8.5: Singularidades

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Definición: Función Singular

Una función\(f(z)\) es singular en un punto\(z_0\) si no es analítico en\(z_0\)

Definición: Singularidad Aislada

Para una función\(f(z)\), la singularidad\(z_0\) es una singularidad aislada si\(f\) es analítica en el disco eliminado\(0 < |z - z_0| < r\) para algunos\(r > 0\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

\(f(z) = \dfrac{}{}\)tiene singularidades aisladas en\(z = 0\),\(\pm i\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

\(f(z) = e^{1/z}\)tiene una singularidad aislada en\(z = 0\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

\(f(z) = \log (z)\)tiene una singularidad en\(z = 0\), pero no está aislada porque se necesita un corte de rama\(z = 0\), a partir de, para tener una región donde\(f\) sea analítica.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

\(f(z) = \dfrac{1}{\sin (\pi /z)}\)tiene singularidades en\(z = 0\) y\(z = 1/n\) para\(n = \pm, \pm 2, ...\) Las singularidades en\(\pm 1 /n\) están aisladas, pero la en no\(z = 0\) está aislada.

002 - (8.5.4) .svg — Figura\(\PageIndex{1}\): Cada barrio de 0 contiene ceros en\(1/n\) general\(n\). (CC BY-NC; Ümit Kaya)