13.5: Ecuaciones diferenciales

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Método de encubrimiento

Vamos a usar fracciones parciales y el método de encubrimiento. Supondremos que ha visto fracciones parciales. Si no los recuerdas bien o nunca has visto el método de encubrimiento.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Resolver\(y'' - y = e^{2t}\)\(y(0) = 1\),,\(y'(0) = 1\) usando la transformación de Laplace.

Solución

Llamar\(\mathcal{L} (y) = Y\). Aplicar la transformada de Laplace a la ecuación da

\[(s^2 Y - sy(0) - y'(0)) - Y = \dfrac{1}{s - 2}\nonumber \]

Un poco de álgebra ahora da

\[(s^2 - 1) Y = \dfrac{1}{s - 2} + s + 1.\nonumber \]

Entonces

\[Y = \dfrac{1}{(s - 2)(s^2 - 1)} + \dfrac{s + 1}{s^2 - 1} = \dfrac{1}{(s - 2)(s^2 - 1)} + \dfrac{1}{s - 1}\nonumber \]

Usar fracciones parciales para escribir

\[Y = \dfrac{A}{s - 2} + \dfrac{B}{s - 1} + \dfrac{C}{s + 1} + \dfrac{1}{s - 1}.\nonumber \]

El método de encubrimiento da\(A = 1/3, B = -1/2, C = 1/6.\)

Reconocemos

\[\dfrac{1}{s - a}\nonumber \]

como la transformación de Laplace de\(e^{at}\), así

\[y(t) = Ae^{2t} + Be^t + Ce^{-t} + e^t = \dfrac{1}{3} e^{2t} - \dfrac{1}{2} e^t + \dfrac{1}{6} e^{-t} + e^t.\nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Resolver\(y'' - y = 1\)\(y(0) = 0\),,\(y'(0) = 0\).

Solución

El resto (cero) las condiciones iniciales son agradables porque no agregarán ningún término al álgebra. Al igual que en el ejemplo anterior aplicamos la transformada de Laplace a toda la ecuación.

\[s^2 Y - Y = \dfrac{1}{s}, \text{ so } Y = \dfrac{1}{s(s^2 - 1)} = \dfrac{1}{s(s - 1)(s+1)} = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{s -1} + \dfrac{C}{s + 1}\nonumber \]

El método de encubrimiento da\(A = -1, B = 1/2, C = 1/2\). Entonces,

\[y = A + Be^t + Ce^{-t} = -1 + \dfrac{1}{2} e^t + \dfrac{1}{2} e^{-t}.\nonumber \]