4.7: Extensiones del teorema de Cauchy
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El teorema de Cauchy requiere que la función\(f(z)\) sea analítica en una región simplemente conectada. En los casos en que no lo es, podemos extenderlo de manera útil.
Supongamos que\(R\) es la región entre las dos curvas cerradas simples\(C_1\) y\(C_2\). Tenga en cuenta que ambos\(C_1\) y\(C_2\) están orientados en sentido contrario a las agujas del reloj.
Si\(f(z)\) es analítico\(R\) entonces
\[\int_{C_1 - C_2} f(z)\ dz = 0.\]
- Prueba
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La prueba se basa en la siguiente figura. Nosotros 'cortamos' ambos\(C_1\)\(C_2\) y los conectamos por dos copias de\(C_3\), una en cada dirección. (En la figura hemos dibujado las dos copias de\(C_3\) como curvas separadas, en realidad son la misma curva atravesada en direcciones opuestas).
Al\(C_3\) actuar como un corte, la región encerrada\(C_1 + C_3 - C_2 - C_3\) está simplemente conectada, por lo que se aplica el Teorema 4.6.1 de Cauchy. Obtenemos
\[\int_{C_1 + C_3 - C_2 - C_3} f(z) \ dz = 0\]
Las contribuciones de\(C_3\) y\(-C_3\) cancelar, lo que deja\(\int_{C_1 - C_2} f(z)\ dz = 0.\) QED
Esto implica claramente\(\int_{C_1} f(z)\ dz = \int_{C_2} f(z) \ dz\).
Vamos\(f(z) = 1/z\). \(f(z)\)se define y es analítico en el plano perforado. ¿Qué valores pueden\(\int_C f(z)\ dz\) tomar para\(C\) una curva cerrada simple (orientada positivamente) en el plano?
Solución
Tenemos dos casos (i)\(C_1\) no alrededor de 0, y (ii)\(C_2\) alrededor de 0
Caso (i): El teorema de Cauchy se aplica directamente porque el interior no contiene el punto problemático en el origen. Por lo tanto,
\[\int_{C_1} f(z)\ dz = 0.\]
Caso (ii): demostraremos que
\[\int_{C_2} f(z)\ dz = 2\pi i.\]
Dejar\(C_3\) ser un pequeño círculo de radio\(a\) centrado en 0 y completamente dentro\(C_2\).
Por el teorema extendido de Cauchy tenemos
\[\int_{C_2} f(z)\ dz = \int_{C_3} f(z)\ dz = \int_{0}^{2\pi} i \ dt = 2\pi i.\]
Aquí, la integral lline para\(C_3\) se computó directamente utilizando la parametrización habitual de un círculo.
Respuesta a la pregunta
Los únicos valores posibles son 0 y\(2 \pi i\).
Podemos extender esta respuesta de la siguiente manera:
Si no\(C\) es simple, entonces los posibles valores de
\[\int_C f(z)\ dz \nonumber\]
son\(2\pi n i\), donde\(n\) está el número de veces que\(C\) va (en sentido contrario a las agujas del reloj) alrededor del origen 0.
\(n\)se llama el número de bobinado de\(C\) alrededor de 0. \(n\)también es igual al número de veces que\(C\) cruza el\(x\) eje positivo, contando\(\pm 1\) para cruzar desde abajo y -1 para cruzar desde arriba.
Una extensión adicional: usando el mismo truco de cortar la región por curvas para hacerla simplemente conectada podemos mostrar que si\(f\) es analítico en la región que\(R\) se muestra a continuación entonces
\[\int_{C_1 - C_2 - C_3 - C_4} f(z)\ dz = 0. \nonumber\]
Es decir,\(C_1 - C_2 - C_3 - C_4\) es el límite de la región\(R\).
Orientación
Es importante que la orientación de las curvas sea correcta. Una forma de hacerlo es asegurarse de que la región\(R\) esté siempre a la izquierda a medida que recorre la curva. En el ejemplo anterior. La región está a la derecha a medida que recorre\(C_2, C_3\) o\(C_4\) en la dirección indicada. Es por ello que ponemos un signo menos en cada uno al describir el límite.