13.2: Transformación de Laplace

Definición

La transformación de Laplace de una función\(f(t)\) está definida por la integral

\[\mathcal{L} (f;s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\ dt,\]

para aquellos\(s\) en los que converge la integral. Aquí\(s\) se permite tomar valores complejos.

Nota importante

La transformación de Laplace solo se preocupa\(f(t)\) por\(t \ge 0\). En general, hablando podemos requerir\(f(t) = 0\) para\(t < 0\).

Notación estándar

Donde la notación es clara, usaremos una letra mayúscula para indicar la transformación de Laplace, por ejemplo,\(\mathcal{L} (f; s) = F(s)\).

La transformación de Laplace que definimos a veces se llama la transformación unilateral de Laplace. Hay una versión a dos caras donde la integral va de\(-\infty\) a\(\infty\).

Primeros ejemplos

Vamos a calcular algunos ejemplos. También pondremos estos resultados en la tabla de transformación de Laplace al final de estas notas.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Vamos\(f(t) = e^{at}\). Compute\(F(s) = \mathcal{L} (f; s)\) directamente. Dar la región en el\(s\) plano complejo donde converge la integral.

\[\begin{array} {rcl} {\mathcal{L} (e^{at} ; s)} & = & {\int_{0}^{\infty} e^{at} e^{-st}\ dt = \int_{0}^{\infty} e^{(a - s) t} \ dt = \dfrac{e^{(a - s) t}}{a - s} \vert_{0}^{\infty}} \\ {rcl} {} & = & {= \begin{cases} \dfrac{1}{s - a} & \text{ if Re} (s) > \text{Re} (a) \\ \text{divergent} & \text{ otherwise} \end{cases}} \end{array}\]

La última fórmula viene de\(\infty\) enchufarse a lo exponencial. Esto es 0 si\(\text{Re} (a - s) < 0\) y no definido de otra manera.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Vamos\(f(t) = b\). Compute\(F(s) = \mathcal{L} (f; s)\) directamente. Dar la región en el\(s\) plano complejo donde converge la integral.

\[\begin{array} {rcl} {\mathcal{L} (b ; s)} & = & {\int_{0}^{\infty} be^{-st}\ dt = \dfrac{be^{- st}}{- s} \vert_{0}^{\infty}} \\ {rcl} {} & = & {= \begin{cases} \dfrac{b}{s} & \text{ if Re} (s) > 0 \\ \text{divergent} & \text{ otherwise} \end{cases}} \end{array}\]

La última fórmula viene de\(\infty\) enchufarse a lo exponencial. Esto es 0 si\(\text{Re} (-s) < 0\) y no definido de otra manera.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Vamos\(f(t) = t\). Compute\(F(s) = \mathcal{L} (f;s)\) directamente. Dar la región en el\(s\) plano complejo donde converge la integral.

\[\begin{array} {rcl} {\mathcal{L} (t ; s)} & = & {\int_{0}^{\infty} te^{-st}\ dt = \dfrac{te^{- st}}{- s} - \dfrac{e^{- st}}{s^2} \vert_{0}^{\infty}} \\ {rcl} {} & = & {= \begin{cases} \dfrac{1}{s^2} & \text{ if Re} (s) > 0 \\ \text{divergent} & \text{ otherwise} \end{cases}} \end{array}\]

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Compute

\[\mathcal{L} (\cos (\omega t)).\]

Solución

Utilizamos la fórmula

\[\cos (\omega t) = \dfrac{e^{i\omega t} + e^{-i \omega t}}{2}.\]

Entonces,

\[\mathcal{L} (\cos (\omega t); s) = \dfrac{1/(s - i\omega) + 1/(s + i\omega)}{2} = \dfrac{s}{s^2 + \omega^2}.\]

Conexión a la transformada de Fourier

Las transformaciones de Laplace y Fourier están íntimamente conectadas. De hecho, a la transformación de Laplace se le suele llamar la transformación de Fourier-Laplace. Para ver la conexión comenzaremos con la transformada de Fourier de una función\(f(t)\).

\[\hat{f} (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t}\ dt.\]

Si asumimos\(f(t) = 0\) por\(t < 0\), esto se convierte

\[\hat{f} (\omega) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t}\ dt.\]

Ahora bien\(s = i\omega\), si entonces la transformación de Laplace es

\[\mathcal{L}(f; s) = \mathcal{L} (f; i\omega) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t}\ dt.\]

Comparando estas dos ecuaciones vemos eso\(\hat{f} (\omega) = \mathcal{L} (f; i \omega)\). Vemos que las transformaciones son básicamente las mismas cosas usando notación diferente —al menos para funciones que son 0 para\(t < 0\).