0.4: Funciones

Ahora que hemos revisado ideas básicas sobre sets podemos empezar a hacer cosas más interesantes con ellos — funciones.

Cuando nos introducen a las funciones en matemáticas, es casi siempre como fórmulas. Tomamos un número\(x\) y le hacemos algunas cosas para obtener un nuevo número\(y\text{.}\) Por ejemplo,

\ begin {align*} y = f (x) &= 3x-7\ end {alinear*}

Aquí, tomamos un número lo\(x\text{,}\) multiplicamos por 3 y luego restamos siete para obtener el resultado.

Esta visión de las funciones —una función es una fórmula— fue como las definían los matemáticos hasta el siglo XIX. A medida que las ideas básicas de los conjuntos se definieron mejor, las personas revisaron las ideas que rodean La definición más moderna de una función entre dos conjuntos es que es una regla que asigna a cada elemento del primer conjunto un elemento único del segundo conjunto.

Considera el conjunto de días de la semana, y el conjunto que contiene el alfabeto

\ begin {align*} A &=\ left\ {\ text {domingo, lunes},\ texto {martes, miércoles},\ texto {jueves, viernes},\ text {sábado},\ text {domingo}\ right\}\ B &=\ left\ {\ text {a, b, c, d, e},\ dots,\ text {x, y z,}\ right\}\ end {alinear*}

Podemos definir una función\(f\) que toma un día (es decir, un elemento de\(A\)) y la convierte en la primera letra de ese día (es decir, un elemento de\(B\)). Esta es una función válida, aunque no hay fórmula. Podemos dibujar una imagen de la función como

Claramente tales imágenes funcionarán para conjuntos pequeños, pero se volverán muy desordenados para los grandes. Cuando volvamos a hablar de funciones en números reales, entonces cambiaremos a usar gráficas de funciones en el plano cartesiano.

Este ejemplo es bastante sencillo, pero esto sirve para ilustrar algunos puntos importantes. Si nuestra función nos da una regla para tomar elementos\(A\) y convertirlos en elementos a partir de\(B\) entonces

• la función debe definirse para todos los elementos de\(A\) — es decir, independientemente del elemento que\(A\) elijamos, la función debe ser capaz de darnos una respuesta. Toda función debe tener esta propiedad.
• por otro lado, no tenemos que “golpear” cada elemento de\(B\text{.}\) En el ejemplo anterior, echamos de menos casi todas las letras en\(B\text{.}\) Una función que sí llega a cada elemento de\(B\) se dice que es “surjectiva” o “onto”.
• un elemento dado de\(B\) puede ser alcanzado por más de un elemento de\(A\text{.}\) En el ejemplo anterior, los días “martes” y “jueves” ambos mapean a la letra\(T\) y de manera similar las letras\(S\) se mapean tanto por “domingo” como por “sábado”. Una función que no hace esto, es decir, cada elemento en los\(A\) mapas a un elemento diferente en\(B\) se llama “inyectivo” o “uno a uno” — de nuevo volveremos a esto más adelante cuando discutamos la función inversa en la Sección 0.6.

Resumiendo esto de manera más formal, tenemos

Definición 0.4.1

Dejar\(A, B\) ser conjuntos no vacíos. Una función\(f\) de\(A\) a\(B\text{,}\) es una regla o fórmula que toma elementos de\(A\) como entradas y devuelve elementos de\(B\) como salidas. Escribimos esto como

\ comenzar {reunir*} f: A\ a B\ fin {reunir*}

y si\(f\) toma\(a \in A\) como entrada y devuelve\(b\in B\) entonces escribimos esto como\(f(a) = b\text{.}\) Cada función debe cumplir las siguientes dos condiciones

• La función debe definirse en cada entrada posible del conjunto Es\(A\text{.}\) decir, no importa qué elemento\(a \in A\) elijamos, la función debe devolver un elemento\(b \in B\) para que\(f(a)=b\text{.}\)
• La función solo está permitida para devolver un resultado por cada entrada ¹. Entonces, si encontramos eso\(f(a)=b_1\) y\(f(a)=b_2\) entonces la única manera que\(f\) puede ser una función es si\(b_1\) es exactamente lo mismo que\(b_2\text{.}\)

Debemos incluir los conjuntos de entrada y salida\(A\) y\(B\) en la definición de la función. Esta es una de las razones por las que no debemos pensar en las funciones como solo fórmulas. Los conjuntos de entrada y salida tienen nombres matemáticos propios, que damos a continuación:

Definición 0.4.2

Dejar\(f:A \to B\) ser una función. Entonces

• el conjunto\(A\) de entradas a nuestra función es el “dominio” de\(f\text{,}\)
• el conjunto\(B\) que contiene todos los resultados se llama codominio,
• Leemos “\(f(a) = b\)” como “\(f\)de\(a\) es\(b\)”, pero a veces podríamos decir “\(f\)mapas\(a\) a\(b\)” o “\(b\)es la imagen de\(a\)”.
• El codominio debe contener todos los resultados posibles de la función, pero también podría contener algunos otros elementos. El subconjunto de\(B\) eso es exactamente las salidas de\(A\) se llama el “rango” de\(f\text{.}\) Lo definimos más formalmente por

  \ begin {align*}\ text {range of} f &=\ left\ {b\ in B\; |\;\ text {hay algunos} a\ en A\ text {así que} f (a) = b\ derecha\}\\ &=\ left\ {f (a)\ in B\; |\; a\ in A\ right\}\ end {align*}

  Los únicos elementos permitidos en ese conjunto son aquellos elementos de\(B\) que son las imágenes de elementos en\(A\text{.}\)

Ejemplo 0.4.3 dominios e intervalos

Volvamos al ejemplo de función “días de la semana” en el que trabajamos anteriormente, podemos definir el dominio, codominio y rango:

• El dominio,\(A\text{,}\) es el conjunto de días de la semana.
• El codominio,\(B\text{,}\) son las 26 letras del alfabeto.
• El rango es el conjunto\(\left \{ F,M,T,S,W\right \}\) — no hay otros elementos de\(B\) son imágenes de entradas de\(A\text{.}\)

Ejemplo 0.4.4 más dominios y rangos

Un ejemplo más numérico —\(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) déjese definir por la fórmula\(g(x) = x^2\text{.}\) Then

• el dominio y el codominio son ambos el conjunto de todos los números reales, pero
• el rango es el conjunto\([0, \infty)\text{.}\)

Ahora,\(h:[0,\infty) \to [0,\infty)\) déjese definir por la fórmula\(h(x) = \sqrt{x}\text{.}\) Entonces

• el dominio y el codominio son ambos el conjunto\([0,\infty)\text{,}\) que es todos los números reales no negativos, y
• en este caso el rango es igual al codominio, a saber\([0, \infty)\text{.}\)

Ejemplo 0.4.5 función por partes

Otro ejemplo numérico más.

\ begin {align*} V: [-1,1]\ a\ mathbb {R} &&\ text {definido por} V (t) &=\ begin {cases} 0 &\ text {if} -1\ leq t\ lt 0\\ 120 &\ text {if} 0\ leq t\ leq 1\ end {cases}\ end {align*}

Este es un ejemplo de una función “por partes”, es decir, una que no está definida por una sola fórmula, sino que se define pieza por pieza. Esta función tiene dominio\([-1,1]\) y su rango es\(\left \{ 0,120\right \}\text{.}\) Podríamos interpretar esta función como medir el voltaje a través de un interruptor que se enciende en el momento\(t=0\text{.}\)

Casi todas las funciones que miramos a partir de aquí serán fórmulas. Sin embargo es importante señalar, que tenemos que incluir el dominio y el codominio cuando describimos la función. Si el dominio y el codominio no se declaran explícitamente entonces debemos asumir que ambos son\(\mathbb{R}\text{.}\)