13.7: Funciones del sistema y la transformación de Laplace

Cuando introdujimos el criterio Nyquist para la estabilidad, declaramos sin justificación alguna que el sistema era estable si todos los polos de la función del sistema\(G(s)\) estaban en el semiplano izquierdo. También afirmamos que los polos correspondían a modos exponenciales del sistema. En esta sección utilizaremos la transformación de Laplace para desarrollar más plenamente estas ideas para ecuaciones diferenciales.

Revisión de relámpago de 18.03

Definiciones

1. \(D = \dfrac{d}{dt}\)se llama operador diferencial. Aplicado a una función que\(f(t)\)
   \[Df = \dfrac{df}{dt}.\]
   tenemos Leemos\(Df\) como '\(D\)aplicado a'\(f\).

   Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

   Si\(f(t) = t^3 + 2\) entonces\(Df = 3t^2, D^2f = 6t\).

2. Si\(P(s)\) es un polinomio entonces\(P(D)\) se llama operador diferencial polinómico.

   Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

   Supongamos\(P(s) = s^2 + 8s + 7\). ¿Qué es\(P(D)\)? Computación\(P(D)\) aplicada a\(f(t) = t^3 + 2t + 5\). Computación\(P(D)\) aplicada a\(g(t) = e^{2t}\).

   Solución

   \(P(D) = D^2 + 8D + 7I\). (El\(I\) in\(7I\) es el operador de identidad.) Para calcular\(P(D) f\) calculamos todos los términos y los sumamos:

   \[\begin{array} {rcl} {f(t)} & = & {t^3 + 2t + 5} \\ {Df(t)} & = & {3t^2 + 2} \\ {D^2 f(t)} & = & {6t} \end{array}\]

   Por lo tanto:\((D^2 + 8D + 7I) f = 6t + 8(3t^2 + 2) + 7(t^3 + 2t + 5) = 7t^3 + 24t^2 + 20t + 51.\)

   \[\begin{array} {rcl} {g(t)} & = & {e^{2t}} \\ {Dg(t)} & = & {2e^{2t}} \\ {D^2 g(t)} & = & {4e^{2t}} \end{array}\]

   Por lo tanto:\((D^2 + 8D + 7I) g = 4e^{2t} + 8(2) e^{2t} + 7e^{2t} = (4 + 16 + 7) e^{2t} = P(2) e^{2t}\).

La regla de sustitución es una declaración directa sobre las derivadas de exponenciales.

Teorema\(\PageIndex{1}\) Substitution rule

Para un operador diferencial polinomial\(P(D)\) tenemos

\[P(D) e^{st} = P(s) e^{st}.\]

Prueba

Esto es obvio. Nosotros 'lo demostramos' con el ejemplo. Vamos\(P(D) = D^2 + 8D + 7I\). Entonces

\[P(D) e^{at} = a^2 e^{at} + 8ae^{at} + 7e^{at} = (a^2 + 8a + 7) e^{at} = P(a) e^{at}.\]

Sigamos trabajando a partir de este ejemplo específico. A partir de ella podremos recordarle el enfoque general para resolver ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Supongamos\(P(s) = s^2 + 8s + 7\). Encuentra los modos exponenciales de la ecuación\(P(D) y = 0\).

Solución

Los modos exponenciales son soluciones de la forma\(y(t) = e^{s_0 t}\). Uso de la regla de substititución

\[P(D) e^{s_0 t} = 0 \Leftrightarrow P(s_0) = 0.\]

Es decir,\(y (t) = e^{s_0 t}\) es un modo exactamente cuando\(s_0\) es una raíz de\(P(s)\). Las raíces de\(P(s)\) son -1, -7. Entonces las soluciones modales son

\[y_1(t) = e^{-t} \ \ \text{and} \ \ y_2 (t) = e^{-7t}.\]

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Rehacer el ejemplo anterior usando la transformada de Laplace.

Solución

Para ello resolvemos la ecuación diferencial con condiciones iniciales arbitrarias:

\[P(D) y = y'' + 8y' + 7y = 0; \ \ y(0) = c_1, y'(0) = c_2.\]

Vamos\(Y(s) = \mathcal{L} (y; s)\). Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación que obtenemos

\[(s^2 Y(s) - sy(0) - y'(0)) + 8(sY(s) - y(0)) + 7Y(s) = 0\]

Álgebra:

\[(s^2 + 8s + 7) Y(s) - sc_1 - c_2 - 8c_1 = 0 \Leftrightarrow Y = \dfrac{sc_1 + 8c_1 + c_2}{s^2 + 8s + 7}\]

Factorizando el denominador y usando fracciones parciales, obtenemos

\[Y(s) = \dfrac{sc_1 + 8c_1 + c_2}{s^2 + 8s + 7} = \dfrac{sc_1 + 8c_1 + c_2}{(s + 1) (s + 7)} = \dfrac{A}{s + 1} + \dfrac{B}{s + 7}.\]

No nos preocupan los valores exactos de\(A\) y\(B\). Tomando el inverso de Laplace obtenemos

\[y(t) = Ae^{-t} + Be^{-7t}.\]

Es decir,\(y(t)\) es una combinación lineal de los modos exponenciales.

Debe notar que el denominador en la expresión for no\(Y(s)\) es otro que el polinomio característico\(P(s)\).

función del sistema

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Con lo\(P(s)\) mismo que en el Ejemplo 13.7.2 resolver el DE no homogéneo con condiciones iniciales de reposo:\(P(D) y = f(t)\),\(y(0) = 0\),\(y'(0) = 0\).

Solución

Tomando la transformación de Laplace de la ecuación que obtenemos

\[P(s) Y(s) = F(s).\]

Por lo tanto

\[Y(s) = \dfrac{1}{P(s)} F(s)\]

No podemos encontrar\(y(t)\) explícitamente porque\(f(t)\) no se especifica.

Pero, podemos hacer las siguientes definiciones y observaciones. Vamos\(G(s) = 1/P(s)\). Si declaramos\(f\) ser la entrada y\(y\) la salida de este sistema lineal invariante de tiempo, entonces\(G(s)\) se llama la función del sistema. Entonces, tenemos

\[Y(s) = G(s) \cdot F(s).\]

La fórmula\(Y = G \cdot F\) puede formularse como

output =\(\times\) entrada de función del sistema.

Obsérvese bien, las raíces de\(P(s)\) corresponden a los modos exponenciales del sistema, es decir, los polos de\(G(s)\) corresponden a los modos exponenciales.

El sistema se llama estable si todos los modos decaen a 0 como\(t\) va al infinito. Es decir, si todos los polos tienen parte real negativa.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Este ejemplo es para enfatizar que no todas las funciones del sistema son de la forma\(1/P(s)\). Considerar el sistema modelado por la ecuación diferencial

\[P(D)x = Q(D) f,\]

donde\(P\) y\(Q\) son polinomios. Supongamos\(f\) que consideramos que es la entrada y\(x\) que es la salida. Encuentra la función del sistema.

Solución

Si comenzamos con las condiciones iniciales de descanso para\(x\) y\(f\) luego la transformación de Laplace da\(P(s) X(s) = Q(s) F(s)\) o

\[X(s) = \dfrac{Q(s)}{P(s)} \cdot F(s)\]

Uso de la formulación

output =\(\times\) entrada de función del sistema.

vemos que la función del sistema es

\[G(s) = \dfrac{Q(s)}{P(s)}.\]

Tenga en cuenta que cuando\(f(t) = 0\) se convierte la ecuación diferencial\(P(D) x = 0\). Si hacemos la suposición de que el\(Q(s)/P(s)\) está en forma reducida, es decir,\(P\) y no\(Q\) tenemos ceros comunes, entonces los modos del sistema (que corresponden a las raíces de\(P(s)\)) siguen siendo los polos de la función del sistema.

Comentarios

Todos los sistemas LTI tienen funciones del sistema. Ni siquiera son todos de la forma\(Q(s)/P(s)\). Pero, en el\(s\) dominio -, la salida es siempre la función del sistema multiplicada por la entrada. Si la función del sistema no es racional entonces puede tener un número infinito de polos. La estabilidad es más difícil de caracterizar, pero bajo algunos supuestos razonables el sistema será estable si todos los polos están en el semiplano izquierdo.

La función del sistema también se llama función de transferencia. Se puede pensar en ello como una descripción de cómo el sistema transfiere la entrada a la salida.