0.3: Otros conjuntos importantes

Hemos visto algunos conjuntos importantes arriba, a saber,\(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}\) and \(\mathbb{R}\text{.}\) However, arguably the most important set in mathematics is the empty set.

Definición 0.3.1. Juego vacío.

El conjunto vacío (o conjunto nulo o conjunto vacío) es el conjunto que no contiene elementos. Se denota\(\varnothing\text{.}\) Para cualquier objeto\(x\text{,}\) que siempre tenemos de\(x \notin \varnothing\text{;}\) ahí\(\varnothing = \{ \}\text{.}\)

Tenga en cuenta que es importante darse cuenta de que el conjunto vacío no es nada; piense en ello como una bolsa vacía. También tenga en cuenta que con bastante trabajo duro en realidad se pueden definir los números naturales en términos del conjunto vacío. Hacerlo es muy formal y va mucho más allá del alcance de este texto.

Cuando un conjunto no contiene demasiados elementos, está bien especificarlo enumerando sus elementos. Pero para conjuntos infinitos o incluso solo conjuntos grandes no podemos hacer esto y en cambio tenemos que dar la regla definitoria. Por ejemplo el conjunto de todos los números cuadrados perfectos escribimos como

\ begin {align*} S &=\ {x\ mbox {s.t.} x = k^2\ mbox {donde} k\ in\ mathbb {Z}\}\ end {align*}

Observe que aquí hemos utilizado otra pieza de taquigrafía, a saber,\(\mbox{s.t.}\text{,}\) que significa “tal que” o “así que”. Leemos la declaración anterior como “\(S\)es el conjunto de elementos\(x\) tales que\(x\) es igual a\(k\) -cuadrado donde\(k\) es un entero”. Esta es la forma estándar de escribir un conjunto definido por una regla, aunque hay varios shorthands para “tal que”. Utilizaremos dos de ellos:

\ begin {align*} P &=\ {p\ mbox {s.t.} p\ mbox {es primo}\} =\ {p\, |\, p\ mbox {es primo}\}\ end {align*}

Otras personas también usan “:” es la taquigrafía de “tal que”. Deberías reconocer estos tres shorthands.

Ejemplo 0.3.2 ejemplos de conjuntos.

Aún más ejemplos...

• Dejar\(A = \{2,3,5,7,11,13,17,19\}\) y dejar

  \ begin {align*} B &=\ {a\ in A | a\ lt 8\} =\ {2,3,5,7\}\ end {align*}

  el conjunto de elementos de\(A\) que son estrictamente inferiores a 8.
• Enteros pares e impares

  \ begin {align*} E &=\ {n | n\ mbox {es un entero par}\}\\ &=\ {n | n = 2k\ mbox {para algunos $k\ in\ mathbb {Z} $}\}\\ &=\ {2n | n\ in\ mathbb {Z}\},\ end {align*}

  y de manera similar

  \ begin {align*} O &=\ {n | n\ mbox {es un entero impar}\}\\ &=\ {2n+1 | n\ in\ mathbb {Z}\}. \ end {alinear*}

• Enteros cuadrados

  \ begin {align*} S &=\ {n^2 | n\ in\ mathbb {Z}\}. \ end {alinear*}

  El conjunto ¹ no\(S'= \left \{ n^2 | n \in \mathbb{N} \right \}\) es lo mismo que\(S\) porque\(S'\) no contiene el número\(0\text{,}\) que definitivamente es un entero cuadrado y\(0\) está en También\(S\text{.}\) podríamos escribir\(S =\left \{   n^2 | n \in \mathbb{Z}, n \geq 0\right \}\) y\(S=\left \{n^2 | n=0,1,2,\dots \right \}\text{.}\)

Los conjuntos\(A\) y\(B\) en el ejemplo anterior ilustran un punto importante. Cada elemento en\(B\) es un elemento en\(A\text{,}\) y así decimos que\(B\) es un subconjunto de\(A\)

Definición 0.3.3

Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos. Decimos “\(A\)es un subconjunto de\(B\)” si cada elemento de\(A\) es también un elemento de\(B\text{.}\) Nosotros denotamos esto\(A \subseteq B\) (o\(B \supseteq A\)). Si\(A\) es un subconjunto de\(B\) y\(A\) y no\(B\) son lo mismo, por lo que hay algún elemento de\(B\) que no está en\(A\) entonces decimos que\(A\) es un subconjunto propio de\(B\text{.}\) Nosotros denotamos esto por\(A \subset B\) (o\(B \supset A\)).

Dos cosas a tener en cuenta sobre los subconjuntos:

• \(A\)Déjese ser un conjunto. Siempre es el caso de que\(\varnothing  \subseteq A\text{.}\)
• Si no\(A\) es un subconjunto de\(B\) entonces escribimos\(A \not\subseteq B\text{.}\) Esto es lo mismo que decir que hay algún elemento de\(A\) que no está en\(B\text{.}\) Es decir, hay algunos\(a \in A\) tales que\(a \notin B\text{.}\)

Ejemplo 0.3.4 subconjuntos.

\(S = \{1,2\}\text{.}\)Que son todos los subconjuntos de\(S\text{?}\) Bien — cada elemento de\(S\) puede estar en el subconjunto o no (independiente de los otros elementos del conjunto). Entonces tenemos\(2\times2 = 4\) posibilidades:\(1\) ni ni\(2\) está en el subconjunto,\(1\) es pero no\(2\) es,\(2\) es pero no\(1\) es, y ambos\(1\) y\(2\) son. Eso es

\ begin {align*}\ varnothing,\ {1\},\ {2\},\ {1,2\} &\ subseteq S\ end {align*}

Este argumento puede generalizarse con un poco de trabajo para mostrar que un conjunto que contiene exactamente\(n\) elementos tiene exactamente\(2^n\) subconjuntos.

En gran parte de nuestro trabajo con funciones más adelante en el texto necesitaremos trabajar con subconjuntos de números reales, particularmente segmentos de la “línea real”. Una forma conveniente y estándar de representar dichos subconjuntos es con notación de intervalos.

Definición 0.3.5 Intervalos abiertos y cerrados de\(\mathbb{R}\)

Dejar\(a, b \in \mathbb{R}\) tal que\(a \lt b\text{.}\) Nombramos el subconjunto de todos los números entre\(a\) y\(b\) de diferentes maneras dependiendo de si los extremos del intervalo (\(a\)y\(b\)) son o no elementos del subconjunto.

• El intervalo cerrado\([a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}\) — ambos puntos finales están incluidos.
• El intervalo abierto\((a,b) = \{x \in \mathbb{R} : a \lt x \lt b\}\) — no se incluye ningún punto final.

También definimos ² intervalos semiabiertos que contienen un punto final pero no el otro:

\ begin {align*} (a, b] &=\ {x\ in\ mathbb {R}: a\ lt x\ leq b\} & [a, b) &=\ {x\ in\ mathbb {R}: a\ leq x\ lt b\}\ end {align*}

A veces también necesitamos intervalos sin límites

\ begin {alinear*} [a,\ infty) &=\ {x\ in\ mathbb {R}: a\ leq x\} & (a,\ infty) &=\ {x\ in\ mathbb {R}: a\ lt x\}\ (-\ infty, b] &=\ {x\ in\ mathbb {R}: x\ leq b\} & (-\ infty, b) &=\ {x\ in\ mathbb {R}: x\ lt b\}\ final {alinear*}

Estos intervalos no acotados no incluyen “\(\pm\infty\)”, por lo que el final del intervalo siempre está abierto ³.

Más sobre Sets

Entonces ahora sabemos decir que un conjunto está contenido dentro de otro. Ahora vamos a definir algunas otras operaciones en sets. Empecemos también a ser un poco más precisos con nuestras definiciones y exponerlas cuidadosamente a medida que profundizamos en el texto.

Definición 0.3.6.

Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos. Definimos la unión de\(A\) y\(B\text{,}\) denotado como\(A \cup B\text{,}\) el conjunto de todos los elementos que se encuentran en al menos uno de\(A\) o\(B\text{.}\)

\ begin {align*} A\ copa B &=\ {x | x\ en A\ mbox {o} x\ en B\}\ end {align*}

Es importante darse cuenta de que estamos usando la palabra “o” en un sentido matemático cuidadoso. Nos referimos a que\(x\) pertenece\(A\) o\(x\) pertenece\(B\) o a ambos. Mientras que en el inglés normal de todos los días “or” a menudo se usa para ser “exclusivo o” —\(A\) o\(B\) pero no ambos ⁴.

También iniciamos la definición anunciando “Definición” para que el lector sepa “Estamos a punto de definir algo importante”. También debemos asegurarnos de que todo sea (razonablemente) autónomo —no estamos asumiendo que el lector ya sabe\(A\) y\(B\) son conjuntos.

Es vital que dejemos claras nuestras definiciones de lo contrario cualquier cosa que hagamos con las definiciones será muy difícil de seguir. Como escritores debemos tratar de ser amables con nuestros lectores ⁵.

Definición 0.3.7.

Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos. Definimos la intersección de\(A\) y\(B\text{,}\)\(A \cap B\text{,}\) denotado como el conjunto de elementos que pertenecen a ambos\(A\) y\(B\text{.}\)

\ begin {align*} A\ cap B &=\ {x\; |\; x\ en A\ mbox {y} x\ en B\}\ end {align*}

Nuevamente note que estamos usando la palabra “y” en un cuidadoso sentido matemático (que se acerca bastante al uso habitual en inglés).

Ejemplo 0.3.8 Unión e intersección.

Deja\(A = \{1,2,3,4 \}\text{,}\)\(B = \{p : p \mbox{ is prime} \}\text{,}\)\(C = \{5,7,9\}\) y\(D = \{\mbox{even positive integers}\}\text{.}\) luego

\ begin {align*} A\ cap B &=\ {2,3\}\\ B\ cap D &=\ {2\}\ A\ copa C &=\ {1,2,3,4,5,7,9\}\\\ A\ cap C &=\ varnothing\ end {align*}

En este último caso vemos que los dos conjuntos no tienen elementos en común —se dice que son disjuntos.