7.7: Una Integral Impropia

Definición

Si es$f$ integrable$[a, b]$ para todos$b>a$ y

$$\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x$$

existe, entonces definimos

$$\int_{a}^{+\infty} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x.$$

Si$f$ es integrable$[a, b]$ para todos$a<b$ y

$$\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x$$

existe, entonces definimos

$$\int_{-\infty}^{b} f(x) d x=\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x.$$

Ambas integrales son ejemplos de integrales impropias.

Proposición$\PageIndex{1}$

Supongamos que$f$ es continuo en$[a, \infty)$ y$f(x) \geq 0$ para todos$x \geq a .$ Si existe$g:[a,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ para el cual

$$\int_{a}^{+\infty} g(x) d x$$

existe y$g(x) \geq f(x)$ para todos$x \geq a$, entonces

$$\int_{a}^{+\infty} f(x) d x$$

existe.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Demostrar la proposición anterior.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Supongamos

$$f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$$

y

$$g(x)=\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {\text { if } 0 \leq x<1}, \\ {\frac{1}{x^{2}},} & {\text { if } x \geq 1}.\end{array}\right.$$

Entonces, para$b>1$

$$\int_{0}^{b} g(x) d x=\int_{0}^{1} d x+\int_{1}^{b} \frac{1}{x^{2}} d x=1+1-\frac{1}{b}=2-\frac{1}{b},$$

por lo

$$\int_{0}^{+\infty} g(x) d x=\lim _{b \rightarrow \infty}\left(2-\frac{1}{b}\right)=2.$$

Ya que$0<f(x) \leq g(x)$ para todos$x \geq 0$, se deduce que

$$\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x$$

existe, y, además,

$$\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x<2.$$

Además, la sustitución$u=-x$ muestra que

$$\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1+x^{2}} d x=-\int_{+\infty}^{0} \frac{1}{1+u^{2}} d u=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+u^{2}} d u.$$