7: Hidrodinámica bidimensional y potenciales complejos
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La ecuación de Laplace y las funciones armónicas aparecen en muchos modelos físicos. Como acabamos de ver, las funciones armónicas en dos dimensiones están estrechamente vinculadas con funciones analíticas complejas. En esta sección explotaremos esta conexión para observar la hidrodinámica bidimensional, es decir, el flujo de fluidos. Dado que los campos eléctricos estáticos y las distribuciones de temperatura en estado estacionario también son armónicas, las ideas e imágenes que utilizamos pueden reutilizarse para cubrir estos temas también.
- 7.1: Campos de velocidad
- Un campo de velocidad es una función vectorial que denota la velocidad en función de las coordenadas espaciales y temporales.
- 7.2: Flujos estacionarios
- Si el campo de velocidad es invariable en el tiempo llamamos al flujo un flujo estacionario. En este caso, podemos dejar caer t como argumento.
- 7.3: Supuestos físicos y consecuencias matemáticas
- Haremos algunos supuestos físicos estándar. Estos no se aplican a todos los flujos, pero sí se aplican a un buen número de ellos y son un buen punto de partida para entender el flujo de fluidos de manera más general. Más importante aún, estos son los flujos que son fácilmente susceptibles a análisis complejos. Aquí están los supuestos sobre el flujo, los discutiremos más adelante: (1) El flujo es estacionario, (2) El flujo es incompresible, y (3) El flujo es irrotacional.
- 7.4: Potenciales complejos
- Comenzaremos viendo que cada función analítica compleja conduce a un flujo irrotacional e incompresible. Entonces iremos hacia atrás y veremos que todos esos flujos conducen a una función analítica. Aprenderemos a llamar a la función analítica el complejo potencial del flujo.
- 7.5: Funciones de flujo
- En todo lo que hicimos por encima de la pobre vieja ψ acaba de etiquetarse como el conjugado armónico de la función potencial 9. Volvamos nuestra atención a ella y veamos por qué se llama la función stream.