4.3: Teorema Fundamental para Integrales Complejas de Línea

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Esto es exactamente análogo al teorema fundamental del cálculo.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Fundamental Theorem of Complex Line Integrals

Si\(f(z)\) es una función analítica compleja en una región abierta\(A\) y\(\gamma\) es una curva en\(A\) de\(z_0\) a\(z_1\) entonces

\[\int_{\gamma} f'(z) \ dz = f(z_1) - f(z_0). \nonumber\]

Prueba

Esta es una aplicación de la regla de la cadena. Tenemos

\[\dfrac{df(\gamma (t))}{dt} = f'(\gamma (t)) \gamma '(t). \nonumber\]

Entonces

\[\int_{\gamma} f'(z) \ dz = \int_{a}^{b} f'(\gamma (t)) \gamma '(t)\ dt = \int_{a}^{b} \dfrac{df(\gamma (t))}{dt} \ dt = f(\gamma (t)) \vert_{a}^{b} = f(z_1) - f(z_0) \nonumber\]

Otra forma equivalente de afirmar el teorema fundamental es: si\(f\) tiene un antiderivado\(F\), i.e\(F' = f\).

\[\int_{\gamma} f(z)\ dz = F(z_1) - F(z_0). \nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Rehacer\(\int_{\gamma} z^2\ dz\), con\(\gamma\) la línea recta de 0 a\(1 + i\).

Solución

Podemos verificar por inspección que\(z^2\) tenga un antiderivado\(F(z) = z^3/3\). Por lo tanto, el teorema fundamental implica

\[\int_{\gamma} z^2\ dz = \left. \dfrac{z^3}{3} \right\vert_{0}^{1 + i} = \dfrac{(1 + i)^3}{3} = \dfrac{2i(1 + i)}{3}. \nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Rehacer\(\int_{\gamma} z^2 \ dz\), con\(\gamma\) el círculo unitario.

Solución

Nuevamente, dado que\(z^2\) tenía antiderivado\(z^3/3\) podemos evaluar la integral tapando los puntos finales de\(\gamma\) en el\(z^3/3\). Como los puntos finales son los mismos la diferencia resultante será 0!