11.1: Definición geométrica de asignaciones conformadas

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Comenzamos con una definición algo ondulada a mano:

Definición informal: Mapas conformes

Los mapas conformes son funciones en las\(C\) que se conservan los ángulos entre curvas.

Más precisamente: Supongamos que\(f(z)\) es diferenciable en\(z_0\) y\(\gamma (t)\) es una curva suave a través\(z_0\). Para ser concretos, supongamos\(\gamma (t_0) = z_0\). La función asigna el punto\(z_0\) a\(w_0 = f(z_0)\) y la curva\(\gamma\) a

\[\tilde{\gamma} (t) = f(\gamma (t)).\]

Bajo este mapa, el vector tangente\(\gamma ' (t_0)\) at\(z_0\) se mapea al vector tangente

\[\tilde{\gamma} ' (t_0) = (f \circ \gamma)' (t_0)\]

en\(w_0\). Con estas notaciones tenemos la siguiente definición.

Definición: Funciones conformes

La función\(f(z)\) es conforme en\(z_0\) si hay un ángulo\(\phi\) y una escala\(a > 0\) tal que para cualquier curva suave\(\gamma (t)\) a través\(z_0\) del mapa\(f\) gira el vector tangente en\(z_0\) por\(\phi\) y lo escala por\(a\). Es decir, para cualquiera\(\gamma\), el vector tangente\((f \circ \gamma)' (t_0)\) se encuentra\(\gamma '(t_0)\) girándolo\(\phi\) y escalándolo por\(a\).

Si\(f(z)\) se define en una región\(A\), decimos que es un mapa conforme sobre\(A\) si es conforme en cada punto\(z\) de\(A\).

Nota

El factor de escala\(a\) y el ángulo de rotación\(\phi\) dependen del punto\(z\), pero no de ninguna de las curvas a través\(z\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

La\(\PageIndex{1}\) siguiente figura muestra un mapa conforme\(f(z)\) mapeando dos curvas a través de dos curvas\(z_0\) a través de\(w_0 = f(z_0)\). Los vectores tangentes a cada una de las curvas originales se rotan y escalan en la misma cantidad.

001 - (Ejemplo 11.1.1) .svg — Figura\(\PageIndex{1}\): Un mapa conforme rota y escala todos los vectores tangentes en\(z_0\) la misma cantidad. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Observación 1. La conformalidad es un fenómeno local. En un punto diferente,\(z_1\) el ángulo de rotación y el factor de escala pueden ser diferentes.

Observación 2. Dado que las rotaciones conservan los ángulos entre vectores, una propiedad clave de los mapas conformales es que conservan los ángulos entre curvas.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Recordemos que allá en el Tema 1 vimos que\(f(z) = z^2\) mapea líneas de cuadrícula horizontales y verticales a parágolas mutuamente ortogonales. Veremos que\(f(z)\) es conforme. Entonces, la ortogonalidad de las parábola no es casualidad. El mapa de conformación conserva los ángulos rectos entre las líneas de la cuadrícula.

002 - (Ejemplo 11.1.2) .svg — Figura\(\PageIndex{1}\): Un mapa conforme de una cuadrícula rectangular. (CC BY-NC; Ümit Kaya)