11.2: Vectores tangentes como números complejos

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En clases anteriores, usaste curvas parametrizadas\(\gamma (t) = (x(t), y(t))\) en el\(xy\) plano -plano. Considerado de esta manera, el vector tangente es solo la derivada:

\[\gamma '(t) = (x' (t), y' (t)).\]

Nota, como vector,\((x', y')\) representa un desplazamiento. Si el vector comienza en el origen, entonces el punto final está en\((x', y')\). Más típicamente dibujamos el vector comenzando en el punto\(\gamma (t)\).

También puede utilizar previamente curvas parametrizadas\(\gamma (t) = x(t) + iy(t)\) en el plano complejo. Considerado de esta manera, el vector tangente es solo la derivada:

\[\gamma '(t) = x' (t) + iy' (t).\]

Debe quedar claro que estas representaciones son equivalentes. El vector\((x', y')\) y el número\(x' + iy'\) complejo representan el mismo desplazamiento. Además, la longitud de un vector y el ángulo entre dos vectores es el mismo en ambas representaciones.

Pensar en vectores tangentes a curvas como números complejos nos permite refundir la conformalidad en términos de números complejos.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Si\(f(z)\) es conforme en\(z_0\) entonces hay un número complejo\(c = ae^{i \phi}\) tal que el mapa\(f\) multiplica los vectores tangentes en\(z_0\) por\(c\). Por el contrario, si el mapa\(f\) multiplica todos los vectores tangentes en\(z_0\) por\(c = ae^{i \phi}\) entonces\(f\) es conforme en\(z_0\).

Prueba: Por definición\(f\) es conforme en los\(z_0\) medios que hay un ángulo\(\phi\) y un escalar\(a > 0\) tal que el mapa\(f\) gira los vectores tangentes en\(z_0\) por\(\phi\) y los escala por\(a\). Este es exactamente el efecto de multiplicar por\(c = ae^{i \phi}\).