5.1: Integral de Cauchy para Funciones

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Teorema\(\PageIndex{1}\): Cauchy's Integral Formula

Supongamos que\(C\) es una curva cerrada simple y la función\(f(z)\) es analítica sobre una región que contiene\(C\) y su interior (Figura\(\PageIndex{1}\)). Asumimos que\(C\) está orientado en sentido antihorario.

001 - (5.2.1-Fórmula integral de Cauchys) .svg — Figura\(\PageIndex{1}\): Fórmula integral de Cauchy: curva cerrada simple\(C\),\(f(z)\) analítica por dentro y por dentro\(C\). (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Entonces para cualquier\(z_0\) interior\(C\):

\[f(z_0) = \dfrac{1}{2\pi i} \int_C \dfrac{f(z)}{z - z_0} \ dz\]

Esto es notable: dice que conocer los valores de\(f\) en la curva límite\(C\) significa que sabemos todo sobre\(f\) el interior\(C\)!! Esto es probablemente diferente a todo lo que hayas encontrado con funciones de variables reales.

A un lado 1. Con un ligero cambio de notación (\(z\)se convierte\(w\) y\(z_0\) se convierte\(z\)) a menudo escribimos la fórmula como

\[f(z) = \dfrac{1}{2 \pi i} \int_C \dfrac{f(w)}{w - z} \ dw\]

A un lado 2. No estamos siendo del todo justos con funciones de variables reales. Veremos que para\(f = u + iv\) las partes reales e imaginarias\(u\) y\(v\) tienen muchas propiedades notables similares. \(u\)y\(v\) se llaman funciones armónicas conjugadas.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Compute\(\int_c \dfrac{e^{z^2}}{z - 2} \ dz\), donde\(C\) está la curva que se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\).

002 - (Ejemplo - 5.2.1) .svg — Figura\(\PageIndex{2}\): Curva en Ejemplo. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Solución

Vamos\(f(z) = e^{z^2}\). \(f(z)\)es entero. Dado que\(C\) es una simple curva cerrada (en sentido contrario a las agujas del reloj) y\(z = 2\) está dentro\(C\), la fórmula integral de Cauchy dice que la integral es\(2 \pi i f(2) = 2\pi i e^4\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Haga la misma integral que el ejemplo anterior con\(C\) la curva mostrada en la Figura\(\PageIndex{3}\).

003 - (Ejemplo - 5.2.2) .svg — Figura\(\PageIndex{3}\): Curva utilizada en Ejemplo. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Solución

Dado que\(f(z) = e^{z^2} / (z - 2)\) es analítico por dentro y por dentro\(C\), el teorema de Cauchy dice que la integral es 0.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Haga la misma integral que los ejemplos anteriores con\(C\) la curva mostrada.

004 - (Ejemplo - 5.2.3) .svg — Figura\(\PageIndex{4}\): Curva por Ejemplo. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Solución

Este es más difícil. Vamos\(f(z) = e^{z^2}\). La curva\(C\) va alrededor de 2 dos veces en la\(clockwise\) dirección, por lo que nos\(C\) separamos\(C_1 + C_2\) como se muestra en la siguiente figura.

Ambas son curvas cerradas simples, por lo que podemos aplicar la fórmula integral de Cauchy a cada una por separado. (Los signos negativos son porque van en el sentido de las agujas del reloj)\(z = 2\).

\[\int_C \dfrac{f(z)}{z - 2} \ dz = \int_{C_1} \dfrac{f(z)}{z - 2} \ dz + \int_{C_2} \dfrac{f(z)}{z - 2} \ dz = -2\pi i f(2) - 2\pi i f(2) = -4\pi i f(2).\]