8.9: Polos
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Los polos se refieren a singularidades aisladas. Entonces, suponemos que\(f(z)\) es analítico\(0 < |z - z_0| < r\) y tiene serie Laurent
\[f(z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{b_n}{(z - z_0)^n} + \sum_{n = 0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n.\]
Si sólo un número finito de los coeficientes\(b_n\) son distintos de cero decimos que\(z_0\) es un polo finito de\(f\). En este caso, si\(b_k \ne 0\) y\(b_n = 0\) para todos\(n > k\) entonces decimos que\(z_0\) es un polo de orden\(k\).
- Si\(z_0\) es un polo de orden 1 decimos que es un simple polo de\(f\).
- Si un número infinito de los\(b_n\) son distintos de cero decimos que\(z_0\) es una singularidad esencial o un polo de orden infinito de\(f\).
- Si todos los\(b_n\) son 0, entonces\(z_0\) se llama una singularidad removible. Es decir, si definimos\(f(z_0) = a_0\) entonces\(f\) es analítico en el disco\(|z - z_0| < r\).
La terminología puede ser un poco confusa. Entonces, imagina que te digo que\(f\) está definido y analítico en el disco perforado\(0 < |z - z_0| < r\). Entonces, a priori, asumimos que\(f\) tiene una singularidad en\(z_0\). Pero, si después de computar la serie Laurent vemos que no hay una parte singular podemos extender la definición de\(f\) al disco completo, con ello 'quitando la singularidad'.
Podemos explicar el término singularidad esencial de la siguiente manera. Si\(f(z)\) tiene un polo de orden\(k\) en\(z_0\) entonces\((z - z_0)^k f(z)\) es analítico (tiene una singularidad removible) en\(z_0\). Entonces,\(f(z)\) en sí no es mucho más difícil trabajar que una función analítica. Por otro lado, si\(z_0\) es una singularidad esencial entonces ningún truco algebraico cambiará\(f(z)\) a una función analítica en\(z_0\).
Ejemplos de Polos
Volveremos a través de muchos de los ejemplos de las secciones anteriores.
La función racional
\[f(z) = \dfrac{1 + 2z^2}{z^3 + z^5} \nonumber\]
ampliado a
\[f(z) = \left(\dfrac{1}{z^3} + \dfrac{1}{z}\right) - \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n z^{2n + 1}. \nonumber\]
Así,\(z = 0\) es un polo de orden 3.
Considerar
\[f(z) = \dfrac{z + 1}{z} = 1 + \dfrac{1}{z}. \nonumber\]
Así,\(z = 0\) es un polo de orden 1, es decir, un poste simple.
Considerar
\[f(z) = \dfrac{z}{z^2 + 1} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{z - i} + g(z), \nonumber\]
donde\(g(z)\) está analítico en\(z = i\). Entonces,\(z = i\) es un simple polo.
La función
\[f(z) = \dfrac{1}{z(z - 1)} \nonumber\]
tiene singularidades aisladas en\(z = 0\) y\(z = 1\). Demuestre que ambos son postes simples.
Solución
En un barrio de\(z = 0\) podemos escribir
\[f(z) = \dfrac{g(z)}{z}, \text{ where } g(z) = \dfrac{1}{z - 1}. \nonumber\]
Dado que\(g(z)\) es analítico a 0,\(z = 0\) es un polo finito. Ya que\(g(0) \ne 0\), el poste tiene orden 1, es decir, es simple. Asimismo, en un barrio de\(z = 1\),
\[f(z) = \dfrac{h(z)}{z - 1}, \text{ where } h(z) = \dfrac{1}{z}. \nonumber\]
Ya que\(h\) es analítico en\(z = 1\),\(f\) tiene un polo finito ahí. Ya\(h(1) \ne 0\) que es simple.
Considerar
\[e^{1/z} = 1 + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{2! z^2} + \dfrac{1}{3! z^3} + \ ... \nonumber\]
Entonces,\(z = 0\) es una singularidad esencial.
\(\log (z)\)tiene una singularidad en\(z = 0\). Dado que la singularidad no está aislada, no puede clasificarse ni como polo ni como singularidad esencial.
Residuos
En preparación para discutir el teorema de residuos en el siguiente tema damos la definición y un ejemplo aquí.
Nota bien, los residuos tienen que ver con singularitas aisladas.
Considerar la función\(f(z)\) con una singularidad aislada en\(z_0\), es decir, definida en\(0 < |z - z_0| < r\) y con series Laurent
\[f(z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{b_n}{(z - z_0)^n} + \sum_{n = 0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n.\]
El residuo de\(f\) at\(z_0\) es\(b_1\). Esto se denota
\[\text{Res}(f, z_0) \ \ \ \ or \ \ \ \ \text{Res}_{z = z_0} f = b_1.\]
¿Cuál es la importancia del residuo? Si\(\gamma\) es una curva cerrada pequeña y simple que va en sentido antihorario alrededor de\(z_0\) entonces
\[\int_{\gamma} f(z) = 2\pi i b_1.\]
Esto es fácil de ver integrando la serie Laurent término por término. La única integral que no es cero proviene del término\(b_1/z\).
La función
\[f(z) = e^{1/(2z)} = 1 + \dfrac{1}{2z} + \dfrac{1}{2(2z)^2} + \ ... \nonumber\]
tiene una singularidad aislada a 0. De la serie Laurent vemos que
\[\text{Res}(f, 0) = \dfrac{1}{2}. \nonumber\]