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LibreTexts Español

11.8: Reflexión y simetría

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Reflexión y simetría en una línea

Ejemplo11.8.1

Supongamos que tenemos una líneaS y un puntoz1 no encendidoS. El reflejo dez1 inS es el punto dez2 manera queS es la bisectriza perpendicular al segmento de línea¯z1z2. Dado que existe exactamente uno de esos puntosz2, el reflejo de un punto en una línea es único.

Definición

Siz2 es el reflejo dez1 inS, decimos esoz1 yz2 son simétricos con respecto a la líneaS.

En la figura de abajo los puntosz1 yz2 son simétricos en elx eje -eje. Los puntosz3 yz4 son simétricos en la líneaS.

2020-09-13 4.39.58.png

Para definir el reflejo de un punto en un círculo necesitamos trabajar un poco más duro. Mirando hacia atrás al ejemplo anterior podemos mostrar lo siguiente.

Hecho

Siz1 yz2 son simétricos en la líneaS, entonces cualquier círculo a travész1 ez2 intersectaS ortogonalmente.

Prueba

Llama al círculoC. Ya queS es la bisectriz perpendicular de una cuerda deC, el centro deC se encuentra sobreS. Por lo tanto,S es una línea radial, es decir, se cruzaC ortogonalmente.

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Círculos a través de puntos simétricos intersectan la línea en ángulo recto.

Reflexión y simetría en un círculo

Adaptaremos esto para nuestra definición de reflexión en círculo. Para que la lógica fluya correctamente necesitamos comenzar con la definición de pares simétricos de puntos.

Definición

Supongamos queS es una línea o círculo. Un par de puntosz1,z2 se llama simétrico con respecto aS si cada línea o círculo a través de los dos puntos se cruzaS ortogonalmente.

Primero declaramos un hecho casi trivial.

Hecho

Las transformaciones lineales fraccionarias conservan la simetría. Es decir, siz1,z2 son simétricos en una línea o círculoS, entonces, para un FLTT,T(z1) yT(z2) son simétricos enT(S).

Prueba

La definición de simetría es en términos de líneas y círculos, y ángulos. Las transformaciones lineales fraccionarias mapean líneas y círculos a líneas y círculos y, al ser conformes, conservan los ángulos.

Teorema11.8.1

Supongamos queS es una línea o círculo yz1 un punto no encendidoS. Hay un punto únicoz2 tal que el parz1,z2 es simétrico enS.

Prueba

LetT Ser una transformación lineal fraccionaria que se mapeaS a una línea. Sabemos quew1=T(z1) tiene un reflejo únicow2 en esta línea. Ya queT1 conserva la simetría,z1 yz2=T1(w2) son simétricos enS. Dado quew2 es el punto único simétrico aw1 lo mismo es cierto paraz2 vis-a-visz1. Todo esto se muestra en la siguiente figura.

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Ahora podemos definir la reflexión en un círculo.

Definición

El puntoz2 en el Teorema 11.8.1 se llama el reflejo dez1 inS.

Reflejo en el círculo unitario

Usando la característica de preservación de simetría de las transformaciones lineales fraccionarias, comenzamos con una línea y transformamos al círculo. RDejen ser el eje real yC el círculo unitario. Conocemos el FLT

T(z)=ziz+i

mapasR aC. También sabemos que los puntosz y¯z son simétricos enR. Por lo tanto

w1=T(z)=ziz+i   and   w2=T(¯z)=¯zi¯z+i

son simétricos enD. Al mirar las fórmulas, es claro quew2=1/¯w1. Esto es lo suficientemente importante como para destacarlo como teorema.

Teorema11.8.2 Reflection in the unit circle

El reflejo dez=x+iy=reiθ en el círculo unitario es

1¯z=z|z|2=x+iyx2+y2=eiθr.

Los cálculos de1/¯z son todos triviales.

Nota
  1. Es posible, pero más tedioso y menos perspicaz, llegar a este teorema por cálculo directo.
  2. Siz está en el círculo unitario entonces1/¯z=z. Es decir,z es su propio reflejo en el círculo unitario —como debería ser.
  3. El centro del círculo 0 es simétrico al punto en.

La siguiente figura muestra tres pares de puntos simétricos en el círculo unitario:

z1=2; w1=12, z2=1+i; w2=1+i2, z3=2+i; w3=2+i5.

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Pares de puntoszj:wj simétricos en el círculo unitario.

Ejemplo11.8.2 Reflection in the circle of radius R

Supongamos queSz1 es el círculo|z|=R y es una pinta no puestaS. Encuentra el reflejo dez1 en S.

Solución

Nuestra estrategia es mapearS al círculo unitario, encontrar el reflejo y luego mapear el círculo unitario de nuevo aS.

Comienza con el mapaT(z)=w=z/R. ClaramenteS seT mapea al círculo de la unidad y

w1=T(z1)=z1/R.

El reflejo dew1 es

w2=1/¯w1=R/¯z1.

Mapeo de vuelta desde el círculo de la unidad porT1 tenemos

z2=T1(w2)=Rw2=R2/¯z1.

Por lo tanto el reflejo dez1 esR2/¯z1.

Aquí hay tres pares de puntos simétricos en el círculo de radio 2. Tenga en cuenta, que esta es la misma cifra que la de arriba con todo duplicado.

z1=4; w1=1, z2=2+2i; w2=1+i, z3=4+2i; w3=4+2i5.

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Pares de puntoszj;wj simétricos en el círculo del radio 2.

Ejemplo11.8.3

Encuentra el reflejo dez1 en el círculo de radioR centrado enc.

Solución

VamosT(z)=(zc)/R. Tmapea el círculo centrado enc al círculo unitario. El mapa inverso es

T1(w)=Rw+c.

Entonces, el reflejo dez1 se da mapeandoz aT(z), reflejando esto en el círculo unitario, y mapeando de nuevo a la geometría original conT1. Es decir, la reflexiónz2 es

z1z1cRR¯z1cz2=R2¯z1c+c.

Ahora podemos registrar el siguiente dato importante.

(Reflejo del centro)

Para un círculoS con centroc el parc, es simétrico con respecto al círculo.

Prueba

Esto es una consecuencia inmediata de la fórmula para la reflexión de un punto en un círculo. Por ejemplo, el reflejo dez en el círculo unitario es1/¯z. Entonces, el reflejo de 0 es infinito.

Ejemplo11.8.4

Mostrar que si un círculo y una línea no se cruzan entonces hay un par de puntosz1,z2 que es simétrico con respecto tanto a la línea como al círculo.

Solución

Al desplazar, escalar y rotar podemos encontrar una transformación lineal fraccionariaT que mapea el círculo y la línea a la siguiente configuración: El círculo se mapea al círculo unitario y la línea a la línea verticalx=a>1.

2020-09-13 5.26.38.png

Para cualquier realr,w1=r yw2=1/r son simétricos en el círculo unitario. Podemos elegir un específicor para quer y1/r sean equidistantes dea, es decir, también simétricos en la líneax=a. Está claro geométricamente que esto se puede hacer. Algebraicamente resolvemos la ecuación

r+1/r2=a    r22ar+1=0    r=a+a21    1r=aa21.

Asíz1=T1(a+a21) yz2=T1(aa21) son los puntos requeridos.

Ejemplo11.8.5

Demostrar que si dos círculos no se cruzan entonces hay un par de puntosz1,z2 que es simétrico con respecto a ambos círculos.

Solución

Usando una transformación lineal fraccionaria que mapea uno de los círculos a una línea (y el otro a un círculo) podemos reducir el problema a eso en el ejemplo anterior.

Ejemplo11.8.6

Demuestre que dos círculos cualesquiera que no se crucen pueden mapearse conformalmente a círculos centrados.

Solución

Llama a los círculosS1 yS2. Usando el ejemplo anterior comienza con un par de puntosz1,z2 que son simétricos en ambos círculos. A continuación, elija una transformación lineal fraccionariaT que sez1 mapee a 0 yz2 al infinito. Por ejemplo,

T(z)=zz1zz2.

Ya queT conserva la simetría 0 y son simétricas en el círculoT(S1). Esto implica que 0 es el centro deT(S1). Del mismo modo 0 es el centro deT(S2). Así,T(S1) yT(S2) son concéntricos.


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