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1.9: Sustitución trigonométrica

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

En esta sección discutimos sustituciones que simplifican integrales que contienen raíces cuadradas de la forma

\ begin {alinear*}\ sqrt {a^2-x^2} &&\ sqrt {a^2+x^2} &&\ sqrt {x^2-a^2}. \ end {alinear*}

Cuando el integrando contiene una de estas raíces cuadradas, entonces podemos usar sustituciones trigonométricas para eliminarlas. Es decir, sustituimos

\ begin {align*} x&=a\ sin u&\ text {or} && x&=a\ tan u&\ text {or} && x&=a\ sec u\ end {align*}

y luego usar identidades trigonométricas

\ begin {reunir*}\ sin^2\ theta +\ cos^2\ theta =1\ quad\ text {y}\ quad 1+\ tan^2\ theta=\ seg^2\ theta\ end {reunir*}

para simplificar el resultado. Para ser más precisos, podemos

  • eliminara2x2 de un integrando sustituyendox=asinu para dar

    \ begin {reunir*}\ sqrt {a^2-x^2} =\ sqrt {a^2-a^2\ sin^2 u} =\ sqrt {a^2\ cos^2 u} =|a\ cos u|\ end {reunir*}

  • eliminara2+x2 de un integrando sustituyendox=atanu para dar

    \ begin {reunir*}\ sqrt {a^2+x^2} =\ sqrt {a^2+a^2\ tan^2 u} =\ sqrt {a^2\ seg^2 u} =|a\ seg u|\ end {reunir*}

  • eliminarx2a2 de un integrando sustituyendox=asecu para dar

    \ begin {reunir*}\ sqrt {x^2-a^2} =\ sqrt {a^2\ seg^2u-a^2} =\ sqrt {a^2\ tan^2 u} =|a\ tan u|\ end {reunir*}

    Tenga mucho cuidado con los signos y valores absolutos al usar esta sustitución. Ver Ejemplo 1.9.6.

Cuando hemos usado sustituciones antes, solemos dar la nueva variable de integración,u, en función de la antigua variable de integraciónx. Aquí estamos haciendo lo contrario — estamos dando la vieja variable de integración,x, en términos de la nueva variable de integraciónu. Podemos hacerlo, como siempre y cuando podamos invertir para obteneru como una función dex. Por ejemplo, conx=asinu, nosotros podemos tomaru=arcsinxa. Este es un buen momento para que revises las definiciones dearcsinθ,arctanθ yarcsecθ. Ver Sección 2.12, “Funciones inversas”, del texto CLP-1.

Como calentamiento, considere el área de una cuarta parte del círculo unitario.

Ejemplo 1.9.1 Cuarto del círculo unitario

Compute el área del círculo unitario que se encuentra en el primer cuadrante.

Solución

Sabemos que la respuesta esπ4, pero también podemos computar esto como una integral — vimos así en el Ejemplo 1.1.16:

\ begin {align*}\ text {area} &=\ int_0^1\ sqrt {1-x^2}\, d {x}\ end {align*}

  • Para simplificar el integrando sustituimosx=sinu. Con esta eleccióndxdu=cosu y asídx=cosudu.
  • También necesitamos traducir los límites de la integración y tal vez sea más fácil hacerlo escribiendou en función dex — es decir,u(x)=arcsinx. Por lo tantou(0)=0 yu(1)=π2.
  • De ahí que la integral se convierta

    \ begin {align*}\ int_0^1\ sqrt {1-x^2}\, d {x} &=\ int_0^ {\ frac {\ pi} {2}}\ sqrt {1-\ sin^2u}\ cdot\ cos u\, d {u}\\ &=\ int_0^ {\ frac {\ pi} {2}}\ sqrt {\ cos^2u}\ cdot\ cos u\, d {u}\\ &=\ int_0^ {\ frac {\ pi} {2}}\ cos^2 u\, d {u}\ end {alinear*}

    Observe que aquí hemos utilizado que la raíz cuadrada positivacos2u=|cosu|=cosu porquecos(u)0 para0uπ2.
  • Para ir más allá utilizamos las técnicas de la Sección 1.8.

    \ begin {align*}\ int_0^1\ sqrt {1-x^2}\, d {x} &=\ int_0^ {\ frac {\ pi} {2}}\ cos^2 u\, d {u}\ qquad\ qquad\ text {y desde $\ cos^2u=\ frac {1+\ cos2u} {2} $}\ &=\ frac {1} {2}\ int_0^ {\ frac {\ pi} {2}} (1+\ cos (2 u))\, d {u}\\ &=\ frac {1} {2}\ bigg [u +\ frac {1} {2}\ sin (2u)\ bigg] _0^ {\ frac {\ pi} {2}\\ &=\ frac {1} {2}\ izquierda (\ frac {\ pi} {2} -0 +\ frac {\ sin\ pi} {2} -\ frac {\ sin 0} {2}\ derecha)\\ &=\ frac {\ pi} {4}\ marca de verificación\ end {align*}

Ejemplo 1.9.2x21x2dx

Solución

Procedemos mucho como hicimos en el ejemplo anterior.

  • Para simplificar el integrando sustituimosx=sinu. Con esta eleccióndxdu=cosu y asídx=cosudu. También tenga en cuenta queu=arcsinx.
  • La integral se convierte

    \ begin {alinear*}\ int\ frac {x^2} {\ sqrt {1-x^2}}\, d {x} &=\ int\ frac {\ sin^2u} {\ sqrt {1-\ sin^2u}}\ cdot\ cos u\, d {u}\\ &=\ int\ frac {\ sin^2u} {\ sqrt {\ sin^2u} {\ sqrt\ cos^2u}}\ cdot\ cos u\, d {u}\ fin {alinear*}

  • Para continuar más tenemos que deshacernos de la raíz cuadrada. Dado queu=arcsinx tiene dominio1x1 y rangoπ2uπ2, se deduce quecosu0 (ya que el coseno no es negativo en estas entradas). De ahí

    \ begin {align*}\ sqrt {\ cos^2u} &=\ cos u &\ text {cuando $-\ frac\ pi2\ leq u\ leq\ frac\ pi2 $}\ end {align*}

  • Así que nuestra integral ahora se convierte

    \ begin {alinear*}\ int\ frac {x^2} {\ sqrt {1-x^2}}\, d {x} &=\ int\ frac {\ sin^2u} {\ sqrt {\ cos^2u}}\ cdot\ cos u\, d {u}\\ &=\ int\ frac {\ sin^2u} {\ cos u} punto\ cos u\, d {u}\\ &=\ int\ sin^2u\, d {u}\\ &=\ frac {1} {2}\ int (1-\ cos 2u)\, d {u}\ qquad\ texto {por Ecuación} {\ texto {1.8.4}}\\ &=\ frac {u} {2} - \ frac {1} {4}\ sin 2u +C\\ &=\ frac {1} {2}\ arcsin x -\ frac {1} {4}\ sin (2\ arcsin x) +C\ final {alinear*}

  • Podemos simplificar esto aún más usando una identidad de doble ángulo. Recordemos esou=arcsinx y aquellox=sinu. Entoncessin2u=2sinucosu

    Podemos reemplazarcosu usandocos2u=1sin2u. Tomando una raíz cuadrada de esta fórmula dacosu=±1sin2u. Necesitamos la rama positiva aquí desdecosu0 cuandoπ2uπ2 (que es exactamente el rango dearcsinx). Continuando:

    \ begin {align*}\ sin2u &= 2\ sin u\ cdot\ sqrt {1-\ sin^2 u}\\ &= 2 x\ sqrt {1-x^2}\ end {align*} Así nuestra solución es

    \ begin {alinear*}\ int\ frac {x^2} {\ sqrt {1-x^2}}\, d {x} &=\ frac {1} {2}\ arcsin x -\ frac {1} {4}\ sin (2\ arcsin x) +C\\ &=\ frac {1} {2}\ arcsin x -\ frac {1} 2} x\ sqrt {1-x^2} +C\ final {alinear*}

Los dos ejemplos anteriores ilustran los principales pasos del enfoque. El siguiente ejemplo es similar, pero con límites de integración más complicados.

Ejemplo 1.9.3rar2x2dx

Encontremos el área de la región sombreada en el boceto a continuación.

Vamos a configurar la integral usando tiras verticales. La tira en la figura tiene anchodx y altor2x2. Así que el área viene dada por la integral

\ begin {align*}\ text {area} &=\ int_a^r\ sqrt {r^2-x^2}\, d {x}\ end {align*}

Lo cual es muy similar al ejemplo anterior.

Solución

  • Para evaluar la integral sustituimos

    \ begin {align*} x&=x (u) =r\ sin u &\, d {x} &=\ dfrac {dx} {du}\, d {u} =r\ cos u\, d {u}\ end {align*}

    También es útil escribir en funciónu dex, a saber,u=arcsinxr.
  • La integral va dex=a ax=r. Estos corresponden a

    \ begin {align*} u (r) &=\ arcsin\ frac {r} {r} =\ arcsin 1 =\ frac {\ pi} {2}\\ u (a) &=\ arcsin\ frac {a} {r}\ quad\ text {que no simplifica más}\ end {alinear*}

  • La integral se convierte entonces

    \ begin {alinear*}\ int_a^r\ sqrt {r^2-x^2}\, d {x} &=\ int_ {\ arcsin (a/r)} ^ {\ frac\ pi2}\ sqrt {r^2-r^2\ sin^2u}\ cdot r\ cos u\, d {u}\ &=\ int_ {\ arcsin (r)} ^ {\ frac\ pi2} r^2\ sqrt {1-\ sin^2u}\ cdot\ cos u\, d {u}\\ &= r^2\ int_ {\ arcsin (a/r)} ^ {\ frac\ pi2}\ sqrt {\ cos^2u}\ cdot\ cos u\, d {u}\ end {alignr}

    Para seguir adelante (como hicimos en los Ejemplos 1.9.1 y 1.9.2) necesitamos pensar sicosu es positivo o negativo.
  • Ya quea (como se muestra en el diagrama) satisface0ar, sabemos queu(a) se encuentra entrearcsin(0)=0 yarcsin(1)=π2. De ahí la variableu se encuentra entre0π2, y y sobrecosu0. este rango Esto nos permite deshacernos de la raíz cuadrada:

    \ comenzar {reunir*}\ sqrt {\ cos^2u} = |\ cos u| =\ cos u\ fin {reunir*}

  • Poniendo este hecho en nuestra integral obtenemosrar2x2dx=r2π2arcsin(a/r)cos2ucosudu=r2π2arcsin(a/r)cos2udu

    Recordar la identidadcos2u=1+cos2u2 de la Sección 1.8

    \ begin {align*} &=\ frac {r^2} {2}\ int_ {\ arcsin (a/r)} ^ {\ frac\ pi2} (1 +\ cos 2u)\, d {u}\\ &=\ frac {r^2} {2}\ bigg [u +\ frac {1} {2}\ sin (2u)\ bigg] _ {\ arcsin (a/r)} ^ {\ frac\ pi2}\\ &=\ frac {r^2} {2}\ izquierda (\ frac {\ pi} {2} +\ frac {1} {2}\ sin\ pi -\ arcsin (a/r) -\ frac {1} {2}\ sin (2\ arcsin (a/r))\ derecha)\\ &= \ frac {r^2} {2}\ izquierda (\ frac {\ pi} {2} -\ arcsin (a/r) -\ frac {1} {2}\ sin (2\ arcsin (a/r))\ derecha)\ end {alinear*} ¡Oof! Pero hay un poco más por recorrer antes de que terminemos.
  • Podemos volver a simplificar el términosin(2arcsin(a/r)) usando una identidad de doble ángulo. Setθ=arcsin(a/r). Entoncesθ está el ángulo en el triángulo a la derecha de abajo. Por la fórmula de doble ángulo parasin(2θ) (Ecuación 1.8.2)

    \ begin {align*}\ sin (2\ theta) &=2\ sin\ theta\\ cos\ theta\\ &=2\\ frac {a} {r}\\ frac {\ sqrt {r^2-a^2}} {r}. \ end {alinear*}

  • Así que finalmente la zona es

    \ begin {align*}\ text {area} &=\ int_a^r\ sqrt {r^2-x^2}\, d {x}\\ &=\ frac {r^2} {2}\ left (\ frac {\ pi} {2} -\ arcsin (a/r) -\ frac {1} {2}\ sin (2\ arcsin (a/r)\ derecha)\\ &=\ frac {\ pi r^2} {4} -\ frac {r^2} {2}\ arcsin (a/r) -\ frac {a} {2}\ sqrt {r^2-a^2}\ end {align*}

  • Esta es una fórmula relativamente complicada, pero podemos hacer algunas comprobaciones de “razonabilidad”, observando valores especiales dea.
    • Sia=0 la región sombreada, en la figura al inicio de este ejemplo, es exactamente una cuarta parte de un disco de radior y también lo ha hecho área14πr2. Sustituira=0 en nuestra respuesta sí da14πr2.
    • En el otro extremo, sia=r, la región sombreada desaparece por completo y también lo ha hecho área0. Subbinga=r en nuestra respuesta de hecho da0, ya quearcsin1=π2.
Ejemplo 1.9.4raxr2x2dx

La integralraxr2x2dx se parece mucho a la integral que acabamos de hacer en los 3 ejemplos anteriores. También se puede evaluar utilizando la sustitución trigonométricax=rsinu, pero eso es innecesariamente complicado. El hecho de que ahora hayas aprendido a usar la sustitución trigonométrica 1 no significa que debas olvidar todo lo que aprendiste antes.

Solución

Esta integral se evalúa mucho más fácilmente usando la sustitución simpleu=r2x2.

  • Estableceru=r2x2. Entoncesdu=2xdx, y así

    \ begin {alinear*}\ int_a^r x\ sqrt {r^2-x^2}\, d {x} &=\ int_ {r^2-a^2} ^0\ sqrt {u}\\ frac {\, d {u}} {-2}\\ &=-\ frac {1} {2}\ bigg [\ frac {u^ {3/2}} {3/2}\ bigg] _ {r^2-a^2} ^0\\ &=\ frac {1} {3}\ grande [r^2-a^2\ grande] ^ {3/2}\ final {alinear*}

Suficientes senos y cosenos — intentemos una sustitución tangente.

Ejemplo 1.9.5dxx29+x2

Solución

Según nuestros lineamientos al inicio de esta sección, la presencia del término raíz cuadrada nos32+x2 indica sustituirx=3tanu.

  • Sustituto

    \ begin {align*} x&=3\ tan u &\, d {x} &= 3\ seg^2 u\, d {u}\ end {align*}

    Esto nos permite eliminar la raíz cuadrada:

    \ begin {align*}\ sqrt {9+x^2} &=\ sqrt {9+9\ tan^2u} =3\ sqrt {1+\ tan^2u} =3\ sqrt {\ seg^2 u} =3|\ seg u|\ end {align*}

  • De ahí que nuestra integral se convierta

    \ begin {alinear*}\ int\ frac {\, d {x}} {x^2\ sqrt {9+x^2}} &=\ int\ frac {3\ seg^2 u} {9\ tan^2u\ cdot 3|\ sec u|}\, d {u}\ end {align*}

  • Para eliminar el valor absoluto debemos considerar el rango de valores deu en la integral. Ya quex=3tanu tenemosu=arctan(x/3). El rango 2 de arcotangente esπ2arctanπ2 y así siempreu=arctan(x/3) va a gustar entreπ2 y+π2. por lo tanto siemprecosu será positivo, lo que a su vez implica que|secu|=secu.
  • Usando este hecho nuestra integral se convierte en:

    \ begin {align*}\ int\ frac {\, d {x}} {x^2\ sqrt {9+x^2}} &=\ int\ frac {3\ seg^2 u} {27\ tan^2u |\ sec u|}\, d {u}\\ &=\ frac {1} {9}\ int\ frac {\ sec u} {\ tan^2u}\, d {u} &\ texto {desde $\ seg u\ gt 0$}\ end {align*}

  • Reescribe esto en términos de seno y cosenodxx29+x2=19secutan2udu=191cosucos2usin2udu=19cosusin2udu

    Ahora podemos usar la regla de sustitución cony=sinu ydy=cosudu

    \ begin {alinear*} &=\ frac {1} {9}\ int\ frac {\, d {y}} {y^2}\\ &= -\ frac {1} {9y} +C\\ &= -\ frac {1} {9\ sin u} +C\ final {alinear*}
  • La integral original era una función dex, por lo que todavía tenemos que reescribirsinu en términos dex. Recordar esox=3tanu ou=arctan(x/3). Asíu es el ángulo que se muestra en el triángulo de abajo y podemos leer fuera del triángulo que

    \ begin {align*}\ sin u &=\ frac {x} {\ sqrt {9+x^2}}\\ implica\ int\ frac {\, d {x}} {x^2\ sqrt {9+x^2}} &= -\ frac {\ sqrt {9+x^2}} {9x} +C\ end {align*}

Ejemplo 1.9.6x2x21dx

Solución

Esta requiere de una sustitución secante, pero por lo demás es muy similar a las anteriores.

  • Establecerx=secu ydx=secutanudu. luego

    \ begin {alinear*}\ int\ frac {x^2} {\ sqrt {x^2-1}}\, d {x} &=\ int\ frac {\ seg^2 u} {\ sqrt {\ seg^2u-1}}\ seg u\ tan u\, d {u}\\ &=\ int\ seg^3 u\ cdot\ frac {\ tan u}\ sqrt {\ tan^2u}}\, d {u}\ qquad\ texto {desde $\ tan^2u =\ seg^2u-1$}\\ &=\ int\ seg^3u\ cdot\ frac {\ tan u} {|\ tan u|}\, d {u}\ end {align*}

  • Como antes necesitamos considerar el rango deu valores para determinar el signo detanu. Aviso de que el integrando solo se define cuando cualquierax<1 ox>1; así debemos tratar los casosx<1 yx>1 por separado. Supongamos esox>1 y volveremos al casox<1 al final del ejemplo.

    Cuandox>1, nuestrou=arcsecx toma valores en(0,π2). Esto sigue desde cuando0<u<π2, tenemos0<cosu<1 y asísecu>1. Más lejos, cuando0<u<π2, tenemostanu>0. Así|tanu|=tanu.

  • Volver a nuestra integral, cuandox>1:x2x21dx=sec3utanu|tanu|du=sec3udusince tanu0

    Esto es exactamente Ejemplo 1.8.22

    \ start {alinear*} &=\ frac {1} {2}\ sec u\ tan u +\ frac {1} {2}\ log|\ sec u +\ tan u| +C\ end {alinear*}
  • Desde que empezamos con una función dex necesitamos terminar con una. Lo sabemossecu=x y luego podemos usar identidades trigonométricastan2u=sec2u1=x21so tanu=±x21

    pero sabemos

    \ begin {align*}\ tan u &\ geq 0 &\ text {so}\ tan u &=\ sqrt {x^2-1}\ end {align*} Así

    \ begin {alinear*}\ int\ frac {x^2} {\ sqrt {x^2-1}}\, d {x} &=\ frac {1} {2} {2} x\ sqrt {x^2-1} +\ frac {1} {2}\ log| x +\ sqrt {x^2-1} | +C\ end {align*}

  • Lo anterior sostiene cuandox>1. Podemos confirmar que también es cierto cuandox<1 al mostrar el lado derecho es un antiderivado válido del integrando. Para ello debemos diferenciar nuestra respuesta. Observe que no necesitamos considerar el signo dex+x21 cuando nos diferenciamos ya que ya hemos visto eso

    \ begin {align*}\ frac {d} {dx}\ log|x| &=\ frac {1} {x}\ end {align*}

    cuando cualquierax<0 ox>0. Así el siguiente cálculo se aplica a ambosx>1 yx<1. Las expresiones se vuelven bastante largas por lo que diferenciamos cada término por separado:

    \ begin {alinear*}\ frac {d} {dx}\ izquierda [x\ sqrt {x^2-1}\ derecha] &=\ izquierda [\ sqrt {x^2-1} +\ frac {x^2} {\ sqrt {x^2-1}}\ derecha]\\ &=\ frac {1} {\ sqrt {x^2-1}}\ izquierda [(x^2-1) + x^2\ derecha]\\ frac {d} {dx}\ log\ big| x +\ sqrt {x^2-1}\ big| &=\ frac {1} {x+\ sqrt {x^2-1}}\ cdot\ izquierda [1+\ frac {x} {\ sqrt {x^2-1}}\ derecha]\\ &= \ frac {1} {x+\ sqrt {x^2-1}}\ cdot\ frac {x+\ sqrt {x^2-1}} {\ sqrt {x^2-1}}\\ &=\ frac {1} {\ sqrt {x^2-1}}\ end {align*}

    Armar las cosas luego nos da

    \ begin {alinear*} &\ frac {d} {dx}\ izquierda [\ frac {1} {2} x\ sqrt {x^2-1} +\ frac {1} {2}\ log| x +\ sqrt {x^2-1} | +C\ derecha]\\ &=\ frac {1} {2\ sqrt {x^2-1}}\ izquierda [(x^2-1) + x^2 + 1\ derecha] +0\\ &=\ frac {x^2} {\ sqrt {x^2-1}}\ end {align*}

    Esto nos dice que nuestra respuesta para tambiénx>1 es válida cuandox<1 y así

    \ begin {alinear*}\ int\ frac {x^2} {\ sqrt {x^2-1}}\, d {x} &=\ frac {1} {2} {2} x\ sqrt {x^2-1} +\ frac {1} {2}\ log| x +\ sqrt {x^2-1} | +C\ end {align*}

    cuándox<1 y cuándox>1.

En este ejemplo, tuvimos suerte. La respuesta que derivamos parax>1 pasó a ser válida también parax<1. Esto no siempre sucede con lax=asecu sustitución. Cuando no es así, tenemos que aplicarx<a análisis separadosx>a y muy similares a nuestrox>1 análisis anterior. Por supuesto que duplica el tedio. Entonces, en el libro de problemas CLP-2, no vamos a plantear preguntas que requieran separadox>a yx<a cálculos.

El método, como lo hemos demostrado anteriormente, funciona cuando nuestro integrando contiene la raíz cuadrada de familias muy específicas de polinomios cuadráticos. De hecho, el mismo método funciona para polinomios cuadráticos más generales —todo lo que necesitamos hacer es completar el cuadrado 3.

Ejemplo 1.9.753x22x3x1dx

Esta vez tenemos una integral con una raíz cuadrada en el integrando, pero el argumento de la raíz cuadrada, mientras que una función cuadrática de nox, está en una de las formas estándara2x2,a2+x2,x2a2. La razón por la que no está en una de esas formas es que el argumento,x22x3, contiene un término, es decir2x que es de grado uno enx. Así tratamos de manipularlo en una de las formas estándar completando el cuadrado.

Solución

  • Primero reescribimos el polinomio cuadráticox22x3 en la forma(xa)2+b para algunas constantesa,b. La forma más fácil de hacerlo es expandir ambas expresiones y comparar coeficientes dex:

    \ begin {alinear*} x^2-2x-3 &= (x-a) ^2+b = (x^2-2ax+a^2) +b\ end {align*}

    Entonces — si elegimos2a=2 (entonces los coeficientes dex1 coincidencia) ya2+b=3 (entonces los coeficientes dex0 coincidencia), entonces ambas expresiones son iguales. De ahí nos fijamosa=1 yb=4. Eso es

    \ begin {align*} x^2-2x-3 &= (x-1) ^2-4\ end {alinear*}

    Muchos de ustedes pueden haber visto este método al aprender a bosquejar parábolas.
  • Una vez hecho esto podemos convertir la raíz cuadrada del integrando en una forma estándar haciendo la simple sustitucióny=x1. Aquí va

    \ begin {alinear*} &\ int_3^5\ frac {\ sqrt {x^2-2x-3}} {x-1}\, d {x}\\ &=\ int_3^5\ frac {\ sqrt {(x-1) ^2-4}} {x-1}\, d {x}\\ &=\ int_2^4\ frac {\ sqrt {\ sqrt

    ParseError: EOF expected (click for details)
    Callstack:
        at (Matematicas/Calculo_Integral_CLP-2_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/01:_Integración/1.09:_Sustitución_trigonométrica), /content/body/article[7]/div/ul/li[2]/p/span, line 1, column 5
    
    {y}\, d {y} &\ texto {con} y=x-1,\, d {y} =\, d {x}\\ &=\ int_0^ {\ pi/3}\ frac {\ sqrt {4\ seg^2u-4}} {2\ seg u}\ 2\ seg u\ tan u\, d {u} &\ texto con {} y=2\ seg u\\ & amp; &\ text {y}\, d {y} = 2\ seg u\ tan u\, d {u}\ end {alinear*}

    Observe que también podríamos hacer esto en menos pasos configurando(x1)=2secu,dx=2secutanudu.
  • Para obtener los límites de la integración usamos eso
    • el valor deu lo que corresponde ay=2 obedece2=y=2secu=2cosu ocosu=1, para queu=0 funcione y
    • el valor deu eso corresponde ay=4 obedece4=y=2secu=2cosu ocosu=12, para queu=π3 funcione.
  • Ahora volviendo a la evaluación de la integral, simplificamos y continuamos. 53x22x3x1dx=π/302sec2u1 tanudu=2π/30tan2udusince sec2u=1+tan2u

    Al tomar la raíz cuadrada desec2u1=tan2u usamos esotanu0 en la gama0uπ3.

    \ begin {align*} &=2\ int_0^ {\ pi/3}\ grande [\ seg^2 u-1\ grande]\, d {u}\ qquad\ quad\ texto {desde $\ seg^2u=1+\ tan^2u$, otra vez}\\ &=2\ Big [\ tan u - u\ Grande] _0^ {\ pi/3}\\ &=2\ grande [\ sqrt {3} -\ frac {\ pi} {3}\ grande]\ final {alinear*}

Ejercicios

Recordemos que estamos usandologx para denotar el logaritmo dex con basee. En otros cursos a menudo se denotalnx.

Etapa 1
1 (✳)

Para cada una de las siguientes integrales, elija la sustitución que sea más beneficiosa para evaluar la integral.

  1. 2x29x216dx
  2. x4314x2dx
  3. (25+x2)5/2dx
2

Para cada una de las siguientes integrales, elija una sustitución trigonométrica que elimine las raíces.

  1. 1x24x+1dx
  2. (x1)6(x2+2x+4)3/2dx
  3. 14x2+6x+10dx
  4. x2xdx
3

En cada parte de esta pregunta, supongamos queθ es un ángulo en el intervalo[0,π/2].

  1. sinθ=120,¿Si qué escosθ?
  2. tanθ=7,¿Si qué escscθ?
  3. secθ=x12,¿Si qué estanθ?
4

Simplifica las siguientes expresiones.

  1. sin(arccos(x2))
  2. sin(arctan(13))
  3. sec(arcsin(x))
Etapa 2
5 (✳)

Evaluar1(x2+4)3/2dx.

6 (✳)

Evaluar401(4+x2)3/2dx. Su respuesta puede no contener funciones trigonométricas inversas.

7 (✳)

Evaluar5/20dx25x2.

8 (✳)

Evaluardxx2+25. Puedes usar esosecdx=log|secx+tanx|+C.

9

Evaluarx+12x2+4xdx.

10 (✳)

Evaluardxx2x2+16.

11 (✳)

Evaluardxx2x29 parax3. No incluya ninguna función trigonométrica inversa en su respuesta.

12 (✳)

a) Demostrar queπ/40cos4θdθ=(8+3π)/32.

b) Evaluar11dx(x2+1)3.

13

Evaluarπ/12π/1215x3(x2+1)(9x2)5/2dx.

14 (✳)

Evaluar4x2dx.

15 (✳)

Evaluar25x24xdx parax>25.

16

Evaluar1710x3x21dx.

17 (✳)

Evaluardx32xx2.

18

Evaluar1(2x3)34x212x+8dx parax>2.

19

Evaluar10x2(x2+1)3/2dx.

Puedes usar esosecxdx=log|secx+tanx|+C.

20

Evaluar1(x2+1)2dx.

Etapa 3
21

Evaluarx2x22x+2dx.

Usted puede asumir sin pruebas quesec3θdθ=12secθtanθ+12log|secθ+tanθ|+C.

22

Evaluar13x2+5xdx.

Puedes usar esosecxdx=log|secx+tanx|+C.

23

Evaluar(1+x2)3/2xdx. Puede utilizar el hecho de quecscθdθ=log|cotθcscθ|+C.

24

A continuación se muestra la gráfica de la elipse(x4)2+(y2)2=1. Encuentra el área de la región sombreada utilizando las ideas de esta sección.

25

Dejarf(x)=|x|41x2, y dejarR ser la región entref(x) y elx eje -sobre el intervalo[12,12].

  1. Encuentra el área deR.
  2. Encuentra el volumen del sólido que se forma girandoR alrededor delx eje.
26

Evaluar1+exdx. Puede utilizar el antiderivadocscθdθ=log|cotθcscθ|+C.

27

Considera el siguiente trabajo.

\ begin {alinear*}\ int\ frac {1} {1-x^2}\, d {x} &=\ int\ dfrac {1} {1-\ sin^2\ theta}\ cos\ theta\, d {\ theta}\ qquad\ mbox {usando} x=\ sin\ theta,\, d {x} =\ cos\ theta\, d {\ theta}\\ &=\ int\ frac {\ cos\ theta} {\ cos^2\ theta}\, d\ theta\\ &=\ int\ seg\ theta\, d {\ theta}\\ &=\ log|\ seg\ theta +\ tan\ theta| +C \ qquad\ qquad\ qquad\ mbox {Ejemplo} {\ text {1.8.19}}\\ &=\ log\ left |\ dfrac {1} {\ sqrt {1-x^2}} +\ dfrac {x} {\ sqrt {1-x^2}}\ derecha| +C\ qquad\ text {usando el triángulo de abajo}\\ &=\ log left\ |\ dfrac {1+x} {\ sqrt {1-x^2}}\ derecha| +C\ final {alinear*}
 
 
  1. Diferenciarlog|1+x1x2|.
  2. Verdadero o falso:3211x2dx=[log|1+x1x2|]x=3x=2
  3. ¿Fue correcto el trabajo en la pregunta? Explique.
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  1. Supongamos que estamos evaluando una integral que contiene el términoa2x2, dondea es una constante positiva, y usamos la sustituciónx=asinu (con inversau=arcsin(x/a)), de manera que

    a2x2=a2cos2u=|acosu|

    Bajo qué circunstancias se|acosu|acosu?
  2. Supongamos que estamos evaluando una integral que contiene el términoa2+x2, dondea es una constante positiva, y usamos la sustituciónx=atanu (con inversau=arctan(x/a)), de manera que

    a2+x2=a2sec2u=|asecu|

    Bajo qué circunstancias se|asecu|asecu?
  3. Supongamos que estamos evaluando una integral que contiene el términox2a2, dondea es una constante positiva, y usamos la sustituciónx=asecu (con inversau=arcsec(x/a)=arccos(a/x)), de manera que

    x2a2=a2tan2u=|atanu|

    Bajo qué circunstancias se|atanu|atanu?
  1. Para parafrasear la Ley del Instrumento, posiblemente Mark Twain y definitivamente algunos psicólogos, cuando tienes un martillo nuevo y brillante, todo parece un clavo.
  2. Para ser pedante, nos referimos al rango de la función arcotangente “estándar” o su “valor principal”. Se pueden definir otras funciones arcotangentes con diferentes rangos.
  3. Si no has oído hablar de “completar la plaza” no te preocupes. No es un método difícil y sólo te llevará unos instantes aprender. Se refiere a reescribir un polinomio cuadráticoP(x)=ax2+bx+c comoP(x)=a(x+d)2+e para nuevas constantesd,e.

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