2.1: Revisando Líneas Tangentes

A modo de motivación para la definición de la derivada, volvemos a la discusión de líneas tangentes que iniciamos en el capítulo anterior sobre límites. Consideramos, en los Ejemplos 2.1.2 y 2.1.5, a continuación, el problema de encontrar la pendiente de la línea tangente a una curva en un punto. Pero comencemos recordando, en el Ejemplo 2.1.1, lo que se entiende por la pendiente de una línea recta.

Ejemplo 2.1.1 Qué es la pendiente.

En este ejemplo, recordamos lo que se entiende por la pendiente de la línea recta

\ begin {align*} y&=\ tfrac {1} {2} x+\ tfrac {3} {2}\ end {align*}

• Afirmamos que si, mientras caminamos por esta línea recta, nuestra\(x\) —coordenada cambia en una cantidad\(\Delta x\text{,}\) entonces nuestra\(y\) —coordenada cambia exactamente\(\Delta y = \tfrac{1}{2}\Delta x\text{.}\)
• Por ejemplo, en la figura de la izquierda de abajo, nos movemos desde el punto

  \ begin {reunir*} (x_0, y_0) = (1\,,\ ,2=\ tfrac {1} {2}\ veces 1+\ tfrac {3} {2})\ end {reunión*}

  en la línea hasta el punto

  \ begin {reunir*} (x_1, y_1) = (5\,,\ ,4=\ tfrac {1} {2}\ times 5+\ tfrac {3} {2})\ end {reunión*}

  en la línea. En este movimiento nuestros cambios\(x\) —coordinados por

  \ comenzar {reunir*}\ Delta x= 5-1=4\ final {reunir*}

  y nuestros cambios\(y\) —coordinados por

  \ begin {reunir*}\ Delta y=4-2=2\ end {reunir*}

  que de hecho es\(\tfrac{1}{2}\times 4=\tfrac{1}{2}\Delta x\text{,}\) como se afirma

• En general, cuando nos movemos del punto

  \ begin {align*} (x_0, y_0) &= (x_0,\ tfrac {1} {2} x_0+\ tfrac {3} {2})\ end {align*}

  en la línea hasta el punto

  \ begin {align*} (x_1, y_1) &= (x_1,\ tfrac {1} {2} x_1+\ tfrac {3} {2})\ end {align*}

  en la línea, nuestro\(x\) —coordinate cambia por

  \ begin {reunir*}\ Delta x=x_1-x_0\ end {reunir*}

  y nuestros cambios\(y\) —coordinados por

  \ begin {align*}\ Delta y&=y_1-y_0\\ &=\ big [\ tfrac {1} {2} x_1+\ tfrac {3} {2}\ grande] -\ grande [\ tfrac {1} {2} x_0+\ tfrac {3} {2}\ grande]\\ &=\ tfrac {1} {2} (x_1-x_0)\ final {alinear*}

  que en efecto es\(\tfrac{1}{2}\Delta x\text{,}\) como se afirma.
• Entonces, para la recta\(y=\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{2}\text{,}\) la relación\(\tfrac{\Delta y}{\Delta x} =\tfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\) siempre toma el valor\(\frac{1}{2}\text{,}\) independientemente de la elección del punto inicial\((x_0,y_0)\) y el punto final\((x_1,y_1)\text{.}\) Esta relación constante es la pendiente de la línea\(y=\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{2}\text{.}\)

Las líneas rectas son especiales en que para cada línea recta, hay un número fijo\(m\text{,}\) llamado la pendiente de la línea recta, con la propiedad de que si toma cualquiera de dos puntos diferentes,\((x_0,y_0)\) y\((x_1,y_1)\text{,}\) en la línea, la relación\(\tfrac{\Delta y}{\Delta x}=\tfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\text{,}\) que se llama la tasa de cambio de \(y\)por unidad tasa de cambio ¹ de\(x\text{,}\) siempre toma el valor\(m\text{.}\) Esta es la propiedad que distingue líneas de otras curvas.

Otras curvas no tienen esta propiedad. En los dos siguientes ejemplos ilustramos este punto con la parábola\(y=x^2\text{.}\) Recordemos que estudiamos este ejemplo de nuevo en la Sección 1.1. En el Ejemplo 2.1.2 encontramos la pendiente de la línea tangente a\(y=x^2\) en un punto determinado. Generalizamos esto en el Ejemplo 2.1.5, para mostrar que podemos definir “la pendiente de la curva\(y=x^2\)” en un punto\(x=x_0\) arbitrario considerando\(\tfrac{\Delta y}{\Delta x}=\tfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\) con\((x_1,y_1)\) muy cerca de\((x_0,y_0)\text{.}\)

Ejemplo 2.1.2 Pendiente de secantes de\(y=x^2\).

En este ejemplo, fijemos\((x_0,y_0)\) para ser el punto\((2,4)\) en la parábola\(y=x^2\text{.}\) Ahora vamos a\((x_1, y_1) = (x_1, x_1^2)\) ser algún otro punto sobre la parábola; es decir, un punto con\(x_1 \neq x_0\text{.}\)

• Dibuja la línea recta a través\((x_0,y_0)\) y\((x_1,y_1)\) — esta es una línea secante y las vimos en el Capítulo 1 cuando discutimos las líneas tangentes ².
• La siguiente tabla da la pendiente,\(\tfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\text{,}\) de la línea secante a través\((x_0,y_0)=(2,4)\) y\((x_1,y_1)\text{,}\) para diversas opciones diferentes de\((x_1,y_1=x_1^2)\text{.}\)

  \(x_1\)	\(1\)	\(1.5\)	\(1.9\)	\(1.99\)	\(1.999\)	\(\circ\)	\(2.001\)	\(2.01\)	\(2.1\)	\(2.5\)	\(3\)
  \(y_1=x_1^2\)	\(1\)	\(2.25\)	\(3.61\)	\(3.9601\)	\(3.9960\)	\(\circ\)	\(4.0040\)	\(4.0401\)	\(4.41\)	\(6.25\)	\(9\)
  \(\tfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\)	\(3\)	\(3.5\)	\(3.9\)	\(3.99\)	\(3.999\)	\(\circ\)	\(4.001\)	\(4.01\)	\(4.1\)	\(4.5\)	\(5\)

• Entonces ahora tenemos una gran tabla de números — ¿qué hacemos con ellos? Bueno, hay mensajes que podemos sacar de esta mesa.
  • Diferentes opciones de\(x_1\) dar diferentes valores para la pendiente,\(\tfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\text{,}\) de la secante a través\((x_0,y_0)\) y\((x_1,y_1)\text{.}\) Esto se ilustra en la Figura 2.1.3 a continuación — la pendiente de la secante a través\((x_0,y_0)\) y\((x_1,y_1)\) es diferente de la pendiente de la secante a través\((x_0,y_0)\) y\((x'_1,y'_1)\text{.}\)

    
    

    Figura 2.1.3 Para una curva curvilínea, diferentes secantes tienen diferentes pendientes.

    Si la parábola fuera una línea recta este no sería el caso —la secante a través de dos puntos diferentes en una línea siempre es idéntica a la línea misma y así siempre tiene exactamente la misma pendiente que la línea misma, como se ilustra en la Figura 2.1.4 abajo— la secante (amarilla) pasante\((x_0,y_0)\) y \((x_1,y_1)\)se encuentra exactamente en la parte superior de la línea (roja)\(y=\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{2}\text{.}\)

    

    Figura 2.1.4 Para una línea recta, todas las secantes tienen la misma pendiente.

  • Ahora mira las columnas de la mesa más cerca del centro. A medida que\(x_1\) se acerca cada vez más a\(x_0=2\text{,}\) la pendiente,\(\tfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\text{,}\) de la secante a través\((x_0,y_0)\) y\((x_1,y_1)\) parece acercarse cada vez más al valor\(4\text{.}\)

Ejemplo 2.1.5 Más sobre las secantes de\(y=x^2\).

Es muy fácil generalizar lo que está sucediendo en el Ejemplo 2.1.2.

• Fijar cualquier punto\((x_0,y_0)\) en la parábola\(y=x^2\text{.}\) Si\((x_1,y_1)\) es cualquier otro punto en la parábola\(y=x^2\text{,}\) entonces\(y_1=x_1^2\) y la pendiente de la secante a través\((x_0,y_0)\) y\((x_1,y_1)\) es

  \ begin {align*}\ text {pendiente} &=\ frac {y_1-y_0} {x_1-x_0} =\ frac {x_1^2-x_0^2} {x_1-x_0} &&\ text {since} y=x^2\\ & =\ frac {(x_1-x_0) (x_1+x_0)} {x_0)} {x_1-x_0} &&\ text {recordar} a^2-b^2 = (a-b) (a+b)\\ & =x_1+x_0\ end {align*}

  Debes verificar los valores dados en la tabla del Ejemplo 2.1.2 anterior para convencerte de que la pendiente\(\tfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\) de la línea secante realmente es\(x_0+x_1 = 2+x_1\) (ya que establecemos\(x_0=2)\text{.}\)
• Ahora a medida que nos\(x_1\) acercamos cada vez más a\(x_0\text{,}\) la pendiente debemos acercarnos cada vez más a\(2x_0\text{.}\) Efectivamente si calculamos el límite con cuidado —ahora tenemos la tecnología para hacer esto— vemos que en el límite a medida que se convierte\(x_1 \to x_0\) la pendiente\(2x_0\text{.}\) Eso es

  \ begin {align*}\ lim_ {x_1\ a x_0}\ frac {y_1-y_0} {x_1-x_0} &=\ lim_ {x_1\ a x_0} (x_1+x_0)\ qquad\ text {por el trabajo que hicimos justo arriba}\\ &= 2x_0\ end {align*}

  Tomar este límite nos da nuestra primera derivada. Por supuesto que aún no hemos dado la definición de un derivado, así que quizás aún no lo reconoceríamos. Rectificamos esto en la siguiente sección.

  

  Figura 2.1.6 Secantes acercándose a una línea tangente

• Por lo que es razonable decir “a medida que\(x_1\) se acerca a\(x_0\text{,}\) la secante a través\((x_0,y_0)\) y\((x_1,y_1)\) se acerca a la línea tangente a la parábola\(y=x^2\) en\((x_0,y_0)\)”. Esto es lo que hicimos de nuevo en la Sección 1.1.

  La figura anterior muestra cuatro secantes diferentes a través\((x_0,y_0)\) de la curva\(y=x^2\text{.}\) Los cuatro círculos huecos son cuatro opciones diferentes de\((x_1,y_1)\text{.}\) A medida que se\((x_1,y_1)\) acerca\((x_0,y_0)\text{,}\) la secante correspondiente de hecho se acerca a la tangente\(y=x^2\) a la\((x_0,y_0)\text{,}\) que está el pesado (rojo) línea recta en la figura.

  Usando límites determinamos la pendiente de la línea tangente a al\(y=x^2\) ser\(2x_0\text{.}\) A menudo vamos\(x_0\) a ser un poco descuidados con nuestro lenguaje y en su lugar decir “la pendiente de la parábola\(y=x^2\) en\((x_0,y_0)\) es\(2x_0\)” — donde realmente nos referimos a la pendiente de la línea tangente a la parábola en \(x_0\text{.}\)

Ejercicios

Etapa 1

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

A continuación se muestra la gráfica\(y=f(x)\text{.}\) Si elegimos un punto\(Q\) en la gráfica a la izquierda del\(y\) eje -eje, ¿la pendiente de la línea secante es pasante\(P\) y\(Q\) positiva o negativa? Si elegimos un punto\(Q\) en la gráfica a la derecha del\(y\) eje -eje, ¿la pendiente de la línea secante es pasante\(P\) y\(Q\) positiva o negativa?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

A continuación se muestra la gráfica\(y=f(x)\text{.}\)

1. Si queremos que la pendiente de la línea secante atraviese\(P\) y\(Q\) aumente, ¿deberíamos deslizarnos\(Q\) más cerca\(P\text{,}\) o más lejos?
2. Que es mayor, la pendiente de la línea tangente en\(P\text{,}\) o la pendiente de la línea secante a través\(P\) y\(Q\text{?}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Agrupe las siguientes funciones en colecciones cuyas líneas secantes de\(x=-2\) a\(x=2\) todas tengan las mismas pendientes.

Etapa 2

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Da tu mejor aproximación de la pendiente de la línea tangente a la gráfica de abajo en el punto\(x=5\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

En la gráfica de abajo, esboza la línea tangente\(y=f(x)\) a en\(P\text{.}\) Luego, encuentra dos puntos\(Q\) y\(R\) en la gráfica para que la línea secante pase\(Q\) y\(R\) tenga la misma pendiente que la línea tangente en\(P\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Marcar los puntos donde la curva que se muestra a continuación tiene una línea tangente con pendiente\(0\text{.}\)

 

(Más adelante, aprenderemos cómo estos puntos nos dicen mucho sobre la forma de una gráfica).