0.6: Funciones inversas

Hay una última cosa que debemos revisar antes de adentrarnos en el material principal del curso y que son las funciones inversas. Como hemos visto anteriormente las funciones son realmente solo reglas para tomar una entrada (casi siempre un número), procesarla de alguna manera (generalmente por una fórmula) y luego devolver una salida (de nuevo, casi siempre un número).

\ begin {reunir*}\ text {número de entrada}\;\; x\ quad\ mapsto\ quad f\;\;\ text {hace ``cosas” a}\;\;\; x\ quad\ mapsto\ quad\ texto {número de retorno}\;\; y\ end {reunir*}

En muchas situaciones resultará muy útil si podemos deshacer lo que sea que haya hecho nuestra función. es decir

\ begin {reunir*}\ text {take output}\;\; y\ quad\ mapsto\ quad\ text {hacer ``cosas” a}\;\; y\ quad\ mapsto\ quad\ text {devolver el original}\;\; x\ end {reunir*}

Cuando existe, la función “que deshace” la función\(f(x)\) se encuentra resolviendo\(y=f(x)\) para\(x\) como una función de\(y\) y se llama la función inversa de\(f\text{.}\) Resulta que no siempre es posible resolver\(y=f(x)\) para\(x\) como una función de\(y\text{.}\) Incluso cuando es posible, puede ser muy difícil de hacer ¹ De hecho gran parte del cifrado explota el hecho de que puedes encontrar funciones que son muy rápidas de hacer, pero muy difíciles de deshacer. Por ejemplo, es muy rápido multiplicar dos números primos grandes juntos, pero muy difícil tomar ese resultado y factorizarlo de nuevo en los dos primos originales. El lector interesado debe buscar funciones de trampilla. .

Por ejemplo — la posición de una partícula,\(s\text{,}\) en el tiempo\(t\) viene dada por la fórmula\(s(t) = 7t\) (esbozada a continuación). Dada una calculadora, y cualquier número en particular\(t\text{,}\) puedes calcular rápidamente las posiciones correspondientes\(s\text{.}\) Sin embargo, si te hacen la pregunta “Cuando llega la partícula\(s=4\text{?}\)” entonces para responderla necesitamos poder “deshacer”\(s(t)=4\) para aislar\(t\text{.}\) En este caso, porque \(s(t)\)siempre va en aumento, siempre podemos deshacer\(s(t)\) para obtener una respuesta única:

\ begin {align*} s (t) &= 7t = 4 &\ text {si y solo si} && t&=\ frac {4} {7}. \ end {align*}

No obstante, esta pregunta no siempre es tan fácil. Considera el boceto de\(y=\sin(x)\) abajo; cuando es Es\(y=\frac{1}{2}\text{?}\) decir, para lo cual los valores\(x\) es\(\sin(x)=\frac{1}{2}\text{?}\) Para reformularlo de nuevo, en qué valores de\(x\) hace la curva\(y=\sin x\) (que se esboza en la mitad derecha de la Figura 0.6.1) cruza la línea recta horizontal\(y=\frac{1}{2}\) (que también es esbozado en la misma figura)?

Figura 0.6.1.

Podemos ver que va a haber un número infinito de\(x\) -valores que dan no\(y=\sin(x)=\frac{1}{2}\text{;}\) hay una respuesta única.

Recordemos (de la Definición 0.4.1) que para cualquier entrada dada, una función debe dar una salida única. Entonces, si queremos encontrar una función que deshaga\(s(t)\text{,}\) entonces las cosas están bien —porque cada\(s\) -valor corresponde a un\(t\) -valor único. Por otro lado, la situación con\(y=\sin x\) es problemática: cualquier\(y\) valor dado es mapeado por muchos\(x\) valores diferentes. Entonces, cuando buscamos una respuesta única a la pregunta “Cuándo es\(\sin x = \frac{1}{2}\text{?}\)” no podemos responderla.

Esta condición de “singularidad” se puede hacer más precisa:

Definición 0.6.2

Una función\(f\) es uno a uno (inyección) cuando nunca toma el mismo\(y\) valor más de una vez. Eso es

\ begin {reunir*}\ mbox {if} x_1\ neq x_2\ mbox {entonces} f (x_1)\ neq f (x_2)\ end {reunir*}

Hay una manera fácil de probar esto cuando se tiene una gráfica de la función — la prueba de línea horizontal.

Definición 0.6.3 Prueba de línea horizontal

Una función es uno a uno si y solo si ninguna línea horizontal\(y=c\) interseca la gráfica\(y=f(x)\) más de una vez.

es decir, cada línea horizontal cruza la gráfica ya sea cero o una vez. Nunca dos veces o más. Esta prueba nos dice que\(y=x^3\) es uno a uno, pero no lo\(y=x^2\) es. Sin embargo, tenga en cuenta que si restringimos el dominio de\(y=x^2\) a\(x \geq 0\) entonces se pasa la prueba de línea horizontal. Esta es una de las razones por las que tenemos que tener cuidado para considerar el dominio de la función.

Cuando una función es uno a uno entonces tiene una función inversa.

Definición 0.6.4

Dejar\(f\) ser una función uno a uno con dominio\(A\) y rango\(B\text{.}\) Luego se denota su función inversa\(f^{-1}\) y tiene dominio\(B\) y rango\(A\text{.}\) Se define por

\ begin {align*} f^ {-1} (y) &= x &\ text {siempre} && f (x) &=y\ end {align*}

para cualquier\(y \in B\text{.}\)

Entonces, si\(x\) los\(f\)\(f^{-1}\) mapas para\(y\text{,}\) luego los mapas\(y\) vuelven a\(x\text{.}\) Eso es\(f^{-1}\) “deshace”\(f\text{.}\) Debido a esto tenemos

\ begin {align*} f^ {-1} (f (x)) &= x &\ mbox {para cualquier $x\ in A$}\\ f (f^ {-1} (y)) &=y &\ mbox {para cualquier $y\ in B$}\ end {align*}

Tenemos que tener cuidado de no confundir\(f^{-1}(x)\) con\(\displaystyle \frac{1}{f(x)}\text{.}\) El “\(-1\)” no es un exponente.

Ejemplo 0.6.5 Inversa de\(x^5+3\)

Dejar\(f(x)=x^5+3\) en dominio\(\mathbb{R}\text{.}\) Para encontrar su inversa hacemos lo siguiente

• Escribe\(y=f(x)\text{;}\) que es\(y=x^5+3\text{.}\)
• Resolver para\(x\) en términos de\(y\) (esto no siempre es fácil) —\(x^5=y-3\text{,}\) entonces\(x=(y-3)^{1/5}\text{.}\)
• La solución es\(f^{-1}(y) = (y-3)^{1/5}\text{.}\)
• Recordemos que el “\(y\)” in\(f^{-1}(y)\) es una variable ficticio. Es decir,\(f^{-1}(y) = (y-3)^{1/5}\) significa que si ingresas el número\(y\) en la función\(f^{-1}\), genera el número\((y-3)^{1/5}\text{.}\) Puedes llamar a la variable de entrada lo que quieras. Entonces, si desea llamar a la variable de entrada “\(x\)” en lugar de “\(y\)”, simplemente reemplace cada\(y\) entrada\(f^{-1}(y)\) con un\(x\text{.}\)
• Eso es\(f^{-1}(x) = (x-3)^{1/5}\text{.}\)

Ejemplo 0.6.6 Inversa de\(\sqrt{x-1}\)

Dejar\(g(x) = \sqrt{x-1}\) en el dominio\(x \geq 1\text{.}\) Podemos encontrar la inversa de la misma manera:

\ begin {align*} y &=\ sqrt {x-1}\\ y^2 &= x-1\\ x &= y^2+1 = f^ {-1} (y) &\ text {o, escribiendo la variable de entrada como ``$x$”:}\\ f^ {-1} (x) &= x^2+1. \ end {align*}

Pasemos ahora a encontrar lo inverso de\(\sin(x)\) — es un poco más complicado y tenemos que pensar detenidamente en los dominios.

Ejemplo 0.6.7 Inversa de\(\sin(x)\)

Hemos visto (de nuevo en la Figura 0.6.1) que\(\sin(x)\) toma cada valor\(y\) entre\(-1\) y\(+1\) para infinitamente muchos valores diferentes de\(x\) (ver la gráfica de la izquierda en la figura de abajo). En consecuencia\(\sin(x)\text{,}\) con dominio\(-\infty \lt x \lt \infty\) no tiene una función inversa.

Pero fíjese que como\(x\) va de\(-\frac{\pi}{2}\) a\(+\frac{\pi}{2}\text{,}\)\(\sin(x)\) aumenta de\(-1\) a\(+1\text{.}\) (Ver la gráfica del medio en la figura anterior.) En particular,\(\sin(x)\) toma cada valor\(-1 \le y\le 1\) para exactamente uno\(-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2}\text{.}\) Así que si restringimos\(\sin x\) tener dominio\(-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2}\text{,}\) sí tiene una función inversa, que tradicionalmente se llama arcoseno (ver Apéndice A.9).

Es decir, por definición, para cada uno\(-1\le y\le 1\text{,}\)\(\arcsin(y)\) es el único\(-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2}\) obedeciendo\(\sin(x)=y\text{.}\) Equivalentemente, intercambiando las variables ficticias x e y a lo largo de la última oración da que para cada uno\(-1\le x\le 1\text{,}\)\(\arcsin(x)\) es el único\(-\frac{\pi}{2}\le y\le \frac{\pi}{2}\) obedeciendo\(\sin(y)=x\text{.}\)

Es una cuestión fácil construir la gráfica de una función inversa a partir de la gráfica de la función original. Solo tenemos que recordar que

\[ Y=f^{-1}(X) \iff f(Y)=X \nonumber \]

que es\(y=f(x)\) con\(x\) renombrado a\(Y\) y\(y\) renombrado a\(X\text{.}\)

Comience dibujando la gráfica de\(f\text{,}\) etiquetar los\(x\)\(y\) ejes y etiquetar la curva\(y=f(x)\text{.}\)

Ahora reemplace cada uno\(x\) por\(Y\) y cada uno\(y\) por\(X\) y reemplace la etiqueta resultante\(X=f(Y)\) en la curva por el equivalente\(Y=f^{-1}(X)\text{.}\)

Finalmente solo necesitamos redibujar el boceto con el\(Y\) eje corriendo verticalmente (con\(Y\) aumento hacia arriba) y el\(X\) eje corriendo horizontalmente (con\(X\) aumento hacia la derecha). Para ello, finge que el boceto está en una transparencia o en una hoja de papel muy delgada que puedas ver a través. Levanta el boceto y dale la vuelta para que el\(Y\) eje discurra verticalmente y el\(X\) eje discurra horizontalmente. Si quieres, también puedes convertir la mayúscula\(X\) en una minúscula\(x\) y la mayúscula\(Y\) en una minúscula\(y\text{.}\)

Otra forma de decir “voltear el boceto para intercambiar los\(y\) ejes\(x\) — y —” es “reflejar en la línea\(y=x\)”. En la figura de abajo el disco elíptico “horizontal” azul en el que se centra se\((a,b)\) ha reflejado en la línea\(y=x\) para dar el disco elíptico “vertical” rojo centrado en\((b,a)\text{.}\)

Ejemplo 0.6.8 Croquizado inverso de\(y=x^2\)

Como ejemplo, let\(f(x) = x^2\) with domain\(0\le x \lt \infty\text{.}\)

• Cuando\(x=0\text{,}\)\(f(x)=0^2=0\text{.}\)
• A medida que\(x\) aumenta,\(x^2\) se hace más y más grande.
• Cuando\(x\) es muy grande y positivo, también\(x^2\) es muy grande y positivo. (Por ejemplo, piensa\(x=100\text{.}\))

La gráfica de\(y=f(x)=x^2\) es la curva azul a continuación. Por definición,\(Y=f^{-1}(X)\) si\(X=f(Y)=Y^2\text{.}\) Eso es, si\(Y=\sqrt{X}\text{.}\) (Recuerda eso, para estar en el dominio de\(f\text{,}\) debemos tener\(Y\ge 0\text{.}\)) Entonces la función inversa de “cuadrado” es “raíz cuadrada”. La gráfica de\(f^{-1}\) es la curva roja a continuación. La curva roja es el reflejo de la curva azul en la línea\(y=x\text{.}\)