2.3: Límites y funciones continuas

Definición: Limit

Si\(f(z)\) se define en un disco perforado alrededor\(z_0\) entonces decimos

\[\lim_{z \to z_0} f(z) = w_0\]

si\(f(z)\) va a\(w_0\) no importa en qué dirección\(z\) se acerque\(z_0\).

La siguiente figura muestra varias secuencias de puntos que se acercan\(z_0\). Si\(\lim_{z \to z_0} f(z) = w_0\) entonces\(f(z)\) hay que ir a\(w_0\) lo largo de cada una de estas secuencias.

Figura\(\PageIndex{1}\): Las secuencias que van a\(z_0\) se mapean a las secuencias que van a\(w_0\). (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Muchas funciones tienen límites obvios. Por ejemplo:

\[\lim_{z \to 2} z^2 = 4 \nonumber\]

y

\[\lim_{z \to 2} \dfrac{z^2 + 2}{z^3 + 1} = 6/9. \nonumber\]

Aquí hay un ejemplo donde el límite no existe porque diferentes secuencias dan diferentes límites.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): No limit

Demostrar que

\[\lim_{z \to 0} \dfrac{z}{\overline{z}} = \lim_{z \to 0} \dfrac{x + iy}{x - iy} \nonumber\]

no existe.

Solución

En el eje real tenemos

\[\dfrac{z}{\overline{z}} = \dfrac{x}{x} = 1, \nonumber\]

por lo que el límite\(z \to 0\) a lo largo del eje real es 1. Por el contrario, en el eje imaginario tenemos

\[\dfrac{z}{\overline{z}} = \dfrac{iy}{-iy} = -1, \nonumber\]

por lo que el límite\(z \to 0\) a lo largo del eje imaginario es -1. Ya que los dos límites no coinciden el límite como\(z \to 0\) no existe!

Propiedades de límites

Tenemos las propiedades habituales de límites. Supongamos

\[\lim_{z \to z_0} f(z) = w_1 \text{ and } \lim_{z \to z_0} g(z) = w_2\]

entonces

• \(\lim_{z \to z_0} f(z) + g(z) = w_1 + w_2\)
• \(\lim_{z \to z_0} f(z) g(z) = w_1 \cdot w_2\).
• Si\(w_2 \ne 0\) entonces\(\lim_{z \to z_0} f(z)/g(z) = w_1 /w_2\)
• Si\(h(z)\) es continuo y definido sobre un barrio de\(w_1\) entonces\(\lim_{z \to z_0} h(f(z)) = h(w_1)\) (Nota: daremos la definición oficial de continuidad en la siguiente sección.)

No vamos a dar una prueba de estas propiedades. Como reto, se puede tratar de suministrarlo utilizando la definición formal de límites que se da en el apéndice.

Podemos reafirmar la definición de límite en términos de funciones de\((x, y)\). Para ello, escribamos

\[f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv (x, y)\]

y abreviar

\[P = (x, y), P_0 = (x_0, y_0), w_0 = u_0 + iv_0.\]

Entonces

\[\lim_{z \to z_0} f(z) = w_0 \text{ iff } \begin{cases} \lim_{P \to P_0} u(x, y) = u_0 \\ \lim_{P \to P_0} v(x, y) = v_0 \end{cases}\]

Nota. El término 'iff' significa 'si y sólo si' que es otra forma de decir 'es equivalente'.

Funciones continuas

Una función es continua si no tiene saltos repentinos. Esta es la base de la siguiente definición.

Definición: Función continua

Si la función\(f(z)\) se define en un disco abierto alrededor\(z_0\) y\(\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)\) luego decimos que\(f\) es continua en\(z_0\). Si\(f\) se define en una región abierta\(A\) entonces la frase '\(f\)es continua en\(A\)' significa que\(f\) es continua en cada punto en\(A\).

Como es habitual, podemos reformularlo en términos de funciones de\((x, y)\):

Hecho. \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\)es continuo iff\(u(x, y)\) y\(v(x, y)\) son continuos como funciones de dos variables.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Some Continuous Functions

i) Un polinomio

\[P(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + ... + a_n z^n \nonumber\]

es continuo en todo el plano. Motivo: es evidente que cada poder\((x + iy)^k\) es continuo en función de\((x, y)\).

(ii) La función exponencial es continua en todo el plano. Motivo:

\[e^z = e^{x + iy} = e^x \cos (y) + ie^x \sin (y). \nonumber\]

Así que tanto la parte real como la imaginaria son claramente continuas en función de (\(x, y\)).

(iii) La rama principal\(\text{Arg} (z)\) es continua en el plano menos el eje real no positivo. Motivo: esto es claro y es la razón por la que definimos cortes de sucursal para arg. Tenemos que quitar el eje real negativo porque\(\text{Arg} (z)\) salta\(2 \pi\) cuando lo cruzas. También tenemos que eliminar\(z = 0\) porque ni siquiera\(\text{Arg} (z)\) se define en 0.

(iv) La rama principal de la función\(\text{log} (z)\) es continua en el plano menos el eje real no positivo. Motivo: la rama principal de registro tiene

\[\text{log} (z) = \text{log} (r) + i \text{Arg} (z). \nonumber\]

Entonces la continuidad de\(\text{log} (z)\) sigue de la continuidad de\(\text{Arg} (z)\).

Propiedades de las funciones continuas

Dado que la continuidad se define en términos de límites, tenemos las siguientes propiedades de funciones continuas.

Supongamos\(f(z)\) y\(g(z)\) son continuos en una región\(A\). Entonces

• \(f(z) + g(z)\)es continuo en\(A\).
• \(f(z) g(z)\)es continuo en\(A\).
• \(f(z) / g(z)\)es continuo en\(A\) excepto (posiblemente) en puntos donde\(g(z) = 0\).
• Si\(h\) es continuo encendido\(f(A)\) entonces\(h(f(z))\) es continuo encendido\(A\).

Usando estas propiedades podemos reclamar continuidad para cada una de las siguientes funciones:

• \(e^{z^2}\)
• \(\cos (z) = (e^{iz} + e^{-iz})/2\)
• Si\(P(z)\) y\(Q(z)\) son polinomios entonces\(P(z)/Q(z)\) es continuo excepto en las raíces de\(Q(z)\).