7.4: Potenciales complejos

Hay diferentes formas de hacer esto. Comenzaremos viendo que cada función analítica compleja conduce a un flujo irrotacional e incompresible. Entonces iremos hacia atrás y veremos que todos esos flujos conducen a una función analítica. Aprenderemos a llamar a la función analítica el complejo potencial del flujo.

Molesto, vamos a tener que cambiar de notación. Porque\(u\) y ya\(v\) están tomados por el campo vectorial\(F\), llamaremos a nuestro complejo potencial

\[\Phi = \phi + i \psi.\]

Las funciones analíticas nos dan flujos irrotacionales incompresibles

Dejar\(\Phi (z)\) ser una función analítica en una región\(A\). Para\(z = x + iy\) escribimos

\[\Phi (z) = \phi (x, y) + i\psi (x, y).\]

A partir de esto podemos definir un campo vectorial

\[F = \nabla \phi = (\phi _x, \phi _y) =: (u, v),\]

aquí nos referimos a eso\(u\) y\(v\) se definen por\(\phi_x\) y\(\phi_y\).

A partir de nuestro trabajo sobre funciones analíticas y armónicas podemos hacer una lista de propiedades de estas funciones.

1. \(\phi\)y ambos\(\psi\) son armónicos.
2. Las curvas de nivel de\(\phi\) y\(\psi\) son ortogonales.
3. \(\Phi ' = \phi_x - i \phi_y.\)
4. \(F\)está libre de divergencia y rizo (prueba justo debajo). Es decir, la función analítica nos\(\Phi\) ha dado un campo vectorial incompresible e irrotacional\(F\).

Es terminología estándar llamar a\(\phi\) una función potencial para el campo vectorial\(F\). También llamaremos a\(\Phi\) una función potencial compleja para\(F\). La función se\(\psi\) llamará la función stream de\(F\) (el nombre se explicará pronto). La función\(\Phi '\) se llamará la velocidad compleja.

\(Proof\). (\(F\)está libre de rizo y divergencia.) Esta es una consecuencia fácil de la definición. ENCONTRAMOS

\(\text{curl } F = v_x - u_y = \phi_{yx} - \phi_{xy} = 0\)

\(\text{div } F = u_x + v_y = \phi_{xx} + \phi_{yy} = 0\)(ya que\(\phi\) es armónico).

Pospondremos los ejemplos hasta después de derivar el complejo potencial del flujo.

Los flujos irrotacionales incompresibles siempre tienen funciones potenciales complejas

Por razones técnicas necesitamos agregar la suposición de que simplemente\(A\) está conectada. Esto no suele ser un problema porque a menudo trabajamos localmente en un disco alrededor de un punto\((x_0, y_0)\).

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\(F = (u, v)\) es un campo irrotacional incompresible en una región simplemente conectada\(A\). Luego hay una función analítica\(\Phi\) que es una función potencial compleja para\(F\).

Prueba

Hemos hecho todo el trabajo pesado para esto en temas anteriores. La clave es usar la propiedad\(\Phi ' = u - iv\) para adivinar\(\Phi '\). Trabajando cuidadosamente definimos

\[g(z) = u - iv\]

Paso 1: Demostrar que\(g\) es analítico. Manteniendo las señales rectas, las ecuaciones de Cauchy Riemann son

\[u_x = (-v)_y \text{ and } u_y = -(-v)_x = v_x.\]

Pero, estas son exactamente las ecuaciones en la Ecuación 7.4.8. Así\(g(z)\) es analítico.

Paso 2: Ya que\(A\) está simplemente conectado, el teorema de Cauchy dice que\(g(z)\) tiene un antiderivado encendido\(A\). Nosotros llamamos el antiderivado\(\Phi (z)\).

Paso 3: Demostrar que\(\Phi (z)\) es una función potencial compleja para\(F\). Esto significa que tenemos que demostrar que si escribimos\(\Phi = \phi + i\psi\), entonces\(F = \nabla \phi\). Para ello simplemente desenrollamos las definiciones.

\[\begin{array} {lcr} {\Phi ' = \phi_x - i\phi_y} &\ \ \ \ & {\text{(standard formula for } \Phi ')} \\ {\Phi ' = g = u - iv} &\ \ \ \ & {(\text{definition of } \Phi \text{ and } g)} \end{array}\]

Comparando estas ecuaciones obtenemos

\[\phi_x = u,\ \ \ \ \phi_y = v.\]

Pero esto dice precisamente eso\(\nabla \phi = F\). QED

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Source Fields

El campo vectorial

\[F = a \left(\dfrac{x}{r^2}, \dfrac{y}{r^2} \right) \nonumber\]

modela una fuente que empuja el agua o el campo eléctrico 2D de una carga positiva en el origen. (Si prefiere un modelo 3D, es el campo de un cable infinito con densidad de carga uniforme a lo largo del\(z\) eje).

Demuestre que\(F\) está libre de rizos y libre de divergencias y encuentra su complejo potencial.

Figura\(\PageIndex{1}\): Campo de velocidad de un campo fuente. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Podríamos calcular directamente que esto está libre de rizos y libre de divergencias lejos de 0. Un método alternativo es buscar un potencial complejo\(\Phi\). Si podemos encontrar uno entonces este espectáculo\(F\) es libre de rizo y divergencia y encontrar\(\phi\) y\(\psi\) todo a la vez. Si no hay tal\(\Phi\) entonces sabremos que no\(F\) está libre tanto de rizo como de divergencia.

Un método estándar es usar la fórmula para\(\Phi '\):

\[\Phi ' = u - iv = a \dfrac{(x - iy)}{r^2} = a \dfrac{\overline{z}}{(\overline{z} z)} = \dfrac{a}{z}.\]

Esto es analítico y tenemos

\[\Phi (z) = a \log (z).\]