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# 1.3: Ecuaciones de líneas en 2d

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Una línea en dos dimensiones se puede especificar dando un punto$$(x_0,y_0)$$ en la línea y un vector$$\textbf{d}=\left \langle d_x,d_y \right \rangle$$ cuya dirección es paralela a la línea.

Si$$(x,y)$$ hay algún punto en la línea, entonces el vector$$\left \langle x-x_0,y-y_0 \right \rangle \text{,}$$ cuya cola está en$$(x_0,y_0)$$ y cuya cabeza está en$$(x,y)\text{,}$$ debe ser paralelo$$\textbf{d}$$ y por lo tanto debe ser un múltiplo escalar de$$\textbf{d}\text{.}$$ So

##### Ecuación 1.3.1. Ecuaciones paramétricas

$\begin{gather*} \left \langle x-x_0,y-y_0 \right \rangle =t \textbf{d} \end{gather*}$

o, escribiendo en componentes,

\begin{align*} x-x_0&=t d_x\\ y-y_0&=t d_y \end{align*}

Estas se llaman las ecuaciones paramétricas de la línea, porque contienen un parámetro libre, es decir$$t\text{.}$$ As$$t$$ varía de$$-\infty$$ a que$$\infty\text{,}$$ el punto$$(x_0+td_x,y_0+td_y)$$ atraviesa toda la línea.

Es fácil eliminar el parámetro$$t$$ de las ecuaciones. Simplemente multiplicar$$x-x_0=t d_x$$ por$$d_y\text{,}$$ multiplicar$$y-y_0=t d_y$$ por$$d_x$$ y restar para dar

$\begin{gather*} (x-x_0)d_y-(y-y_0)d_x=0 \end{gather*}$

En el caso de que$$d_x$$ y ambos$$d_y$$ sean distintos de cero, podemos reescribir esto como

##### Ecuación 1.3.2. Ecuación simétrica

$\begin{gather*} \frac{x-x_0}{d_x}=\frac{y-y_0}{d_y} \end{gather*}$

A esto se le llama la ecuación simétrica para la línea.

Una segunda forma de especificar una línea en dos dimensiones es dar un punto$$(x_0,y_0)$$ en la línea y un vector$$\textbf{n}=\left \langle n_x,n_y \right \rangle$$ cuya dirección es perpendicular a la de la línea.

Si$$(x,y)$$ hay algún punto en la línea, entonces el vector$$\left \langle x-x_0,y-y_0 \right \rangle \text{,}$$ cuya cola está en$$(x_0,y_0)$$ y cuya cabeza está en$$(x,y)\text{,}$$ debe ser perpendicular para$$\textbf{n}$$ que

##### Ecuación 1.3.3

$\begin{gather*} \textbf{n}\cdot\left \langle x-x_0,y-y_0 \right \rangle =0 \end{gather*}$

Redactar en componentes

$\begin{gather*} n_x(x-x_0)+n_y(y-y_0)=0\qquad\text{or}\qquad n_xx+n_yy= n_xx_0+n_yy_0 \end{gather*}$

Observe que los coeficientes$$n_x,n_y$$ de$$x$$ y$$y$$ en la ecuación de la línea son los componentes de un vector$$\left \langle n_x,n_y \right \rangle$$ perpendicular a la línea. Esto nos permite leer un vector perpendicular a cualquier línea dada directamente de la ecuación de la línea. Dicho vector se denomina vector normal para la línea.

##### Ejemplo 1.3.4

Consideremos, por ejemplo, la línea$$y=3x+7\text{.}$$ Para reescribir esta ecuación en la forma

$n_xx+n_yy= n_xx_0+n_yy_0 \nonumber$

tenemos que mover términos alrededor de manera que$$x$$ y$$y$$ están en un lado de la ecuación y$$7$$ está en el otro lado:$$3x-y=-7\text{.}$$ Entonces$$n_x$$ es el coeficiente de$$x\text{,}$$ saber$$3\text{,}$$ y$$n_y$$ es el coeficiente de$$y\text{,}$$ saber$$-1\text{.}$$ Un vector normal para $$y=3x+7$$es$$\left \langle 3,-1 \right \rangle \text{.}$$

Por supuesto, si$$\left \langle 3,-1 \right \rangle$$ es perpendicular a$$y=3x+7\text{,}$$ así es$$-5\left \langle 3,-1 \right \rangle =\left \langle -15,5 \right \rangle \text{.}$$ De hecho, si primero multiplicamos la ecuación$$3x-y=-7$$ por$$-5$$ para obtener$$-15x+5y=35$$ y luego establecer$$n_x$$ y$$n_y$$ a los coeficientes de$$x$$ y$$y$$ respectivamente, obtenemos$$\textbf{n}=\left \langle -15,5 \right \rangle \text{.}$$

##### Ejemplo 1.3.5

En este ejemplo, encontramos el punto en la línea$$y=6-3x$$ (llamar a la línea$$L$$) que está más cerca del punto$$(7,5)\text{.}$$

Empezaremos por bosquejar la línea. Para ello, adivinamos dos puntos sobre$$L$$ y luego dibujamos la línea que pasa por los dos puntos.

• Si$$(x,y)$$ está encendido$$L$$ y$$x=0\text{,}$$ luego$$y=6\text{.}$$ Así$$(0,6)$$ está encendido$$L\text{.}$$
• Si$$(x,y)$$ está encendido$$L$$ y$$y=0\text{,}$$ luego$$x=2\text{.}$$ Así$$(2,0)$$ está encendido$$L\text{.}$$

Denotar por$$P$$ el punto sobre el$$L$$ que está más cercano a$$(7,5)\text{.}$$ Se caracteriza por la propiedad que la línea de$$(7,5)$$ a$$P$$ es perpendicular a$$L\text{.}$$ Este es el caso solo porque si$$Q$$ es cualquier otro punto en$$L\text{,}$$ entonces, por Pitágoras, la distancia de $$(7,5)$$a$$Q$$ es mayor que la distancia de$$(7,5)$$ a$$P\text{.}$$ Ver la figura a la derecha arriba.

Vamos$$N$$ a usar para denotar la línea que pasa a través$$(7,5)$$ y que es perpendicular a$$L\text{.}$$

Ya que$$L$$ tiene la ecuación$$3x+y=6\text{,}$$ un vector perpendicular a$$L\text{,}$$ y por lo tanto paralelo a$$N\text{,}$$ es$$\left \langle 3,1 \right \rangle \text{.}$$ Así que si$$(x,y)$$ hay algún punto en$$N\text{,}$$ el vector$$\left \langle x-7,y-5 \right \rangle$$ debe ser de la forma$$t\left \langle 3,1 \right \rangle \text{.}$$ Así que las ecuaciones paramétricas de$$N$$ son

$\begin{gather*} \left \langle x-7,y-5 \right \rangle =t\left \langle 3,1 \right \rangle \qquad\text{or}\qquad x=7+3t,\ y=5+t \end{gather*}$

Ahora dejemos$$(x,y)$$ ser las coordenadas de$$P\text{.}$$ Ya que$$P$$ está encendido$$N\text{,}$$ tenemos$$x=7+3t\text{,}$$$$y=5+t$$ para algunos$$t\text{.}$$ Ya que también$$P$$ está encendido también$$L\text{,}$$ tenemos$$3x+y=6\text{.}$$ So

\begin{alignat*}{2} & & 3(7+3t)+(5+t)&= 6\\ & \iff\qquad& 10t+26&= 6\\ & \iff\qquad& t&=-2\\ & \implies\qquad& x&= 7+3\times (-2)=1,\ y=5+(-2)=3 \end{alignat*}

y$$P$$ es$$(1,3)\text{.}$$

## Ejercicios

### Etapa 1

##### 1

Una línea en$$\mathbb R^2$$ tiene dirección$$\mathbf d$$ y pasa a través del punto$$\mathbf c\text{.}$$

Cuál de los siguientes da su ecuación paramétrica:$$\left \langle x,y \right \rangle =\mathbf c + t\mathbf d \text{,}$$ o$$\left \langle x,y \right \rangle =\mathbf c - t\mathbf d \text{?}$$

##### 2

Una línea en$$\mathbb R^2$$ tiene dirección$$\mathbf d$$ y pasa a través del punto$$\mathbf c\text{.}$$

Cuál de los siguientes da su ecuación paramétrica:$$\left \langle x,y \right \rangle =\mathbf c + t\mathbf d \text{,}$$ o$$\left \langle x,y \right \rangle =-\mathbf c +t \mathbf d\text{?}$$

##### 3

Dos puntos determinan una línea. Verificar que las ecuaciones

$\left \langle x-1,y-9 \right \rangle=t\left \langle 8,4 \right \rangle \nonumber$

y

$\left \langle x-9,y-13 \right \rangle=t\left \langle 1,\tfrac12 \right \rangle \nonumber$

describir la misma línea encontrando dos puntos diferentes que se encuentran en ambas líneas.

##### 4

Una línea en$$\mathbb R^2$$ tiene ecuaciones paramétricas

$\begin{array}{lcl} x-3&=&9t\\ y-5&=&7t \end{array} \nonumber$

Hay muchas formas diferentes de escribir las ecuaciones paramétricas de esta línea. Si reescribimos las ecuaciones como

$\begin{array}{lcl} x-x_0&=&d_xt\\ y-y_0&=&d_yt \end{array} \nonumber$

cuáles son todos los valores posibles de$$\left \langle x_0,y_0 \right \rangle$$ y$$\left \langle d_x,d_y \right \rangle\text{?}$$

### Etapa 2

##### 5

Encuentra las ecuaciones vectoriales paramétricas, paramétricas escalares y simétricas para la línea que contiene el punto dado y con la dirección dada.

1. $$(1,2)\text{,}$$dirección del punto$$\left \langle 3,2 \right \rangle$$
2. $$(5,4)\text{,}$$dirección del punto$$\left \langle 2,-1 \right \rangle$$
3. $$(-1,3)\text{,}$$dirección del punto$$\left \langle -1,2 \right \rangle$$
##### 6

Encuentra las ecuaciones vectoriales paramétricas, paramétricas escalares y simétricas para la línea que contiene el punto dado y con la normal dada.

1. punto$$(1,2)\text{,}$$ normal$$\left \langle 3,2 \right \rangle$$
2. punto$$(5,4)\text{,}$$ normal$$\left \langle 2,-1 \right \rangle$$
3. punto$$(-1,3)\text{,}$$ normal$$\left \langle -1,2 \right \rangle$$
##### 7

Usa una proyección para encontrar la distancia desde el punto$$(-2,3)$$ hasta la línea$$3x-4y=-4\text{.}$$

##### 8

Dejar$$\textbf{a} \text{,}$$$$\textbf{b}$$ y$$\textbf{c}$$ ser los vértices de un triángulo. Por definición, una mediana de un triángulo es una línea recta que pasa por un vértice del triángulo y por el punto medio del lado opuesto.

1. Encuentra las ecuaciones paramétricas de las tres medianas.
2. ¿Las tres medianas se encuentran en un punto común? Si es así, ¿qué punto?
##### 9

Dejar$$C$$ ser el círculo de radio 1 centrado en$$(2,1)\text{.}$$ Buscar una ecuación para la línea tangente a$$C$$ en el punto$$\left(\frac{5}{2},1+\frac{\sqrt3}{2}\right)\text{.}$$

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