2.10: El logaritmo natural

La regla de la cadena abre el camino para entender derivados de funciones más complicadas. No sólo composiciones de funciones conocidas como hemos visto los ejemplos de la sección anterior, sino también funciones que se definen implícitamente.

Considerar la base logaritmo$e$ —$\log_e(x)$ es el poder al que se$e$ debe elevar para dar Es$x\text{.}$ decir,$\log_e(x)$ se define por

\ begin {align*} e^ {\ log_e x} &= x\ end {alinear*}

es decir — es la inversa de la función exponencial con base$e\text{.}$ Dado que esta elección de base funciona tan limpia y fácilmente con respecto a la diferenciación, esta base resulta ser (posiblemente) la elección más natural para la base del logaritmo. Y como vimos en nuestra revisión torbellino de logaritmos en la Sección 2.7, es fácil usar logaritmos de una base para calcular logaritmos con otra base:

\ begin {align*}\ log_q x &=\ frac {\ log_e x} {\ log_e q}\ end {align*}

Así que somos (relativamente) libres de elegir una base que sea conveniente para nuestros propósitos.

El logaritmo con base$e\text{,}$ se llama el “logaritmo natural”. La “naturalidad” de los logaritmos base$e$ es exactamente que esta elección de base funciona muy bien en el cálculo (y así las matemáticas más amplias) de manera que otras bases no ¹. Hay varias notaciones “estándar” diferentes para la base del logaritmo$e\text{;}$

\ comenzar {reunir*}\ log_e x =\ log x =\ ln x.\ end {reunir*}

Te recomendamos que seas capaz de reconocer todos estos.

En este texto escribiremos el logaritmo natural como “$\log$” sin base. La razón de esta elección es que la base$e$ es la elección estándar de base para logaritmos en matemáticas ²

El logaritmo natural hereda muchas propiedades de logaritmos generales ³. Entonces, para todos$x,y \gt 0$ los siguientes sostén:

• $e^{\log x}=x\text{,}$
• para cualquier número real$X\text{,}$$\log \big(e^X\big)=X\text{,}$
• para cualquier$a \gt 1\text{,}$$\log_a x=\tfrac{\log x}{\log a}$ y$\log x=\tfrac{\log_a x}{\log_a e}$
• $\log 1=0\text{,}$$\log e=1$
• $\log(xy)=\log x+\log y$
• $\log\big(\tfrac{x}{y}\big)=\log x-\log y\text{,}$$\log\big(\tfrac{1}{y}\big)=-\log y$
• $\log(x^X)=X\log x$
• $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\log x=\infty\text{,}$$\lim\limits_{x\rightarrow0}\log x=-\infty$

Y finalmente debemos recordar que$\log x$ tiene dominio (es decir, se define para)$x \gt 0$ y rango (es decir, toma todos los valores en)$-\infty \lt x \lt \infty\text{.}$

Para calcular la derivada de$\log x$ podríamos intentar comenzar con la definición límite de la derivada

\ begin {alinear*}\ dfrac {d} {dx}\ log x &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {\ log (x+h) -\ log (x)} {h}\\ &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {\ log ((x+h) /x)} {h}\\ &=\ texto {um\ puntos}\ end {align*}

Esto no se ve bien. Pero no todo está perdido —tenemos la regla de la cadena, y sabemos que el logaritmo satisface la ecuación:

\ begin {align*} x &= e^ {\ log x}\ end {align*}

Dado que ambos lados de la ecuación son la misma función, ambos lados de la ecuación tienen la misma derivada. Es decir, estamos usando ⁴

\ begin {reunir*}\ text {if} f (x) =g (x)\ text {para todos los $x$, entonces} f' (x) = g' (x)\ end {reunir*}

Así que ahora diferenciar ambos lados:

\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx} x &=\ dfrac {d} {dx} e^ {\ log x}\\\ end {align*}

El lado izquierdo es fácil, y el lado derecho podemos procesar usando la regla de cadena con$f(u)=e^u$ y$u=\log x\text{.}$

\ begin {align*} 1 &=\ dfrac {df} {du}\ cdot\ dfrac {du} {dx}\\ &= e^u\ cdot\ underbrackets {\ dfrac {d} {dx}\ log x} _\ text {lo que queremos calcular}\\\\ final {alinear*}

Recordemos que$e^u = e^{\log x} = x\text{,}$ así

\ begin {align*} 1 &= x\ cdot\ underbrackets {\ dfrac {d} {dx}\ log x} _\ text {ahora qué?} \\\ final {alinear*}

Ahora podemos simplemente reorganizar esta ecuación para hacer lo que queremos el sujeto:

\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx}\ log x &=\ frac {1} {x}\ end {align*}

Así hemos demostrado:

Teorema 2.10.1.

\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx}\ log x &=\ frac {1} {x}\ end {align*}

donde$\log x$ está la base del logaritmo$e\text{.}$

Ejemplo 2.10.2 La derivada de$\log 3x$.

Let$f(x) = \log 3x\text{.}$ Find$f'(x)\text{.}$

Hay dos formas de abordar esto: podemos simplificar, luego diferenciar, o diferenciar y luego simplificar. Tampoco es difícil.

• Simplifique y luego diferencie:

  \ begin {align*} f (x) &=\ log 3x &\ text {log de un producto}\\ &=\ log 3 +\ log x\\ f' (x) &=\ dfrac {d} {dx}\ log 3 +\ dfrac {d} {dx}\ log x\\ &=\ frac {1} {x}. \ end {alinear*}

• Diferenciación y luego simplificar:

  \ begin {align*} f' (x) &=\ dfrac {d} {dx}\ log (3x) &\ text {regla de cadena}\\ &=\ frac {1} {3x}\ cdot 3\\ &=\ frac {1} {x}\ end {align*}

Ejemplo 2.10.3 La derivada de$\log cx$.

Observe que podemos extender el ejemplo anterior para cualquier constante positiva —no solo 3. Que$c\gt 0$ sea una constante, entonces

\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx}\ log cx &=\ dfrac {d} {dx}\ izquierda (\ log c +\ log x\ derecha)\\ &=\ frac {1} {x}\ end {align*}

Ejemplo 2.10.4 El derivado de$\log|x|$.

Podemos empujar esto aún más. Dejar$g(x) = \log | x |\text{,}$ entonces ⁵

• Si$x \gt 0\text{,}$$|x|= x$ y así

  \ begin {align*} g' (x) &=\ dfrac {d} {dx}\ log x =\ frac {1} {x}\ end {align*}

• Si$x\lt 0$ entonces$|x|= -x\text{.}$ Si$|h|$ es estrictamente menor que$|x|\text{,}$ entonces también tenemos eso$x+h\lt 0$ y$|x+h|=-(x+h)=|x|-h\text{.}$ Escribir$X=|x|$ y$H=-h\text{.}$ Entonces, por la definición de la derivada,

  \ begin {alinear*} g' (x) &=\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {\ log|x+h|-\ log|x|} {h} =\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {\ log (|x|-h) -\ log|x|} {h}\\ &=\ lim_ {H\ fila derecha 0}\ frac {\ log (X+H) -\ log X} {-H} = -\ lim_ {H\ fila derecha 0}\ frac {\ log (X+H) -\ log X} {H}\\ &=-\ dfrac {d} {dX}\ log X =-\ frac {1} {X} = -\ frac {1} {|x|}\\ &= \ frac {1} {x}\ final {alinear*}

• Ya que$\log 0$ es indefinido,$g'(0)$ no existe.

Armando esto da:

\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx}\ log | x | &=\ frac {1} {x}\ end {align*}

Ejemplo 2.10.5 La derivada de$x^a$.

Justo después del Corolario 2.6.17, dijimos que en el futuro encontraríamos la derivada de$x^a$ para todos los números reales. El futuro está aquí. Dejar$x\gt 0$ y$a$ ser cualquier número real. Exponenciar ambos lados de nos$\log\big(x^a\big)=a\log x$ da$x^a=e^{a\log x}$ y luego

\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx} x^a &=\ dfrac {d} {dx} e^ {a\ log x} = e^ {a\ log x}\ dfrac {d} {dx} (a\ log x) &\ text {por la regla de la cadena}\\ &=\ frac {a} {x} e^ {a\ log x} =\ frac {a} {x} x^a\\ &=a x^ {a-1}\ final {alinear*}

como se esperaba.

Podemos extender el Teorema 2.10.1 para calcular la derivada de logaritmos de otras bases de una manera sencilla. Ya que para cualquier positivo$a \neq 1\text{:}$

\ begin {align*}\ log_a x &=\ frac {\ log x} {\ log a} =\ frac {1} {\ log a}\ cdot\ log x &\ text {ya que $a$ es una constante}\\ dfrac {d} {dx}\ log_a x &=\ frac {1} {\ log a}\ cdot\ frac {1}} {x}\ final {alinear*}

Volver a$\mathbf{\dfrac{d}{dx} a^x}$

También podemos ahora finalmente movernos a computar la derivada de$a^x$ (lo cual empezamos a hacer de nuevo en la Sección 2.7).

\ begin {align*} f (x) &= a^x &\ text {tomar registro de ambos lados}\\\ log f (x) &= x\ log a &\ text {exponenciar ambos lados base $e$}\\ f (x) &= e^ {x\ log a} &\ text {regla de cadena}\\ f' (x) &= e^ {x\ log a}\ cdot\ log a\\ &= a^x\ cdot\ log a\ end {align*}

Observe que también podríamos haber hecho lo siguiente:

\ begin {align*} f (x) &= a^x &\ text {tomar registro de ambos lados}\\\ log f (x) &= x\ log a &\ text {diferenciar ambos lados}\\\ dfrac {d} {dx}\ left (\ log f (x)\ right) &=\ log a\\ end {align*}

Luego procesamos el lado izquierdo usando la regla de cadena

\ begin {align*} f' (x)\ cdot\ frac {1} {f (x)} &=\ log a\\ f' (x) &= f (x)\ cdot\ log a = a^x\ cdot\ log a\ end {align*}

Veremos$\dfrac{d}{dx} \log f(x)$ más abajo en la subsección sobre “Diferenciación logarítmica”.

Para resumir los resultados anteriores:

Corolario 2.10.6.

\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx} a^x &=\ log a\ cdot a^x &\ text {para cualquier $a\ gt 0$}\\ dfrac {d} {dx}\ log_a x &=\ frac {1} {x\ cdot\ log a} &\ text {para cualquier $a\ gt 0, a\ neq 1$}\ end {align*}

donde$\log x$ está el logaritmo natural.

Recordemos que necesitamos la advertencia$a \neq 1$ porque el logaritmo base 1 no está bien definido. Esto se debe a que$1^x = 1$ para cualquier No$x\text{.}$ necesitamos una advertencia similar para la derivada de lo exponencial porque sabemos (recordar Ejemplo 2.7.1)

\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx} 1^x &=\ dfrac {d} {dx} 1= 0 &\ text {mientras el corolario anterior nos dice}\\ &=\ log 1\ cdot 1^x = 0\ cdot 1 = 0\ cdot 1 = 0. \ end {alinear*}

La diferenciación logarítmica

Queremos volver a algunos ejemplos anteriores ligeramente desordenados (Ejemplos 2.6.6 y 2.6.18) y ahora mostrarte cómo se pueden hacer más fácilmente.

Ejemplo 2.10.7 Derivado de un producto triple.

Consideremos nuevamente la derivada del producto de 3 funciones:

\ comenzar {alinear*} P (x) &= F (x)\ cdot G (x)\ cdot H (x)\ final {alinear*}

Comience tomando el logaritmo de ambos lados:

\ start {align*}\ log P (x) &=\ log\ left (F (x)\ cdot G (x)\ cdot H (x)\ decha)\\ &=\ log F (x) +\ log G (x) +\ log H (x)\\ end {align*}

Observe que el producto de funciones en el lado derecho se ha convertido en una suma de funciones. Diferenciar sumas es mucho más fácil que diferenciar productos. Así que cuando nos diferenciamos tenemos

\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx}\ log P (x) &=\ dfrac {d} {dx}\ log F (x) +\ dfrac {d} {dx}\ log G (x) +\ dfrac {d} {dx}\ log H (x)\\\ end {align*}

Una rápida aplicación de la regla de la cadena muestra que$\dfrac{d}{dx}\log f(x) = f'(x) / f(x)\text{:}$

\ begin {alinear*}\ frac {P' (x)} {P (x)} &=\ frac {F' (x)} {F (x)} +\ frac {G' (x)} {G (x)} {G (x)} +\ frac {H' (x)} {H (x)}\\ final {alinear*}

Multiplicar por$P(x)=F(x)G(x)H(x)\text{:}$

\ begin {alinear*} P' (x) &=\ izquierda (\ frac {F' (x)} {F (x)} +\ frac {G' (x)} {G (x)} {G (x)} +\ frac {H' (x)} {H (x)}\ derecha)\ cdot F (x) G (x) H (x)\ &= F' (x) (x) H (x) + F (x) G' (x) H (x) + F (x) G (x) H' (x)\ final {alinear*}

que es lo que se encuentra en el Ejemplo 2.6.6 por aplicación repetida de la regla del producto. Lo anterior generaliza con bastante facilidad a más de 3 funciones.

Este mismo truco de “tomar un logaritmo y luego diferenciar” —o diferenciación logarítmica— funcionará cada vez que tengas un producto (o ratio) de funciones.

Ejemplo 2.10.8 Derivada de un producto desordenado.

Vamos a usar la diferenciación logarítmica en la función del Ejemplo 2.6.18:

\ begin {alinear*} f (x) &=\ frac {(\ sqrt {x} -1) (2-x) (1-x^2)} {\ sqrt {x} (3+2x)}\ end {alinear*}

Sin embargo, ten cuidado de que solo podemos tomar el logaritmo de números positivos, y esto$f(x)$ suele ser negativo. Por ejemplo, si$1 \lt x \lt 2 \text{,}$ el factor$(1-x^2)$ en la definición de$f(x)$ es negativo mientras que todos los demás factores son positivos, de modo que$f(x)\lt 0 \text{.}$ None—the—less, podemos usar la diferenciación logarítmica para encontrar$f'(x)\text{,}$ explotando la observación que$\dfrac{d}{dx}\log|f(x)|=\frac{f'(x)}{f(x)}\text{.}$ (Para ver esto, use la regla de la cadena y Ejemplo 2.10.4.) Entonces tomamos el logaritmo de$|f(x)|$ y expandimos.

\ begin {alinear*}\ log |f (x) | & =\ log\ frac {|\ sqrt {x} -1|\, |2-x|\, |1-x^2|} {\ sqrt {x} |3+2x|}\\ & =\ log|\ sqrt {x}\! -\! 1| +\ log|2\! -\! x| +\ log|1\! -\! x^2| -\ underbrackets {\ log (\ sqrt {x})} _ {=\ frac {1} {2}\ log x} -\ log|3\! +\! 2x|\ final {alinear*}

Ahora podemos esencialmente diferenciar término por término:

\ begin {alinear*}\ dfrac {d} {dx}\ log |f (x) | &=\ dfrac {d} {dx}\ Grande (\ log|\ sqrt {x} -1| +\ log|2-x| +\ log|1-x^2|\\ &\ hskip2in-\ frac {1} {2}\ log|x| -\ log|x| -\ log|3+2x|\ Grande)\\ frac {f' (x)} {f (x)} &=\ frac {1/ (2\ sqrt {x})} {\ sqrt {x} -1} +\ frac {-1} {2-x} +\ frac {-2x} {1-x^2} -\ frac {1} {2x} -\ frac {2} {2x}\\ f' (x) &= f ( x)\ cdot\ izquierda (\ frac {1} {2\ sqrt {x} (\ sqrt {x}\! -\! 1)} -\ frac {1} {2\! -\! x} -\ frac {2x} {1\! -\! x^2} -\ frac {1} {2x} -\ frac {2} {3\! +\! 2x}\ derecha)\\ &=\ frac {(\ sqrt {x} -1) (2-x) (1-x^2)} {\ sqrt {x} (3+2x)}\ cdot\\ &\ hskip0.5in\ izquierda (\ frac {1} {2\ sqrt {x} (\ sqrt {x} -1)} -\ frac {1} {2-x} -\ frac {2x} {1-x^2} -\ frac {1} {2x} -\ frac {2} {3+2x}\ derecha)\ end {align*}

tal como encontramos anteriormente.

Ejercicios

Recordatorio: en estas notas, usamos$\log x$ para significar$\log_e x\text{,}$ que también se escribe comúnmente en otra parte como$\ln x\text{.}$

Etapa 1

Ejercicio$\PageIndex{1}$

El volumen en decibelios (dB) de un sonido viene dado por la fórmula:

$$V(P)=10\log_{10}\left(\frac{P}{S}\right) \nonumber$$

donde$P$ es la intensidad del sonido y$S$ es la intensidad de un sonido base estándar. (Es decir:$S$ es alguna constante.)

¿Cuánto ruido harán diez altavoces, si cada altavoz produce 3dB de ruido? ¿Y qué pasa con cien oradores?

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Una inversión de $1000 con una tasa de interés del 5% anual crece a

$$A(t)=1000e^{t/20} \nonumber$$

dólares después de$t$ años. ¿Cuándo se duplicará la inversión?

Ejercicio$\PageIndex{3}$

¿Cuál de las siguientes expresiones, en su caso, es equivalente a$\log\left(\cos^2 x\right)\text{?}$

\ begin {align*} & (\ mbox {a})\ quad 2\ log (\ cos x) & & (\ mbox {b})\ quad 2\ log|\ cos x |& (\ mbox {c})\ quad\ log^2 (\ cos x)\ & (\ mbox {d})\ quad\ log (\ cos x^2))\ end {align*}

Etapa 2

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Diferenciar$f(x)=\log(10x)\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Diferenciar$f(x)=\log(x^2)\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Diferenciar$f(x)=\log(x^2+x)\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Diferenciar$f(x)=\log_{10}x\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{8}$(✳)

Encuentra la derivada de$y=\dfrac{\log x}{x^3}\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Evaluar$\displaystyle \dfrac{d}{d\theta} \log(\sec \theta)\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Diferenciar la función$f(x)=e^{\cos\left(\log x\right)}\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{11}$ (✳)

Evaluar la derivada. No necesitas simplificar tu respuesta.

$$y=\log(x^2+\sqrt{x^4+1}) \nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{12}$ (✳)

Diferenciar$\sqrt{-\log(\cos x)}\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{13}$ (✳)

Calcular y simplificar la derivada de$\log\big(x+\sqrt{x^2+4}\big)\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{14}$ (✳)

Evaluar la derivada de$g(x)=\log (e^{x^2}+\sqrt{1+x^4})\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{15}$ (✳)

Evaluar la derivada de la siguiente función en$x=1\text{:}$$g(x)=\log\Big(\dfrac{2x-1}{2x+1}\Big)\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{16}$

Evaluar la derivada de la función$f(x) = \log\left(\sqrt{\dfrac{(x^2+5)^3}{x^4+10}}\right)\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{17}$

Evaluar$f'(2)$ si$f(x) = \log\big(g\big(xh(x)\big)\big)\text{,}$$h(2) = 2\text{,}$$h'(2) = 3\text{,}$$g(4) = 3\text{,}$$g'(4) = 5\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{18}$ (✳)

Diferenciar la función

$$g(x)=\pi^x+x^\pi. \nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{19}$

Diferenciar$f(x)=x^x\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{20}$ (✳)

Encuentra$f'(x)$ si$f(x) = x^x+\log_{10}x\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{21}$

Diferenciar$f(x) = \sqrt[4]{\dfrac{(x^4+12)(x^4-x^2+2)}{x^3}}\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{22}$

Diferenciar$f(x)=(x+1)(x^2+1)^2(x^3+1)^3(x^4+1)^4(x^5+1)^5\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{23}$

Diferenciar$f(x) = \left(\dfrac{5x^2+10x+15}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{10(x+1)}\right)\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{24}$ (✳)

Dejar$f(x) = (\cos x)^{\sin x}\text{,}$ con dominio$0 \lt x \lt \tfrac{\pi}{2}\text{.}$ Buscar$f'(x)\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{25}$ (✳)

Encuentra la derivada de$(\tan(x))^x\text{,}$ cuándo$x$ está en el intervalo$(0,\pi/2)\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{26}$ (✳)

Encuentra$f'(x)$ si$f(x)= (x^2+1)^{(x^2+1)}$

Ejercicio$\PageIndex{27}$ (✳)

Diferenciar$f(x)= (x^2+1)^{\sin(x)}\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{28}$ (✳)

Dejar$f(x)= x^{\cos^3(x)}\text{,}$ con dominio$(0,\infty)\text{.}$ Buscar$f'(x)\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{29}$ (✳)

Diferenciar$f(x)= (3+\sin(x))^{x^2-3}\text{.}$

Etapa 3

Ejercicio$\PageIndex{30}$

Dejar$f(x)$ y$g(x)$ ser funciones diferenciables, con$f(x) \gt 0\text{.}$ Evaluar$\displaystyle \dfrac{d}{dx}\left\{[f(x)]^{g(x)}\right\}\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{31}$

Let$f(x)$ Ser una función cuyo rango incluye solo números positivos. Mostrar que las curvas$y=f(x)$ y$y=\log(f(x))$ tienen líneas tangentes horizontales en los mismos valores de$x\text{.}$