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LibreTexts Español

9.4: Residuos

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

En esta sección exploraremos el cálculo de residuos. Ya hemos visto lo suficiente como para saber que esto va a ser útil. Eso lo veremos aún más claramente cuando miremos el teorema del residuo en la siguiente sección.

Introdujimos residuos en el tema anterior. Repetimos la definición aquí para que sea completa.

Definición: Residuo

Considerar la funciónf(z) con una singularidad aislada enz0, es decir, definida en la región0<|zz0|<r y con series Laurent (en esa región)

f(z)=n=1bn(zz0)n+n=0an(zz0)n.

El residuo def atz0 esb1. Esto se denota

Res(f,z0)=b1     or     Resz=z0f=b1.

¿Cuál es la importancia del residuo? Siγ es una curva cerrada pequeña y simple que va en sentido contrario a las agujas delb1 reloj

γf(z)=2πib1.

8.9.1.svg
Figura9.4.1: lo suficientementeγ pequeña como para estar dentro|zz0|<r, rodearz0 y no contener otra singularidad def. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Esto es fácil de ver integrando la serie Laurent término por término. La única integral distinta de cero proviene del términob1/z.

Ejemplo9.4.1

f(z)=e1/2z=1+12z+12(2z)2+ ...

tiene una singularidad aislada a 0. De la serie Laurent vemos esoRes(f,0)=1/2.

Ejemplo9.4.2

(i) Dejar

f(z)=1z3+2z2+4z+5+6z.

ftiene un poste de orden 3 enz=0 yRes(f,0)=4.

(ii) Supongamos

f(z)=2z+g(z),

dondeg está analítico enz=0. Entonces,f tiene un poste simple a 0 yRes(f,0)=2.

iii) Dejar

f(z)=cos(z)=1z2/2!+ ...

Luegof es analítico enz=0 yRes(f,0)=0.

iv) Dejar

f(z)=sin(z)z=1z(zz33!+ ...)=1z23!+ ...

Entonces,f tiene una singularidad removible enz=0 yRes(f,0)=0.

Ejemplo9.4.3 Using partial fractions

Let

f(z)=zz2+1.

Encuentra los polos y residuos def.

Solución

Usando fracciones parciales escribimos

f(z)=z(zi)(z+i)=121zi+121z+i.

Los polos están enz=±i. Calculamos los residuos en cada polo:

Enz=i:

f(z)=121zi+ something analytic at i.

Por lo tanto el polo es sencillo yRes(f,i)=1/2.

Enz=i:

f(z)=121z+i+ something analytic at i.

Por lo tanto el polo es sencillo yRes(f,i)=1/2.

Ejemplo9.4.4 Mild warning!

Let

f(z)=1z(1z)

entonces tenemos las siguientes expansiones Laurent porf alrededorz=0.

En0<|z|<1:

f(z)=1z11z=1z(1+z+z2+ ...).

Por lo tanto el polo enz=0 es simple yRes(f,0)=1.

En1<|z|<:

f(z)=1z2111/z=1z(1+1z+1z2+ ...).

A pesar de que esta es una expansión Laurent válida no debes usarla para computar el residuo a 0. Esto se debe a que la definición de residuo requiere que usemos la serie Laurent en la región0<|zz0|<r.

Ejemplo9.4.5

Let

f(z)=log(1+z).

Esto tiene una singularidad enz=1, pero no está aislado, por lo que no es un polo y por lo tanto no hay residuo enz=1.

Residuos en Postes Simples

Los polos simples ocurren con la suficiente frecuencia que estudiaremos computando sus residuos con cierto detalle. Aquí hay una serie de formas de detectar un poste simple y calcular sus residuos. La justificación para todos ellos se remonta a la serie Laurent.

Supongamos quef(z) tiene una singularidad aislada enz=z0. Entonces tenemos las siguientes propiedades.

Propiedad 1

Si la serie Laurent paraf(z) tiene la forma

b1zz0+a0+a1(zz0)+ ...

entoncesf tiene un poste simple enz0 yRes(f,z0)=b1.

Propiedad 2

Si

g(z)=(zz0)f(z)

es analítico enz0 ese entoncesz0 es o bien un polo simple o son singularidad móvil. En cualquier casoRes(f,z0)=g(z0). (En el caso de singularidad removible el residuo es 0.)

Prueba

Directamente de la serie Laurent porf alrededorz0.

Propiedad 3

Sif tiene un poste simple enz0 entonces

limzz0(zz0)f(z)=Res(f,z0)

Esto dice que el límite existe y es igual al residuo. Por el contrario, si el límite existe entonces o bien el polo es simple, of es analítico enz0. En ambos casos el límite es igual al residuo.

Prueba

Directamente de la serie Laurent porf alrededorz0.

Propiedad 4

Sif tiene un polo simple enz0 yg(z) es analítico enz0 entonces

Res(fg,z0)=g(z0)Res(f,z0).

Sig(z0)0 entonces

Res(f/g,z0)=1g(z0)Res(f,z0).

Prueba

Dado quez0 es un simple polo,

f(z)=b1zz0+a0+a1(zz0)

Dado queg es analítico,

g(z)=c0+c1(zz0)+ ...,

dondec0=g(z0). Multiplicando estas series juntas es claro que

Res(fg,z0)=c0b1=g(z0)Res(f,z0).         QED

La declaración sobre cocientesf/g se desprende de la prueba para productos porque1/g es analítica enz0.

Propiedad 5

Sig(z) tiene un simple cero enz0 entonces1/g(z) tiene un polo simple enz0 y

Res(1/g,z0)=1g(z0).

Prueba

El álgebra para esto es similar a lo que hemos hecho varias veces anteriormente. La expansión de Taylor parag es

g(z)=a1(zz0)+a2(zz0)2+ ...,

dondea1=g(z0). Entonces

1g(z)=1a1(zz0)(11+a2a1(zz0)+ ...)

El segundo factor a la derecha es analítico az0 e igual a 1 atz0. Por lo tanto sabemos que la expansión Laurent de1/g es

1g(z)=1a1(zz0)(1+c1(zz0)+ ...)

Claramente el residuo es1/a1=1/g(z0). QED.

Ejemplo9.4.6

Let

f(z)=2+z+z2(z2)(z3)(z4)(z5).

Mostrar todos los polos son simples y computar sus residuos.

Solución

Los polos están enz=2,3,4,5. Todos están aislados. Veremos quez=2 los demás son similares. Multiplicando porz2 obtenemos

g(z)=(z2)f(z)=2+z+z2(z3)(z4)(z5).

Esto es analítico enz=2 y

g(2)=86=43.

Entonces el polo es sencillo yRes(f,2)=4/3.

Ejemplo9.4.7

Let

f(z)=1sin(z).

Encuentra todos los polos y sus residuos.

Solución

Los polos def(z) son los ceros desin(z), es decir,nπ paran un entero. Dado que el derivado

sin(nπ)=cos(nπ)0,

los ceros son simples y por Inmueble 5 arriba

Res(f,nπ)=1cos(nπ)=(1)n.

Ejemplo9.4.8

Let

f(z)=1z(z2+1)(z2)2.

Identificar todos los polos y decir cuáles son simples.

Solución

Claramente los polos están enz=0,±i, 2.

Enz=0:

g(z)=zf(z)

es analítico a 0 yg(0)=1/4. Entonces el polo es sencillo y el residuo lo esg(0)=1/4.

Enz=i:

g(z)=(zi)f(z)=1z(z+i)(z2)2

es analítico eni, el polo es simple y el residuo esg(i).

Az=i: Esto es similar al casoz=i. El poste es sencillo.

Enz=2:

g(z)=(z2)f(z)=1z(z2+1)(z2)

no es analítico a 2, por lo que el polo no es sencillo. (Debería ser obvio que es un polo de orden 2.)

Ejemplo9.4.9

Dejarp(z),q(z) ser analítico enz=z0. Asumirp(z0)0q(z0)=0,,q(z0)0. Encuentra

Resz=z0p(z)q(z).

Solución

Ya queq(z0)0,q tiene un simple cero enz0. Así que1/q tiene un poste simple enz0 y

Res(1/q,z0)=1q(z0)

Yap(z0)0 que sabemos

Res(p/q,z0)=p(z0)Res(1/q,z0)=p(z0)q(z0).

Residuos en polos finitos

Para los polos de orden superior podemos hacer declaraciones similares a las de los polos simples, pero las fórmulas y cálculos están más involucrados. El principio general es el siguiente

Polos de orden superior

Sif(z) tiene un polo de ordenk enz0 entonces

g(z)=(zz0)kf(z)

es analítico enz0 y si

g(z)=a0+a1(zz0)+ ...

entonces

Res(f,z0)=ak1=g(k1)(z0)(k1)!.

Prueba

Esto es claro usando las series Taylor y Laurent parag yf.

Ejemplo9.4.10

Let

f(z)=sinh(z)z5

y encontrar el residuo enz=0.

Solución

Conocemos la serie Taylor para

sinh(z)=z+z3/3!+z5/5!+ ...

(Puedes encontrar esto usandosinh(z)=(ezez)/2 y la serie Taylor paraez.) Por lo tanto,

f(z)=1z4+13!z2+15!+ ...

VemosRes(f,0)=0.

Tenga en cuenta, podríamos haber visto esto al darnos cuenta de quef(z) es una función par.

Ejemplo9.4.11

Let

f(z)=sinh(z)ezz5.

Encuentra el residuo enz=0.

Solución

Es claro queRes(f,0) iguala el coeficiente dez4 en la expansión de Taylor desinh(z)ez. Calculamos esto directamente como

sinh(z)ez=(z+z33!+ ...)(1+z+z22+z33!+ ...)= ...+(14!+13!)z4+ ...

Entonces

Res(f,0)=13!+14!=524.

Ejemplo9.4.12

Encuentra el residuo de

f(z)=1z(z2+1)(z2)2

enz=2.

Solución

g(z)=(z2)2f(z)=1z(z2+1)es analítico enz=2. Entonces, el residuo que queremos es ela1 término en su serie Taylor, i.eg(2). Esto es fácil, si es aburrido, de calcular

Res(f,2)=g(2)=13100

cot(z)

La funcióncot(z) resulta ser muy útil en aplicaciones. Esto se debe en gran parte al hecho de que tiene polos simples en todos los múltiplos deπ y el residuo es 1 en cada polo. Eso lo demostramos primero.

Hecho

f(z)=cot(z)tiene polos simples ennπ paran un entero yRes(f,nπ)=1.

Prueba

f(z)=cos(z)sin(z).

Esto tiene polos en los ceros del pecado, es decir, enz=nπ. En los polosf es de la formap/q dondeq tiene un simple cero enz0 yp(z0)0. Así podemos usar la fórmula

Res(f,z0)=p(z0)q(z0).

En nuestro caso, tenemos

Res(f,nπ)=cos(nπ)cos(nπ)=1,

según lo reclamado.

A veces necesitamos más términos en la expansión Laurent decot(z). No se conoce una fórmula fácil para los términos, pero podemos calcular fácilmente tantos como necesitemos usando la siguiente técnica.

Ejemplo9.4.13

Calcular los primeros términos de la expansión Laurent decot(z) alrededorz=0.

Solución

Ya quecot(z) tiene un polo simple a 0 sabemos

cot(z)=b1z+z0+a1z+a2z2+ ...

También sabemos

cot(z)=cos(z)sin(z)=1z2/2+z4/4! ...zz3/3!+z5/5! ...

Cruce multiplicando las dos expresiones que obtenemos

(b1z+a0+a1z+a2z2+ ...)(zz33!+z55! ...)=1z22+z44! ...

Podemos hacer la multiplicación e igualar los coeficientes de potencias similares dez.

b1+a0z+(b13!+a1)z2+(a03!+a2)z3+(b15!a13!+a3)z4=1z22!+z44!

Entonces, a partir deb1=1 ya0=0, obtenemos

b1/3!+a1=1/2!                    a1=1/3a0/3!+a2=0                    a2=0b1/5!a1/3!+a3=1/4!                    a3=1/45

Como se señaló anteriormente, todos los términos pares son 0 como deberían ser. Tenemos

cot(z)=1zz3z345+...


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