0.5: Análisis de Fórmulas

Considera la fórmula

\ begin {align*} f (x) &=\ frac {1+x} {1+2x-x^2}\ end {alinear*}

Este es un ejemplo de una función racional simple —es decir, la proporción de dos polinomios. Cuando empezamos a examinar estas funciones más adelante en el texto, es importante que seamos capaces de entender cómo evaluar dichas funciones a diferentes valores de\(x\text{.}\) Por ejemplo

\ begin {alinear*} f (5) &=\ frac {1+5} {1+10-25} =\ frac {6} {-14} = -\ frac {3} {7}\ end {align*}

Más importante, sin embargo, es que entendamos cómo descomponemos esta función en piezas más simples. Dado que gran parte de tu curso de cálculo implicará crear y estudiar funciones complicadas al construirlas a partir de piezas simples, es importante que realmente entiendas este punto.

Ahora para llegar allí haremos una pequeña excursión a lo que se llama parse-trees. Ya los usas implícitamente cuando evalúas la función a un valor particular de\(x\text{,}\) pero nuestro objetivo aquí es formalizar un poco más este proceso.

Podemos expresar los pasos utilizados para evaluar la fórmula anterior como un diagrama tipo árbol ¹. Podemos descomponer esta fórmula como el siguiente diagrama en forma de árbol

Figura 0.5.1. Un árbol de análisis de la función\(\frac{1+x}{1+2x-x^2}\text{.}\)

Expliquemos aquí las piezas.

• La imagen consiste en cajas y flechas que se denominan “nodos” y “bordes” respectivamente.
• Existen dos tipos de cajas, las que contienen números y la variable\(x\text{,}\) y las que contienen las operaciones aritméticas “\(+\)”, “\(-\)”, “\(\times\)” y “\(/\)”.
• Si queremos representar la fórmula\(3+5\text{,}\) entonces podemos dibujar esto como la siguiente configuración similar a la cereza

• que nos dice tomar los números “\(3\)” y “\(5\)” y sumarlos juntos para conseguir\(8\text{.}\)

evalúa a

• Al ensartar tan pequeñas “cerezas” juntas podemos describir fórmulas más complicadas. Por ejemplo, si calculamos “\((3+5)\times 2\)”, primero calculamos “\((3+5)\)” y luego multiplicamos el resultado por 2. Los diagramas correspondientes son

evalúa para evaluar a

El árbol que dibujamos en la Figura 0.5.1 anterior que representa nuestra fórmula tiene\(x\) en algunas de las cajas, y así cuando queremos calcular la función a un valor particular de\(x\) —digamos at\(x=5\) — entonces reemplazamos esas “\(x\)” s en el árbol por ese valor y luego computamos de nuevo el árbol. Ver el ejemplo a continuación

Inicio\(\mapsto\)

\(\mapsto\)\(\mapsto\)

\(\mapsto\)y ya terminamos.

Este no es el único árbol de análisis asociado con la fórmula porque también\(f(x)\text{;}\) podríamos descomponerlo como

Somos capaces de hacer esto porque cuando calculamos el denominador\(1+2x-x^2\text{,}\) podemos calcularlo como

\ begin {align*} 1+2x-x^2 &=\ text {either} (1+2x) -x^2\ text {o} = 1 + (2x-x^2). \ end {align*}

Ambos ² son correctos porque la adición es “asociativa”. A saber:

\ begin {alinear*} a+b+c &= (a+b) +c = a+ (b+c). \ end {align*}

La multiplicación también es asociativa:

\ begin {align*} a\ times b\ times c &= (a\ times b)\ times c = a\ times (b\ times c). \ end {align*}

Ejemplo 0.5.2 analizando una fórmula

Considera la fórmula

\ begin {alinear*} g (t) &=\ izquierda (\ frac {t+\ pi} {t-\ pi}\ derecha)\ cdot\ sin\ izquierda (\ frac {t+\ pi} {2}\ derecha). \ end {align*}

Esto introduce una nueva idea —tenemos que evaluar\(\frac{t+\pi}{2}\) y luego calcular el seno de ese número. El árbol correspondiente se puede escribir como

Si queremos evaluar esto en\(t = \pi/2\) entonces obtenemos lo siguiente...

Inicio\(\mapsto\)

\(\mapsto\)\(\mapsto\)

\(\mapsto\)y ya terminamos.

Es muy poco probable que alguna vez necesite construir explícitamente un árbol de este tipo para cualquier problema en el resto del texto. El punto principal de introducir estos objetos y trabajar a través de algunos ejemplos es darnos cuenta de que todas las funciones que examinaremos están construidas a partir de piezas más simples. En particular, hemos construido todos los ejemplos anteriores a partir de simples “bloques de construcción”

• constantes — números fijos como\(1, \pi\) y así sucesivamente
• variables — generalmente\(x\) o\(t\text{,}\) pero a veces otros símbolos
• funciones estándar, como funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente), exponenciales y logaritmos.

Estos simples bloques de construcción se combinan usando aritmética

• suma y resta,\(a + b\) y\(a-b\)
• multiplicación y división —\(a \cdot b\) y\(\frac{a}{b}\)
• elevando a un poder —\(a^n\)
• composición — dadas dos funciones\(f(x)\) y\(g(x)\) formamos una nueva función\(f(g(x))\) evaluando\(y=g(x)\) y luego evaluando\(f(y) = f(g(x))\text{.}\)

Durante el resto del curso, cuando aprendemos a calcular límites y derivados, nuestros cálculos requieren que entendamos la forma en que construimos funciones como acabamos de describir.

Es decir, para calcular la derivada ³ de una función tenemos que ver cómo construir la función a partir de estos bloques de construcción (es decir, las constantes, variables y funciones estándar) usando operaciones aritméticas. Luego construiremos la derivada siguiendo estos mismos pasos. Habrá reglas simples para encontrar las derivadas de las piezas más simples y luego reglas para juntarlas siguiendo la aritmética utilizada para construir la función.