8.4: Ejemplos de la serie Taylor

La singularidad de la serie Taylor junto con el hecho de que convergen en cualquier disco alrededor de\(z_0\) donde la función sea analítica nos permite utilizar muchos trucos computacionales para encontrar la serie y estar seguros de que converge.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Utilice la fórmula para los coeficientes en términos de derivados para dar la serie Taylor de\(f(z) = e^z\) alrededor\(z = 0\).

Solución

Ya que\(f'(z) = e^z\), tenemos\(f^{(n)} (0) = e^0 = 1\). Entonces,

\[e^z = 1 + z + \dfrac{z^2}{2!} + \dfrac{z^3}{3!} + \ ... = \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{z^n}{n!} \nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Expandir\(f(z) = z^8 e^{3z}\) en una serie de Taylor alrededor\(z = 0\).

Solución

Vamos\(w = 3z\). Entonces,

\[e^{3z} = e^w = \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{w^n}{n!} = \sum_{k = 0}^{\infty} \dfrac{3^n}{n!} z^n \nonumber\]

Por lo tanto,

\[f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{3^n}{n!} z^{n + 8}. \nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentra la serie Taylor de\(\sin (z)\) alrededor\(z = 0\) (A veces la serie Taylor alrededor de 0 se llama la serie Maclaurin.)

Solución

Damos dos métodos para hacer esto.

Método 1.

\[f^{(n)} (0) = \dfrac{d^n \sin (z)}{dz^n} = \begin{cases} (-1)^m & \text{ for } n = 2m + 1 = \text{ odd}, m = 0, 1, 2,\ ... \\ 0 & \text{ for } n \text{ even} \end{cases} \nonumber\]

Método 2. Usando

\[\sin (z) = \dfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}, \nonumber\]

tenemos

\[\begin{align*} \sin (z) &= \dfrac{1}{2i} \left[\sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{(iz)^n}{n!} - \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{(-iz)^n}{n!}\right] \\[4pt] &= \dfrac{1}{2i} \sum_{n = 0}^{\infty} [(1 - (-1)^n)] \dfrac{i^n z^n}{n!}\end{align*}\]

(Necesitamos convergencia absoluta para agregar series como esta.)

Conclusión:

\[\sin (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \dfrac{z^{2n + 1}}{(2n + 1)!},\nonumber\]

que converge para\(|z| < \infty\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Ampliar la función racional

\[f(z) = \dfrac{1 + 2z^2}{z^3 + z^5}\nonumber\]

alrededor\(z = 0\).

Solución

Tenga en cuenta que\(f\) tiene una singularidad en 0, por lo que no podemos esperar una expansión convergente de la serie Taylor. Apuntaremos a lo siguiente mejor usando el siguiente atajo.

\[f(z) = \dfrac{1}{z^3} \dfrac{2(1 + z^2) - 1}{1 + z^2} = \dfrac{1}{z^3} [ 2 - \dfrac{1}{1 + z^2}].\nonumber\]

Usando la serie geométrica tenemos

\[\dfrac{1}{1 + z^2} = \dfrac{1}{1 - (-z^2)} = \sum_{n = 0}^{\infty} (-z^2)^n = 1 - z^2 + z^4 - z^6 +...\nonumber\]

Poniéndolo todo junto

\[f(z) = \dfrac{1}{z^3} (2 - 1 + z^2 - z^4 + ...) = \left(\dfrac{1}{z^3} + \dfrac{1}{z}\right) - \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n z^{2n + 1}\nonumber\]

Nota: Los primeros términos se llaman la parte singular, es decir, aquellos con poderes negativos de\(z\). la suma se llama la parte regular o analítica. Dado que la serie geométrica para\(1/(1 + z^2)\) converge para\(|z| < 1\), toda la serie es válida en\(0 < |z| < 1\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Encuentra la serie Taylor para

\[f(z) = \dfrac{e^z}{1 - z}\nonumber\]

alrededor\(z = 0\). Dar el radio de convergencia.

Solución

Comenzamos por escribir la serie Taylor para cada uno de los factores y luego los multiplicamos.

\[\begin{array} {rcl} {f(z)} & = & {\left(1 + z + \dfrac{z^2}{2!} + \dfrac{z^3}{3!} + \ ...\right) (1 + z + z^2 + z^3 + \ ...)} \\ {} & = & {1 + (1 + 1) z + \left(1 + 1 + \dfrac{1}{2!}\right) z^2 + \left(1 + 1 + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!}\right) z^3 + \ ...} \end{array}\nonumber\]

El disco más grande alrededor de\(z = 0\) donde\(f\) es analítico es\(|z| < 1\). Por lo tanto, según el teorema de Taylor, el radio de convergencia es\(R = 1\).

\(f(z)\)es analítico\(|z| < 1\) y tiene una singularidad en\(z = 1\). (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Encuentra la serie Taylor para

\[f(z) = \dfrac{1}{1 - z}\nonumber\]

alrededor\(z = 5\). Dar el radio de convergencia.

Solución

Tenemos que manipular esto en forma de serie geométrica estándar.

\[f(z) = \dfrac{1}{-4(1 + (z - 5)/4)} = -\dfrac{1}{4} \left[1 - \left(\dfrac{z - 5}{4}\right) + \left(\dfrac{z - 5}{4}\right)^2 - \left(\dfrac{z - 5}{4}\right)^3 + \ ...\right]\nonumber\]

Ya que\(f(z)\) tiene una singularidad en\(z = 1\) el radio de convergencia es\(R = 4\). También podemos ver esto considerando las series geométricas. La relación de series geométricas es\((z - 5)/4\). Entonces la serie converge cuando\(|z - 5|/4 < 1\), es decir, cuándo\(|z - 5| < 4\), i.e\(R = 4\).

El disco de convergencia se detiene en la singularidad en\(z = 1\). (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Encuentra la serie Taylor para

\[f(z) = \log (1 + z)\nonumber\]

alrededor\(z = 0\). Dar el radio de convergencia.

Solución

Sabemos que\(f\) es analítico para\(|z| < 1\) y no analítico en\(z = -1\). Entonces, el radio de convergencia es\(R = 1\). Para encontrar la representación de la serie tomamos la derivada y utilizamos la serie geométrica.

\[f'(z) = \dfrac{1}{1 + z} = 1 - z + z^2 - z^3 + z^4 - \ ...\nonumber\]

Integrando término por término (permitido por el Teorema 8.3.1) tenemos

\[f(z) = a_0 + z - \dfrac{z^2}{2} + \dfrac{z^3}{3} - \dfrac{z^4}{4} + \ ... = a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n - 1} \dfrac{z^n}{n}\nonumber\]

Aquí\(a_0\) está la constante de integración. Lo encontramos evaluando en\(z = 0\).

\[f(0) = a_0 = \log (1) = 0.\nonumber\]

Disco de convergencia para\(\log (1 + z)\) alrededor\(z = 0\). (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

¿Puede la serie

\[\sum a_n (z - 2)^n\nonumber\]

convergen en\(z = 0\) y divergen en\(z = 3\).

Solución

¡No! Tenemos\(z_0 = 2\). Sabemos que la serie diverge en todas partes fuera de su radio de convergencia. Entonces, si la serie converge en\(z = 0\), entonces el radio de convergencia es al menos 2. Ya que también\(|3 - z_0| < 2\) tendríamos que\(z = 3\) está dentro del disco de convergencia.

Prueba del teorema de Taylor

Para mayor comodidad reafirmamos el Teorema de Taylor\(\PageIndex{1}\).

Teorema\(\PageIndex{1}\): Taylor’s Theorem (Taylor Series)

Supongamos que\(f(z)\) es una función analítica en una región\(A\). Vamos\(z_0 \in A\). Entonces,

\[f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n,\]

donde la serie converge en cualquier disco\(|z - z_0| < r\) contenido en\(A\). Además, tenemos fórmulas para los coeficientes

\[a_n = \dfrac{f^{(n)} (z_0)}{n!} = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \dfrac{f(z)}{(z - z_0)^{n + 1}} \ dz\]

Prueba

Con el fin de manejar los problemas de convergencia solucionamos\(0 < r_1 < r_2 < r\). Dejamos\(\gamma\) ser el círculo\(|w - z_0| = r_2\) (contraclockise atravesado).

Disco de convergencia se extiende hasta el límite de\(A\) con\(r_1 < r_2 < r\), pero\(r_1\) y\(r_2\) puede estar arbitrariamente cerca de\(r\). (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Toma\(z\) dentro del disco\(|z - z_0| < r_1\). Queremos expresarnos\(f(z)\) como una serie de potencia alrededor\(z_0\). Para ello comenzamos con la fórmula integral de Cauchy y luego usamos la serie geométrica.

Como preparación señalamos que para\(w\) el\(\gamma\) y\(|z - z_0| < r_1\) tenemos

\[|z - z_0| < r_1 < r_2 = |w - z_0| \nonumber,\]

entonces

\[\dfrac{|z - z_0|}{|w - z_0|} < 1. \nonumber\]

Por lo tanto,

\[\dfrac{1}{w - z} = \dfrac{1}{w - z_0} \cdot \dfrac{1}{1 - \dfrac{z - z_0}{w - z_0}} = \dfrac{1}{w - z_0} \sum_{n = 0}^{\infty} (\dfrac{z - z_0}{w - z_0})^n = \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{(z - z_0)^n}{(w - z_0)^{n + 1}} \nonumber\]

Usando esto y la fórmula de Cauchy da

\[\begin{array} {rcl} {f(z)} & = & {\dfrac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \dfrac{f(w)}{w - z}\ dw} \\ {} & = & {\dfrac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{f(w)}{(w - z_0)^{n + 1}} (z - z_0)^n\ dw} \\ {} & = & {\sum_{n = 0}^{\infty} (\dfrac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \dfrac{f(w)}{(w - z_0)^{n + 1}} \ dw) (z - z_0)^n} \\ {} & = & {\sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)} (z_0)}{n!} (z - z_0)^n} \end{array} \nonumber\]

La última igualdad se desprende de la fórmula de Cauchy para los derivados. Tomados en conjunto las dos últimas igualdades dan la fórmula de Taylor. QED