1.10: Fracciones Parciales

Fracciones parciales es el nombre que se le da a una técnica de integración que puede ser utilizada para integrar cualquier función racional ¹. Ya sabemos integrar algunas funciones racionales simples

\ begin {alinear*}\ int\ frac {1} {x}\, d {x} &=\ log|x|+C &\ int\ frac {1} {1+x^2}\, d {x} &=\ arctan (x) +C\ end {align*}

Combinando estos con la regla de sustitución, podemos integrar funciones racionales similares pero más complicadas:

\ begin {alinear*}\ int\ frac {1} {2x+3}\, d {x} &=\ frac {1} {2}\ log|2x+3 | +C &\ int\ frac {1} {3+4x^2}\, d {x} &=\ frac {1} {2\ sqrt {3}}\ arctan\ izquierda (\ frac {2x} {\ sqrt {3}}\ derecha) +C\ final {alinear*}

Al sumar estos términos juntos podemos integrar formas aún más complicadas

\ begin {align*}\ int\ left [x +\ frac {1} {x+1} +\ frac {1} {x-1}\ derecha]\, d {x} &=\ frac {x^2} {2} +\ log|x+1 | +\ log|x-1| +C\ end {align*}

Sin embargo, no se nos presenta (típicamente) una función racional muy bien descompuesta en pequeños pedazos limpios. Es mucho más probable que la función racional se escriba como la proporción de dos polinomios. Por ejemplo:

\ comenzar {reunir*}\ int\ frac {x^3+x} {x^2-1}\, d {x}\ fin {reunir*}

En este ejemplo específico no es difícil confirmar que

\ begin {align*} x+\ frac {1} {x+1} +\ frac {1} {x-1} &=\ frac {x (x+1) (x-1) + (x-1) + (x+1)} {(x+1) (x-1)} =\ frac {x^3+x} {x^2-1}\ end {align*}

y por lo tanto

\ begin {alinear*}\ int\ frac {x^3+x} {x^2-1}\, d {x} &=\ int\ izquierda [x +\ frac {1} {x+1} +\ frac {1} {x-1}\ derecha]\, d {x}\\ &=\ frac {x^2} {2} +\ log|x+1 | +\ log|x+1 | +\ log|x-1| +C\ final {alinear*}

Por supuesto, ir en esta dirección (de una suma de términos a una sola función racional) es sencillo. Para ser útiles necesitamos entender cómo hacer esto a la inversa: descomponer una función racional dada en una suma de piezas más simples que podamos integrar.

Supongamos que\(N(x)\) y\(D(x)\) son polinomios. La estrategia básica es escribir\(\frac{N(x)}{D(x)}\) como una suma de funciones racionales muy simples, fáciles de integrar, a saber

1. polinomios — veremos a continuación que estos son necesarios cuando el grado ² de\(N(x)\) es igual o estrictamente mayor que el grado de\(D(x)\text{,}\) y
2. funciones racionales de la forma particularmente simple\(\frac{A}{(ax+b)^n}\) y
3. funciones racionales de la forma\(\frac{Ax+B}{(ax^2+bx+c)^m}\text{.}\)

Ya sabemos integrar las dos primeras formas, y veremos cómo integrar la tercera forma en un futuro próximo.

Para comenzar a explorar este método de descomposición, volvamos al ejemplo que acabamos de ver

\ begin {align*} x+\ frac {1} {x+1} +\ frac {1} {x-1} &=\ frac {x (x+1) (x-1) + (x-1) + (x+1)} {(x+1) (x-1)} =\ frac {x^3+x} {x^2-1}\ end {align*}

La técnica que utilizaremos se basa en dos observaciones:

1. Los denominadores en el lado izquierdo de son los factores del denominador\(x^2-1=(x-1)(x+1)\) en el lado derecho.
2. Se usa\(P(x)\) para denotar el polinomio en el lado izquierdo, y luego usar\(N(x)\) y\(D(x)\) para denotar el numerador y denominador del lado derecho. Eso es

   \ begin {alinear*} P (x) &=x & N (x) &= x^3+x y D (x) &= x^2-1. \ end {alinear*}

   Entonces el grado de\(N(x)\) es la suma de los grados de\(P(x)\) y\(D(x)\text{.}\) Esto se debe a que el término de grado más alto en\(N(x)\) es el\(x^3\text{,}\) que viene de multiplicar\(P(x)\) por\(D(x)\text{,}\) como vemos en

   \ begin {alinear*} x +\ frac {1} {x+1} +\ frac {1} {x-1} &=\ frac {\ overbrackets {x} ^ {P (x)}\ overbrackets {(x+1) (x-1)} ^ {D (x)} + (x-1) + (x+1)} {(x+1) (x-1)} =\ frac {x^3+x} {x^2-1}\ final {alinear*}

   De manera más general, la presencia de un polinomio en el lado izquierdo se señala en el lado derecho por el hecho de que el grado del numerador es al menos tan grande como el grado del denominador.

Ejemplos de descomposición de fracciones parciales

En lugar de redactar la técnica —conocida como la descomposición parcial de la fracción— en plena generalidad, la ilustraremos a través de una secuencia de ejemplos.

Ejemplo 1.10.1\(\int\frac{x-3}{x^2-3x+2}\, d{x}\)

En este ejemplo, integramos\(\frac{N(x)}{D(x)}=\frac{x-3}{x^2-3x+2}\text{.}\)

Solución

• Paso 1. Primero verificamos para ver si\(P(x)\) se necesita un polinomio. Para ello, comprobamos para ver si el grado del numerador,\(N(x)\text{,}\) es estrictamente menor que el grado del denominador\(D(x)\text{.}\) En este ejemplo, el numerador,\(x-3\text{,}\) tiene grado uno y eso es efectivamente estrictamente menor que el grado del denominador,\(x^2-3x+2\text{,}\) que es dos. En este caso ³ no necesitamos extraer un polinomio\(P(x)\) y pasamos al paso 2.
• Paso 2. El segundo paso es factorizar el denominador

  \ start {align*} x^2-3x+2 & = (x-1) (x-2)\ end {alinear*}

  En este ejemplo es bastante fácil, pero en futuros ejemplos (y muy posiblemente en tus tareas, cuestionarios y examen) tendrás que trabajar más duro para factorizar el denominador. En el Apéndice A.16 hemos escrito algunos trucos sencillos para factorizar polinomios. Los ilustraremos en el Ejemplo 1.10.3 a continuación.
• Paso 3. El tercer paso es escribir\(\frac{x-3}{x^2-3x+2}\) en el formulario

  \ comenzar {reunir*}\ frac {x-3} {x^2-3x+2} =\ frac {A} {x-1} +\ frac {B} {x-2}\ fin {reunir*}

  para algunas constantes\(A\) y\(B\text{.}\) Más generalmente, si el denominador consiste en\(n\) diferentes factores lineales, entonces descomponemos la relación como

  \ begin {align*}\ text {función racional} &=\ frac {A_1} {\ text {factor lineal 1}} +\ frac {A_2} {\ text {factor lineal 2}} +\ cdots +\ frac {a_n} {\ text {factor lineal n}}\ end {align*}

  Para proceder necesitamos determinar los valores de las constantes\(A,\ B\) y existen varios métodos diferentes para hacerlo. Aquí hay dos métodos

• Paso 3 — Método Álgebra. Este enfoque tiene el beneficio de ser conceptualmente más claro y más fácil, pero la desventaja es que es más tedioso.

  Para determinar los valores de las constantes\(A,\ B\text{,}\) ponemos ⁴ el lado derecho atrás sobre el denominador común\((x-1)(x-2)\text{.}\)

  \ begin {reunir*}\ frac {x-3} {x^2-3x+2} =\ frac {A} {x-1} +\ frac {B} {x-2} =\ frac {A (x-2) +B (x-1)} {(x-1) (x-2)}\ end {reunión*}

  La fracción del extremo izquierdo es la misma que la fracción del extremo derecho si y sólo si sus numeradores son los mismos.

  \[\begin{align*} x-3&=A(x-2)+B(x-1)\\ \end{align*}\]

  Escribe el lado derecho como polinomio en forma estándar (es decir, recoge todos los\(x\) términos y todos los términos constantes)

  \ start {align*} x-3& =( A+B) x + (-2A-B)\ end {alinear*}

  Para que estos dos polinomios sean iguales, el coeficiente de\(x\) en el lado izquierdo y el coeficiente de\(x\) en el lado derecho deben ser los mismos. De igual manera los coeficientes de\(x^0\) (es decir, los términos constantes) deben coincidir. Esto nos da un sistema de dos ecuaciones.

  \ begin {alinear*} A+B&=1 y -2A-B&=-3\ end {alinear*}

  en las dos incógnitas\(A,B\text{.}\) Podemos resolver este sistema

  • usando la primera ecuación, es decir,\(A+B=1\text{,}\) determinar\(A\) en términos de\(B\text{:}\)

    \ comenzar {reunir*} A=1-B\ final {reunir*}

  • Sustituir esto en la ecuación restante elimina la\(A\) de la segunda ecuación, dejando una ecuación en la desconocida\(B\text{,}\) que luego se puede resolver para\(B\text{:}\)

    \ begin {align*} -2A-B&=-3 &\ text {sustituto $A=1-B$}\\ -2 (1-B) -B&=-3 &\ text {limpiar}\\ -2+B &=-3 &\ texto {entonces $B=-1$}\ end {align*}

  • Una vez que\(B\text{,}\) sepamos podemos sustituirlo de nuevo en\(A=1-B\) para conseguir\(A\text{.}\)

    \ begin {reunir*} A=1-B=1- (-1) =2\ end {reunir*}

  De ahí

  \ begin {reunir*}\ frac {x-3} {x^2-3x+2} =\ frac {2} {x-1} -\ frac {1} {x-2}\ end {reunir*}

• Paso 3 — Método Sneaky. Esto requiere un poco más de trabajo para entender, pero es más eficiente que el método álgebra.

  Deseamos encontrar\(A\) y\(B\) para qué

  \ begin {reunir*}\ frac {x-3} {(x-1) (x-2)} =\ frac {A} {x-1} +\ frac {B} {x-2}\ end {reunir*}

  Tenga en cuenta que el denominador del lado izquierdo ha sido escrito en forma factorizada.

  • Para determinar\(A\text{,}\) multiplicamos ambos lados de la ecuación por\(A\) el denominador, que es\(x-1\text{,}\)

    \ comenzar {reunir*}\ frac {x-3} {x-2} =A+\ frac {(x-1) B} {x-2}\ fin {reunir*}

    y luego eliminamos completamente\(B\) de la ecuación evaluando a\(x=1\text{.}\) Este valor de\(x\) se elige para hacer\(x-1=0\text{.}\)

    \ begin {reunir*}\ frac {x-3} {x-2}\ bigg|_ {x=1} =A+\ frac {(x-1) B} {x-2}\ bigg|_ {x=1}\ implica A =\ frac {1-3} {1-2} = 2\ final {reunir*}

  • Para determinar\(B\text{,}\) multiplicamos ambos lados de la ecuación por\(B\) el denominador, que es\(x-2\text{,}\)

    \ comenzar {reunir*}\ frac {x-3} {x-1} =\ frac {(x-2) A} {x-1} + B\ final {reunir*}

    y luego eliminamos completamente\(A\) de la ecuación evaluando a\(x=2\text{.}\) Este valor de\(x\) se elige para hacer\(x-2=0\text{.}\)

    \ begin {reunir*}\ frac {x-3} {x-1}\ bigg|_ {x=2} =\ frac {(x-2) A} {x-1}\ bigg|_ {x=2} +B\ implica B =\ frac {2-3} {2-1} = -1\ end {reunión*}

  De ahí que tengamos (la respuesta agradecidamente consistente)

  \ begin {reunir*}\ frac {x-3} {x^2-3x+2} =\ frac {2} {x-1} -\ frac {1} {x-2}\ end {reunir*}

  Observe que no importa qué método usemos para encontrar las constantes, podemos verificar fácilmente nuestra respuesta al sumar los términos nuevamente juntos:

  \ begin {alinear*}\ frac {2} {x-1} -\ frac {1} {x-2} &=\ frac {2 (x-2) - (x-1)} {(x-2) (x-1)}\\ & =\ frac {2x-4-x+1} {x^2-3x+2} =\ frac {x-3} {x^2-3x+2}\ marca de verificación\ end {align*}

• Paso 4. El paso final es integrar.

  \ begin {alinear*}\ int\ frac {x-3} {x^2-3x+2}\, d {x} & =\ int\ frac {2} {x-1}\, d {x} +\ int\ frac {-1} {x-2}\, d {x}\ & =2\ log|x-1|-\ log|x-2|+C\ end {align*}

Quizás lo primero que notas es que este proceso toma bastantes pasos ⁵. Sin embargo ningún paso es tan complicado; solo se necesita práctica. Dicho esto, hagamos otro, un poco más complicado, uno.

Ejemplo 1.10.2\(\int\frac{3x^3-8x^2+4x-1}{x^2-3x+2}\, d{x}\)

En este ejemplo, integramos\(\frac{N(x)}{D(x)} =\frac{3x^3-8x^2+4x-1}{x^2-3x+2}\text{.}\)

Solución

• Paso 1. Primero verificamos para ver si el grado del numerador\(N(x)\) es estrictamente menor que el grado del denominador\(D(x)\text{.}\) En este ejemplo, el numerador,\(3x^3-8x^2+4x-1\text{,}\) tiene grado tres y el denominador,\(x^2-3x+2\text{,}\) tiene grado dos. Como\(3\ge 2\text{,}\) tenemos que implementar el primer paso.

  El objetivo del primer paso es escribir\(\frac{N(x)}{D(x)}\) en el formulario

  \ comenzar {reunir*}\ frac {N (x)} {D (x)} =P (x) +\ frac {R (x)} {D (x)}\ final {reunir*}

  con\(P(x)\) ser un polinomio y\(R(x)\) ser un polinomio de grado estrictamente menor que el grado de\(D(x)\text{.}\) El lado derecho es\(\frac{P(x)D(x)+R(x)}{D(x)}\text{,}\) así que tenemos que expresar el numerador en la forma\(N(x)=P(x)D(x)+R(x)\text{,}\) con\(P(x)\) y\(R(x)\) siendo polinomios y con el grado de\(R\) siendo estrictamente menor que el grado de\(D\text{.}\)\(P(x)D(x)\) es una suma de expresiones de la forma\(ax^n D(x)\text{.}\) Queremos sacar tantas expresiones de esta forma como sea posible del numerador\(N(x)\text{,}\) dejando solo un resto de grado bajo\(R(x)\text{.}\)

  Hacemos esto usando división larga, la misma división larga que aprendiste en la escuela, pero con la base 10 reemplazada por\(x\text{.}\)

  • Comenzamos observando que para llegar del término de grado más alto en el denominador (\(x^2\)) al término de grado más alto en el numerador (\(3x^3\)), tenemos que multiplicarlo por\(3x\text{.}\) Así escribimos,

    

    En la expresión anterior, el denominador está a la izquierda, el numerador está a la derecha y\(3x\) está escrito por encima del término de orden más alto del numerador. Siempre poner poderes inferiores de\(x\) a la derecha de poderes superiores de\(x\) — esto refleja cómo se hace división larga con números; poderes inferiores de diez se sientan a la derecha de poderes superiores de diez.

  • Ahora restamos\(3x\) veces el denominador,\(x^2-3x+2\text{,}\) que es\(3x^3-9x^2+6x\text{,}\) del numerador.

    

  • Esto ha dejado un resto de\(x^2-2x-1\text{.}\) Para pasar del término de grado más alto en el denominador (\(x^2\)) al término de grado más alto en el resto (\(x^2\)), tenemos que multiplicar por\(1\text{.}\) Así escribimos,

    

  • Ahora restamos\(1\) veces el denominador,\(x^2-3x+2\text{,}\) que es\(x^2-3x+2\text{,}\) del resto.

    

  • Esto deja un resto de\(x-3\text{.}\) Porque el resto tiene grado\(1\text{,}\) que es menor que el grado del denominador (siendo grado 2), nos detenemos.
  • En este ejemplo, cuando restamos\(3x(x^2-3x+2)\) y\(1(x^2-3x+2)\) de\(3x^3-8x^2+4x-1\) terminamos con\(x-3\text{.}\) Eso es,

    \ begin {alinear*} &3x^3-8x^2+4x-1\ -\ 3x (x^2-3x+2)\ -\ 1 (x^2-3x+2)\\ &\ hskip2.5in= x-3\ end {alinear*}

    o, recogiendo los dos términos proporcionales a\((x^2-3x+2)\)

    \ comenzar {reunir*} 3x^3-8x^2+4x-1\ -\ (3x+1) (x^2-3x+2)\ =\ x-3\ final {reunir*}

    Mover el\((3x+1)(x^2-3x+2)\) hacia el lado derecho y dividir toda la ecuación por\(x^2-3x+2\) da

    \ begin {reunir*}\ frac {3x^3-8x^2+4x-1} {x^2-3x+2}\ =\ 3x+1\ +\\ frac {x-3} {x^2-3x+2}\ end {reunir*}

    Y podemos verificar fácilmente esta expresión simplemente sumando los dos términos en el lado derecho.

  Hemos escrito el integrando en la forma\(\frac{N(x)}{D(x)}=P(x)+\frac{R(x)}{D(x)},\) con el grado de\(R(x)\) estrictamente menor que el grado de\(D(x)\text{,}\) que es lo que queríamos. Observe que\(R(x)\) es el resto final del procedimiento de división larga y\(P(x)\) está en la parte superior del cómputo de división larga. Este es el final del Paso 1. ¡Oof! Definitivamente deberías practicar este paso.

• 

• Paso 2. El segundo paso es factorizar el denominador

  \ comenzar {reunir*} x^2-3x+2= (x-1) (x-2)\ fin {reunir*}

  Ya hicimos esto en el Ejemplo 1.10.1.
• Paso 3. El tercer paso es escribir\(\frac{x-3}{x^2-3x+2}\) en el formulario

  \ comenzar {reunir*}\ frac {x-3} {x^2-3x+2} =\ frac {A} {x-1} +\ frac {B} {x-2}\ fin {reunir*}

  para algunas constantes\(A\) y ya\(B\text{.}\) hicimos esto en el Ejemplo 1.10.1. Encontramos\(A=2\) y\(B=-1\text{.}\)
• Paso 4. El paso final es integrar.

  \ begin {alinear*} &\ int\ frac {3x^3-8x^2+4x-1} {x^2-3x+2}\, d {x}\ &\ hskip0.5in=\ int\ grande [3x+1\ grande]\, d {x} +\ int\ frac {2} {x-1}\, d {x} +\ int\ frac {-1} {x-2}\, d {x}\\ &\ hskip0.5in=\ frac {3} {2} x^2+x+ 2\ log|x-1|-\ log|x-2|+C\ end {alinear*}

Se puede ver que el paso de integración es bastante rápido —casi todo el trabajo es en la preparación del integrando.

Aquí hay un ejemplo muy sólido. Es bastante largo y los pasos están involucrados. Sin embargo por favor persista. Ningún paso es demasiado difícil.

Ejemplo 1.10.3\(\int\frac{x^4+5x^3+16x^2+26x+22}{x^3+3x^2+7x+5}\, d{x}\)

En este ejemplo, integramos\(\frac{N(x)}{D(x)}= \frac{x^4+5x^3+16x^2+26x+22}{x^3+3x^2+7x+5}\text{.}\)

Solución

• Paso 1. Nuevamente, comenzamos comparando los grados del numerador y denominador. En este ejemplo, el numerador,\(x^4+5x^3+16x^2+26x+22\text{,}\) tiene grado cuatro y el denominador,\(x^3+3x^2+7x+5\text{,}\) tiene grado tres. Como\(4\ge 3\text{,}\) debemos ejecutar el primer paso, que es escribir\(\frac{N(x)}{D(x)}\) en el formulario

  \ comenzar {reunir*}\ frac {N (x)} {D (x)} =P (x) +\ frac {R (x)} {D (x)}\ final {reunir*}

  con\(P(x)\) ser un polinomio y\(R(x)\) ser un polinomio de grado estrictamente menor que el grado de\(D(x)\text{.}\) Este paso se logra por división larga, tal como lo hicimos en el Ejemplo 1.10.3. Volveremos a pasar por todo el proceso en detalle de nuevo.

  En realidad — antes de seguir leyendo adelante, por favor, pruébalo en la división larga. Es una buena práctica.

  • Comenzamos observando que para llegar del término de grado más alto en el denominador (\(x^3\)) al término de grado más alto en el numerador (\(x^4\)), tenemos que multiplicar por\(x\text{.}\) Así escribimos,

    

  • Ahora restamos\(x\) veces el denominador\(x^3+3x^2+7x+5\text{,}\) que es\(x^4+3x^3+7x^2+5x\text{,}\) del numerador.

    

  • El resto era\(2x^3+9x^2+21x+22\text{.}\) Para pasar del término de grado más alto en el denominador (\(x^3\)) al término de grado más alto en el resto (\(2x^3\)), tenemos que multiplicar por\(2\text{.}\) Así escribimos,

    

  • Ahora restamos\(2\) veces el denominador\(x^3+3x^2+7x+5\text{,}\) que es\(2x^3+6x^2+14x+10\text{,}\) del resto.

    

  • Esto deja un resto de\(3x^2+7x+12\text{.}\) Porque el resto tiene grado\(2\text{,}\) que es menor que el grado del denominador, que es que\(3\text{,}\) nos detenemos.
  • En este ejemplo, cuando restamos\(x(x^3+3x^2+7x+5)\) y\(2(x^3+3x^2+7x+5)\) de\(x^4+5x^3+16x^2+26x+22\) terminamos con\(3x^2+7x+12\text{.}\) Eso es,

    \ begin {alinear*} &x^4+5x^3+16x^2+26x+22\ -\ x (x^3+3x^2+7x+5)\\ &\ hskip2in\ -\ 2 (x^3+3x^2+7x+5)\\ &\ hskip0.5in = 3x^2+7x+12\ end {align*}

    o, recogiendo los dos términos proporcionales a\((x^3+3x^2+7x+5)\) que obtengamos

    \ begin {alinear*} &x^4+5x^3+16x^2+26x+22\ -\ (x+2) (x^3+3x^2+7x+5)\\ &\ hskip0.5in=\ 3x^2+7x+12\ end {alinear*}

    Mover el\((x+2)(x^3+3x^2+7x+5)\) hacia el lado derecho y dividir toda la ecuación por\(x^3+3x^2+7x+5\) da

    \ begin {reunir*}\ frac {x^4+5x^3+16x^2+26x+22} {x^3+3x^2+7x+5} =x+2+\ frac {3x^2+7x+12} {x^3+3x^2+7x+5}\ end {reunir*}

  Esto es de la forma\(\frac{N(x)}{D(x)}=P(x)+\frac{R(x)}{D(x)},\) con el grado de\(R(x)\) estrictamente menor que el grado de\(D(x)\text{,}\) que es lo que queríamos. Observe, una vez más, que\(R(x)\) es el resto final del procedimiento de división larga y\(P(x)\) está en la parte superior del cómputo de división larga.

  

• Paso 2. El segundo paso es factorizar el denominador\(D(x)=x^3+3x^2+7x+5\text{.}\) En el “mundo real” la factorización de polinomios suele ser muy dura. Afortunadamente ⁶, este no es el “mundo real” y hay un truco disponible para ayudarnos a encontrar esta factorización. El lector debe tomar algún tiempo para mirar el Apéndice A.16 antes de continuar.
  • El truco explota el hecho de que la mayoría de los polinomios que aparecen en las tareas y en las pruebas tienen coeficientes enteros y algunas raíces enteras. Cualquier raíz entera de un polinomio que tenga coeficientes enteros, como\(D(x)=x^3+3x^2+7x+5\text{,}\) debe dividir exactamente el término constante del polinomio. Por qué esto es cierto se explica ⁷ en el Apéndice A.16.
  • Entonces, cualquier raíz entera de\(x^3+3x^2+7x+5\) debe dividirse\(5\) exactamente. Así los únicos enteros que pueden ser raíces de\(D(x)\) son\(\pm 1\) y Por\(\pm 5\text{.}\) supuesto, no todos estos dan raíces del polinomio —de hecho no hay garantía de que ninguno de ellos lo sea. Tenemos que probar cada uno.
  • Para probar si\(+1\) es una raíz, nos\(x=1\) suben\(D(x)\text{:}\)

    \ begin {reunir*} D (1) =1^3+3 (1) ^2+7 (1) +5=16\ end {reunir*}

    Como no\(D(1)\ne 0\text{,}\)\(1\) es una raíz de\(D(x)\text{.}\)
  • Para probar si\(-1\) es una raíz, la submaremos en\(D(x)\text{:}\)

    \ begin {reunir*} D (-1) = (-1) ^3+3 (-1) ^2+7 (-1) +5=-1+3-7+5 = 0\ end {reunión*}

    Como\(D(-1)= 0\text{,}\)\(-1\) es una raíz de\(D(x)\text{.}\) As\(-1\) es una raíz de\(D(x)\text{,}\)\(\big(x-(-1)\big)=(x+1)\) must factor\(D(x)\) exactamente. Podemos factorizar la\((x+1)\) salida de\(D(x)=x^3+3x^2+7x+5\) por división larga una vez más.
  • Dividir\(D(x)\) por\((x+1)\) da:

    

    Esta vez, cuando restamos\(x^2(x+1)\) y\(2x(x+1)\) y\(5(x+1)\) de\(x^3+3x^2+7x+5\) terminamos con\(0\) —como sabíamos que pasaría, porque sabíamos que eso\(x+1\) divide\(x^3+3x^2+7x+5\) exactamente. De ahí

    \ comenzar {reunir*} x^3+3x^2+7x+5\ -\ x^2 (x+1)\ -\ 2x (x+1)\ -\ 5 (x+1)\ =\ 0\ final {reunir*}

    o

    \ start {reunir*} x^3+3x^2+7x+5\ =\ x^2 (x+1)\ +\ 2x (x+1)\ +\ 5 (x+1)\ end {reunir*}

    o

    \ begin {reunir*} x^3+3x^2+7x+5 = (x^2+2x+5) (x+1)\ end {reunir*}

  • Aún no es tiempo de detenerse; debemos intentar factorizar el factor cuadrático,\(x^2+2x+5\text{.}\) Podemos usar la fórmula cuadrática ⁸ para encontrar las raíces de\(x^2+2x+5\text{:}\)

    \ begin {reunir*}\ frac {-b\ pm\ sqrt {b^2-4ac}} {2a} =\ frac {-2\ pm\ sqrt {4-20}} {2} =\ frac {-2\ pm\ sqrt {-16}} {2}\ end {reunión*}

    Dado que esta expresión contiene la raíz cuadrada de un número negativo la ecuación no\(x^2+2x+5=0\) tiene soluciones reales; sin el uso de números complejos,\(x^2+2x+5\) no se puede factorizar.

  Hemos llegado al final del paso 2. En este punto tenemos

  \ begin {reunir*}\ frac {x^4+5x^3+16x^2+26x+22} {x^3+3x^2+7x+5} =x+2+\ frac {3x^2+7x+12} {(x+1) (x^2+2x+5)}\ end {reunión*}

• Paso 3. El tercer paso es escribir\(\frac{3x^2+7x+12}{(x+1)(x^2+2x+5)}\) en el formulario

  \ begin {reunir*}\ frac {3x^2+7x+12} {(x+1) (x^2+2x+5)} =\ frac {A} {x+1} +\ frac {Bx+C} {x^2+2x+5}\ end {reunir*}

  para algunas constantes\(A\text{,}\)\(B\) y\(C\text{.}\)

  Obsérvese que el numerador,\(Bx+C\) del segundo término en el lado derecho no es sólo una constante. Es de grado uno, que es exactamente uno menor que el grado del denominador,\(x^2+2x+5\text{.}\) Más generalmente, si el denominador consiste en\(n\) diferentes factores lineales y\(m\) diferentes factores cuadráticos, entonces descomponemos la relación como

  \ begin {align*}\ text {función racional} &=\ frac {A_1} {\ text {factor lineal 1}} +\ frac {A_2} {\ text {factor lineal 2}} +\ cdots +\ frac {a_n} {\ text {factor lineal n}}\\ &\ phantom {=} +\ frac {b_1x+C_1} {\ text {cuadrante factor 1}} +\ frac {b_2x+C_2} {\ text {factor cuadrático 2}} +\ cdots\\ &\ hskip2in+\ frac {B_ MX+C_m} {\ text {factor cuadrático m}}\ end {alinear*}

  Para determinar los valores de las constantes\(A,\ B,\ C\text{,}\) ponemos el lado derecho hacia atrás sobre el denominador común\((x+1)(x^2+2x+5)\text{.}\)

  \ begin {alinear*}\ frac {3x^2+7x+12} {(x+1) (x^2+2x+5)} & =\ frac {A} {x+1} +\ frac {Bx+C} {x^2+2x+5}\\ & =\ frac {A (x^2+2x+5) + (Bx+C) (x+1)} {(x+1) (x^2+2x+5)}\ final {alinear*}

  La fracción del extremo izquierdo es la misma que la fracción del extremo derecho si y sólo si sus numeradores son los mismos.

  \ start {reunir*} 3x^2+7x+12=A (x^2+2x+5) + (Bx+C) (x+1)\ end {reunir*}

  Nuevamente, como en el Ejemplo 1.10.1, hay un par de formas diferentes de determinar los valores de\(A\text{,}\)\(B\) y a\(C\) partir de esta ecuación.

• Paso 3 — Método Álgebra. El procedimiento conceptualmente más claro es escribir el lado derecho como polinomio en forma estándar (es decir, recoger todos los\(x^2\) términos, todos los\(x\) términos y todos los términos constantes)

  \ comenzar {reunir*} 3x^2+7x+12= (A+B) x^2+ (2A+B+C) x+ (5A+C)\ final {reunir*}

  Para que estos dos polinomios sean iguales, el coeficiente de\(x^2\) en el lado izquierdo y el coeficiente de\(x^2\) en el lado derecho deben ser los mismos. De igual manera los coeficientes de\(x^1\) deben coincidir y los coeficientes de\(x^0\) deben coincidir.

  Esto nos da un sistema de tres ecuaciones

  \ start {alinear*} A+B=3 && 2A+B+C=7 && 5A+C=12\ end {alinear*}

  en las tres incógnitas\(A,B,C\text{.}\) Podemos resolver este sistema

  • usando la primera ecuación, es decir,\(A+B=3\text{,}\) determinar\(A\) en términos de\(B\text{:}\)\(\ \ A=3-B\text{.}\)
  • Sustituir\(A=3-B\) en las dos ecuaciones restantes elimina los\(A\)'s de estas dos ecuaciones, dejando dos ecuaciones en las dos incógnitas\(B\) y\(C\text{.}\)

    \ begin {alinear*} & & A=3-B\ qquad 2A+B+C&=7\ quad & 5A+C&=12\\ &\ Rightarrow & 2 (3-B) +B+C&=7 &\! \! \! \! \! \! 5 (3-B) +C&=12\\ &\ Rightarrow & -B+C&=1 & -5B+C&=-3\ end {align*}

  • Ahora podemos usar la ecuación\(-B+C=1\text{,}\) para determinar\(B\) en términos de\(C\text{:}\)\(B=C-1\text{.}\)
  • Sustituir esto en la ecuación restante elimina los\(B\)'s dejando una ecuación en la desconocida\(C\text{,}\) que es fácil de resolver.

    \ begin {alinear*} & & B&=C-1\ qquad & -5B+C&=-3\\ &\ Rightarrow\ qquad & & & & -5 (C-1) +C&=-3\\ &\ Rightarrow & & & -4C&=-8\ end {alinear*}

  • Así\(C=2\text{,}\) y entonces\(B=C-1=1\text{,}\) y luego\(A=3-B=2\text{.}\) Por lo tanto

    \ begin {reunir*}\ frac {3x^2+7x+12} {(x+1) (x^2+2x+5)} =\ frac {2} {x+1} +\ frac {x+2} {x^2+2x+5}\ end {reunión*}

• Paso 3 — Método Sneaky. Si bien el método anterior es transparente, es bastante tedioso. Podría decirse que es mejor usar el segundo procedimiento, más furtivo y más eficiente. Con el fin de

  \ start {reunir*} 3x^2+7x+12=A (x^2+2x+5) + (Bx+C) (x+1)\ end {reunir*}

  la ecuación debe sostenerse para todos los valores de\(x\text{.}\)

  • En particular, debe ser cierto para\(x=-1\text{.}\) Cuando\(x=-1\text{,}\) el factor que se\((x+1)\) multiplica\(Bx+C\) es exactamente cero. Entonces\(B\) y\(C\) desaparecer de la ecuación, dejándonos con una ecuación fácil de resolver para\(A\text{:}\)

    \ begin {alinear*} 3x^2+7x+12\ Big|_ {x=-1} & =\ Grande [A (x^2+2x+5) + (Bx+C) (x+1)\ Grande] _ {x=-1}\\ &\ LongRightarrow 8=4A\ LongRightarrow A=2\ end {align*}

  • Sub este valor de\(A\) volver a entrar y simplificar.

    \ start {alinear*} 3x^2+7x+12&=2 (x^2+2x+5) + (Bx+C) (x+1)\\ x^2+3x+2&= (Bx+C) (x+1)\ end {alinear*}

    Dado que\((x+1)\) es un factor en el lado derecho, también debe ser un factor en el lado izquierdo.

    \ begin {reunir*} (x+2) (x+1) = (Bx+C) (x+1)\\\ quad\ Rightarrow\ quad (x+2) = (Bx+C)\ quad\ Rightarrow\ quad B=1,\ C=2\ end {reunir*}

  Así que de nuevo nos encontramos con que

  \ begin {reunir*}\ frac {3x^2+7x+12} {(x+1) (x^2+2x+5)} =\ frac {2} {x+1} +\ frac {x+2} {x^2+2x+5}\ marca de verificación\ end {reunión*}

  Así nuestro integrand puede escribirse como

  \ begin {reunir*}\ frac {x^4+5x^3+16x^2+26x+22} {x^3+3x^2+7x+5} =x+2+\ frac {2} {x+1} +\ frac {x+2} {x^2+2x+5}. \ end {reunir*}

• Paso 4. ¡Ahora por fin podemos integrarnos! Las dos primeras piezas son fáciles.

  \ comenzar {reunir*}\ int (x+2)\, d {x} =\ frac {1} {2} x^2+2x\ qquad\ int\ frac {2} {x+1}\, d {x} = 2\ log|x+1 |\ end {reunir*}

  (Estamos dejando la constante arbitraria hasta el final del cómputo.)

  La pieza final es un poco más dura. La idea es completar el cuadrado ⁹ en el denominador

  \ begin {reunir*}\ frac {x+2} {x^2+2x+5} =\ frac {x+2} {(x+1) ^2+4}\ end {reunión*}

  y luego hacer un cambio de variables para que la fracción se vea como\(\frac{ay+b}{y^2+1}\text{.}\) En este caso

  \ begin {reunir*}\ frac {x+2} {(x+1) ^2+4} =\ frac {1} {4}\ frac {x+2} {(\ frac {x+1} {2}) ^2+1}\ end {reunión*}

  por lo que hacemos el cambio de variables\(y=\frac{x+1}{2},\, d{y}=\frac{dx}{2},\ x=2y-1,\, d{x}=2\,\, d{y}\)

  \ begin {alinear*}\ int\ frac {x+2} {(x+1) ^2+4}\, d {x} &=\ frac {1} {4}\ int\ frac {x+2} {{(\ frac {x+1} {2})} ^2+1}\, d {x}\\ &=\ frac {1} {4}\ int\ frac {(2y-1) +2} {y^2+1}\ ,2\,\, d {y}\ =\ frac {1} {2}\ int\ frac {2y+1} {y^2+1}\,\, d {y}\\ &=\ int\ frac {y} {y^2+1}\,\, d {y} +\ frac {1} {2}\ int\ frac {1} {y^2+1}\,\, d {y}\ end {alinear*}

  Ambas integrales son fácilmente evaluadas, utilizando la sustitución\(u=y^2+1\text{,}\)\(\, d{u}=2y\,\, d{y}\) por la primera.

  \ begin {alinear*}\ int\ frac {y} {y^2+1}\,\, d {y} &\ =\ int\ frac {1} {u}\ frac {\, d {u}} {2}\ =\ frac {1} {2}\ log|u|=\ frac {1} {2}\ log (y^2+1)\ & =\\ frac {1} {2}\ log\ Grande [\ Grande (\ frac {x+1} {2}\ Grande) ^2+1\ Grande]\\\ frac {1} {2}\ int\ frac {1} {y^2+1}\,\, d {y} &\ =\ frac {1} {2}\ arctan y\ =\ frac {1} {2}\ arctan\ Grande (\ frac {x+1} {2 }\ Grande)\ final {alinear*}

  Eso es por fin. Uniendo todas las piezas

  \ comenzar {reunir*}\ int\ frac {x^4\! +\! 5x^3\! +\! 16x^2\! +\! 26x+22} {x^3+3x^2+7x+5}\, d {x} =\ frac {1} {2} x^2\! +2x+2\ log|x+1 |\\ +\ frac {1} {2}\ log\ Grande [\ Grande (\ frac {x\! +\! 1} {2}\ Grande) ^2+1\ Grande] +\ frac {1} {2}\ arctan\ Grande (\ frac {x\! +\! 1} {2}\ Grande) +C\ final {reunir*}

Lo mejor después de trabajar a través de unos cuantos ejemplos largos y agradables es hacer otro buen ejemplo largo — es una excelente práctica ¹⁰. Recomendamos que el lector intente el problema antes de leer nuestra solución.

Ejemplo 1.10.4\(\int\frac{4x^3+23x^2+45x+27}{x^3+5x^2+8x+4}\, d{x}\)

En este ejemplo, integramos\(\frac{N(x)}{D(x)}= \frac{4x^3+23x^2+45x+27}{x^3+5x^2+8x+4}\text{.}\)

• Paso 1. El grado del numerador\(N(x)\) es igual al grado del denominador\(D(x)\text{,}\) por lo que el primer paso para escribir\(\frac{N(x)}{D(x)}\) en la forma

  \ comenzar {reunir*}\ frac {N (x)} {D (x)} =P (x) +\ frac {R (x)} {D (x)}\ final {reunir*}

  con\(P(x)\) ser un polinomio (que debe ser de grado,\(0\text{,}\) es decir, solo una constante) y\(R(x)\) ser un polinomio de grado estrictamente menor que el grado de\(D(x)\text{.}\) Por división larga

  

  por lo

  \ begin {reunir*}\ frac {4x^3+23x^2+45x+27} {x^3+5x^2+8x+4} =4+\ frac {3x^2+13x+11} {x^3+5x^2+8x+4}\ end {reunión*}

• Paso 2. El segundo paso es factorizar\(D(x)=x^3+5x^2+8x+4\text{.}\)
  • Para comenzar, intentaremos adivinar una raíz entera. Cualquier raíz entera de\(D(x)\) debe dividir el término constante,\(4\text{,}\) exactamente. Solo\(\pm 1,\ \pm2,\ \pm4\) pueden ser raíces enteras de\(x^3+5x^2+8x+4\text{.}\)
  • Probamos para ver si\(\pm 1\) son raíces.

    \ begin {align*} D (1) &= (1) ^3+5 (1) ^2+8 (1) +4\ ne 0&&\ Rightarrow\\ text {$x=1$ no es una raíz}\\ D (-1) &= (-1) ^3\! +\! 5 (-1) ^2\! +\! 8 (-1)\! +\! 4= 0\! \! \! \! &&\ Rightarrow\\ text {$x=-1$ es una raíz}\ end {align*}

    Así que\((x+1)\) hay que dividir\(x^3+5x^2+8x+4\) exactamente.
  • Por división larga

    

    por lo

    \ begin {alinear*} x^3+5x^2+8x+4&= (x+1) (x^2+4x+4)\\ &= (x+1) (x+2) (x+2)\ end {alinear*}

  • Observe que en su lugar podríamos haber verificado si\(\pm 2\) son raíces o no

    \ begin {align*} D (2) &= (2) ^3+5 (2) ^2+8 (2) +4\ ne 0&&\ Rightarrow\\ text {$x=2$ no es una raíz}\\ D (-2) &= (-2) ^3\! +\! 5 (-2) ^2\! +\! 8 (-2)\! +\! 4= 0\! \! \! \! &&\ Rightarrow\\ text {$x=-2$ es una raíz}\ end {align*}

    Ahora sabemos que ambos\(-1\) y\(-2\) son raíces de\(x^3 + 5x^2 + 8x + 4\) y por lo tanto ambos\((x+1)\) y\((x+2)\) son factores de\(x^3 + 5x^2 + 8x + 4\text{.}\) Porque\(x^3 + 5x^2 + 8x + 4\) es de grado tres y el coeficiente de\(x^3\) es\(1\text{,}\) debemos tener\(x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = (x+1)(x+2)(x+a)\) para alguna constante\(a\text{.}\) Multiplicar el lado derecho muestra que el término constante es\(2a\text{.}\) So\(2a=4\) y\(a=2\text{.}\)

  Este es el final del paso 2. Ahora sabemos que

  \ begin {reunir*}\ frac {4x^3+23x^2+45x+27} {x^3+5x^2+8x+4}\ =\ 4+\ frac {3x^2+13x+11} {(x+1) (x+2) ^2}\ end {reunir*}

• Paso 3. El tercer paso es escribir\(\frac{3x^2+13x+11}{(x+1)(x+2)^2}\) en el formulario

  \ begin {alinear*}\ frac {3x^2+13x+11} {(x+1) (x+2) ^2} &=\ frac {A} {x+1} +\ frac {B} {x+2} +\ frac {C} {(x+2) ^2}\ end {align*}

  para algunas constantes\(A\text{,}\)\(B\) y\(C\text{.}\)

  Obsérvese que hay dos términos en la mano derecha que surgen del factor\((x+2)^2\text{.}\) Uno tiene denominador\((x+2)\) y uno tiene denominador\((x+2)^2\text{.}\) Más generalmente, para cada factor\((x+a)^n\) en el denominador de la función racional en el lado izquierdo, incluimos

  \ comenzar {reunir*}\ frac {A_1} {x+a} +\ frac {A_2} {(x+a) ^2} +\ cdots +\ frac {a_n} {(x+a) ^n}\ end {reunir*}

  en la descomposición parcial de la fracción en el lado derecho ¹¹.

  Para determinar los valores de las constantes\(A,\ B,\ C\text{,}\) ponemos el lado derecho hacia atrás sobre el denominador común\((x+1)(x+2)^2\text{.}\)

  \ begin {alinear*}\ frac {3x^2+13x+11} {(x+1) (x+2) ^2} &=\ frac {A} {x+1} +\ frac {B} {x+2} +\ frac {C} {(x+2) ^2}\\ &=\ frac {A (x+2) ^2+B (x+1) (x+2) +C (x+1)} {(x+1) (x+2) ^2}\ final {alinear*}

  La fracción del extremo izquierdo es la misma que la fracción del extremo derecho si y sólo si sus numeradores son los mismos.

  \ start {reunir*} 3x^2+13x+11=A (x+2) ^2+B (x+1) (x+2) +C (x+1)\ end {reunión*}

  Al igual que en los ejemplos anteriores, hay un par de formas diferentes de determinar los valores de\(A\text{,}\)\(B\) y a\(C\) partir de esta ecuación.

• Paso 3 — Método Álgebra. El procedimiento conceptualmente más claro es escribir el lado derecho como polinomio en forma estándar (es decir, recoger todos los\(x^2\) términos, todos los\(x\) términos y todos los términos constantes)

  \ comenzar {reunir*} 3x^2+13x+11= (A+B) x^2 + (4A+3B+C) x + (4A+2B+C)\ fin {reunir*}

  Para que estos dos polinomios sean iguales, el coeficiente de\(x^2\) en el lado izquierdo y el coeficiente de\(x^2\) en el lado derecho deben ser los mismos. De igual manera los coeficientes de\(x^1\) y los coeficientes de\(x^0\) (es decir, los términos constantes) deben coincidir. Esto nos da un sistema de tres ecuaciones,

  \ comenzar {reunir*} A+B=3\ qquad 4A+3B+C=13\ qquad 4A+2B+C=11\ final {reunir*}

  en las tres incógnitas\(A,B,C\text{.}\) Podemos resolver este sistema

  • usando la primera ecuación, es decir,\(A+B=3\text{,}\) determinar\(A\) en términos de\(B\text{:}\)\(\ \ A=3-B\text{.}\)
  • Sustituir esto en las ecuaciones restantes elimina las dos ecuaciones\(A\text{,}\) que dejan en las dos desconocidas\(B,C\text{.}\)

    \ comenzar {reunir*} 4 (3-B) +3B+C=13\ qquad 4 (3-B) +2B+C=11\ final {reunir*}

    o

    \ begin {reunir*} -B+C=1\ qquad -2B+C=-1\ end {reunir*}

  • Ahora podemos resolver la primera de estas ecuaciones, es decir,\(-B+C=1\text{,}\) porque\(B\) en términos de\(C\text{,}\) dar\(B=C-1\text{.}\)
  • Sustituyendo esto en la última ecuación, a saber\(-2B+C=-1\text{,}\) da\(-2(C-1)+C=-1\) que se resuelve fácilmente para dar
  • \(C=3\text{,}\)y entonces\(B=C-1=2\) y luego\(A=3-B=1\text{.}\)

  De ahí

  \ begin {alinear*}\ frac {4x^3+23x^2+45x+27} {x^3+5x^2+8x+4} &= 4+\ frac {3x^2+13x+11} {(x+1) (x+2) ^2}\\ & = 4+\ frac {1} {x+1} +\ frac {2} {x+2} +\ frac {3} (x+2) ^2}\ final {alinear*}

• Paso 3 — Método Sneaky. El segundo, más furtivo, método para encontrar\(A\text{,}\)\(B\) y\(C\) explota el hecho de que\(3x^2 + 13x + 11 = A(x+2)^2 + B(x+1)(x+2) + C(x+1)\) debe ser cierto para todos los valores de\(x\text{.}\) En particular, debe ser cierto para\(x=-1\text{.}\) Cuando\(x=-1\text{,}\) el factor se\((x+1)\) multiplica\(B\) y\(C\) es exactamente cero. Entonces\(B\) y\(C\) desaparecer de la ecuación, dejándonos con una ecuación fácil de resolver para\(A\text{:}\)

  \ begin {alinear*} 3x^2+13x+11\ Big|_ {x=-1} &=\ Grande [A (x\! +\! 2) ^2+B (x\! +\! 1) (x\! +\! 2) +C (x\! +\! 1)\ Grande] _ {x=-1}\\\ Longrightarrow 1&=A\ end {alinear*}

  Sub este valor de\(A\) volver a entrar y simplificar.

  \ begin {alinear*} 3x^2+13x+11&= (1) (x+2) ^2+B (x+1) (x+2) +C (x+1)\\ 2x^2+9x+7&=B (x+1) (x+2) +C (x+1)\\ &= (xb+2b+C) (x+1)\ end {align*}

  Dado que\((x+1)\) es un factor en el lado derecho, también debe ser un factor en el lado izquierdo.

  \ begin {alinear*} & (2x+7) (x+1) = (xb+2b+c) (x+1)\\ &\ hskip2in\ Rightarrow\ quad (2x+7) = (xb+2b+c)\ end {align*}

  Para que los coeficientes de\(x\) igualen,\(B\) deben ser\(2\text{.}\) Para que los términos constantes coincidan,\(2B+C\) debe ser\(7\text{,}\) así\(C\) debe ser\(3\text{.}\) De ahí que volvamos a tener

  \ begin {alinear*}\ frac {4x^3+23x^2+45x+27} {x^3+5x^2+8x+4} &= 4+\ frac {3x^2+13x+11} {(x+1) (x+2) ^2}\\ & = 4+\ frac {1} {x+1} +\ frac {2} {x+2} +\ frac {3} (x+2) ^2}\ final {alinear*}

• Paso 4. El paso final es integrar

  \ begin {alinear*} &\ int\ frac {4x^3+23x^2+45x+27} {x^3+5x^2+8x+4}\, d {x}\\ &=\ int 4\, d {x} +\ int\ frac {1} {x+1}\, d {x} +\ int\ frac {2} {x+2}\, d {x} +\ int\ frac {3} {(x+2) ^2}\, d {x}\\ &= 4x+\ log|x+1 |+2\ log|x+2|-\ frac {3} {x+2} +C\ final {alinear*}

El método de las fracciones parciales no se limita solo al problema de integrar funciones racionales. Hay otras integrales —como\(\int\sec x\, d{x}\) y\(\int \sec^3 x\, d{x}\) — que pueden transformarse (vía sustituciones) en integrales de funciones racionales. Encontramos ambas integrales en las Secciones 1.8 y 1.9 sobre integrales trigonométricas y sustituciones.

Ejemplo 1.10.5\(\int\sec x\, d{x}\)

Solución

En este ejemplo,\(\sec x\text{.}\) integramos Aún no está claro qué tiene que ver esta integral con las fracciones parciales. Para llegar a un cálculo de fracciones parciales, primero hacemos una de nuestras antiguas sustituciones.

\ begin {align*}\ int\ sec x\, d {x} &=\ int\ frac {1} {\ cos x}\, d {x} &\ text {masajear un poco la expresión}\\ &=\ int\ frac {\ cos x} {\ cos^2 x}\, d {x} &\ text {sustituto $u=\ sin x$, $\, d u {} =\ cos x\, d {x} $}\\ &= -\ int\ frac {\, d {u}} {u^2-1} &\ text {y usa $\ cos^2x=1-\ sen ^2x=1-u^2$}\ end {align *}

Entonces ahora tenemos\(\frac{1}{u^2-1}\text{,}\) que integrar lo que es una función racional de\(u\text{,}\) y así es perfecto para fracciones parciales.

• Paso 1. El grado del numerador,\(1\text{,}\) es cero, que es estrictamente menor que el grado del denominador,\(u^2-1\text{,}\) que es dos. Entonces se salta el primer paso.
• Paso 2. El segundo paso es factorizar el denominador:

  \ start {reunir*} u^2-1= (u-1) (u+1)\ end {reunir*}

• Paso 3. El tercer paso es escribir\(\frac{1}{u^2-1}\) en el formulario

  \ begin {reunir*}\ frac {1} {u^2-1} =\ frac {1} {(u-1) (u+1)} =\ frac {A} {u-1} +\ frac {B} {u+1}\ end {reunir*}

  para algunas constantes\(A\) y\(B\text{.}\)
• Paso 3 — Método Sneaky.
  • Multiplicar por el denominador para obtener

    \ begin {align*} 1 &= A (u+1) + B (u-1)\ end {align*}

    Esta ecuación debe ser cierta para todos\(u\text{.}\)
  • Si ahora establecemos\(u=1\) entonces eliminamos\(B\) de la ecuación dejándonos con

    \ begin {align*} 1 &= 2A &\ text {así $A=\ frac12$.} \ end {alinear*}

  • Del mismo modo, si establecemos\(u=-1\) entonces eliminamos\(A\text{,}\) dejando

    \ begin {align*} 1 &= -2B &\ text {lo que implica $B=-\ frac {1} {2} $.} \ end {alinear*}

  Ahora nos hemos dado cuenta de\(A=\frac{1}{2}, B=-\frac{1}{2}\text{,}\) que

  \ begin {reunir*}\ frac {1} {u^2-1} =\ frac {1} {2}\ Grande [\ frac {1} {u-1} -\ frac {1} {u+1}\ Grande]. \ end {reunir*}

• Siempre es una buena idea revisar nuestro trabajo.

  \ begin {align*}\ frac {\ frac {1} {2}} {u-1} +\ frac {-\ frac {1} {2}} {u+1} &=\ frac {\ frac {1} {2} (u+1) -\ frac {1} {2} (u-1)} {(u-1) (u+1)} =\ frac {1} {(u-1) (u+1)}\ marca de verificación\ final {alinear*}

• Paso 4. El paso final es integrar.

  \ begin {alinear*} &\ int\ sec x\, d {x} = -\ int\ frac {\, d {u}} {u^2-1} &\ text {después de la sustitución}\\ & =-\ frac {1} {2}\ int\ frac {\, d {u}} {u-1} +\ frac {1} {2}\ int\ frac\, d {u}} {u+1} &\ texto {fracciones parciales}\\ & =-\ frac {1} {2}\ log|u-1|+\ frac {1} {2}\ log|U+1|+C\\ & =-\ frac {1} {2}\ log|\ sin (x) -1|+\ frac {1} {2}\ log|\ sin (x) +1|+C &\ text {reorganizar un poco}\\ & =\ frac {1} {2}\ log\ izquierda|\ frac {1+\ sin x} {1-\ sin x}\ derecha|+C\ end {align*}

  Observe que ya que\(-1\le\sin x\le 1\text{,}\) somos libres de dejar caer los valores absolutos en la última línea si así lo deseamos.

Otro ejemplo en el mismo espíritu, aunque un toque más duro. Nuevamente, vimos este problema en la Sección 1.8 y 1.9.

Ejemplo 1.10.6\(\int \sec^3 x\, d{x}\)

Solución

• Comenzaremos convirtiéndola en la integral de una función racional usando la sustitución\(u=\sin x\text{,}\)\(\, d{u}=\cos x\, d{x}\text{.}\)
  \ begin {align*}\ int\ seg^3 x\, d {x} &=\ int\ frac {1} {\ cos^3 x}\, d {x} &\ text {masajear esto un poco}\\ &=\ int\ frac {\ cos x} {\ cos^4 x}\, d {x} &\ text {reemplazar $\ cos^2 x=1-\ sen ^2x=1-u^2$}\\ &=\ int\ frac {\ cos x\, d {x}}
  ParseError: invalid Primary (click for details)

  Callstack:
      at (Matematicas/Calculo_Integral_CLP-2_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/01:_Integración/1.10:_Fracciones_Parciales), /content/body/div[1]/article[6]/div/ul/li[1]/span[3], line 1, column 4
  

  {[1-u^2] ^2}\ end {align*}
• Ahora podríamos encontrar la descomposición parcial de la fracción del\(\frac{1}{ {[1-u^2]}^2}\) integrando ejecutando los cuatro pasos habituales. Pero es más fácil de usar

  \ begin {reunir*}\ frac {1} {u^2-1} =\ frac {1} {2}\ Grande [\ frac {1} {u-1} -\ frac {1} {u+1}\ Grande]\ end {reunir*}

  que elaboramos en el Ejemplo 1.10.5 anterior.
• Al cuadrar esto da

  \ begin {alinear*}\ frac {1} {{[1-u^2]} ^2} &=\ frac {1} {4}\ Grande [\ frac {1} {u-1} -\ frac {1} {u+1}\ Grande] ^2\ &=\ frac {1} {4}\ Grande [\ frac {1} {(u-1) ^2} -\ frac {2} {(u-1) (u+1)} +\ frac {1} {(u+1) ^2}\ Grande]\\ &=\ frac {1} {4}\ Grande [\ frac {1} {(u-1) ^2} -\ frac {1} {u-1} +\ frac {1} {u+1} +\ frac {1} {(u+1) ^2}\ Grande]\ final {alinear*}

  donde hemos vuelto a utilizar\(\frac{1}{u^2-1}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}\right]\) en el último paso.
• Sólo queda hacer las integrales y simplificar.

  \ begin {alinear*} &\ int\ seg^3 x\, d {x} =\ frac {1} {4}\ int\ Grande [\ frac {1} {(u\! -\! 1) ^2} -\ frac {1} {u\! -\! 1} +\ frac {1} {u\! +\! 1} +\ frac {1} {(u\! +\! 1) ^2}\ Grande]\, d {u}\\ &=\ frac {1} {4}\ Grande [-\ frac {1} {u-1} -\ log|u-1|+\ log|u+1|-\ frac {1} {u+1}\ Grande] +C\ &\ hskip2in\ texto {grupo cuidadosamente}\\ &=\ frac {-1} {4}\ Grande [\ frac {1} {u-1} +\ frac {1} {u+1}\ Grande] +\ frac {1} {4}\ Grande [\ log|u+1| -\ log|u-1|\ Grande] + C\ &\ hskip2in\ texto {suma cuidadosamente}\\ &=-\ frac {1} {4}\ frac ac {2u} {u^2-1} +\ frac {1} {4}\ log\ Big|\ frac {u+1} {u-1}\ Big|+C\\ &\ hskip2in\ texto {limpiar}\\ &=\ frac {1} {2}\ frac {u} {1-u^2} +\ frac {1} {4}\ log\ Big|\ frac {u+1} {u-1}\ Big|+C\ &\ hskip2in\ texto {poner $u=\ sin x$}\\ & =\ frac {1} {2}\ frac {\ sin x} {\ cos^2x} +\ frac {1} {4}\ log\ Big|\ frac {\ sin x+1} {\ sin x-1}\ Big|+C\ final {alinear*}

La forma de descomposiciones parciales de fracciones

En los ejemplos anteriores se utilizó el método de fracciones parciales para descomponer funciones racionales en piezas fácilmente integradas. Cada uno de esos ejemplos estuvo bastante involucrado y tuvimos que pasar bastante tiempo factorizando y haciendo división larga. El paso clave en cada uno de los cálculos fue el Paso 3 —en ese paso descompusimos la función racional\(\frac{N(x)}{D(x)}\) (o\(\frac{R(x)}{D(x)}\)), para lo cual el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador, en una suma de funciones racionales particularmente simples, como\(\frac{A}{x-a}\text{.}\) Nosotros no, sin embargo, dar una descripción sistemática de esas descomposiciones.

En esta subsección llenamos ese vacío describiendo la forma general ¹² de descomposiciones parciales de fracciones. La justificación de estas formas no forma parte del curso, pero se invita al lector interesado a leer la siguiente subsección (optativa) donde se dé dicha justificación. A continuación se supone que

• \(N(x)\)y\(D(x)\) son polinomios con el grado de\(N(x)\) estrictamente menor que el grado de\(D(x)\text{.}\)
• \(K\)es una constante.
• \(a_1\text{,}\)\(a_2\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(a_j\)son todos números diferentes.
• \(m_1\text{,}\)\(m_2\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(m_j\text{,}\)y todos\(n_1\text{,}\)\(n_2\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(n_k\) son números enteros estrictamente positivos.
• \(x^2+b_1x+c_1\text{,}\)\(x^2+b_2x+c_2\text{,}\)\(\ \cdots\ \text{,}\)\(x^2+b_kx+c_k\)son todas diferentes.

Caso de factor lineal simple

Si el denominador\(D(x)=K(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_j)\) es producto de\(j\) diferentes factores lineales, entonces

Ecuación 1.10.7

\ begin {reunir*}\ frac {N (x)} {D (x)} =\ frac {A_1} {x-a_1} +\ frac {A_2} {x-a_2} +\ cdots+\ frac {a_j} {x-a_j}\ end {reunión*}

Entonces podemos integrar cada término

\ start {alinear*}\ int\ frac {A} {x-a}\, d {x} &= A\ log|x-a| +C.\ end {align*}

Caso de factor lineal general

Si el denominador\(D(x)=K(x-a_1)^{m_1}(x-a_2)^{m_2}\cdots(x-a_j)^{m_j}\) entonces

Reclamación 1.10.8

\[\begin{align*} \frac{N(x)}{D(x)} &=\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots +\frac{A_{1,m_1}}{(x-a_1)^{m_1}}\\ &\phantom{=}+\frac{A_{2,1}}{x-a_2}+\frac{A_{2,2}}{(x-a_2)^2}+\cdots +\frac{A_{2,m_2}}{(x-a_2)^{m_2}}+\cdots\\ &\phantom{=}+\frac{A_{j,1}}{x-a_j}+\frac{A_{j,2}}{(x-a_j)^2}+\cdots +\frac{A_{j,m_j}}{(x-a_j)^{m_j}} \end{align*}\]

Observe que podríamos reescribir cada línea como

\ begin {alinear*}\ frac {A_ {1}} {x-a} +\ frac {A_ {2}} {(x-a) ^2} +\ cdots+\ frac {A_ {m}} {(x-a) ^ {m}} &=\ frac {A_ {1} (x-a) ^ {m-1} +A_ {2} (x-a) ^ {m-2} +\ cDots+a_ {m}} {(x-a) ^m}\\ &=\ frac {B_ {1} x^ {m-1} +B_ {2} x^ {m-2} +\ cDots+b_ {m}} {(x-a) ^m}\ end {align*}

que es un polinomio cuyo grado,\(m-1\text{,}\) es estrictamente menor que el del denominador\((x-a)^m\text{.}\) Pero la forma de la Ecuación 1.10.8 es preferible porque es más fácil de integrar.

\ begin {alinear*}\ int\ frac {A} {x-a}\, d {x} &= A\ log|x-a| +C\\\ int\ frac {A} {(x-a) ^k}\, d {x} &= -\ frac {1} {k-1}\ cdot\ frac {A} {(x-a) ^ {k-1}} &\ texto {proporcionado} k\ gt 1. \ end {alinear*}

Caso simple de factor lineal y cuadrático

Si\(D(x)=K(x-a_1)\cdots(x-a_j)(x^2+b_1x+c_1)\cdots(x^2+b_kx+c_k)\) entonces

Reclamación 1.10.9

\[\begin{align*} \frac{N(x)}{D(x)} &=\frac{A_1}{x-a_1}+\cdots+\frac{A_j}{x-a_j} +\frac{B_1x+C_1}{x^2+b_1x+c_1}+\cdots+\frac{B_kx+C_k}{x^2+b_kx+c_k} \end{align*}\]

Tenga en cuenta que el numerador de cada término del lado derecho tiene grado uno menor que el grado del denominador.

\(\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}\)Los términos cuadráticos se integran en un proceso de dos etapas que se ilustra mejor con un ejemplo simple (ver también Ejemplo 1.10.3 anterior).

Ejemplo 1.10.10\(\int \frac{2x+7}{x^2+4x+13}\, d{x}\)

Solución

• Comienza completando el cuadrado en el denominador:

  \ begin {align*} x^2+4x+13 &= (x+2) ^2+9 &\ text {y así}\\\ frac {2x+7} {x^2+4x+13} &=\ frac {2x+7} {(x+2) ^2+3^2}\ end {align*}

• Ahora establecido\(y=(x+2)/3, \, d{y}=\frac{1}{3}\, d{x}\text{,}\) o equivalentemente\(x=3y-2, \, d{x}=3\, d{y}\text{:}\)

  \ begin {alinear*}\ int\ frac {2x+7} {x^2+4x+13}\, d {x} &=\ int\ frac {2x+7} {(x+2) ^2+3^2}\, d {x}\\ &=\ int\ frac {6y-4+7} {3^2 y^2 + 3^2}\ cdot 3\, d {y}\\ &=\ int\ frac {6y+3} {3 (y^2+1)}\, d {y}\\ &=\ int\ frac {2y+1} {y^2+1}\, d {y}\ end {align*}

  Observe que elegimos 3 en\(y=(x+2)/3\) precisamente para transformar el denominador en la forma\(y^2+1\text{.}\)
• Ahora casi siempre el numerador será un polinomio lineal de\(y\) y nos descomponemos de la siguiente manera

  \ begin {alinear*}\ int\ frac {2x+7} {x^2+4x+13}\, d {x} &=\ int\ frac {2y+1} {y^2+1}\, d {y}\\ &=\ int\ frac {2y} {y^2+1}\, d {y} +\ int\ frac {1} {y^2+1}\, d {y}\\ &=\ log|y^2+1| +\ arctan y + C\\ &=\ log\ izquierda|\ izquierda (\ frac {x+2} {3}\ derecha) ^2 +1\ derecha| +\ arctan\ izquierda (\ frac {x+2} {3}\ derecha) +C\ final {alinear*}

Opcional: caso de factor lineal y cuadrático general

Si\(D(x)=K(x-a_1)^{m_1}\cdots(x-a_j)^{m_j} (x^2+b_1x+c_1)^{n_1}\cdots(x^2+b_kx+c_k)^{n_k}\)

Reclamación 1.10.11

\[\begin{align*} \frac{N(x)}{D(x)} &=\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots +\frac{A_{1,m_1}}{(x-a_1)^{m_1}}+\cdots\\ &\phantom{=}\!+\frac{A_{j,1}}{x-a_j}+\frac{A_{j,2}}{(x-a_j)^2}+\cdots +\frac{A_{j,m_j}}{(x-a_j)^{m_j}}\\ &\phantom{=}\!+\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+b_1x+c_1} +\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+b_1x+c_1)^2}+\!\cdots\! +\frac{B_{1,n_1}x+C_{1,n_1}}{(x^2+b_1x+c_1)^{n_1}}\!+\!\cdots\\ &\phantom{=}\!+\frac{B_{k,1}x+C_{k,1}}{x^2+b_kx+c_k} +\frac{B_{k,2}x+C_{k,2}}{(x^2+b_kx+c_k)^2}+\!\cdots\! +\frac{B_{k,n_k}x+C_{1,n_k}}{(x^2+b_kx+c_k)^{n_k}} \end{align*}\]

Ya hemos visto cómo integrar los términos lineales simples y generales, y los términos cuadráticos simples. Integrar términos cuadráticos generales no es tan sencillo.

Ejemplo 1.10.12\(\int \frac{\, d{x}}{(x^2+1)^n}\)

Este ejemplo no es tan fácil, por lo que definitivamente debería considerarse opcional.

Solución

En lo que sigue escribe

\ begin {align*} i_n &=\ int\ frac {\, d {x}} {(x^2+1) ^n}. \ end {alinear*}

• Cuando\(n=1\) sabemos que

  \ begin {alinear*}\ int\ frac {\, d {x}} {x^2+1} &=\ arctan x +C\ final {alinear*}

• Ahora supongamos que\(n \gt 1\text{,}\) entonces

  \ begin {alinear*}\ int\ frac {1} {(x^2+1) ^n}\, d {x} &=\ int\ frac {(x^2+1-x^2)} {(x^2+1) ^n}\, d {x} &\ text {astuto}\\ &=\ int\ frac {1} {(x^2+1) ^ {n-1}}\, d {x} -\ int\ frac {x^2} {(x^2+1) ^n}\, d {x}\\ &= I_ {n-1} -\ int\ frac {x^2} {(x^2+1) ^n}\, d {x}\ end {align*}

  Entonces podemos escribir\(I_n\) en términos de\(I_{n-1}\) y esta segunda integral.
• Podemos utilizar la integración por partes para calcular la segunda integral:

  \ begin {alinear*}\ int\ frac {x^2} {(x^2+1) ^n}\, d {x} &=\ int\ frac {x} {2}\ cdot\ frac {2x} {(x^2+1) ^n}\, d {x} &\ text {furtivo}\ end {align*}

  Nos fijamos\(u=x/2\) y\(\, d{v}=\frac{2x}{(x^2+1)^n}\, d{x}\text{,}\) que da\(\, d{u}=\frac{1}{2}\, d{x}\) y se\(v=-\frac{1}{n-1} \cdot \frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}\text{.}\) puede comprobar\(v\) diferenciando. Integración por partes da

  \ begin {alinear*} &\ int\ frac {x} {2}\ cdot\ frac {2x} {(x^2+1) ^n}\, d {x}\ &\ hskip0.5in= -\ frac {x} {2 (n-1) (x^2+1) ^ {n-1}} +\ int\ frac {\, d {x}} {2 (n-1) (x^2+1) ^ {n-1}}\\ &\ hskip0.5in= -\ frac {x} {2 (n-1) (x^2+1) ^ {n-1}} +\ frac {1} {2 (n-1)}\ cdot I_ {n-1}\ end {align*}

• Ahora pon todo junto:

  \ begin {align*} i_n &=\ int\ frac {1} {(x^2+1) ^n}\, d {x}\\ &= I_ {n-1} +\ frac {x} {2 (n-1) (x^2+1) ^ {n-1}} -\ frac {1} {2 (n-1)}\ cdot I_ {n-1}\\ &=\ frac {2n-3} {2 (n-1)} I_ {n-1} +\ frac {x} {2 (n-1) (x^2+1) ^ {n-1}}\ final {alinear*}

• Entonces podemos usar esta recurrencia\(I_n\) para anotar los primeros\(n\text{:}\)

  \ begin {alinear*} I_2 &=\ frac {1} {2} I_1 +\ frac {x} {2 (x^2+1)} +C\\ &=\ frac {1} {2}\ arctan x +\ frac {x} {2 (x^2+1)}\\ I_3 &=\ frac {3} {4} I_2 +\ frac {x} {4 (x^2+1) ^2}\\ &=\ frac {3} {8}\ arctan x +\ frac {3x} {8 (x^2+1)} +\ frac {x} {4 (x^2+1) ^2} +C\\ I_4 &=\ frac {5} {6} I_3 +\ frac {x} {6 (x^2+1) ^3}\\ &=\ frac {5 } {16}\ arctan x +\ frac {5x} {16 (x^2+1)} +\ frac {5x} {24 (x^2+1) ^2} +\ frac {x} {6 (x^2+1) ^3} +C\ final {alinear*}

  y así sucesivamente. Se puede ver por qué las preguntas de fracción parcial que involucran a denominadores con factores cuadráticos repetidos no suelen aparecer en los exámenes.

Opcional — Justificación de las descomposiciones parciales de la fracción

Ahora veremos la justificación de la forma de las descomposiciones parciales de la fracción. Solo consideraremos el caso en el que el denominador tiene sólo factores lineales. Los argumentos cuando hay factores cuadráticos también son similares ¹³.

Caso de factor lineal simple

En la descomposición parcial de la fracción más común, nos separamos

\ comenzar {reunir*}\ frac {N (x)} {(x-a_1)\ veces\ cdots\ veces (x-a_d)}\ fin {reunir*}

en una suma de la forma

\ comenzar {reunir*}\ frac {A_1} {x-a_1} +\ cdots+\ frac {a_D} {x-a_d}\ end {reunir*}

Ahora demostramos que esta descomposición siempre se puede lograr, bajo los supuestos de que los\(a_i\)'s son todos diferentes y\(N(x)\) es un polinomio de grado\(d-1\text{.}\) a lo sumo Para ello, aplicaremos repetidamente el siguiente Lema.

Lema 1.10.13

Dejar\(N(x)\) y\(D(x)\) ser polinomios de grado\(n\) y\(d\) respectivamente, con\(n\le d\text{.}\) Supongamos que NO\(a\) es un cero de\(D(x)\text{.}\) Entonces hay un polinomio\(P(x)\) de grado\(p \lt d\) y un número\(A\) tal que

\ begin {alinear*}\ frac {N (x)} {D (x)\, (x-a)} &=\ frac {P (x)} {D (x)} +\ frac {A} {x-a}\ end {alinear*}

Prueba

• Para guardar la escritura,\(z=x-a\text{.}\) vamos Luego escribimos\(\tilde N(z)=N(z+a)\) y\(\tilde D(z)=D(z+a)\text{,}\) que nuevamente son polinomios de grado\(n\) y\(d\) respectivamente. También sabemos que\(\tilde D(0)=D(a)\ne 0\text{.}\)
• Para completar la prueba necesitamos encontrar un polinomio\(\tilde P(z)\) de grado\(p \lt d\) y un número\(A\) tal que

  \ begin {reunir*}\ frac {\ tilde N (z)} {\ tilde D (z)\, z} =\ frac {\ tilde P (z)} {\ tilde D (z)} +\ frac {A} {z} =\ frac {\ tilde P (z) z+a\ tilde D (z)} {\ tilde D (z)} {\ tilde D (z)\, z}\ end {reunir*}

  o equivalentemente, de tal manera que

  \ comenzar {reunir*}\ tilde P (z) z+A\ tilde D (z) =\ tilde N (z). \ end {reunir*}

• Ahora mira el polinomio del lado izquierdo. Cada término en\(\tilde P(z) z\text{,}\) tiene al menos una potencia de\(z\text{.}\) Entonces el término constante en el lado izquierdo es exactamente el término constante en el\(A\tilde D(z)\text{,}\) que es igual a\(A\tilde D(0)\text{.}\) El término constante en el lado derecho es igual a\(\tilde N(0)\text{.}\) Entonces los términos constantes en los lados izquierdo y derecho son los mismos si elegimos\(A=\frac{\tilde N(0)}{\tilde D(0)}\text{.}\) Recordemos que\(\tilde D(0)\) no puede ser cero, así\(A\) está bien definido.
• Ahora muévase\(A\tilde D(z)\) al lado derecho.

  \ comenzar {reunir*}\ tilde P (z) z=\ tilde N (z) -A\ tilde D (z)\ final {reunir*}

  Los términos constantes en\(\tilde N(z)\) y\(A\tilde D(z)\) son los mismos, por lo que el lado derecho no contiene término constante y el lado derecho es de la forma\(\tilde N_1(z) z\) para algún polinomio\(\tilde N_1(z)\text{.}\)
• Ya que\(\tilde N(z)\) es de grado a lo sumo\(d\) y\(A\tilde D(z)\)\(d\text{,}\)\(\tilde N_1\) es de grado exactamente es un polinomio de grado Ahora\(d-1\text{.}\) basta elegir\(\tilde P(z)=\tilde N_1(z)\text{.}\)

Ahora volvemos a

\ comenzar {reunir*}\ frac {N (x)} {(x-a_1)\ veces\ cdots\ veces (x-a_d)}\ fin {reunir*}

Aplicar Lema 1.10.13, con\(D(x)=(x-a_2)\times\cdots\times (x-a_d)\) y\(a=a_1\text{.}\) Dice

\ begin {reunir*}\ frac {N (x)} {(x-a_1)\ veces\ cdots\ veces (x-a_d)} =\ frac {A_1} {x-a_1} +\ frac {P (x)} {(x-a_2)\ veces\ cdots\ veces (x-a_d)}\ end {reunir*}

para algún polinomio\(P\) de grado como máximo\(d-2\) y algún número\(A_1\text{.}\)

Aplicar Lema 1.10.13 por segunda vez, con\(D(x)=(x-a_3)\times\cdots\times (x-a_d)\text{,}\)\(N(x)=P(x)\) y\(a=a_2\text{.}\) Dice

\ begin {reunir*}\ frac {P (x)} {(x-a_2)\ veces\ cdots\ veces (x-a_d)} =\ frac {A_2} {x-a_2} +\ frac {Q (x)} {(x-a_3)\ veces\ cdots\ veces (x-a_d)}\ end {reunir*}

para algún polinomio\(Q\) de grado como máximo\(d-3\) y algún número\(A_2\text{.}\)

En esta etapa, sabemos que

\ begin {reunir*}\ frac {N (x)} {(x-a_1)\ veces\ cdots\ veces (x-a_d)} =\ frac {A_1} {x-a_1} +\ frac {A_2} {x-a_2} +\ frac {Q (x)} {(x-a_3)\ veces\ cdots\ veces (x-a_d)}\ end {recolector}

Si solo seguimos adelante, aplicando repetidamente Lema 1, eventualmente terminamos con

\ begin {reunir*}\ frac {N (x)} {(x-a_1)\ veces\ cdots\ veces (x-a_d)} =\ frac {A_1} {x-a_1} +\ cdots+\ frac {a_d} {x-a_d}\ end {reunión*}

según sea necesario.

El caso general con factores lineales

Ahora considere dividir

\ begin {reunir*}\ frac {N (x)} {(x-a_1) ^ {n_1}\ veces\ cdots\ veces (x-a_d) ^ {n_d}}\ end {reunir*}

en una suma de la forma ¹⁴

\ begin {reunir*}\ Grande [\ frac {A_ {1,1}} {x-a_1} +\ cdots+\ frac {A_ {1, n_1}} {(x-a_1) ^ {n_1}}\ grande] +\ cdots+\ grande [\ frac {A_ {d,1}} {x-a_d} +\ cdots+\ frac {A_ {d, n_d}} {(x-a_d) ^ {n_d}}\ Grande]\ final {reunir*}

Ahora demostramos que esta descomposición siempre se puede lograr, bajo los supuestos de que los\(a_i\)'s son todos diferentes y\(N(x)\) es un polinomio de grado\(n_1+\cdots+n_d-1\text{.}\) a lo sumo Para ello, aplicaremos repetidamente el siguiente Lema.

Lema 1.10.14

Dejar\(N(x)\) y\(D(x)\) ser polinomios de grado\(n\) y\(d\) respectivamente, con\(n \lt d+m\text{.}\) Supongamos que NO\(a\) es un cero de\(D(x)\text{.}\) Entonces hay un polinomio\(P(x)\) de grado\(p \lt d\) y números\(A_1,\ \cdots,\ A_m\) tales que

\ begin {reunir*}\ frac {N (x)} {D (x)\, (x-a) ^m} =\ frac {P (x)} {D (x)} +\ frac {A_1} {x-a} +\ frac {A_2} {(x-a) ^2} +\ cdots +\ frac {a_M} {(x-a) ^m}\ fin {reunir*}

Prueba

• Como hicimos en la prueba del lema anterior, escribimos\(z=x-a\text{.}\) Entonces\(\tilde N(z)=N(z+a)\) y\(\tilde D(z)=D(z+a)\) son polinomios de grado\(n\) y\(d\) respectivamente,\(\tilde D(0)=D(a)\ne 0\text{.}\)
• Para completar la prueba tenemos que encontrar un polinomio\(\tilde P(z)\) de grado\(p \lt d\) y números\(A_1,\ \cdots,\ A_m\) tal que

  \ begin {align*}\ frac {\ tilde N (z)} {\ tilde D (z)\, z^m} &=\ frac {\ tilde P (z)} {\ tilde D (z)} +\ frac {A_1} {z} +\ frac {A_2} {z^2} +\ cdots +\ frac {A_m} {z^z^m}\\ &=\ frac {\ tilde P (z) z^m+A_1z^ {m-1}\ tilde D (z) +A_2z^ {m-2}\ tilde D (z) +\ cDots+A_m\ tilde D (z)} {\ tilde D (z)\, z^m}\ end {align*}

  o equivalentemente, de tal manera que

  \ begin {align*} &\ tilde P (z) z^m+a_1z^ {m-1}\ tilde D (z) +A_2z^ {m-2}\ tilde D (z) +\ cdots +A_ {m-1} z\ tilde D (z) +A_m\ tilde D (z)\\ &\ hskip3in=\ tilde N ()\ end {alinear*}

• Ahora mira el polinomio del lado izquierdo. Cada término en el lado izquierdo, excepto el último,\(A_m\tilde D(z)\text{,}\) tiene al menos una potencia de\(z\text{.}\) Entonces el término constante en el lado izquierdo es exactamente el término constante en el que es igual a El término constante en el\(A_m\tilde D(z)\text{,}\) que es igual a\(A_m\tilde D(0)\text{.}\) El término constante en el lado derecho es igual a\(\tilde N(0)\text{.}\) Así que el términos constantes en los lados izquierdo y derecho son los mismos si elegimos\(A_m=\frac{\tilde N(0)}{\tilde D(0)}\text{.}\) Recordemos que\(\tilde D(0)\ne 0\) así\(A_m\) está bien definido.
• Ahora muévase\(A_m\tilde D(z)\) al lado derecho.

  \ begin {align*} &\ tilde P (z) z^m+A_1z^ {m-1}\ tilde D (z) +A_2z^ {m-2}\ tilde D (z) +\ cdots +A_ {m-1} z\ tilde D (z)\\ &\ hskip3in=\ tilde N (z) -A_M\ tilde D (z))\ end {alinear*}

  Los términos constantes en\(\tilde N(z)\) y\(A_m\tilde D(z)\) son los mismos, por lo que el lado derecho no contiene término constante y el lado derecho es de la forma\(\tilde N_1(z) z\) con\(\tilde N_1\) un polinomio de grado como máximo\(d+m-2\text{.}\) (Recordemos que\(\tilde N\) es de grado como máximo\(d+m-1\) y\(\tilde D\) es de grado a lo sumo\(d\text{.}\)) Divide toda la ecuación por\(z\) para obtener

  \ begin {reunir*}\ tilde P (z) z^ {m-1} +A_1z^ {m-2}\ tilde D (z) +A_2z^ {m-3}\ tilde D (z) +\ cdots +A_ {m-1}\ tilde D (z) =\ tilde N_1 (z). \ end {reunir*}

• Ahora, podemos repetir el argumento anterior. El término constante en el lado izquierdo, que es exactamente igual para que\(A_{m-1}\tilde D(0)\) coincida con el término constante en el lado derecho, que es igual a\(\tilde N_1(0)\) si elegimos\(A_{m-1}=\frac{\tilde N_1(0)}{\tilde D(0)}\text{.}\) Con esta elección de\(A_{m-1}\)

  \ comenzar {reunir*}\ tilde P (z) z^ {m-1} +A_1z^ {m-2}\ tilde D (z) +A_2z^ {m-3}\ tilde D (z) +\ cdots +A_ {m-2} z\ tilde D (z)\\ =\ tilde N_1 (z) -A_ {m-1}\ tilde D (z) =\ tilde N_2 (z) z\ final {reunir*}

  con\(\tilde N_2\) un polinomio de grado a lo sumo\(d+m-3\text{.}\) Dividir por\(z\) y continuar.
• Después de\(m\) pasos como este, terminamos con

  \ comenzar {reunir*}\ tilde P (z) z=\ tilde N_ {m-1} (z) -A_1\ tilde D (z)\ final {reunir*}

  después de haber elegido\(A_1=\frac{\tilde N_{m-1}(0)}{\tilde D(0)}\text{.}\)
• No hay término constante en el lado derecho por lo que\(\tilde N_{m-1}(z)-A_1\tilde D(z)\) es de la forma\(\tilde N_m(z) z\) con\(\tilde N_m\) un polinomio de grado\(d-1\text{.}\) Elegir\(\tilde P(z)=\tilde N_m(z)\) completa la prueba.

Ahora volvemos a

\ begin {reunir*}\ frac {N (x)} {(x-a_1) ^ {n_1}\ veces\ cdots\ veces (x-a_d) ^ {n_d}}\ end {reunir*}

Aplicar Lema 1.10.14, con\(D(x)=(x-a_2)^{n_2}\times\cdots\times (x-a_d)^{n_d}\text{,}\)\(m=n_1\) y\(a=a_1\text{.}\) Dice

\ begin {alinear*} &\ frac {N (x)} {(x-a_1) ^ {n_1}\ veces\ cdots\ veces (x-a_d) ^ {n_d}}\\ & =\ frac {A_ {1,1}} {x-a_1} +\ frac {A_ {1,2}} {(x-a_1) ^2} +\ cdots +\ frac {A_ {1, n_1}} {(x-a) ^ {n_1}} +\ frac {P (x)} {(x-a_2) ^ {n_2}\ veces\ cdots\ veces (x-a_d) ^ {n_d}}\ end {align*}

Aplicar Lemma 1.10.14 por segunda vez, con\(D(x)=(x-a_3)^{n_3}\times\cdots\times (x-a_d)^{n_d}\text{,}\)\(N(x)=P(x)\text{,}\)\(m=n_2\) y\(a=a_2\text{.}\) Y así sucesivamente. Finalmente, terminamos con

\ begin {reunir*}\ Grande [\ frac {A_ {1,1}} {x-a_1} +\ cdots+\ frac {A_ {1, n_1}} {(x-a_1) ^ {n_1}}\ grande] +\ cdots+\ grande [\ frac {A_ {d,1}} {x-a_d} +\ cdots+\ frac {A_ {d, n_d}} {(x-a_d) ^ {n_d}}\ Grande]\ final {reunir*}

que es exactamente lo que estábamos tratando de mostrar.

Realmente Opcional — El Caso Completamente General

Ahora vamos a ver que, en general, si\(N(x)\) y\(D(x)\) son polinomios con el grado de\(N\) ser estrictamente menores que el grado de\(D\) (que vamos a denotar\(\deg(N) \lt \deg(D)\)) y si

\ begin {recopilar} D (x) =K (x-a_1) ^ {m_1}\ cdots (x-a_j) ^ {m_j} (x^2+b_1x+c_1) ^ {n_1}\ cdots (x^2+b_kx+c_k) ^ {n_k}\ label {eq_intfactD}\ tag {\(\star\)}\ end {recopilar}

(con\(b_\ell^2-4 c_\ell \lt 0\) para todos\(1\le\ell\le k\) para que ningún factor cuadrático pueda escribirse como producto de factores lineales con coeficientes reales) entonces hay números reales\(A_{i,j}\text{,}\)\(B_{i,j}\text{,}\)\(C_{i,j}\) tales que

\ begin {alinear*}\ frac {N (x)} {D (x)} &=\ frac {A_ {1,1}} {x-a_1} +\ frac {A_ {1,2}} {(x-a_1) ^2} +\ cdots +\ frac {A_ {1, m_1}} {(x-a_1) ^ {m_1}} +\ cdots\ &\ fantasma {=}\! +\ frac {A_ {j,1}} {x-a_j} +\ frac {A_ {j,2}} {(x-a_j) ^2} +\ cdots +\ frac {A_ {j, m_j}} {(x-a_j) ^ {m_j}}\\ &\ fantasma {=}\! +\ frac {B_ {1,1} x+c_ {1,1}} {x^2+b_1x+c_1} +\ frac {B_ {1,2} x+c_ {1,2}} {(x^2+b_1x+c_1) ^2} +\! \ cdots\! +\ frac {B_ {1, n_1} x+c_ {1, n_1}} {(x^2+b_1x+c_1) ^ {n_1}}\! +\! \ cdots\\ &\ fantasma {=}\! +\ frac {B_ {k,1} x+c_ {k,1}} {x^2+b_kx+c_k} +\ frac {B_ {k,2} x+c_ {k,2}} {(x^2+b_kx+c_k) ^2} +\! \ cdots\! +\ frac {B_ {k, n_k} x+c_ {1, n_k}} {(x^2+b_kx+c_k) ^ {n_k}}\ final {alinear*}

Esta fue la Ecuación 1.10.11. Comenzamos con dos resultados más simples, que usaremos repetidamente para obtener la Ecuación 1.10.11. En el primer resultado más simple, consideramos la fracción\(\frac{P(x)}{Q_1(x)\,Q_2(x)}\) con\(P(x)\text{,}\)\(Q_1(x)\) y\(Q_2(x)\) siendo polinomios con coeficientes reales y vamos a suponer que cuando\(P(x)\text{,}\)\(Q_1(x)\) y\(Q_2(x)\) se factorizan como in (\(\star\)), ninguno de ellos tiene un lineal o cuadrático común factor. Como ejemplo, no hay dos de

\ begin {alinear*} P (x) &= 2 (x-3) (x-4) (x^2+3x+3)\\ Q_1 (x) &= 2 (x-1) (x^2+2x+2)\\ Q_2 (x) &= 2 (x-2) (x^2+2x+3)\ end {alinear*}

tienen un factor tan común. Pero, para

\ begin {alinear*} P (x) &= 2 (x-3) (x-4) (x^2+x+1)\\ Q_1 (x) &= 2 (x-1) (x^2+2x+2)\\ Q_2 (x) &= 2 (x-2) (x^2+x+1)\ end {alinear*}

\(P(x)\)y\(Q_2(x)\) tienen el factor común\(x^2+x+1\text{.}\)

Lema 1.10.15

Dejar\(P(x)\text{,}\)\(Q_1(x)\) y\(Q_2(x)\) ser polinomios con coeficientes reales y con\(\deg(P)\lt\deg(Q_1Q_2)\text{.}\) Supongamos que no hay dos de\(P(x)\text{,}\)\(Q_1(x)\) y\(Q_2(x)\) tienen un factor lineal o cuadrático común. Luego hay polinomios\(P_1,\ P_2\) con\(\deg(P_1)\lt\deg(Q_1)\text{,}\)\(\deg(P_2)\lt\deg(Q_2)\text{,}\) y

\ begin {reunir*}\ frac {P (x)} {Q_1 (x)\, Q_2 (x)} =\ frac {P_1 (x)} {Q_1 (x)} +\ frac {P_2 (x)} {Q_2 (x)}\ end {reunir*}

Prueba

Estamos para encontrar polinomios\(P_1\) y\(P_2\) que obedezcan

\ comenzar {reunir*} P (x) = P_1 (x)\, Q_2 (x) + P_2 (x)\, Q_1 (x)\ final {reunir*}

En realidad, vamos a encontrar polinomios\(p_1\) y\(p_2\) que obedecen

\ begin {recopilar} p_1 (x)\, Q_1 (x) +p_2 (x)\, Q_2 (x) = C\ etiqueta {EQ_intponepTwo}\ tag {\(\star\star\)}\ end {reunir}

para alguna constante distinta de cero\(C\text{,}\) y luego simplemente multiplicar (\(\star\star\)) por\(\frac{P(x)}{C}\text{.}\) Para encontrar\(p_1\text{,}\)\(p_2\) y\(C\) vamos a usar algo llamado el algoritmo euclidiano. Se trata de un algoritmo ¹⁵ que se utiliza para encontrar de manera eficiente los mayores divisores comunes de dos números. Porque\(Q_1(x)\) y no\(Q_2(x)\) tienen factores comunes de grado\(1\) o\(2\text{,}\) su “mayor divisor común” tiene grado\(0\text{,}\) es decir, es una constante.

• El primer paso es aplicar división larga\(\frac{Q_1(x)}{Q_2(x)}\) para encontrar polinomios\(n_0(x)\) y\(r_0(x)\) tal que

  \ begin {reunir*}\ frac {Q_1 (x)} {Q_2 (x)} = n_0 (x) +\ frac {r_0 (x)} {Q_2 (x)}\ qquad\ texto {con}\ deg (r_0)\ lt\ deg (Q_2)\ end {reunir*}

  o, equivalentemente,

  \ begin {reunir*} Q_1 (x) = n_0 (x)\, Q_2 (x) + r_0 (x)\ qquad\ texto {con}\ deg (r_0)\ lt\ deg (Q_2)\ end {reunir*}

• El segundo paso es aplicar división larga\(\frac{Q_2(x)}{r_0(x)}\) para encontrar polinomios\(n_1(x)\) y\(r_1(x)\) tal que

  \ begin {reunir*} Q_2 (x) = n_1 (x)\, r_0 (x) + r_1 (x)\ qquad\ texto {con}\ deg (r_1)\ lt\ deg (r_0)\\ texto {o}\\ r_1 (x) =0\ end {reunión*}

• El tercer paso (asumiendo que no\(r_1(x)\) era cero) es aplicar división larga\(\frac{r_0(x)}{r_1(x)}\) para encontrar polinomios\(n_2(x)\) y\(r_2(x)\) tal que

  \ begin {reunir*} r_0 (x) = n_2 (x)\, r_1 (x) + r_2 (x)\ qquad\ texto {con}\ deg (r_2)\ lt\ deg (r_1)\\ texto {o}\\ r_2 (x) =0\ fin {reunir*}

• Y así sucesivamente.

A medida que el grado del resto\(r_i(x)\) disminuye en al menos uno cada vez que\(i\) se incrementa en uno, la iteración anterior tiene\(r_{\ell+1}(x)=0\text{.}\) que terminar con algunos Es decir,\(\ell\) elegimos ser índice del último resto distinto de cero. Aquí hay un resumen de todos los largos pasos de división.

\ begin {align*} Q_1 (x) &=n_0 (x)\, Q_2 (x) + r_0 (x)\ qquad &&\ text {con}\ deg (r_0)\ lt\ deg (Q_2)\\ Q_2 (x) &=n_1 (x)\, r_0 (x) + r_1 (x)\ qquad &&\ text {con}\ deg (r_1)\ lt\ deg (r_0)\\ r_0 (x) &=n_2 (x)\, r_1 (x) +r_2 (x)\ qquad &&\ text {con}\ deg (r_2)\ lt\ deg (r_1)\\ r_1 (x) &=n_3 (x)\, r_2 (x) +r_3 (x)\ qquad &&\ texto {con}\ deg (r_3)\ lt\ deg (r_2)\\ &\\ vdots\\ r_ {\ ell-2} (x) &=n_\ ell (x)\, r_ {\ ell-1} (x) +r_\ ell (x)\ qquad &&\ texto {con}\ deg (r_\ ell)\ lt\ deg (r_ {\ ell-1})\\ r_ {\ ell-1} (x) &=n_ {\ ell+1} (x)\, r_\ ell (x) +r_ {\ ell+1} (x)\ qquad &&\ texto {con} r_ {\ ell+1} =0\ end {align*}

Ahora vamos a echar un vistazo más de cerca a todos los diferentes restos que hemos generado.

• Desde el primer paso de división larga, es decir,\(Q_1(x) = n_0(x)\,Q_2(x) + r_0(x)\) tenemos que el resto

  \ begin {reunir*} r_0 (x) =Q_1 (x) -n_0 (x)\, Q_2 (x)\ end {reunir*}

• A partir del segundo paso de división larga, es decir,\(Q_2(x) = n_1(x)\,r_0(x) + r_1(x)\) tenemos que el resto

  \ begin {align*} & r_1 (x) =Q_2 (x) -n_1 (x)\, r_0 (x) = Q_2 (x) -n_1 (x)\ grande [Q_1 (x) -n_0 (x)\, Q_2 (x)\ grande]\\ &\ fantasma {r_1 (x)} =A-1 (x)\, Q_1 (x) +B_1 (x)\, Q_2 (x)\ final {alinear*}

  con\(A_1(x) =-n_1(x)\) y\(B_1(x) = 1+n_0(x)\,n_1(x)\text{.}\)
• A partir del tercer paso de división larga (suponiendo que no\(r_1(x)\) fuera cero), es decir,\(r_0(x)=n_2(x)\,r_1(x)+r_2(x)\text{,}\) tenemos que el resto

  \ begin {align*} r_2 (x) &=r_0 (x) -n_2 (x)\, r_1 (x)\\ &=\ grande [Q_1 (x) -n_0 (x)\, Q_2 (x)\ grande] -n_2 (x)\ grande [A_1 (x)\, Q_1 (x) +B_1 (x)\, Q_2 (x)\ grande]\\ &=A_2 (x)\, Q_1 (x) +B_2 (x)\, Q_2 (x)\ final {alinear*}

  con\(A_2(x)= 1-n_2(x)\,A_1(x)\) y\(B_2(x) = -n_0(x)-n_2(x)\,B_1(x)\text{.}\)
• Y así sucesivamente. Continuando de esta manera, concluimos que el resto final distinto de cero\(r_\ell(x)=A_\ell(x)\,Q_1(x)+B_\ell(x)\,Q_2(x)\) para algunos polinomios\(A_\ell\) y\(B_\ell\text{.}\)

Ahora el último resto distinto de cero\(r_\ell(x)\) tiene que ser una constante distinta de cero\(C\) porque

• es distinto de cero por la definición de\(r_\ell(x)\) y
• si\(r_\ell(x)\) fueran un polinomio de grado al menos uno, entonces
• por lo que\(r_\ell(x)\) sería un factor común para\(Q_1(x)\) y\(Q_2(x)\text{,}\) en contradicción con la hipótesis de que no hay dos de\(P(x)\text{,}\)\(Q_1(x)\) y\(Q_2(x)\) tienen un factor lineal o cuadrático común.

Ahora tenemos eso\(A_\ell(x)\,Q_1(x)+B_\ell(x)\,Q_2(x)=r_\ell(x)=C\text{.}\) Multiplicando por\(\frac{P(x)}{C}\) da

\ begin {reunir*}\ tilde P_2 (x)\, Q_1 (x) +\ tilde P_1 (x)\, Q_2 (x) =P (x)\ quad\ text {o}\ quad\ frac {\ tilde P_1 (x)} {Q_1 (x)} +\ frac {\ tilde P_2 (x)} {Q_2 (x))} =\ frac {P (x)} {Q_1 (x)\, Q_2 (x)}\ final {reunir*}

con\(\tilde P_2(x)=\frac{P(x)\,A_\ell(x)}{C}\) y No\(\tilde P_1(x)=\frac{P(x)\,B_\ell(x)}{C}\text{.}\) hemos terminado del todo, porque aún existe el peligro de que\(\deg(\tilde P_1)\ge \deg(Q_1)\) o\(\deg(\tilde P_2)\ge \deg(Q_2)\text{.}\) Para hacer frente a esa posibilidad, largamente dividimos\(\frac{\tilde P_1(x)}{Q_1(x)}\) y llamamos al resto\(P_1(x)\text{.}\)

\ begin {reunir*}\ frac {\ tilde P_1 (x)} {Q_1 (x)} =N (x) +\ frac {P_1 (x)} {Q_1 (x)}\ qquad\ texto {con}\ deg (P_1)\ lt\ deg (Q_1)\ end {reunir*}

Por lo tanto tenemos que

\ begin {alinear*}\ frac {P (x)} {Q_1 (x)\, Q_2 (x)} &=\ frac {P_1 (x)} {Q_1 (x)} +N (x) +\ frac {\ tilde P_2 (x)} {Q_2 (x)}\\ &=\ frac {P_1 (x)} {Q_2 (x)} {_1 (x)} +\ frac {\ tilde P_2 (x) +N (x) Q_2 (x)} {Q_2 (x)}\ final {alinear*}

Denotando\(P_2(x)=\tilde P_2(x)+N(x)Q_2(x)\) da\(\frac{P}{Q_1\,Q_2} =\frac{P_1}{Q_1} +\frac{P_2}{Q_2}\) y ya que\(\deg(P_1)\lt\deg(Q_1)\text{,}\) lo único que queda por probar es que\(\deg(P_2)\lt\deg(Q_2)\text{.}\) asumimos eso\(\deg(P_2)\ge\deg(Q_2)\) y buscamos una contradicción. Tenemos

\ begin {align*} &\ deg (P_2Q_1)\ ge\ deg (Q_1Q_2)\ gt\ deg (P_1Q_2)\\ &\ implica\ deg (P) =\ deg (P_1Q_2+P_2Q_1) =\ deg (P_2Q_1)\ ge\ deg (Q_1Q_2))\ end {alinear*}

lo que contradice la hipótesis de que\(\deg(P)\lt\deg(Q_1Q_2)\) y la prueba es completa.

Para el segundo de los dos resultados más simples, que en breve usaremos repetidamente para obtener la Ecuación 1.10.11, consideramos\(\frac{P(x)}{(x-a)^m}\) y\(\frac{P(x)}{{(x^2+bx+c)}^m}\text{.}\)

Lema 1.10.16

Dejar\(m\ge 2\) ser un entero, y dejar\(Q(x)\) ser cualquiera\(x-a\) o\(x^2+bx+c\text{,}\) con\(a\text{,}\)\(b\) y\(c\) siendo números reales. Dejar\(P(x)\) ser un polinomio con coeficientes reales, que no contiene\(Q(x)\) como factor, y con\(\deg(P)\lt\deg(Q^m)=m\deg(Q)\text{.}\) Entonces, para cada uno\(1\le i\le m\text{,}\) hay un polinomio\(P_i\) con\(\deg(P_i)\lt\deg(Q)\) o\(P_i=0\text{,}\) tal que

\ begin {reunir*}\ frac {P (x)} {Q (x) ^m} =\ frac {P_1 (x)} {Q (x)} +\ frac {P_2 (x)} {Q (x) ^2} +\ frac {P_3 (x)} {Q (x) ^3} +\ cdots +\ frac {P_ {m-1} (x)} {Q (x) ^ {m-1}} +\ frac {P_ {m} (x)} {Q (x) ^m}. \ end {reunir*}

En particular, si\(Q(x) =x-a\text{,}\) entonces cada uno\(P_i(x)\) es solo una constante\(A_i\text{,}\) y si\(Q(x) =x^2+bx+c\text{,}\) entonces cada uno\(P_i(x)\) es un polinomio\(B_i x+ C_i\) de grado como máximo uno.

Prueba

Simplemente usamos repetidamente divison largos para obtener

\ begin {alinear*}\ frac {P (x)} {Q (x) ^m} &=\ frac {P (x)} {Q (x)}\,\ frac {1} {Q (x) ^ {m-1}} =\ izquierda\ {n_1 (x) +\ frac {r_1 (x)} {Q (x)}\ derecha\} ac {1} {Q (x) ^ {m-1}}\\ &=\ frac {r_1 (x)} {Q (x) ^m} +\ frac {n_1 (x)} {Q (x)}\,\ frac {1} {Q (x) ^ {m-2}}\\ &=\ frac {r_1 (x)} {Q (x)) ^m} +\ izquierda\ {n_2 (x) +\ frac {r_2 (x)} {Q (x)}\ derecha\}\ frac {1} {Q (x) ^ {m-2}} \\ &=\ frac {r_1 (x)} {Q (x) ^m} +\ frac {r_2 (x)} {Q (x) ^ {m-1}} +\ frac {n_2 (x)} {Q (x)}\,\ frac {1} {Q (x) ^ {m-3}}\\ &\ vdots\\ &= frac {r_1 (x)} {Q (x) ^m} +\ frac {r_2 (x)} {Q (x) ^ {m-1}} +\ cdots+\ frac {r_ {m-2} (x)} {Q (x) ^3} +\ frac {n_ {m-2} (x)} {Q (x)}\,\ frac {1} {Q (x)}\\ &=\ frac {r_1 (x)} {Q (x) ^m} +\ frac {r_2 (x)} {Q (x) ^ {m-1}} +\ cdots+\ frac {r_ {m-2} (x)} {Q (x) ^3} +\\ &\ hskip1in\ izquierda\ {n_ {m-1} (x) +\ frac {r_ {m-1} (x)} {Q (x)}\ derecha\}\ frac {1} {Q (x)}\\ &= ac {r_1 (x)} {Q (x) ^m} +\ frac {r_2 (x)} {Q (x) ^ {m-1}} +\ cdots+\ frac {r_ {m-2} (x)} {Q (x) ^3} +\ frac {r_ {m-1} (x)} {Q (x) ^2} +\ frac {n_ {m-1} (x)} {Q (x)}\ final {alinear*}

Por las reglas de división larga cada\(\deg(r_i)\lt\deg(Q)\text{.}\) También es cierto que el numerador final,\(n_{m-1}\text{,}\) tiene\(\deg(n_{m-1})\lt\deg(Q)\) —es decir, seguimos dividiendo por\(Q\) hasta que el grado del cociente fue menor que el grado de\(Q\text{.}\) Para ver esto, tenga en cuenta que\(\deg(P)\lt m\deg(Q)\) y

\ begin {align*}\ deg (n_1) &=\ deg (P) -\ deg (Q)\\\ deg (n_2) &=\ deg (n_1) -\ deg (Q) =\ deg (P) -2\ deg (Q)\\ &\\ vdots\\\ deg (n_ {m-1}) &=\ g (n_ {m-2}) -\ grados (Q) =\ grados (P) - (m-1)\ grados (Q)\\ &\ lt m\ deg (Q) - (m-1)\ grados (Q)\\ &=\ grados (Q)\ end {align*}

Entonces, si\(\deg(Q)=1\text{,}\) entonces\(r_1, r_2, \ldots, r_{m-1}, n_{m-1}\) son todos los números reales, y si\(\deg(Q)=2\text{,}\) entonces\(r_1, r_2, \ldots, r_{m-1}, n_{m-1}\) todos tienen grado como máximo uno.

Ahora estamos en condiciones de obtener la Ecuación 1.10.11. Usamos (\(\star\)) al factor ¹⁶\(D(x)= (x-a_1)^{m_1} Q_2(x)\) y usamos Lemma 1.10.15 para obtener

\ begin {reunir*}\ frac {N (x)} {D (x)} =\ frac {N (x)} {(x-a_1) ^ {m_1} Q_2 (x)} =\ frac {P_1 (x)} {(x-a_1) ^ {m_1}} +\ frac {P_2 (x)} {Q_2 (x)}\ terminar reunión {*}

donde\(\deg(P_1)\lt m_1\text{,}\) y\(\deg(P_2)\lt\deg(Q_2)\text{.}\) Luego usamos Lemma Lemma 1.10.16 para obtener

\ begin {reunir*}\ frac {N (x)} {D (x)} =\ frac {P_1 (x)} {(x-a_1) ^ {m_1}} +\ frac {P_2 (x)} {Q_2 (x)} =\ frac {A_ {1,1}} {x-a_1} +\ frac {A_ {1,2}} {(x-a_1}} {(x-a_1} 1) ^2} +\ cdots +\ frac {A_ {1, m_1}} {(x-a_1) ^ {m_1}} +\ frac {P_2 (x)} {Q_2 (x)}\ end {reunir*}

Seguimos trabajando de esta\(\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}\) manera, sacando del denominador uno\((x-a_i)^{m_i}\) o uno\((x^2+b_ix + c_i)^{n_i}\) a la vez, hasta agotar todos los factores en el denominador\(D(x)\text{.}\)

Ejercicios

Recordemos que estamos usando\(\log x\) para denotar el logaritmo de\(x\) con base\(e\text{.}\) En otros cursos a menudo se denota\(\ln x\text{.}\)

Etapa 1

1

A continuación se presentan las gráficas de cuatro funciones cuadráticas diferentes. Para cada función cuadrática, decide si es: (i) irreducible, (ii) el producto de dos factores lineales distintos, o (iii) el producto de un factor lineal repetido (y posiblemente una constante).

2 (✳)

Escriba la forma general de la descomposición de fracciones parciales de\(\displaystyle\frac{x^3+3}{(x^2-1)^2(x^2+1)} \text{.}\) No es necesario determinar los valores de ninguno de los coeficientes.

3 (✳)

Encontrar el coeficiente de\(\displaystyle \frac{1}{x-1}\) descomposición de la fracción parcial de\(\displaystyle\frac{3x^3-2x^2+11}{x^2(x-1)(x^2+3)}\text{.}\)

4

Vuelva a escribir las siguientes funciones racionales como la suma de un polinomio y una función racional cuyo numerador tenga un grado estrictamente menor que su denominador. (Recuerde que nuestro método de descomposición parcial de la fracción de una función racional sólo funciona cuando el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador).

1. \(\dfrac{x^3+2x+2}{x^2+1}\)
2. \(\dfrac{15x^4+6x^3+34x^2+4x+20}{5x^2+2x+8}\)
3. \(\dfrac{2x^5+9x^3+12x^2+10x+30}{2x^2+5}\)

5

Factorizar los siguientes polinomios en factores lineales e irreducibles.

1. \(5x^3-3x^2-10x+6\)
2. \(x^4-3x^2-5\)
3. \(x^4-4x^3-10x^2-11x-6\)
4. \(2x^4+12x^3-x^2-52x+15\)

6

Aquí hay un hecho:

Supongamos que tenemos una función racional con un factor lineal repetido\((ax+b)^n\) en el denominador, y el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador. En la descomposición parcial de la fracción, podemos sustituir los términos

\[ \frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2}+\frac{A_3}{(ax+b)^3}+\cdots+ \frac{A_n}{(ax+b)^n}\tag{1} \nonumber \]

con el término único

\[ \frac{B_1+B_2x+B_3x^2+\cdots + B_{n}x^{n-1}}{(ax+b)^n}\tag{2} \nonumber \]

y aún así tener la garantía de encontrar una solución.

¿Por qué usamos la suma en (1), en lugar del término único en (2), en la descomposición parcial de la fracción?

Etapa 2

7 (✳)

Evaluar\(\displaystyle\int_1^2 \frac{\, d{x}}{x+x^2}\text{.}\)

8 (✳)

Calcular\(\displaystyle \int \frac{1}{x^4+x^2}\,\, d{x}\text{.}\)

9 (✳)

Calcular\(\displaystyle \int \frac{12x+4}{(x-3)(x^2+1)}\,dx\text{.}\)

10 (✳)

Evaluar la siguiente integral indefinida usando fracción parcial:

\ begin {reunir*} F (x) =\ int\ frac {3x^2 -4} {(x-2) (x^2+4)}\,\, d {x}. \ end {reunir*}

11 (✳)

Evaluar\(\displaystyle\int \frac{x-13}{x^2-x-6}\, d{x}\text{.}\)

12 (✳)

Evaluar\(\displaystyle\int \frac{5x+1}{x^2+5x+6}\, d{x}\text{.}\)

13

Evaluar\(\displaystyle\int \frac{5x^2-3x-1}{x^2-1} \, d{x}\text{.}\)

14

Evaluar\(\displaystyle\int \frac{4x^4+14x^2+2}{4x^4+x^2} \, d{x}\text{.}\)

15

Evaluar\(\displaystyle\int \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2} \, d{x}\text{.}\)

16

Evaluar\(\displaystyle\int \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4} \, d{x}\text{.}\)

17

Evaluar\(\displaystyle\int_0^1 \frac{10x^2+24x+8}{2x^3+11x^2+6x+5} \, d{x}\text{.}\)

Etapa 3

En las preguntas 18 y 19, utilizamos la fracción parcial para encontrar los antiderivados de dos funciones importantes: cosecante y cosecante en cubos.

El propósito de realizar una descomposición parcial de la fracción es manipular un integrando en una forma que sea fácilmente integrable. Estas formas “fácilmente integrables” son funciones racionales cuyo denominador es un poder de una función lineal, o de una función cuadrática irreducible. En las preguntas 20 a 23, exploramos la integración de funciones racionales cuyos denominadores involucran cuadráticas irreducibles.

En las preguntas 24 a 26, utilizamos la sustitución para convertir un integrando no racional en un integrando racional, luego evaluamos la integral resultante usando fracción parcial. Hasta ahora, los problemas de fracción parcial que has visto se han visto en gran medida iguales, pero ten en cuenta que una descomposición parcial de la fracción puede ser un pequeño paso en un problema mayor.

18

Usando el método del Ejemplo 1.10.5, integre\(\displaystyle\int \csc x \, d{x}\text{.}\)

19

Usando el método del Ejemplo 1.10.6, integre\(\displaystyle\int \csc^3 x \, d{x}\text{.}\)

20

Evaluar\(\displaystyle\int_1^2 \frac{3x^3+15x^2+35x+10}{x^4+5x^3+10x^2} \, d{x}\text{.}\)

21

Evaluar\(\displaystyle\int\left(\frac{3}{x^2+2}+\frac{x-3}{(x^2+2)^2}\right) \, d{x} \text{.}\)

22

Evaluar\(\displaystyle\int\frac{1}{(1+x^2)^3} \, d{x}\text{.}\)

23

Evaluar\(\displaystyle\int \left(3x+\frac{3x+1}{x^2+5}+\frac{3x}{(x^2+5)^2}\right) \, d{x}\text{.}\)

24

Evaluar\(\displaystyle\int \frac{\cos\theta}{3\sin\theta+\cos^2\theta-3} \, d{\theta}\text{.}\)

25

Evaluar\(\displaystyle\int\frac{1}{e^{2t}+e^t+1} \, d{t}\text{.}\)

26

Evaluar\(\displaystyle\int\sqrt{1+e^x} \, d{x}\) usando fracción parcial.

27 (✳)

La región\(R\) es la porción del primer cuadrante donde\(3\le x\le 4\) y\(0\le y\le\dfrac{10}{\sqrt{25-x^2}}\text{.}\)

1. Esbozar la región\(R\text{.}\)
2. Determinar el volumen del sólido obtenido al girar\(R\) alrededor del\(x\) eje.
3. Determinar el volumen del sólido obtenido al girar\(R\) alrededor del\(y\) eje.

28

Encuentra el área de la región finita delimitada por las curvas\(y=\dfrac{4}{3+x^2}\text{,}\)\(y=\dfrac{2}{x(x+1)}\text{,}\)\(x=\dfrac14\text{,}\) y\(x=3\text{.}\)

29

Let\(F(x) = \displaystyle\int_1^x \frac{1}{t^2-9} \, d{t}\text{.}\)

1. Dar una fórmula para\(F(x)\) que no implique una integral.
2. Encuentra\(F'(x)\text{.}\)

1. Recordemos que una función racional es la relación de dos polinomios.
2. El grado de un polinomio es el mayor poder de\(x\text{.}\) For example, the degree of \(2x^3+4x^2+6x+8\) is three.
3. Pronto llegaremos a un ejemplo (Ejemplo 1.10.2 de hecho) en el que el grado del numerador es al menos tan grande como el grado denominador —en esa situación tenemos que extraer un polinomio\(P(x)\) antes de poder pasar al paso 2.
4. Es decir, tomamos la forma descompuesta y la sumamos de nuevo.
5. Aunque, para ser justos, hicimos el paso 3 dos veces —y esa es la parte más tediosa... En realidad— a veces factorizar el denominador puede ser bastante desafiante. En breve consideraremos este tema con más detalle.
6. Uno no suele pensar en las tareas o exámenes de matemáticas como lugares agradables y amables... Los polinomios que aparecen en el “mundo real” no son tan indulgente. Naturaleza, roja en diente y garra — para citar inapropiadamente a Tennyson (especialmente cuando este autor no conoce ninguna otra palabra del poema).
7. El Apéndice A.16 contiene varios trucos simples para factorizar polinomios. Te recomendamos que los eches un vistazo.
8. Para ser precisos, la ecuación cuadrática\(ax^2+bx+c=0\) has solutions \(x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\) The term \(b^2-4ac\) is called the discriminant and it tells us about the number of solutions. If the discriminant is positive then there are two real solutions. When it is zero, there is a single solution. And if it is negative, there is no real solutions (you need complex numbers to say more than this).
9. Esta misma idea surgió en la Sección 1.9. Dado un cuadrático escrito como\(Q(x)= ax^2+bx+c\) rewrite it as \(Q(x) = a(x+d)^2+e\text{.}\) We can determine \(d\) and \(e\) by expanding and comparing coefficients of \(x\text{:}\) \(ax^2+bx+c = a(x^2+2dx+d^2)+e = ax^2 + 2dax + (e+ad^2) \text{.}\) Hence \(d=b/2a\) and \(e=c-ad^2\text{.}\)
10. A riesgo de citar a Nietzsche: “Lo que no nos mata nos hace más fuertes”. Aunque este autor siempre prefirió el contrapositivo lógicamente equivalente — “Aquello que no nos haga más fuertes nos va a matar”. Sin embargo, es probable que nadie se lesione practicando fracciones parciales o buscando citas en Wikipedia. También es una buena excusa para recordarte lo que es un contrapositivo —aunque probablemente volveremos a mirarlos cuando lleguemos a secuencias y series.
11. Esto se justifica en la subsección (optativa) “Justificación de las Descomposiciones de Fracción Parcial” a continuación.
12. Bueno —no la forma completamente general, en el sentido de que no estamos permitiendo el uso de números complejos. Como resultado tenemos que usar factores tanto lineales como cuadráticos en el denominador. Si pudiéramos usar números complejos podríamos limitarnos a factores lineales.
13. De hecho, los factores cuadráticos son completamente evitables porque, si usamos números complejos, entonces cada polinomio puede escribirse como un producto de factores lineales. Este es el teorema fundamental del álgebra.
14. Si nos permitimos usar números complejos como raíces, este es el caso general. No necesitamos considerar factores cuadráticos (o superiores) ya que todos los polinomios pueden escribirse como productos de factores lineales con coeficientes complejos.
15. Aparece en Elementos de Euclides, que fue escrito alrededor del 300 a.C., y probablemente se conocía incluso antes de eso.
16. Esto supone que hay al menos un factor lineal. Si no, facetamos\(D(x) = (x^2+b_1x + c_1)^{n_1} Q_2(x)\) instead.