9.3: Comportamiento de funciones cerca de ceros y polos

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La idea básica es que cerca de un cero de orden\(n\), una función se comporta como\((z - z_0)^n\) y cerca de un polo de orden\(n\), una función se comporta como\(1/(z - z_0)^n\). Los siguientes hacen que esto sea un poco más preciso.

Comportamiento cerca de un cero. Si\(f\) tiene un polo de orden\(n\) en\(z_0\) ese entonces cerca\(z_0\),

\[f(z) \approx \dfrac{b_n}{(z - z_0)^n},\]

para alguna constante\(b_n\).

\(Proof\). Esto es casi idéntico al argumento anterior. Por definición\(f\) tiene una serie Laurent alrededor\(z_0\) de la forma

\[\begin{array} {rcl} {f(z)} & = & {\dfrac{b_n}{(z - z_0)^n} + \dfrac{b_{n - 1}}{(z - z_0)^{n - 1}} + \ ... \ + \dfrac{b_1}{z - z_0} + a_0 + \ ...} \\ {} & = & {\dfrac{b_n}{(z - z_0)^n} \left(1 + \dfrac{b_{n - 1}}{b_n} (z - z_0) + \dfrac{b_{n - 2}}{b_n} (z - z_0)^2 + \ ... \right)} \end{array}\]

Dado que el segundo factor equivale a 1 at\(z_0\), el reclamo sigue.

Teorema de Picard y Singularidades Esenciales

Cerca de una singularidad esencial tenemos el teorema de Picard. No vamos a probar ni hacer uso de este teorema en 18.04. Aún así, sentimos que es lo suficientemente bonito como para justificar mostrarte.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Picard's Theorem

Si\(f(z)\) tiene una singularidad esencial en\(z_0\) ese entonces en cada barrio de\(z_0\),\(f(z)\) adquiere todos los valores posibles infinitamente muchas veces, con la posible excepción de un valor.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Es fácil ver que en cualquier barrio de\(z = 0\) la función\(w = e^{1/z}\) toma todos los valores excepto\(w = 0\).

Cocientes de funciones

Tenemos la siguiente declaración sobre cocientes de funciones. Podríamos hacer declaraciones similares si una o ambas funciones tienen un polo en lugar de un cero.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que\(f\) tiene un cero de orden\(m\) en\(z_0\) y\(g\) tiene un cero de orden\(n\) en\(z_0\). Let

\[h(z) = \dfrac{f(z)}{g(z)}.\]

Entonces

Si\(n > m\) entonces\(h(z)\) tiene un polo de orden\(n - m\) en\(z_0\).
Si\(n < m\) entonces\(h(z)\) tiene un cero de orden\(m - n\) en\(z_0\).
Si\(n = m\) entonces\(h(z)\) es analítico y distinto de cero en\(z_0\).

Podemos parafrasear esto como\(h(z)\) tiene 'polo' de orden\(n - m\) en\(z_0\). Si\(n - m\) es negativo entonces el 'polo' es en realidad un cero.

Prueba: Deberías poder aportar el comprobante. Es casi idéntica a las pruebas anteriores: express\(f\) y\(g\) como serie Taylor y tomar el cociente.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Let

\[h(z) = \dfrac{\sin (z)}{z^2}. \nonumber\]

Sabemos que\(\sin (z)\) tiene un cero de orden 1 en\(z = 0\) y\(z^2\) tiene un cero de orden 2. Entonces,\(h(z)\) tiene un polo de orden 1 en\(z = 0\). Por supuesto, podemos ver esto fácilmente usando la serie Taylor

\[h(z) = \dfrac{1}{z^2} \left(z - \dfrac{z^3}{3!} + \ ... \right) \nonumber\]