},\]

por lo

\[\int_{0}^{+\infty} g(x) d x=\lim _{b \rightarrow \infty}\left(2-\frac{1}{b}\right)=2.\]

Ya que\(0<f(x) \leq g(x)\) para todos\(x \geq 0\), se deduce que

\[\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x\]

existe, y, además,

\[\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x<2.\]

Además, la sustitución\(u=-x\) muestra que

\[\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1+x^{2}} d x=-\int_{+\infty}^{0} \frac{1}{1+u^{2}} d u=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+u^{2}} d u.\]