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LibreTexts Español

0.4: Funciones

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Ahora que hemos revisado ideas básicas sobre sets podemos empezar a hacer cosas más interesantes con ellos — funciones.

Cuando nos introducen a las funciones en matemáticas, es casi siempre como fórmulas. Tomamos un númerox y le hacemos algunas cosas para obtener un nuevo númeroy. Por ejemplo,

\ begin {align*} y = f (x) &= 3x-7\ end {alinear*}

Aquí, tomamos un número lox, multiplicamos por 3 y luego restamos siete para obtener el resultado.

Esta visión de las funciones —una función es una fórmula— fue como las definían los matemáticos hasta el siglo XIX. A medida que las ideas básicas de los conjuntos se definieron mejor, las personas revisaron las ideas que rodean La definición más moderna de una función entre dos conjuntos es que es una regla que asigna a cada elemento del primer conjunto un elemento único del segundo conjunto.

Considera el conjunto de días de la semana, y el conjunto que contiene el alfabeto

\ begin {align*} A &=\ left\ {\ text {domingo, lunes},\ texto {martes, miércoles},\ texto {jueves, viernes},\ text {sábado},\ text {domingo}\ right\}\ B &=\ left\ {\ text {a, b, c, d, e},\ dots,\ text {x, y z,}\ right\}\ end {alinear*}

Podemos definir una funciónf que toma un día (es decir, un elemento deA) y la convierte en la primera letra de ese día (es decir, un elemento deB). Esta es una función válida, aunque no hay fórmula. Podemos dibujar una imagen de la función como

Claramente tales imágenes funcionarán para conjuntos pequeños, pero se volverán muy desordenados para los grandes. Cuando volvamos a hablar de funciones en números reales, entonces cambiaremos a usar gráficas de funciones en el plano cartesiano.

Este ejemplo es bastante sencillo, pero esto sirve para ilustrar algunos puntos importantes. Si nuestra función nos da una regla para tomar elementosA y convertirlos en elementos a partir deB entonces

  • la función debe definirse para todos los elementos deA — es decir, independientemente del elemento queA elijamos, la función debe ser capaz de darnos una respuesta. Toda función debe tener esta propiedad.
  • por otro lado, no tenemos que “golpear” cada elemento deB. En el ejemplo anterior, echamos de menos casi todas las letras enB. Una función que sí llega a cada elemento deB se dice que es “surjectiva” o “onto”.
  • un elemento dado deB puede ser alcanzado por más de un elemento deA. En el ejemplo anterior, los días “martes” y “jueves” ambos mapean a la letraT y de manera similar las letrasS se mapean tanto por “domingo” como por “sábado”. Una función que no hace esto, es decir, cada elemento en losA mapas a un elemento diferente enB se llama “inyectivo” o “uno a uno” — de nuevo volveremos a esto más adelante cuando discutamos la función inversa en la Sección 0.6.

Resumiendo esto de manera más formal, tenemos

Definición 0.4.1

DejarA,B ser conjuntos no vacíos. Una funciónf deA aB, es una regla o fórmula que toma elementos deA como entradas y devuelve elementos deB como salidas. Escribimos esto como

\ comenzar {reunir*} f: A\ a B\ fin {reunir*}

y sif tomaaA como entrada y devuelvebB entonces escribimos esto comof(a)=b. Cada función debe cumplir las siguientes dos condiciones

  • La función debe definirse en cada entrada posible del conjunto EsA. decir, no importa qué elementoaA elijamos, la función debe devolver un elementobB para quef(a)=b.
  • La función solo está permitida para devolver un resultado por cada entrada 1. Entonces, si encontramos esof(a)=b1 yf(a)=b2 entonces la única manera quef puede ser una función es sib1 es exactamente lo mismo queb2.

Debemos incluir los conjuntos de entrada y salidaA yB en la definición de la función. Esta es una de las razones por las que no debemos pensar en las funciones como solo fórmulas. Los conjuntos de entrada y salida tienen nombres matemáticos propios, que damos a continuación:

Definición 0.4.2

Dejarf:AB ser una función. Entonces

  • el conjuntoA de entradas a nuestra función es el “dominio” def,
  • el conjuntoB que contiene todos los resultados se llama codominio,
  • Leemos “f(a)=b” como “fdea esb”, pero a veces podríamos decir “fmapasa ab” o “bes la imagen dea”.
  • El codominio debe contener todos los resultados posibles de la función, pero también podría contener algunos otros elementos. El subconjunto deB eso es exactamente las salidas deA se llama el “rango” def. Lo definimos más formalmente por

    \ begin {align*}\ text {range of} f &=\ left\ {b\ in B\; |\;\ text {hay algunos} a\ en A\ text {así que} f (a) = b\ derecha\}\\ &=\ left\ {f (a)\ in B\; |\; a\ in A\ right\}\ end {align*}

    Los únicos elementos permitidos en ese conjunto son aquellos elementos deB que son las imágenes de elementos enA.
Ejemplo 0.4.3 dominios e intervalos

Volvamos al ejemplo de función “días de la semana” en el que trabajamos anteriormente, podemos definir el dominio, codominio y rango:

  • El dominio,A, es el conjunto de días de la semana.
  • El codominio,B, son las 26 letras del alfabeto.
  • El rango es el conjunto{F,M,T,S,W} — no hay otros elementos deB son imágenes de entradas deA.
Ejemplo 0.4.4 más dominios y rangos

Un ejemplo más numérico —g:RR déjese definir por la fórmulag(x)=x2. Then

  • el dominio y el codominio son ambos el conjunto de todos los números reales, pero
  • el rango es el conjunto[0,).

Ahora,h:[0,)[0,) déjese definir por la fórmulah(x)=x. Entonces

  • el dominio y el codominio son ambos el conjunto[0,), que es todos los números reales no negativos, y
  • en este caso el rango es igual al codominio, a saber[0,).
Ejemplo 0.4.5 función por partes

Otro ejemplo numérico más.

\ begin {align*} V: [-1,1]\ a\ mathbb {R} &&\ text {definido por} V (t) &=\ begin {cases} 0 &\ text {if} -1\ leq t\ lt 0\\ 120 &\ text {if} 0\ leq t\ leq 1\ end {cases}\ end {align*}

Este es un ejemplo de una función “por partes”, es decir, una que no está definida por una sola fórmula, sino que se define pieza por pieza. Esta función tiene dominio[1,1] y su rango es{0,120}. Podríamos interpretar esta función como medir el voltaje a través de un interruptor que se enciende en el momentot=0.

Casi todas las funciones que miramos a partir de aquí serán fórmulas. Sin embargo es importante señalar, que tenemos que incluir el dominio y el codominio cuando describimos la función. Si el dominio y el codominio no se declaran explícitamente entonces debemos asumir que ambos sonR.


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