13.4: Propiedades de Laplace transform
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Ya hemos utilizado la linealidad de la transformada de Laplace cuando calculamos\(\mathcal{L} (\cos (\omega t))\). Vamos a grabarlo oficialmente como una propiedad.
La transformación de Laplace es lineal. Es decir, si\(a\) y\(b\) son constantes y\(f\) y\(g\) son funciones entonces
\[\mathcal{L} (af + bg) = a \mathcal{L} (f) + b \mathcal{L} (g).\]
(La prueba es trivial, la integración es lineal).
Una propiedad clave de la transformación de Laplace es que, con algunos detalles técnicos,
Laplace transform transforma derivados en\(t\) multiplicación por\(s\) (más algunos detalles).
Esto se demuestra en el siguiente teorema.
Si\(f(t)\) tiene tipo exponencial\(a\) y transformación de Laplace\(F(s)\) entonces
\[\mathcal{L} (f'(t); s) = sF(s) - f(0), \text{ valid for Re}(s) > a.\]
- Prueba
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Esto lo demostramos usando integración por partes.
\(\mathcal{L} (f'; s) = \int_{0}^{\infty} f'(t) e^{-st}\ dt = f(t) e^{-st} \vert_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} s f(t) e^{-st} \ dt = -f(0) + sF(s).\)
En el último paso se utilizó el hecho de que at\(t = \infty, f(t) e^{-st} = 0\), que se desprende de la suposición sobre el tipo exponencial.
La ecuación 13.5.2 nos da fórmulas para todas las derivadas de\(f\).
\[\mathcal{L} (f''; s) = s^2 F(s) - sf(0) - f'(0)\]
\[\mathcal{L} (f'''; s) = s^3 F(s) - s^2 f(0) - sf'(0) - f''(0)\]
\(Proof\). Para la Ecuación 13.5.3:
\(\mathcal{L} (f''; s) = \mathcal{L} ((f')'; s) = s \mathcal{L} (f'; s) - f'(0) = s(sF(s) - f(0)) - f'(0) = s^2 F(s) - sf(0) - f'(0). \text{ QED}\)
La prueba Ecuación 13.5.4 es similar. Además, se mantienen declaraciones similares para derivados de orden superior.
Hay una complicación adicional si queremos considerar funciones que son discontinuas en el origen o si queremos\(f(t)\) permitir que sea una función generalizada como\(\delta (t)\). En estos casos no\(f(0)\) está definido, por lo que nuestras fórmulas están indefinidas. La solución técnica es reemplazar 0 por\(0^{-}\) en la definición y todas las fórmulas para transformar Laplace. Puedes conocer más sobre esto tomando 18.031.
Si\(f(t)\) tiene tipo exponencial\(a\), entonces\(F(s)\) es una función analítica para\(\text{Re} (s) > a\) y
\[F'(s) = -\mathcal{L} (tf(t); s).\]
- Prueba
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Tomamos el derivado de\(F(s)\). La convergencia absoluta para\(\text{Re} (s)\) grandes garantías de que podemos intercambiar el orden de integración y tomar la derivada.
\(F'(s) = \dfrac{d}{ds} \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st}\ dt = \int_{0}^{\infty} -t f(t) e^{-st}\ dt = \mathcal{L} (-tf(t); s).\)
Esto prueba la Ecuación 13.5.5.
La ecuación 13.5.5 se llama la regla\(s\) -derivada. Podemos extenderlo a más derivados en\(s\): Supongamos\(\mathcal{L} (f;s) = F(s)\). Entonces,
\[\mathcal{L} (tf(t); s) = -F'(s)\]
\[\mathcal{L} (t^n f(t); s) = (-1)^n F^{(n)} (s)\]
La Ecuación 13.5.6 es la misma que la Ecuación 13.5.5 anterior. De esto se desprende la ecuación 13.5.7.
Utilice la regla\(s\) -derivada y la fórmula\(\mathcal{L} (1;s) = 1/s\) para calcular la transformación de Laplace de\(t^n\) para\(n\) un entero positivo.
Solución
Dejar\(f(t) = 1\) y\(F(s) = \mathcal{L} (f; s)\). Usando la regla\(s\) -derivada obtenemos
\(\mathcal{L} (t;s) = \mathcal{L} (t f; s) = -F' (s) = \dfrac{1}{s^2}\)
\(\mathcal{L} (t^2;s) = \mathcal{L} (t^2 f; s) = (-1)^2 F'' (s) = \dfrac{2}{s^3}\)
\(\mathcal{L} (t^n;s) = \mathcal{L} (t^n f; s) = (-1)^n F^n (s) = \dfrac{n!}{s^{n + 1}}\)
Como de costumbre, asuma\(f(t) = 0\) por\(t < 0\). Supongamos\(a > 0\). Entonces,
\[\mathcal{L} (f(t - a); s) = e^{-as} F(s)\]
- Prueba
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Volvemos a la definición de la transformación de Laplace y hacemos el cambio de variables\(\tau = t - a\).
\(\begin{array} {rcl} {\mathcal{L} (f(t - a); s)} & = & {\int_{0}^{\infty} f(t - a) e^{-st}\ dt = \int_{a}^{\infty} f(t - a) e^{-st}\ dt} \\ {} & = & {\int_{0}^{\infty} f(\tau) e^{-s(\tau + a)} \ d \tau = e^{-sa} \int_{0}^{\infty} f(\tau) e^{-s \tau} \ d \tau = e^{-sa} F(s).} \end{array}\)
Las propiedades de las Ecuaciones 13.5.1-13.5.8 serán utilizadas en los ejemplos siguientes. También están en la tabla al final de estas notas.