7.3: Supuestos físicos y consecuencias matemáticas

Esta es una sección verdosa, por lo que comenzaremos enumerando las propiedades matemáticas que seguirán de nuestras suposiciones sobre el campo de velocidad\(F = u + iv\).

1. \(F = F(x, y)\)es una función de\(x, y\), pero no el tiempo\(t\) (estacionario).
2. \(\text{div } F = 0\)(libre de divergencia).
3. \(\text{curl } F = 0\)(sin rizo).

Supuestos físicos

Haremos algunos supuestos físicos estándar. Estos no se aplican a todos los flujos, pero sí se aplican a un buen número de ellos y son un buen punto de partida para entender el flujo de fluidos de manera más general. Más importante para 18.04, estos son los flujos que son fácilmente susceptibles a análisis complejos.

Aquí están los supuestos sobre el flujo, los discutiremos más a continuación:

1. El flujo es estacionario.
2. El flujo es incompresible.
3. El flujo es irrotacional.

Ya hemos discutido la estacionariedad anteriormente, así que ahora hablemos de las otras dos propiedades.

Incompresibilidad

Asumiremos a lo largo de que el fluido es incompresible. Esto significa que la densidad del fluido es constante a través del dominio. Matemáticamente esto dice que el campo de velocidad\(F\) debe estar libre de divergencia, es decir, para\(F = (u, v)\):

\[\text{div } F \equiv \nabla \cdot F = u_x + v_y = 0.\]

Para entender esto, recordemos que la divergencia mide el flujo infinitesimal del campo. Si el flujo no es cero en un punto\((x_0, y_0)\) entonces cerca de ese punto el campo parece

Figura\(\PageIndex{1}\): Izquierda: Campo divergente:\(\text{div} F > 0\), derecha: Campo convergente:\(\text{div} F < 0\). (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Si el campo es divergente o convergente entonces la densidad debe estar cambiando! Es decir, el flujo no es incompresible.

Como flujo de fluido, la imagen de la izquierda representa una fuente y la derecha representa un sumidero. En electrostática donde\(F\) expresa el campo eléctrico, la imagen de la izquierda es el campo de una densidad de carga positiva y la derecha es la de una densidad de carga negativa.

Si prefieres una explicación no infinitesimal, podemos recordar el teorema de Green en forma de flujo. Dice que para una simple curva cerrada\(C\) y un campo\(F = (u, v)\), diferenciables por dentro y por dentro\(C\), el flujo de\(F\) paso\(C\) satisface

\[\text{Flux of } F \text{ across } C = \int_C F \cdot n\ ds = \int \int_R \text{div } F\ dx \ dy,\]

donde\(R\) está la región en su interior\(C\). Ahora, supongamos que\(\text{div } F (x_0, y_0) > 0\), entonces\(\text{div } F(x, y) > 0\) para todos\((x, y)\) cerca de\((x_0, y_0)\). Entonces, elige una pequeña curva\(C\) alrededor de\((x_0, y_0)\) tal manera que\(\text{div } F > 0\) por dentro y por dentro\(C\). Por el teorema de Green

\[\text{Flux of } F \text{ through } C = \int \int_R \text{div } F \ dx \ dy > 0.\]

Claramente, si hay un flujo neto fuera de la región la densidad disminuye y el flujo no es incompresible. El mismo argumento sostendría si\(\text{div } F(x_0, y_0) < 0\). Se concluye que incompresible equivale a libre de divergencia.

Flujo Irrotacional

Supondremos que el fluido es irrotacional. Esto quiere decir que el no hay vórtices infinitesimales en\(A\). Matemáticamente esto dice que el campo de velocidad\(F\) debe estar libre de rizos, es decir, para\(F = (u, v)\):

\[\text{curl } F \equiv \nabla \times F = v_x - u_y = 0.\]

Para entender esto, recordemos que el rizo mide la rotación infinitesimal del campo. Físicamente esto significa que una pequeña paleta colocada en el flujo no girará a medida que se mueve con el flujo.

Ejemplos

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Eddies

¡El remolino es irrotacional! El remolino del Ejemplo 7.3.2 es irrotacional. El vórtice en el origen no está adentro\(A = C - \{0\}\) y puedes verificarlo fácilmente en\(\text{curl }F = 0\) todas partes\(A\). Esto no es físicamente imposible: si colocas una pequeña rueda de paletas en el flujo, ¡viajaría por el origen sin girar!

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Shearing Flows

Los flujos de cizallamiento son rotacionales. Aquí hay un ejemplo de un campo vectorial que tiene rotación, aunque no necesariamente arremolinándose.

Figura\(\PageIndex{1}\): Flujo de cizallamiento. caja gira porque la corriente es más rápida en la parte superior. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

El campo\(F = (ay, 0)\) es horizontal, pero\(\text{curl } F = -a \ne 0\). Debido a que la parte superior se mueve más rápido que la parte inferior girará una parcela cuadrada de fluido. ¡El signo menos te dice que el paquete girará en sentido horario! Esto se llama flujo de cizallamiento. El agua en un nivel será esquilada del nivel por encima de ella.

Resumen

(A) Estacionario:\(F\) depende\(x, y\), pero no\(t\), es decir,

\[F(x, y) = (u(x, y), v(x, y)). \nonumber\]

(B) Incompresible: libre de divergencia:

\[\text{div } F = u_x + v_y = 0, \text{ i.e. } u_x = -v_y. \nonumber\]

(C) Irrotacional: libre de rizo:

\[\text{curl } F = v_x - u_y = 0, \text{ i.e., } u_y = v_x. \nonumber\]

Para referencia futura ponemos las dos últimas igualdades en una ecuación numerada:

\[u_x = -v_y \text{ and } u_y = v_x \nonumber\]

¡Estas se parecen casi a las ecuaciones de Cauchy-Riemann (con diferencias de signos)!