Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

13.1: Una breve introducción a los sistemas lineales invariantes en el tiempo

  1. Última actualización
  2. Guardar como PDF
  • Page ID
    109802

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Empecemos definiendo nuestros términos.

    Señal. Una señal es cualquier función del tiempo.

    Sistema. Un sistema es alguna máquina o procedimiento que toma una señal como entrada hace algo con ella y produce otra señal como salida.

    Sistema lineal. Un sistema lineal es aquel que actúa linealmente sobre las entradas. Es decir,\(f_1 (t)\) y\(f_2 (t)\) son entradas al sistema con salidas\(y_1 (t)\) y\(y_2 (t)\) respectivamente, entonces la entrada\(f_1 + f_2\) produce la salida\(y_1 + y_2\) y, para cualquier constante\(c\), la entrada\(cf_1\) produce salida\(cy_1\).

    Esto a menudo se frena en una oración ya que la entrada\(c_1f_1 + c_2 f_2\) produce salida\(c_1 y_1 + c_2 y_2\), es decir, las combinaciones lineales de entradas producen una combinación lineal de las salidas correspondientes.

    Invarianza de tiempo. Supongamos que un sistema toma señal de entrada\(f(t)\) y produce señal de salida\(y(t)\). El sistema se denomina invariante de tiempo si la señal de entrada\(g(t) = f(t - a)\) produce señal de salida\(y(t - a)\).

    LTI. Llamaremos a un sistema lineal invariante en el tiempo un sistema LTI.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Considerar la ecuación diferencial de coeficiente constante

    \[3y'' + 8y' + 7y = f(t)\]

    Esta ecuación modela un oscilador armónico amortiguado, digamos una masa en un resorte con un amortiguador, donde\(f(t)\) está la fuerza sobre la masa y\(y(t)\) es su desplazamiento del equilibrio. Si consideramos\(f\) que es la entrada y\(y\) la salida, entonces este es un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Hay muchas variaciones sobre este tema. Por ejemplo, podríamos tener el sistema LTI

    \[3y'' + 8y' + 7y = f'(t)\]

    donde llamamos a\(f(t)\) la señal de entrada y a\(y (t)\) la señal de salida.

    This page titled 13.1: Una breve introducción a los sistemas lineales invariantes en el tiempo is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Jeremy Orloff (MIT OpenCourseWare) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.