2.1: Trabajo

Si bien las áreas de computación y los volúmenes son buenas aplicaciones matemáticas de integración, también podemos usar la integración para calcular cantidades de importancia en física y estadística. Una de esas cantidades es el trabajo. El trabajo es una forma de cuantificar la cantidad de energía que se requiere para actuar contra una fuerza ¹. En SI ² unidades métricas la fuerza\(F\) tiene unidades newtons (que son kilogramos-metros por segundo cuadrado),\(x\) tiene unidades metros y la obra\(W\) tiene unidades julios (que son newton-metros o kilogramos-metros cuadrados por segundo cuadrado).

Definición 2.1.1

El trabajo realizado por una fuerza\(F(x)\) en el movimiento de un objeto de\(x=a\) a\(x=b\) es

\ comenzar {reunir*} W=\ int_a^b F (x)\, d {x}\ final {reunir*}

En particular, si la fuerza es una constante,\(F\text{,}\) independiente de\(x\text{,}\) la obra es\(F\cdot(b-a)\text{.}\)

Aquí hay alguna motivación para esta definición. Considera que una partícula de masa\(m\) se mueve a lo largo del\(x\) eje. Deja que la posición de la partícula en el momento\(t\) sea\(x(t)\text{.}\) La partícula comienza en la posición\(a\) en el tiempo\(\alpha\text{,}\) se mueve hacia la derecha, terminando en posición\(b \gt a\) en el tiempo\(\beta\text{.}\) Mientras la partícula se mueve, está sujeta a una fuerza dependiente de la posición\(F(x)\text{.}\) Entonces la ley de Newton de movimiento ³ dice ⁴ que la fuerza es masa veces aceleración

\ comenzar {reunir*} m\ frac {d^ {2} x} {dt^ {2}} (t) = F\ grande (x (t)\ grande)\ final {reunir*}

Ahora considere nuestra definición de trabajo arriba. Nos dice que el trabajo realizado al mover la partícula de\(x=a\) a\(x=b\) es

\ begin {align*} W &=\ int_a^b F (x)\, d {x}\ final {alinear*}

Sin embargo, conocemos la posición en función del tiempo, por lo que podemos sustituir\(x=x(t)\text{,}\)\(\, d{x}=\dfrac{dx}{dt}\, d{t}\) (usando el Teorema 1.4.6) y reescribir la integral anterior:

\[\begin{align*} W = \int_a^b F(x) \, d{x} &= \int_{t=\alpha}^{t=\beta} F(x(t))\dfrac{dx}{dt} \, d{t}\\ \end{align*}\]

Usando la segunda ley de Newton podemos reescribir nuestro integrando:

\ begin {align*} &= m\ int_\ alpha^\ beta\ frac {d^ {2} x} {dt^ {2}}\ dfrac {dx} {dt}\, d {t}\\ &= m\ int_\ alpha^\ beta\ dfrac {dv} {dt} v (t)\, d {t} &\ text {desde $v (t) =\ dfrac {dx} {dt} $}\\ &= m\ int_\ alfa^\ beta\ dfrac {d} {dt}\ left (\ frac {1} {2} v (t) ^2\ derecha)\, d {t}\ end {align*}

¿Qué pasó aquí? Por la regla de la cadena, para cualquier función\(f(t)\text{:}\)

\ begin {align*}\ dfrac {d} {dt}\ left (\ frac {1} {2} f (t) ^2\ right) &= f (t) f' (t). \ end {align*}

En el cómputo anterior hemos utilizado este hecho con\(f(t) = v(t)\text{.}\) Ahora usando el teorema fundamental del cálculo (Teorema 1.3.1 parte 2), tenemos

\ begin {align*} W&= m\ int_\ alpha^\ beta\ dfrac {d} {dt}\ left (\ frac {1} {2} v (t) ^2\ derecha)\, d {t}\\ &=\ frac {1} {2} mv (\ beta) ^2 -\ frac {1} {2} mv (\ alpha) ^2. \ end {align*}

Por definición, la función\(\frac{1}{2} mv(t)^2\) es la energía cinética ⁵ de la partícula en el momento\(t\text{.}\) Así que el trabajo\(W\) de la Definición 2.1.1 es el cambio en la energía cinética desde el momento en que estuvo la partícula\(x=a\) hasta el momento en que estaba en\(x=b\text{.}\)

Ejemplo: 2.1.2 Ley de Hooke

Imagina que un resorte yace a lo largo del\(x\) eje. El extremo izquierdo está fijado a una pared, pero el extremo derecho se encuentra libremente en\(x=0\text{.}\) Así que el resorte está en su “longitud natural”.

• Ahora supongamos que deseamos estirar el muelle para que su extremo derecho esté en\(x=L\text{.}\)
• La Ley ⁶ de Hooke dice que cuando un resorte (lineal) es estirado (o comprimido) por\(x\) unidades más allá de su longitud natural, ejerce una fuerza de magnitud\(kx\text{,}\) donde la constante\(k\) es la constante elástica de ese resorte.
• En nuestro caso, una vez que hayamos estirado el muelle por\(x\) unidades hacia la derecha, el muelle estará tratando de tirar hacia atrás del extremo derecho aplicando una fuerza de magnitud\(kx\) dirigida hacia la izquierda.
• Para que sigamos estirando el resorte tendremos que aplicar una fuerza compensadora de magnitud\(kx\) dirigida a la derecha. Es decir, tenemos que aplicar la fuerza\(F(x) = +kx\text{.}\)
• Entonces para estirar un resorte por\(L\) unidades desde su longitud natural tenemos que abastecer la obra

  \ begin {alinear*} W &=\ int_0^L k x\, d {x} =\ frac {1} {2} kl^2\ end {align*}

Ejemplo: 2.1.3 Muelle

Un muelle tiene una longitud natural de\(0.1\) m. Si se necesita una fuerza\(12\) N para mantenerlo estirado a una longitud de\(0.12\) m, ¿cuánto trabajo se requiere para estirarlo de\(0.12\) m a\(0.15\) m?

Solución:

Para poder responder a esta pregunta necesitaremos determinar la constante elástica y luego integrar la función apropiada.

• Nuestra primera tarea es determinar la constante de resorte Se\(k\text{.}\) nos dice que cuando el resorte se estira a una longitud de\(0.12\) m, es decir, a una longitud de\(0.12-0.1=0.02\) m más allá de su longitud natural, entonces el resorte genera una fuerza de magnitud\(12\) N.
• La ley de Hooke establece que la fuerza ejercida por el resorte, cuando es estirada por\(x\) unidades, tiene magnitud por\(k x\text{,}\) lo que

  \ begin {align*} 12 &= k\ cdot 0.02 = k\ cdot\ frac {2} {100} &\ text {así}\\ k &=600. \ end {align*}

• Así que para estirar la primavera
  • de una longitud de\(0.12\) m, es decir, una longitud de\(x=0.12-0.1=0.02\) m más allá de su longitud natural,
  • a una longitud de\(0.15\) m, es decir, una longitud de\(x=0.15-0.1=0.05\) m más allá de su longitud natural,

  toma trabajo

  \ begin {align*} W &=\ int_ {0.02} ^ {0.05} k x\, d {x} =\ left [\ frac {1} {2} kx^2\ derecha] _ {0.02} ^ {0.05}\\ &=300\ big (0.05^2-0.02^2\ big)\\ &=0.63\ mathrm {J}\ end {align*}

Ejemplo: 2.1.4 Bombeo de un depósito

Un depósito cilíndrico ⁷ de altura\(h\) y radio\(r\) se llena con un fluido de densidad\(\rho\text{.}\) Nos gustaría saber cuánto trabajo se requiere para bombear todo el fluido por la parte superior del depósito.

Solución: Vamos a abordar este problema aplicando la estrategia estándar de cálculo integral “rebanar en trozos pequeños”. Así es como calculamos áreas y volúmenes: dividimos el problema en trozos pequeños, calculamos cuánto aporta cada pieza y luego sumamos las contribuciones usando una integral.

• Comience cortando el reservorio (o mejor dicho el líquido que contiene) en tortitas delgadas, horizontales y cilíndricas, como en la figura anterior. Se procede determinando cuánto trabajo se requiere para bombear este volumen de líquido para panqueques ⁸.
• Cada panqueque es un cilindro de sentadillas con grosor\(\, d{x}\) y sección transversal circular de radio\(r\) y área\(\pi r^2\text{.}\) Por lo tanto tiene volumen\(\pi r^2 \, d{x}\) y masa\(\rho \times \pi r^2\, d{x}\text{.}\)
• Cerca de la superficie de la Tierra la gravedad ejerce una fuerza descendente de\(mg\) sobre un cuerpo de masa\(m\text{.}\) La constante\(g=9.8\) m/\(\mathrm{sec}^2\) se llama la aceleración estándar debido a la gravedad ⁹. Para que levantemos el panqueque tenemos que aplicar una fuerza compensadora hacia arriba de la\(mg\text{,}\) cual, para nuestro panqueque, es

  \ comenzar {alinear*} F &= g\ rho\ veces\ pi r^2\, d {x}\ final {alinear*}

• Para retirar el panqueque a altura\(x\) del embalse necesitamos elevarlo a la altura\(h\text{.}\) Así que tenemos que levantarlo a una distancia\(h-x\) usando la fuerza\(F=\pi \rho g r^2\, d{x}\text{,}\) que lleva trabajo\(\pi\rho g r^2\,(h-x)\, \, d{x}\text{.}\)
• El trabajo total para vaciar todo el embalse es

  \ begin {align*} W&=\ int_0^h\ pi\,\ rho g\, r^2 (h-x)\, d {x} =\ pi\,\ rho g\, r^2\ int_0^h (h-x)\, d {x}\\ &=\ pi\,\ rho g\, r^2\ Grande [hx -\ frac {x^2} {2}\ Grande] _0^h\\ &=\ frac {\ pi} {2}\,\ rho g\, r^2 h^2\ final {alinear*}

• Si medimos longitudes en metros y masa en kilogramos, entonces esta cantidad tiene unidades de Julios. Si en cambio usáramos pies y libras ¹⁰ entonces esto tendría unidades de “pie-libras”. Un pie-libra es igual a 1.355817... Julios.

Ejemplo: 2.1.5 Velocidad de Escape

Supongamos que disparas una sonda directamente desde la superficie de la Tierra, ¿a qué velocidad inicial debe moverse la sonda para escapar de la gravedad de la Tierra?

Solución: Esto lo determinamos calculando cuánto trabajo se debe hacer para escapar de la gravedad de la Tierra. Si asumimos que todo este trabajo proviene de la energía cinética inicial de la sonda, entonces podemos establecer la velocidad inicial mínima requerida.

• El trabajo realizado por gravedad cuando una masa se mueve de la superficie de la Tierra a una altura\(h\) por encima de la superficie es

  \ begin {align*} W &=\ int_0^h F (x)\, d {x}\ final {alinear*}

  donde\(F(x)\) está la fuerza gravitacional que actúa sobre la masa a la altura\(x\) sobre la superficie de la Tierra.
• La fuerza gravitacional ¹¹ de la Tierra que actúa sobre una partícula de masa\(m\) a una altura\(x\) por encima de la superficie de la Tierra es

  \ begin {reunir*} F=-\ frac {GMm} {(R+x) ^2},\ end {reunir*}

  donde\(G\) está la constante gravitacional,\(M\) es la masa de la Tierra y\(R\) es el radio de la Tierra. Tenga en cuenta que\(R+x\) es la distancia desde el objeto hasta el centro de la Tierra. Adicionalmente, tenga en cuenta que esta fuerza es negativa porque la gravedad actúa hacia abajo.
• Entonces el trabajo realizado por gravedad en la sonda, ya que viaja desde la superficie de la Tierra hasta una altura\(h\text{,}\) es\[\begin{align*} W&=-\int_0^h \frac{GMm}{(R+x)^2}\, d{x}\\ &=-GMm\int_0^h \frac{1}{(R+x)^2}\, d{x}\\ \end{align*}\]

  Una rápida aplicación de la regla de sustitución con\(u=R+x\) da

  \ begin {alinear*} &=-Gmm\ int_ {u (0)} ^ {u (h)}\ frac {1} {u^2}\, d {u}\\ &= -gMM\ izquierda [-\ frac {1} {u}\ derecha] _ {u=r} ^ {u=R+h}\\ &=\ frac {gMM} {+H} -\ frac {GMm} {R}\ final {alinear*}
• Entonces, si la sonda escapa completamente de la Tierra y viaja hasta la\(h=\infty\text{,}\) gravedad, funciona

  \ comenzar {reunir*}\ lim_ {h\ fila derecha\ infty}\ Grande [\ frac {GMm} {R+h} -\ frac {GMm} {R}\ Grande] =-\ frac {GMm} {R}\ end {reunir*}

  El signo menos significa que la gravedad ha eliminado energía\(\frac{GMm}{R}\) de la sonda.
• Para terminar el problema necesitamos una suposición más. Supongamos que toda esta energía proviene de la energía cinética inicial de la sonda y que la sonda no está equipada con ningún tipo de motor de cohete. De ahí que la energía cinética inicial\(\frac{1}{2}mv^2\) (proveniente de una velocidad inicial\(v\)) debe ser al menos tan grande como el trabajo calculado anteriormente. Eso es que necesitamos

  \ begin {align*}\ frac {1} {2} mv^2 &\ ge\ frac {gMM} {R} &\ text {que se reorganiza para dar}\\ v &\ ge\ sqrt {\ frac {2GM} {R}}\ end {aline*}

• El lado derecho de esta desigualdad,\(\sqrt{\frac{2GM}{R}}\text{,}\) se llama la velocidad de escape.

Ejemplo: 2.1.6 Elevación de un cable

Se utiliza\(10\) un cable de un metro de masa\(5\) kg para levantar un cubo de agua, con una masa de 8kg, fuera de un pozo. Encuentra el trabajo realizado.

Solución: Denote por\(y\) la altura de la cubeta por encima de la parte superior del agua en el pozo. Entonces el cucharón se eleva de\(y=0\) a\(y=10\text{.}\) El cable tiene densidad de masa\(0.5\) kg/m. entonces cuando el cucharón está en altura\(y\text{,}\)

• el cable que queda por levantar tiene\(0.5(10-y)\) kg de masa y
• el cable restante y el agua están sujetos a una fuerza gravitacional descendente de magnitud\(\big[0.5(10-y) + 8\big]g=\big[13-\frac{y}{2}\big]g\text{,}\) donde\(g=9.8\) m/seg\(^2\text{.}\)

Entonces para elevar el cucharón de altura\(y\) a altura\(y+\, d{y}\) necesitamos aplicar una fuerza compensadora hacia arriba de\(\big[13-\frac{y}{2}\big]g\) a través de la distancia\(\, d{y}\text{.}\) Esto requiere trabajo\(\big[13-\frac{y}{2}\big]g\, d{y}\text{.}\) Así que el trabajo total requerido es

\[ \int_0^{10}\Big[13-\frac{y}{2}\Big]g\, d{y} =g\left[13 y-\frac{y^2}{4}\right]_0^{10} =\big[130-25\big]g =105 g\ \mathrm{J} \nonumber \]

Ejercicios

Etapa 1

1

Encuentra la obra (en julios) requerida para levantar un bloque de materia de 3 gramos a una altura de 10 centímetros contra la fuerza de la gravedad (con\(g=9.8\) m/seg\(^2\)).

2

Una roca ejerce una fuerza de 1 N sobre el suelo donde se asienta debido a la gravedad. Usar\(g=9.8\) m/seg\(^2\text{.}\)

¿Cuál es la masa de la roca?

¿Cuánto trabajo (en julios) se necesita para levantar esa roca un metro en el aire?

3

Considera la ecuación

\[ W = \int_a^b F(x)\,\, d{x} \nonumber \]

donde\(x\) se mide en metros y\(F(x)\) se mide en kilogramos-metros por segundo cuadrado (newtons).

Para algunos grandes\(n\text{,}\) podríamos aproximarnos

\[ W \approx \sum_{i=1}^n F(x_i)\Delta x \nonumber \]

donde\(\Delta x = \frac{b-a}{n}\) y\(x_i\) es algún número en el intervalo\([a+(i-1)\Delta x, a+i\Delta x]\text{.}\) (Esta es solo la forma general de una suma de Riemann).

1. ¿Cuáles son las unidades de\(\Delta x\text{?}\)
2. ¿Cuáles son las unidades de\(F(x_i)\text{?}\)
3. Usando sus respuestas anteriores, ¿cuáles son las unidades de\(W\text{?}\)

Comentario: ya conocemos las unidades de\(W\) a partir del texto, pero la suma de Riemann ilustra por qué tienen sentido surgiendo de esta particular integral.

4

Supongamos que\(f(x)\) tiene unidades\(\dfrac{\mathrm{smoot}}{\mathrm{megaFonzie}}\text{,}\) y\(x\) se mide en graneros ¹². ¿Cuáles son las unidades de la cantidad\(\int_0^1 f(x)\,\, d{x}\text{?}\)

5

Quieres pesar tu equipaje antes de un vuelo. No tiene báscula ni balanza, pero sí tiene un resorte de servicio pesado de su tienda local de suministros de ingeniería. Lo clavas en tu pared, marcando donde cuelga el fondo. Se cuelga una bolsa de agua de un litro (con masa un kilogramo) del manantial, y se observa que el manantial se estira 1 cm. ¿Dónde en la pared se debe marcar el fondo del muelle correspondiente a una masa colgante de 10kg?

Se puede suponer que la primavera obedece a la ley de Hooke.

6

El trabajo que realiza una fuerza al mover un objeto de una posición\(x = 1\) a otra\(x = b\) es\(W(b) = -b^3+6b^2-9b+4\) para cualquiera\(b\) en ¿\([1,3]\text{.}\)En qué posición\(x\) en\([1,3]\) es la fuerza la más fuerte?

Etapa 2

Las preguntas 9 a 16 ofrecen práctica sobre dos tipos amplios de cálculos cubiertos en el texto: levantar cosas contra la gravedad y estirar resortes. Puedes hacer las mismas suposiciones físicas que en el texto: es decir, los resortes siguen la ley de Hooke, y la aceleración debida a la gravedad es de\(-9.8\) metros por segundo al cuadrado constante.

Para las preguntas 18 y 19, use el principio (introducido después de la Definición 2.1.1 y utilizado en el Ejemplo 2.1.5) de que el trabajo realizado sobre una partícula por una fuerza sobre una distancia es igual al cambio en la energía cinética de esa partícula.

7 (✳)

Una fuerza variable\(F(x) = \frac{a}{\sqrt{x}}\) Newtons mueve un objeto a lo largo de una línea recta cuando está a una distancia de\(x\) metros del origen. Si el trabajo realizado en mover el objeto de\(x = 1\) metros a\(x = 16\) metros es\(18\) julios, cual es el valor de\(a\text{?}\) No te preocupes por las unidades de\(a\text{.}\)

8

Un tubo de aire está equipado con un émbolo que comprime el aire a medida que es empujado hacia adentro. Si la longitud natural del tubo de aire es\(\ell\text{,}\) cuando el émbolo ha sido empujado\(x\) metros más allá de su posición natural, la fuerza ejercida por el aire\(c\) es\(\frac{c}{\ell-x}\) N, donde es una constante positiva (dependiendo de los detalles del tubo de aire) y\(x \lt \ell\text{.}\)

1. ¿Cuáles son las unidades de\(c\text{?}\)
2. ¿Cuánto trabajo se necesita para empujar el émbolo de 1 metro más allá de su posición natural a 1.5 metros más allá de su posición natural? (Usted puede asumir\(\ell \gt 1.5\text{.}\))

9 (✳)

Encuentra el trabajo (en julios) requerido para estirar una cuerda\(10\) cm más allá del equilibrio, si su constante elástica es\(k=50\ \mathrm{N}/\mathrm{m}\text{.}\)

10 (✳)

Se requiere una fuerza de\(10\) N (newtons) para sostener un resorte estirado\(5\) cm más allá de su longitud natural. ¿Cuánto trabajo, en julios (J), se realiza para estirar el resorte desde su longitud natural hasta\(50\) cm más allá de su longitud natural?

11 (✳)

Se utiliza\(5\) un cable de un metro de masa de\(8\) kg para levantar una cubeta del suelo. ¿Cuánto trabajo se necesita para elevar todo el cable a la altura\(5\) m? Ignorar la masa del cubo y su contenido.

12

Un tanque de 1 metro de altura tiene secciones transversales pentagonales de área 3 m\(^2\) y está lleno de agua. ¿Cuánto trabajo se necesita para bombear toda el agua?

Se puede suponer que la densidad del agua es de 1 kg por 1000 cm\(^3\text{.}\)

13 (✳)

Una escultura, con forma de pirámide de\(3\) m de altura sentada en el suelo, se ha realizado apilando placas de hierro cada vez más pequeñas (muy delgadas) una encima de la otra. La placa de hierro a la altura\(z\) m sobre el nivel del suelo es un cuadrado cuya longitud lateral es\((3-z)\) m. Todas las placas de hierro comenzaron en el piso de un sótano\(2\) m debajo del nivel del suelo.

Anote una integral que represente la obra, en julios, que se necesitó para mover todo el hierro de su posición inicial a su posición actual. No evaluar la integral. (Se puede utilizar\(9.8\) m\({}/{}\) s\({}^2\) para la aceleración por gravedad y\(8000\) kg\({}/{}\) m\({}^3\) para la densidad del hierro.)

14

Supongamos que un resorte se extiende 5 cm más allá de su longitud natural cuando se cuelga un kilogramo de su extremo. ¿Cuánto trabajo se realiza para extender el resorte de 5 cm más allá de su longitud natural hasta 7 cm más allá de su longitud natural?

15

Diez kilogramos de leña se izan sobre una cuerda hasta una altura de 4 metros hasta una cubierta del segundo piso. Si el trabajo total realizado es\(400\) julios, ¿cuál es la masa de los 4 metros de cuerda?

Se puede suponer que la cuerda tiene la misma densidad en todo el camino.

16

Un peso de 5 kg se une a la mitad de una cuerda de 10 metros de largo, que cuelga por una ventana. La cuerda sola tiene una masa de 1 kg. ¿Cuánto trabajo se necesita para tirar toda la cuerda por la ventana, junto con el peso?

17

Se arrastra una caja a lo largo del piso. La fricción ejerce una fuerza en la dirección opuesta al movimiento de la caja, y esa fuerza es igual a\(\mu \times m \times g\text{,}\) donde\(\mu\) es una constante,\(m\) es la masa de la caja y\(g\) es la aceleración debida a la gravedad. Usted puede asumir\(g=9.8\) m/seg\(^2\text{.}\)

1. Cuánto trabajo se realiza arrastrando una caja de masa 10 kg a lo largo del piso por tres metros si\(\mu=0.4\text{?}\)
2. Supongamos que la caja contiene una sustancia volátil que se evapora rápidamente. Se tira de la caja a una velocidad constante de 1 m/seg durante tres segundos, y la masa de la caja a los\(t\) segundos (\(0 \leq t \leq 3\)) es de\((10-\sqrt{t})\) kilogramos. Si\(\mu=0.4\text{,}\) ¿cuánto trabajo se hace tirando de la caja durante tres segundos?

18

Una bola de masa de 1 kg se une a un resorte, y el resorte se une a una mesa. La pelota se mueve con cierta velocidad inicial, y el resorte la ralentiza. En su punto más lejano, el resorte se extiende 10 cm más allá de su longitud natural. Si la constante elástica es de 5 N/m, ¿cuál fue la velocidad inicial de la bola?

Se puede suponer que la bola comienza a moverse con velocidad inicial\(v_0\text{,}\) y que la única fuerza que la ralentiza es el resorte. También puedes suponer que el resorte comenzó en su longitud natural, sigue la ley de Hooke, y cuando se estira más lejos, la velocidad de la pelota es de 0 m/seg.

19

Un profesor universitario de modales apacibles que definitivamente no es un espía se da cuenta de que cuando su auto está en el suelo, es 2 cm más corto que cuando está en un gato. (Es decir: cuando el automóvil está en un gato, sus puntales están en su longitud natural; cuando está en el suelo, el peso del automóvil hace que los puntales se compriman 2 cm.) El profesor universitario calcula que si fueran a saltar un puente levadizo de barrio local, su automóvil caería al suelo con una velocidad de 4 m/seg. Si el auto puede hundirse 20 cm antes de que partes importantes rasquen el suelo, y el auto tiene masa 2000 kg desocupados (2100 kg con el profesor adentro), ¿puede el profesor, que ciertamente no está involucrado en la intriga internacional, saltar el puente de manera segura?

Supongamos que el carro cae verticalmente, los puntales obedecen la ley de Hooke, y el trabajo realizado por los puntales es igual al cambio en la energía cinética del auto + profesor. Use 9.8 m/seg\(^2\) para la aceleración debida a la gravedad.

Etapa 3

20

Un vaso de papel desechable tiene la forma de un cono circular derecho con radio 5 cm y altura 15 cm, y está completamente lleno de agua. ¿Cuánto trabajo se hace succionando toda el agua del cono con una pajita?

Se puede suponer que 1 m\(^3\) de agua tiene masa 1000 kilogramos, la aceleración por gravedad es\(-9.8\) m/seg\(^2\text{,}\) y que el agua se mueve tan alto como la parte superior de la copa y no más alto.

21 (✳)

Un tanque esférico de\(3\) metros de radio está medio lleno de agua. Tiene un pico de longitud\(1\) metro que se pega desde la parte superior del tanque. Encuentre el trabajo requerido para bombear toda el agua en el tanque fuera de la boquilla. La densidad del agua es de\(1000\) kilogramos por metro cúbico. La aceleración por gravedad es de\(9.8\) metros por segundo al cuadrado.

22

Un cable de 5 metros se saca de un agujero profundo, donde colgaba recto hacia abajo. El cable tiene densidad\(\rho(x) = (10-x)\) kg/m, donde\(x\) está la distancia desde el extremo inferior de la cuerda. (Entonces, la parte inferior del cable es más densa que la parte superior.) ¿Cuánto trabajo se realiza sacando el cable del agujero?

23

Un tanque rectangular está equipado con un émbolo que puede elevar y bajar el nivel del agua disminuyendo e incrementando la longitud de su base, como en los diagramas a continuación. El tanque tiene un ancho de base de 1 m (que no cambia) y contiene 3 m\(^3\) de agua.

La fuerza del agua que actúa sobre cualquier pequeño trozo del émbolo es\(PA\text{,}\) donde\(P\) está la presión del agua, y\(\, d{A}\) es el área de la pieza diminuta. La presión varía con la profundidad de la pieza (debajo de la superficie del agua). Específicamente,\(P=cD\text{,}\) donde\(D\) está la profundidad de la pieza diminuta y\(c\) es una constante, en este caso\(c=9800\) N/m\(^3\text{.}\)

1. Si la longitud de la base es de 3 m, dé la fuerza del agua sobre todo el émbolo. (Esto se puede hacer con una integral: es la suma de la fuerza sobre todos los pequeños trozos del émbolo).
2. Si la longitud de la base es\(x\) m, dar la fuerza del agua sobre todo el émbolo.
3. Dar el trabajo requerido para mover el émbolo para que la longitud de la base cambie de 3 m a 1 m.

24

Una cubeta con fugas recoge 5 L de agua de un pozo, pero gotea 1 L cada diez segundos. Si el cucharón fue arrastrado hasta 5 metros a una velocidad constante de 1 metro cada dos segundos, ¿cuánto trabajo se realizó?

Supongamos que la cuerda y la cubeta tienen una masa insignificante y un litro de agua tiene 1 kg de masa, y usa\(9.8\) m/seg\(^2\) para la aceleración debido a la gravedad.

25

La fuerza de gravedad entre dos objetos, uno de masa\(m_1\) y otro de masa\(m_2\text{,}\) es\(F = G\dfrac{m_1m_2}{r^2}\text{,}\) donde\(r\) está la distancia entre ellos y\(G\) es la constante gravitacional.

¿Cuánto trabajo se requiere para separar la tierra y la luna lo suficientemente lejos como para que la atracción gravitacional entre ellas sea insignificante?

Supongamos que la masa de la tierra es\(6 \times 10^{24}\) kg y la masa de la luna es\(7 \times 10^{22}\) kg, y que actualmente están a\(400\,000\) km la una de la otra. También, asuma\(G = 6.7\times 10^{-11} \ \frac{\text{m}^3}{\text{kg}\cdot\text{sec}^2}\text{,}\) y la única fuerza que actúa sobre la tierra y la luna es la gravedad entre ellas.

26

Verdadero o falso: el trabajo realizado tirando hacia arriba de un cable colgando de longitud\(\ell\) y masa\(m\) (con densidad uniforme) es el mismo que el trabajo realizado levantando una bola de masa a\(m\) una altura de\(\ell/2\text{.}\)

27

Un tanque de un metro de altura está lleno de lodo acuoso que se ha asentado para ser más denso en la parte inferior que en la parte superior.

A\(h\) metros de altura por encima del fondo del tanque, la sección transversal del tanque tiene la forma de la región finita delimitada por las dos curvas\(y=x^2\) y\(y=2-h-3x^2\text{.}\) A\(h\) metros de altura por encima del fondo del tanque, la densidad del líquido es de\(1000\sqrt{2-h}\) kilogramos por metro cúbico.

¿Cuánto trabajo se realiza para bombear todo el líquido del tanque?

Puede suponer que la aceleración debida a la gravedad es\(9.8\) m/seg\(^2\text{.}\)

28

Un reloj de arena mide 0.2 m de altura y tiene una forma tal que\(y\) a metros por encima o por debajo de su centro vertical tiene un radio de\(y^2+0.01\) m.

Está exactamente medio lleno de arena, que tiene\(M=\frac{1}{7}\) kilogramos masivos.

¿Cuánto trabajo se hace en la arena volteando rápidamente el reloj de arena?

Supongamos que el trabajo realizado sólo se mueve contra la gravedad, con\(g=9.8\) m/seg\(^2\text{,}\) y la arena tiene densidad uniforme. También supongamos que en el instante en que se voltea el reloj de arena, la arena aún no ha comenzado a caer, como en la imagen de arriba.

29

Supongamos que en la posición\(x\) una partícula experimenta una fuerza de\(F(x) = \sqrt{1-x^4}\) N. Aproximar el trabajo realizado moviendo la partícula de\(x=0\) a\(x=1/2\text{,}\) precisa a dentro de\(0.01\) J.

1. Por ejemplo, si tu costoso libro de texto de fuente cerrada ha caído al piso, el trabajo cuantifica la cantidad de energía requerida para levantar el objeto del piso actuando contra la fuerza de la gravedad.
2. SI es la abreviatura de “le système international d'unités”, que en francés significa “el sistema internacional de unidades”. Se trata de la versión más reciente del sistema métrico sancionada internacionalmente, publicada en 1960. Su objetivo es establecer unidades de medida sensibles (sin estamentos cúbicos por Hogshead-Fahrenheit). Define siete unidades base — metro (longitud), kilogramo (masa), segundo (tiempo), kelvin (temperatura), amperio (corriente eléctrica), mol (cantidad de sustancia) y candela (intensidad luminosa). A partir de estos se pueden establecer unidades derivadas, como metros por segundo para velocidad y velocidad.
3. Específicamente, la segunda de las tres leyes de movimiento de Newton. Estos fueron publicados por primera vez en 1687 en su “Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica”.
4. En realidad dice algo más agraciado en latín - Mutationem motus proporcionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur. O — La alteración del movimiento es siempre proporcional a la fuerza motriz impresionada; y se hace en la línea en la que se impresiona esa fuerza. Es increíble lo que puedes encontrar en internet.
5. Este no es un texto de física así que no vamos a ser demasiado precisos. En términos generales, la energía cinética es la energía que un objeto posee por estar en movimiento, a diferencia de la energía potencial, que es la energía del objeto debido a su posición en un campo de fuerza. Leibniz y Bernoulli determinaron que la energía cinética es proporcional al cuadrado de la velocidad, mientras que el término moderno “energía cinética” fue utilizado por primera vez por Lord Kelvin (cuando todavía era William Thompson).
6. Robert Hooke (1635—1703) fue un contemporáneo inglés de Isaac Newton (1643—1727). Fue en una carta de 1676 a Hooke que Newton escribió “Si he visto más es por estar de pie sobre los hombros de los Gigantes”. Se piensa que esto era sarcasmo y Newton en realidad se estaba burlando de Hooke, que tenía una deformidad espinal. No obstante en ese momento Hooke y Newton seguían siendo amigos. Varios años después sí tuvieron una discusión algo pública sobre algunos de los trabajos de Newton sobre óptica.
7. Podríamos asignar unidades a estas medidas, como metros para las longitudes\(h\) y\(r\), y kilogramos por metro cúbico para la densidad\(ρ\).
8. Potencial para un mal juego de palabras de “calcular cuánto trabajo” aquí.
9. Esta cantidad no es realmente constante — varía ligeramente a través de la superficie de la tierra dependiendo de la densidad local, la altura sobre el nivel del mar y la fuerza centrífuga de la rotación de la tierra. Es, por ejemplo, ligeramente superior en Oslo y ligeramente inferior en Singapur. En realidad se define como\(9.80665\) m/\(\mathrm{sec}^2\) by the International Organisation for Standardization.
10. Es sumamente misterioso para ambos autores por qué una persona haría ciencia o ingeniería en unidades imperiales. Uno de los autores aún tiene pesadillas por haber tenido que hacerlo como estudiante. El otro autor está agradecido de haber escapado de tales torturas.
11. Newton publicó su ley cuadrada inversa de la gravitación universal en su Principia en 1687. Su ley establece que la fuerza gravitacional entre dos masas\(m_1\) and \(m_2\) is \(F = -G \frac{m_1 m_2}{r^2}\) where \(r\) is the distance separating the (centers of the) masses and \(G= 6.674\times 10^{-11} \mathrm{N}\mathrm{m}^2/\mathrm{kg}^2\) is the gravitational constant. Notice that \(r\) measures the separation between the centers of the masses not the distance between the surfaces of the objects. Also, do not confuse \(G\) with \(g\) — standard acceleration due to gravity. The first measurement of \(G\) was performed by Henry Cavendish in 1798 — the interested reader should look up the “Cavendish experiment” for details of this very impressive work.
12. Para este problema, no importa lo que midan las unidades, pero un smoot es una tonta medida de longitud; una MegaFonzie es una medida apócrifa de frescor; y un granero es una medida humorística (pero realmente utilizada) de área. Para explicaciones (y entretenimiento) consulte https://en.Wikipedia.org/wiki/List_of_humorous_units_of_measurement y https://en.Wikipedia.org/wiki/List_of_unusual_units_of_measurement (consultado el 27 de julio de 2017).