2.2: Discos abiertos, discos eliminados abiertos y regiones abiertas

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 109688

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Definición: Open Disk

El disco abierto de radio$r$ alrededor$z_0$ es el conjunto de puntos$z$ con$|z - z_0| < r$, es decir, todos los puntos dentro$r$ de la distancia de$z_0$.

El disco borrado abierto de radio$r$ alrededor$z_0$ es el conjunto de puntos$z$ con$0 < |z - z_0| < r$. Es decir, retiramos el$z_0$ centro del disco abierto. Un disco eliminado también se llama disco perforado.

$2020-09-02 6.33.58.png$
Izquierda: un disco abierto alrededor$z_0$; derecha: un disco abierto eliminado alrededor$z_0$

Definición: Región abierta

Una región abierta en el plano complejo es un conjunto$A$ con la propiedad en la que cada punto$A$ puede estar rodeado por un disco abierto que se encuentra completamente en$A$. A menudo dejaremos caer la palabra abierta y simplemente llamaremos a$A$ una región.

En la siguiente figura,$A$ el conjunto de la izquierda es una región abierta porque por cada punto en$A$ podemos dibujar un pequeño círculo alrededor del punto que está completamente adentro$A$. (La línea límite discontinua indica que el límite de$A$ no forma parte de$A$.) En contraste, el conjunto no$B$ es una región abierta. Observe que el punto que$z$ se muestra está en el límite, por lo que cada disco alrededor$z$ contiene puntos fuera$B$.

2.2.svg — Figura$\PageIndex{1}$: Izquierda: una región abierta$A$; derecha: no$B$ es una región abierta. (CC BY-NC; Ümit Kaya)