0.2: Sets

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Todos ustedes habrán hecho algunos bits básicos de teoría de conjuntos en la escuela. Conjuntos, intersección, uniones, diagramas de Venn etc etc La teoría de conjuntos ahora aparece tan a fondo a lo largo de las matemáticas que es difícil imaginar cómo las Matemáticas podrían haber existido sin ella. Es realmente bastante sorprendente que la teoría de conjuntos sea una parte mucho más nueva de las matemáticas que el cálculo. La teoría de conjuntos matemáticamente rigurosa en realidad solo se desarrolló en el siglo XIX, principalmente por Georg Cantor ¹. Los matemáticos estaban usando conjuntos antes de entonces (por supuesto), sin embargo lo estaban haciendo sin definir las cosas de manera demasiado rigurosa y formal.

En matemáticas (y en otros lugares, incluida la “vida real”) estamos acostumbrados a tratar con colecciones de cosas. Por ejemplo

una familia es una colección de parientes.
equipo de hockey es una colección de jugadores de hockey.
La lista de compras es una colección de artículos que necesitamos comprar.

Generalmente cuando damos definiciones matemáticas tratamos de hacerlas muy formales y rigurosas para que sean lo más claras posible. Tenemos que hacer esto para que cuando nos encontremos con un objeto matemático podamos decidir con total certeza si satisface o no la definición.

Desafortunadamente, es el caso de que dar una definición completamente rigurosa de “set” tomaría mucho más de nuestro tiempo del que realmente nos gustaría ².

Definición 0.2.1. Una definición no tan formal de conjunto.

Un “conjunto” es una colección de objetos distintos. Los objetos son referidos como “elementos” o “miembros” del conjunto.

Ahora —solo un momento para describir algunas convenciones. Hay muchos de estos en matemáticas. Estas no son reglas matemáticas firmes, sino solo tradiciones. Hace que sea mucho más fácil para las personas que leen tu trabajo entender lo que estás tratando de decir.

Usa letras mayúsculas para denotar conjuntos,$A,B, C, X, Y$ etc.
Usar letras minúsculas para denotar elementos de los conjuntos$a,b,c,x,y\text{.}$

Entonces, cuando estás escribiendo la tarea, o simplemente describiendo lo que estás haciendo, entonces si te quedas con estas convenciones la gente que lee tu trabajo (incluida la persona que marca tus exámenes) sabrá — “Oh,$A$ es ese conjunto del que están hablando” y “$a$es un elemento de ese conjunto”. Por otro lado, si usas alguna letra o símbolo antiguo es correcto, pero confuso para el lector. Piense en ello como un poco como ortografía — si no deletreas las palabras correctamente, la gente suele entender a lo que te refieres, pero es mucho más fácil si deletreas las palabras de la misma manera que todos los demás.

Nos encontraremos con más de estas convenciones a medida que avanzamos — otra buena es

Las letras$i,j,k,l,m,n$ suelen denotar números enteros (like$1,2,3,-5,18,\dots>$).
Las letras$x,y,z,w$ suelen denotar números reales (como$1.4323, \pi, \sqrt{2}, 6.0221415\times 10^{23}, \dots$ y así sucesivamente).

Entonces ahora que tenemos conjuntos definidos, ¿qué podemos hacer con ellos? Sólo hay algo que podemos pedir de un conjunto

“¿Este objeto está en el set?”

y el conjunto responderá

“sí” o “no”

Por ejemplo, si$A$ es el conjunto de números pares podemos preguntar “Is 4 in$A\text{?}$” Volvemos la respuesta “sí”. Escribimos esto como

\ comenzar {reunir*} 4\ en A\ fin {reunir*}

Mientras que si preguntamos “Está$3$ adentro$A\text{?}$”, recuperamos la respuesta “no”. Matemáticamente escribiríamos esto como

\ comenzar {reunir*} 3\ notin A\ fin {reunir*}

Entonces este símbolo “$\in$” es una taquigrafía matemática para “es un elemento de”, mientras que el mismo símbolo con un trazo a través de él “$\notin$” es la abreviatura de “no es un elemento de”.

Observe que ambas declaraciones, aunque están escritas como cadenas cortas de tres símbolos, son oraciones realmente completas. Es decir, cuando los leemos tenemos

\ begin {align*}\ text {``$4\ in A$ "} &&&\ text {se lee como} &&\ text {``Cuatro es un elemento de $A$."}\\\ text {``$3\ notin A$ "} &&&\ text {se lee como} &&\ text {``Tres no es un elemento de $A$."} \ end {alinear*}

Los símbolos matemáticos como “$+$”, “$=$” y “$\in$” son taquigrafía ³ y los enunciados matemáticos como “$4+3=7$” son oraciones completas.

Este es un punto importante — la escritura matemática es como cualquier otro tipo de escritura. Es muy fácil poner un montón de símbolos o palabras abajo en la página, pero si quisiéramos que fuera fácil de leer y entender, entonces tenemos que trabajar un poco más duro. Cuando escribes matemáticas debes tener en cuenta que alguien más debería poder leerla y entenderla.

La lectura fácil es una escritura muy dura.

— Nathaniel Hawthorne, pero posiblemente también algunos otros como Richard Sheridan.

Nos encontraremos con bastantes conjuntos diferentes a la hora de hacer matemáticas. Debe quedar completamente claro a partir de la definición cómo responder a la pregunta “¿Este objeto está en el conjunto o no?”

“Que$A$ sea el conjunto de enteros pares entre 1 y 13.” — agradable y claro.
“Que$B$ sea el conjunto de gente alta en este salón de clase”. — no está claro.

De manera más general, si solo hay un pequeño número de elementos en el conjunto, solo los enumeramos todos

“Vamos$C = \{1,2,3\}\text{.}$”

Cuando escribimos la lista ponemos los elementos dentro de llaves “$\{ \cdot \}$”. Tenga en cuenta que el orden en el que escribimos las cosas no importa

\ begin {align*} C & =\ {1,2,3\} =\ {2,1,3\} =\ {3,2,1\}\ end {alinear*}

porque lo único que podemos preguntar es “¿Es este objeto un elemento de$C\text{?}$” No podemos hacer preguntas más complejas como “Cuál es el tercer elemento de$C\text{?}$” — requerimos objetos matemáticos más sofisticados para hacer tales preguntas ⁴. Del mismo modo, no importa cuántas veces escribamos el mismo objeto en la lista

\ begin {align*} C &=\ {1,1,1,2,3,3,3,3,1,2,1,2,1,3\} =\ {1,2,3\}\ end {align*}

porque todo lo que pedimos es “Es$1 \in C\text{?}$”. No “cuántas veces es 1 en$C\text{?}$”.

Ahora, si el conjunto es un poco más grande entonces podríamos escribir algo como esto

$C = \{1,2,3,\dots,40\}$el conjunto de todos los enteros entre 1 y 40 (inclusive).
$A = \{1,4,9,16,\dots\}$el conjunto de todos los cuadrados perfectos ⁵

El “$\dots$” vuelve a ser la taquigrafía de las entradas faltantes. Hay que tener cuidado con esto ya que puede confundir fácilmente al lector

$B = \{3,5,7,\dots\}$— ¿esto es todo primos impares, o todos los números impares mayores que 1 o?? Lo que está escrito no es suficiente para que tengamos una idea firme de lo que pretendía el escritor.

Únicamente usa esto donde quede completamente claro por contexto. Unas pocas palabras extra pueden ahorrarle mucha confusión al lector (y a usted mismo).

Siempre piensa en el lector.