7.6: Teorema de Taylor revisitado

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A continuación se presenta una versión del Teorema de Taylor con una forma alternativa del término restante.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

(Teorema de Taylor)

Supongamos\(f \in C^{(n+1)}(a, b), \alpha \in(a, b),\) y

\[P_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(\alpha)}{k !}(x-\alpha)^{k}.\]

Entonces, para cualquier\(x \in(a, b)\),

\[f(x)=P_{n}(x)+\int_{\alpha}^{x} \frac{f^{(n+1)}(t)}{n !}(x-t)^{n} d t.\]

Prueba

Por el Teorema Fundamental del Cálculo, tenemos

\[\int_{\alpha}^{x} f^{\prime}(t) d t=f(x)-f(\alpha),\]

lo que implica que

\[f(x)=f(\alpha)+\int_{\alpha}^{x} f^{\prime}(t) d t.\]

De ahí que el teorema se mantenga para\(n=0 .\) Supongamos que el resultado sostiene para\(n=k-1,\) eso es

\[f(x)=P_{k-1}(x)+\int_{\alpha}^{x} \frac{f^{(k)}(t)}{(k-1) !}(x-t)^{k-1} d t.\]

Let

\[F(t)=f^{(k)}(t),\]

\[g(t)=\frac{(x-t)^{k-1}}{(k-1) !},\]

\[G(t)=-\frac{(x-t)^{k}}{k !}.\]

Entonces

\[\begin{aligned} \int_{\alpha}^{x} \frac{f^{(k)}(t)}{(k-1) !}(x-t)^{k-1} d t &=\int_{\alpha}^{x} F(t) g(t) d t \\ &=F(x) G(x)-F(\alpha) G(\alpha)-\int_{\alpha}^{x} F^{\prime}(t) G(t) d t \\ &=\frac{f^{(k)}(\alpha)(x-\alpha)^{k}}{k !}+\int_{\alpha}^{x} \frac{f^{(k+1)}(t)}{k !}(x-t)^{k} d t, \end{aligned}\]

De ahí

\[f(x)=P_{k}(x)+\int_{\alpha}^{x} \frac{f^{(k+1)}(t)}{k !}(x-t)^{k} d t,\]

y así el teorema se sostiene para\(n=k\). \(\quad\)Q.E.D.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

(Forma Cauchy del resto)

Bajo las condiciones del Teorema de Taylor como acabamos de afirmar, demostrar que

\[\int_{\alpha}^{x} \frac{f^{(n+1)}(t)}{n !}(x-t)^{n} d t=\frac{f^{(n+1)}(\gamma)}{n !}(x-\gamma)^{n}(x-\alpha)\]

para algunos\(\gamma\) entre\(\alpha\) y\(x .\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

(Forma Lagrange del resto)

Bajo las condiciones del Teorema de Taylor como acabamos de afirmar, demostrar que

\[\int_{\alpha}^{x} \frac{f^{(n+1)}(t)}{n !}(x-t)^{n} d t=\frac{f^{(n+1)}(\gamma)}{(n+1) !}(x-\alpha)^{n+1}\]

para algunos\(\gamma\) entre\(\alpha\) y\(x .\) Tenga en cuenta que esta es la forma del resto en Teorema\(6.6 .1,\) aunque bajo supuestos ligeramente más restrictivos.