4.2: Integrales de Línea Compleja
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\[\int_{\gamma} f(z)\ dz := \int_{a}^{b} f(\gamma (t)) \gamma ' (t)\ dt. \label{4.2.1}\]
Debe tener en cuenta que esta notación se ve igual que integrales de una variable real. No necesitamos los vectores y los productos de punto de integrales de línea en\(R^2\). Además, asegúrate de entender que el producto\(f(\gamma (t)) \gamma '(t)\) es solo un producto de números complejos.
Una notación alternativa utiliza\(dz = dx + idy\) para escribir
\[\int_{\gamma} f(z)\ dz = \int_{\gamma} (u + iv) (dx + idy) \label{4.2.2}\]
Comproquemos que las Ecuaciones\ ref {4.2.1} y\ ref {4.2.2} son las mismas. Ecuación\ ref {4.2.2} es realmente una expresión de cálculo multivariable, por lo que pensar en\(\gamma (t)\)\((x(t), y(t))\) lo que se convierte
\[\int_{\gamma} f(z) \ dz = \int_a^b [u(x(t), y(t)) + iv (x(t), y(t)] (x'(t) + iy'(t))dt\]
pero
\[u(x(t), y(t)) + iv (x(t), y(t)) = f(\gamma (t))\]
y
\[x'(t) + iy'(t) = \gamma '(t)\]
así que el lado derecho de la Ecuación\ ref {4.2.2} es
\[\int_{a}^{b} f(\gamma (t)) \gamma '(t)\ dt.\]
Es decir, es exactamente lo mismo que la expresión en Ecuación\ ref {4.2.1}
Calcular\(\int_{\gamma} z^2 \ dz\) a lo largo de la línea recta de 0 a\(1 + i\).
Solución
Parametrizamos la curva como\(\gamma (t) = t(1 + i)\) con\(0 \le t \le 1\). Entonces\(\gamma '(t) = 1 + i\). La línea integral es
\[\int z^2 \ dz = \int_{0}^{1} t^2 (1 + i)^2 (1 + i)\ dt = \dfrac{2i(1 + i)}{3}. \nonumber\]
Calcular\(\int_{\gamma} \overline{z} \ dz\) a lo largo de la línea recta de 0 a\(1 + i\).
Solución
Podemos usar la misma parametrización que en el ejemplo anterior. Entonces,
\[\int_{\gamma} \overline{z} \ dz = \int_{0}^{1} t(1 - i) (1 + i)\ dt = 1. \nonumber\]
Calcular\(\int_{\gamma} z^2\ dz\) a lo largo del círculo unitario.
Solución
Parametrizamos el círculo unitario por\(\gamma (\theta) = e^{i \theta}\), donde\(0 \le \theta \le 2\pi\). Nosotros tenemos\(\gamma '(\theta) = ie^{i\theta}\). Entonces, la integral se convierte
\[\int_{\gamma} z^2 \ dz = \int_{0}^{2\pi} e^{2i \theta} i e^{i \theta} \ d \theta = \int_{0}^{2\pi} ie^{3i\theta}\ d \theta = \dfrac{e^{3i\theta}}{3} \vert_{0}^{2\pi} = 0. \nonumber\]
Calcular\(\int \overline{z}\ dz\) a lo largo del círculo unitario.
Solución
Parametrizar\(C\):\(\gamma (t) = e^{it}\), con\(0 \le t \le 2\pi\). Entonces,\(\gamma '(t) = ie^{it}\). Poniendo esto en la integral da
\[\int_{C} \overline{z}\ dz = \int_{0}^{2\pi} \overline{e^{it}} i e^{it} \ dt = \int_{0}^{2\pi} i \ dt = 2\pi i.\nonumber\]