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# 1.2: Vectores

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En muchas de nuestras aplicaciones en 2d y 3d, encontraremos cantidades que tienen tanto una magnitud (como una distancia) como también una dirección. Tales cantidades se llaman vectores. Es decir, un vector es una cantidad que tiene tanto una dirección como una magnitud, como una velocidad. Si te estás moviendo, la magnitud (longitud) de tu vector de velocidad es tu velocidad (distancia recorrida por unidad de tiempo) y la dirección de tu vector de velocidad es tu dirección de movimiento. Para especificar un vector en tres dimensiones hay que dar tres componentes, al igual que para un punto. Para dibujar el vector con componentes se$$a, b, c$$ puede dibujar una flecha desde el punto$$(0,0,0)$$ hasta el punto$$(a,b,c)\text{.}$$

Del mismo modo, para especificar un vector en dos dimensiones hay que dar dos componentes y para dibujar el vector con componentes se$$a, b$$ puede dibujar una flecha desde el punto$$(0,0)$$ hasta el punto$$(a,b)\text{.}$$

Son muchas las situaciones en las que es preferible dibujar un vector con su cola en algún punto distinto al origen. Por ejemplo, es natural dibujar el vector de velocidad de una partícula en movimiento con la cola del vector de velocidad en la posición de la partícula, ya sea que la partícula esté o no en el origen. El siguiente boceto muestra una partícula en movimiento y su vector de velocidad en dos momentos diferentes.

Como segundo ejemplo, supongamos que se está analizando el movimiento de un péndulo. Hay tres fuerzas que actúan sobre el bob del péndulo: la gravedad$$\textbf{g}\text{,}$$ que está tirando del bob hacia abajo, la tensión$$\textbf{t}$$ en la varilla, que está tirando del bob en la dirección de la varilla, y la resistencia al aire$$\textbf{r}\text{,}$$ que está tirando del bob en una dirección opuesta a su dirección de movimiento. Las tres fuerzas están actuando sobre el bob. Por lo que es natural dibujar las tres flechas que representan a las fuerzas con sus colas en el bob.

En este texto, usaremos letras en negrita, como$$\textbf{v}\text{,}$$$$\textbf{t}\text{,}$$$$\textbf{g}\text{,}$$ para designar vectores. En la escritura a mano, es más claro usar una pequeña flecha superior 1, como en$$\vec{v}\text{,}$$$$\vec{t}\text{,}$$$$\vec{g}\text{,}$$ su lugar. Además, cuando queremos hacer hincapié en que alguna cantidad es un número, más que un vector, llamaremos al número escalar.

Tanto los puntos como los vectores en 2d están especificados por dos números. Hasta que te acostumbres a esto, a veces podría confundirte: ¿un par de números dado representa un punto o un vector? Para distinguir 2 entre los componentes de un vector y las coordenadas del punto en su cabeza, cuando su cola está en algún punto distinto del origen, utilizaremos corchetes angulares en lugar de corchetes redondos alrededor de los componentes de un vector. Por ejemplo, la siguiente figura muestra el vector bidimensional$$\left \langle 2,1 \right \rangle$$ dibujado en tres posiciones diferentes. En cada caso, cuando la cola está en el punto en$$(u,v)$$ el que está la cabeza Te$$(2+u,1+v)\text{.}$$ advertimos que, fuera en el mundo real 3, nadie usa notación que distinga entre componentes de un vector y las coordenadas de su cabeza — generalmente se utilizan corchetes redondos para ambos. Depende de usted mantenerse recto a lo que se refiere.

A modo de resumen,

##### Definición 1.2.1

nosotros usamos

• letras en negrita, como$$\textbf{v}\text{,}$$$$\textbf{t}\text{,}$$$$\textbf{g}\text{,}$$ para designar vectores, y
• corchetes angulares, como$$\left \langle 2,1 \right \rangle\text{,}$$ alrededor de los componentes de un vector, pero use
• corchetes redondos, como$$(2,1)\text{,}$$ alrededor de las coordenadas de un punto, y usar
• “escalar” para hacer hincapié en que alguna cantidad es un número, más que un vector.

## Adición de Vectores y Multiplicación de un Vector por un Escalar

Así como lo hemos hecho muchas veces en los textos CLP, cuando definimos un nuevo tipo de objeto, queremos entender cómo interactúa con las operaciones básicas de suma y multiplicación. Los vectores no son diferentes, y en breve veremos una forma natural de definir la adición de vectores. La multiplicación será más sutil, y comenzaremos con la multiplicación de un vector por un número (en lugar de con la multiplicación de un vector por otro vector).

A modo de motivación para las definiciones de suma y multiplicación por un número, imaginemos que estamos fuera a dar un paseo en el$$xy$$ plano -plano.

• Supongamos que damos un paso y, al hacerlo, movemos$$a_1$$ unidades paralelas al$$x$$ eje -y$$a_2$$ unidades paralelas al$$y$$ eje -eje. Entonces decimos que$$\left \langle a_1, a_2 \right \rangle$$ es el vector de desplazamiento para el paso. Supongamos ahora que damos un segundo paso que nos mueve unas$$b_1$$ unidades adicionales paralelas al$$x$$ eje -y unas$$b_2$$ unidades adicionales paralelas al$$y$$ eje -eje, como en la figura de abajo a la izquierda. Entonces el vector de desplazamiento para el segundo paso es$$\left \langle b_1, b_2 \right \rangle\text{.}$$ Todos juntos, hemos movido$$a_1+b_1$$ unidades paralelas al$$x$$ eje -y$$a_2+b_2$$ unidades paralelas al$$y$$ eje -eje. El vector de desplazamiento para los dos pasos combinados es$$\left \langle a_1+b_1, a_2+b_2 \right \rangle\text{.}$$ Definimos la suma de$$\left \langle a_1, a_2 \right \rangle$$ y$$\left \langle b_1, b_2 \right \rangle\text{,}$$ denotado por$$\left \langle a_1, a_2 \right \rangle+\left \langle b_1,b_2 \right \rangle\text{,}$$ ser$$\left \langle a_1+b_1, a_2+b_2 \right \rangle\text{.}$$
• Supongamos ahora que, en cambio, decidimos pisar en la misma dirección que el primer paso anterior, pero movernos dos veces más lejos, como en la figura de la derecha de abajo. Es decir, nuestro paso nos moverá$$2a_1$$ unidades en la dirección del$$x$$ -eje y$$2a_2$$ unidades en la dirección del$$y$$ -eje y el vector de desplazamiento correspondiente será$$\left \langle 2a_1, 2a_2 \right \rangle\text{.}$$ Definiremos el producto del número$$2$$ y el vector$$\left \langle a_1, a_2 \right \rangle\text{,}$$ denotado por $$2\left \langle a_1, a_2 \right \rangle\text{,}$$ser$$\left \langle 2a_1, 2a_2 \right \rangle\text{.}$$

Aquí están las definiciones formales.

##### Definición 1.2.2. Agregar vectores y multiplicar un vector por un número.

Estas dos operaciones tienen las definiciones obvias

\begin{align*} \textbf{a}=\left \langle a_1,a_2 \right \rangle,\ \textbf{b} =\left \langle b_1,b_2 \right \rangle && \implies&& \textbf{a}+\textbf{b}=\left \langle a_1+b_1,a_2+b_2 \right \rangle\\ \textbf{a}=\left \langle a_1,a_2 \right \rangle,\ s\text{ a number} && \implies&& s \textbf{a}=\left \langle sa_1,sa_2 \right \rangle \end{align*}

y de manera similar en tres dimensiones.

Pictorialmente, se agrega el vector$$\textbf{b}$$ al vector$$\textbf{a}$$ dibujando$$\textbf{b}$$ con su cola a la cabeza de$$\textbf{a}$$ y luego dibujando un vector desde la cola de$$\textbf{a}$$ hasta la cabeza de$$\textbf{b}\text{,}$$ como en la figura de abajo a la izquierda. Para un número$$s\text{,}$$ podemos dibujar el vector$$s\textbf{a}\text{,}$$ por solo

• cambiar la longitud$$\textbf{a}$$ del vector por el factor$$|s|\text{,}$$ y,
• si$$s \lt 0\text{,}$$ invirtiendo la dirección de la flecha,

como en las otras dos cifras que figuran a continuación.

El caso especial de multiplicación por$$s=-1$$ aparece con tanta frecuencia que$$(-1)\textbf{a}$$ se le da la notación más corta Es$$-\textbf{a}\text{.}$$ decir,

$-\left \langle a_1,a_2 \right \rangle=\left \langle -a_1,-a_2 \right \rangle \nonumber$

Por supuesto$$\textbf{a}+(-\textbf{a})$$ es$$\textbf{0}\text{,}$$ el vector todos cuyos componentes son cero.

Para restar$$\textbf{b}$$ de$$\textbf{a}$$ pictóricamente, puedes sumar$$-\textbf{b}$$ (que se dibuja invirtiendo la dirección de$$\textbf{b}$$) a$$\textbf{a}\text{.}$$ Alternativamente, si dibujas$$\textbf{a}$$ y$$\textbf{b}$$ con sus colas en un punto común, entonces$$\textbf{a}-\textbf{b}$$ es el vector de la cabeza$$\textbf{b}$$ a la cabeza de Es$$\textbf{a}\text{.}$$ decir,$$\textbf{a}-\textbf{b}$$ es el vector al que debes agregar$$\textbf{b}$$ para poder obtener$$\textbf{a}\text{.}$$

Las operaciones de suma y multiplicación por un escalar que acabamos de definir son bastante naturales y rara vez causan algún problema, porque heredan de los números reales las propiedades de suma y multiplicación a las que estás acostumbrado.

Dejar$$\textbf{a}\text{,}$$$$\textbf{b}$$ y$$\textbf{c}$$ ser vectores y$$s$$ y$$t$$ ser escalares. Entonces

\begin{alignat*}{4} & (1)\quad&&\textbf{a}+\textbf{b}=\textbf{b}+\textbf{a} \qquad\qquad\qquad && (2)\quad&&\textbf{a}+(\textbf{b}+\textbf{c})=(\textbf{a}+\textbf{b})+\textbf{c}\\ & (3) &&\textbf{a}+\textbf{0} =\textbf{a} && (4) &&\textbf{a}+(-\textbf{a})=\textbf{0}\\ & (5) &&s(\textbf{a}+\textbf{b})=s\textbf{a}+s\textbf{b} && (6) &&(s+t)\textbf{a}=s\textbf{a}+t\textbf{a}\\ & (7) &&(st)\textbf{a} = s(t\textbf{a}) && (8) &&1\textbf{a}=\textbf{a} \end{alignat*}

Nos acaban de introducir muchas definiciones. Veamos algunos de ellos en acción.

##### Ejemplo 1.2.4

Por ejemplo, si

$\textbf{a} = \left \langle 1,2,3 \right \rangle\qquad \textbf{b} = \left \langle 3,2,1 \right \rangle\qquad \textbf{c} = \left \langle 1,0,1 \right \rangle \nonumber$

entonces

\begin{alignat*}{2} 2\textbf{a}&=2\left \langle 1,2,3 \right \rangle&&=\left \langle 2,4,6 \right \rangle\\ -\textbf{b}&=-\left \langle 3,2,1 \right \rangle&&=\left \langle -3,-2,-1 \right \rangle\\ 3\textbf{c}&=3\left \langle 1,0,1 \right \rangle&&=\left \langle 3,0,3 \right \rangle \end{alignat*}

y

\begin{align*} 2\textbf{a}-\textbf{b}+3\textbf{c} &= \left \langle 2,4,6 \right \rangle + \left \langle -3,-2,-1 \right \rangle+\left \langle 3,0,3 \right \rangle\\ &= \left \langle 2-3+3\,,\,4-2+0\,,\,6-1+3 \right \rangle\\ &= \left \langle 2,2,8 \right \rangle \end{align*}

##### Definición 1.2.5

Dos vectores$$\textbf{a}$$ y$$\textbf{b}$$

• se dice que son paralelos si$$\ \textbf{a}= s\,\textbf{b}\$$ para algún número real distinto de cero$$s$$ y
• se dice que tienen la misma dirección si$$\ \textbf{a}=s\,\textbf{b}\$$ para algún número$$s \gt 0\text{.}$$

Hay algunos vectores que ocurren con suficiente frecuencia como para que se les den nombres especiales. Uno es el vector$$\textbf{0}\text{.}$$ Algunos otros son los “vectores base estándar”.

##### Definición 1.2.6

Los vectores de base estándar en dos dimensiones son

$\hat{\imath }= \left \langle 1,0 \right \rangle \qquad\qquad\hat{\jmath } =\left \langle 0,1 \right \rangle \nonumber$

Los vectores de base estándar en tres dimensiones son

$\hat{\imath } =\left \langle 1,0,0 \right \rangle \qquad\qquad\hat{\jmath } =\left \langle 0,1,0 \right \rangle \qquad\qquad\hat{k} =\left \langle 0,0,1 \right \rangle \nonumber$

En$$\hat{\imath }\text{,}$$$$\hat{\jmath }\text{,}$$$$\hat{k}$$ breve explicaremos los pequeños sombreros en la notación. Algunas personas renombran$$\hat{\imath }\text{,}$$$$\hat{\jmath }$$ y$$\hat{k}$$ a$$e_1\text{,}$$$$e_2$$ y$$e_3$$ respectivamente. Usando las propiedades anteriores tenemos, para todos los vectores,

$\left \langle a_1,a_2 \right \rangle =a_1\,\hat{\imath }+a_2\,\hat{\jmath }\qquad\qquad \left \langle a_1,a_2,a_3 \right \rangle =a_1\,\hat{\imath }+a_2\,\hat{\jmath }+a_3\,\hat{k} \nonumber$

Una suma de números veces vectores, como$$a_1\hat{\imath }+a_2\hat{\jmath }$$ se llama una combinación lineal de los vectores. Así, todos los vectores pueden expresarse como combinaciones lineales de los vectores de base estándar. Esto hace que los vectores base sean muy útiles en los cálculos. Los vectores base estándar son vectores unitarios, lo que significa que son de longitud uno, donde la longitud de un vector$$\textbf{a}$$ se denota 4$$|\textbf{a}|$$ y se define por

##### Definición 1.2.7. Longitud de un Vector.

\begin{alignat*}{3} &\textbf{a}=\left \langle a_1,a_2 \right \rangle \qquad&&\implies\qquad &&|\textbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\\ &\textbf{a}=\left \langle a_1,a_2,a_3 \right \rangle \qquad&&\implies\qquad &&|\textbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \end{alignat*}

Un vector unitario es un vector de longitud uno. A veces usaremos el acento$$\hat{\ }$$ para hacer hincapié en que el vector$$\hat{\textbf{a}}$$ es un vector unitario. Es decir,$$|\hat{\textbf{a}}|=1\text{.}$$

##### Ejemplo 1.2.8

Recordemos que multiplicar un vector$$\textbf{a}$$ por un número positivo$$s\text{,}$$ cambia la longitud del vector por un factor$$s$$ sin cambiar la dirección del vector. Entonces (asumiendo que$$|\textbf{a}|\ne 0)$$$$\frac{\textbf{a}}{|\textbf{a}|}$$ es un vector unitario que tiene la misma dirección que$$\textbf{a}\text{.}$$ Por ejemplo,$$\frac{\left \langle 1,1,1 \right \rangle}{\sqrt{3}}$$ es un vector unitario que apunta en la misma dirección que$$\left \langle 1,1,1 \right \rangle\text{.}$$

##### Ejemplo 1.2.9

Vamos a dar un paseo sobre una Tierra plana. Se utiliza un sistema de coordenadas con el eje x positivo apuntando hacia el este y el eje y positivo apuntando hacia el norte. Nosotros

• comenzar en el origen y
• caminar hacia el este por 4 unidades y luego
• caminar hacia el noreste por$$5\sqrt{2}$$ unidades y luego
• la cabeza hacia el punto$$(0,11)\text{,}$$ pero sólo vamos
• un tercio del camino.

Ahora usaremos vectores para averiguar nuestra ubicación final.

• En la ida de nuestra caminata, vamos 4 unidades en la$$x$$ dirección positiva. Entonces nuestro vector de desplazamiento —el vector cuya cola está en nuestro punto de partida y cuya cabeza está en el punto final del partido de ida— es$$\left \langle 4,0 \right \rangle\text{.}$$ Como empezamos a las$$(0,0)$$ terminamos el primer tramo de la caminata en$$(4,0)\text{.}$$
• En la segunda etapa de nuestra caminata, nuestra dirección de movimiento es noreste, es decir, está$$45^\circ$$ por encima de la dirección del$$x$$ eje positivo. Mirando la figura de arriba a la derecha, vemos que nuestro vector de desplazamiento, para el segundo tramo de la caminata, tiene que estar en la misma dirección que el vector$$\left \langle 1,1 \right \rangle\text{.}$$ Así que nuestro vector de desplazamiento es el vector de longitud$$5\sqrt{2}$$ con la misma dirección que$$\left \langle 1,1 \right \rangle\text{.}$$ El vector$$\left \langle 1,1 \right \rangle$$ tiene longitud $$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$$y así$$\frac{\left \langle 1,1 \right \rangle}{\sqrt{2}}$$ tiene la longitud uno y nuestro vector de desplazamiento es

$5\sqrt{2}\ \frac{\left \langle 1,1 \right \rangle}{\sqrt{2}} =5 \left \langle 1,1 \right \rangle =\left \langle 5,5 \right \rangle \nonumber$

Si dibujamos este vector de desplazamiento,$$\left \langle 5,5 \right \rangle$$ con su cola en$$(4,0)\text{,}$$ el punto de partida de la segunda etapa de la caminata, entonces su cabeza estará en$$(4+5, 0+5)=(9,5)$$ y ese es el punto final de la segunda etapa de la caminata.
• En el tramo final de nuestra caminata, comenzamos en$$(9,5)$$ y caminamos hacia$$(0,11)\text{.}$$ El vector de$$(9,5)$$ a$$(0,11)$$ es$$\left \langle 0-9\,,\,11-5 \right \rangle =\left \langle -9,6 \right \rangle\text{.}$$ A medida que avanzamos solo un tercio del camino, nuestro vector de desplazamiento final es

$\frac{1}{3}\left \langle -9,6 \right \rangle =\left \langle -3,2 \right \rangle \nonumber$

Si dibujamos este vector de desplazamiento con su cola en$$(9,5)\text{,}$$ el punto de partida del tramo final, entonces su cabeza estará en$$(9-3, 5+2)=(6,7)$$ y ese es el punto final del tramo final de la caminata, y nuestra ubicación final.

## El producto Dot

Volvamos a las operaciones aritméticas de suma y multiplicación. Estaremos usando tanto escalares como vectores. Entonces, para cada operación hay tres posibilidades que necesitamos explorar:

• “escalar más escalar”, “escalar más vector” y “vector más vector”
• “escalar veces escalar”, “vector de tiempos escalar” y “vector veces vector”

Hemos estado usando “scalar plus scalar” y “scalar times scalar” desde la infancia. “vector más vector” y “vector de tiempos escalar” se definieron anteriormente. No hay una manera sensata de definir “escalar más vector”, así que no lo haremos. Esto deja “vector times vector”. En realidad, hay dos productos de este tipo ampliamente utilizados. El primero es el producto punto, que es el tema de esta sección, y que se utiliza para determinar fácilmente el ángulo$$\theta$$ (o más precisamente,$$\cos\theta$$) entre dos vectores. Llegaremos al segundo, el producto cruzado, después.

Aquí está una vista previa de lo que haremos en este punto producto subsección §1.2.2. Vamos a dar dos fórmulas para el producto punto,$$\textbf{a}\cdot\textbf{b}\text{,}$$ del par de vectores$$\textbf{a}=\left \langle a_1,a_2,a_3 \right \rangle$$ y$$\textbf{b}=\left \langle b_1,b_2,b_3 \right \rangle\text{.}$$

• La primera fórmula es La$$\textbf{a}\cdot\textbf{b} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\text{.}$$ tomaremos como nuestra definición oficial de$$\textbf{a}\cdot\textbf{b}\text{.}$$ Esta fórmula nos proporciona una manera fácil de calcular productos de punto.
• La segunda fórmula es$$\textbf{a}\cdot\textbf{b}=|\textbf{a}|\,|\textbf{b}|\,\cos\theta\text{,}$$ donde$$\theta$$ está el ángulo entre$$\textbf{a}$$ y$$\textbf{b}\text{.}$$

Mostraremos, en el Teorema 1.2.11 a continuación, que esta segunda fórmula siempre da la misma respuesta que la primera fórmula. La segunda fórmula nos proporciona una manera fácil de determinar el ángulo entre dos vectores. En particular, nos proporciona una manera fácil de probar si dos vectores son perpendiculares entre sí o no. Por ejemplo, los vectores$$\left \langle 1,2,3 \right \rangle$$ y$$\left \langle -1,-1,1 \right \rangle$$ tienen producto punto

$\left \langle 1,2,3 \right \rangle\cdot\left \langle -1,-1,1 \right \rangle = 1\times(-1)+2\times(-1)+3\times 1=0 \nonumber$

Esto nos dice como el ángulo$$\theta$$ entre los dos vectores obedece de$$\cos\theta=0\text{,}$$ manera$$\theta=\frac{\pi}{2}\text{.}$$ que Es decir, los dos vectores son perpendiculares entre sí.

Después de dar nuestra definición oficial del producto punto en la Definición 1.2.10, y dar las propiedades importantes del producto punto, incluyendo la fórmula$$\textbf{a}\cdot\textbf{b}=|\textbf{a}|\,|\textbf{b}|\,\cos\theta\text{,}$$ en Teorema 1.2.11, daremos algunos ejemplos. Por último, para ver el producto punto en acción, definiremos lo que significa proyectar un vector sobre otro vector y dar un ejemplo.

##### Definición 1.2.10. Producto Dot.

El producto de punto de los vectores$$\textbf{a}$$ y$$\textbf{b}$$ se denota$$\textbf{a}\cdot\textbf{b}$$ y se define por

\begin{alignat*}{3} &\textbf{a}=\left \langle a_1,a_2 \right \rangle ,\quad &&\textbf{b}=\left \langle b_1,b_2 \right \rangle\quad &\implies\quad &\textbf{a}\cdot\textbf{b}= a_1b_1+a_2b_2\\ &\textbf{a}=\left \langle a_1,a_2,a_3 \right \rangle ,\quad &&\textbf{b}=\left \langle b_1,b_2,b_3 \right \rangle\quad &\implies\quad &\textbf{a}\cdot\textbf{b} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 \end{alignat*}

en dos y tres dimensiones respectivamente.

Las propiedades del producto punto son las siguientes:

##### Teorema 1.2.11. Propiedades del Producto Dot.

Dejar$$\textbf{a}\text{,}$$$$\textbf{b}$$ y$$\textbf{c}$$ ser vectores y dejar$$s$$ ser un escalar. Entonces

\begin{alignat*}{2} &(0)\quad &&\textbf{a},\textbf{b}\text{ are vectors and }\textbf{a}\cdot\textbf{b} \text{ is a scalar}\\ &(1) &&\textbf{a}\cdot\textbf{a}=|\textbf{a}|^2\\ &(2) &&\textbf{a}\cdot\textbf{b}=\textbf{b}\cdot\textbf{a}\\ &(3) &&\textbf{a}\cdot(\textbf{b}+\textbf{c})=\textbf{a}\cdot\textbf{b}+\textbf{a}\cdot\textbf{c},\quad (\textbf{a}+\textbf{b})\cdot\textbf{c}=\textbf{a}\cdot\textbf{c}+\textbf{b}\cdot\textbf{c}\\ &(4) &&(s\textbf{a})\cdot\textbf{b}= s(\textbf{a}\cdot\textbf{b})\\ &(5) &&\textbf{0} \cdot\textbf{a}=0\\ &(6) &&\textbf{a}\cdot\textbf{b}=|\textbf{a}|\,|\textbf{b}|\,\cos\theta \text{ where $$\theta$$ is the angle between $$\textbf{a}$$ and $$\textbf{b}$$}\\ &(7) &&\textbf{a}\cdot\textbf{b}=0\iff \textbf{a}=\textbf{0} \text{ or }\textbf{b}=\textbf{0} \text{ or } \textbf{a}\perp\textbf{b} \end{alignat*}

Prueba.

Las propiedades del 0 al 5 son consecuencias casi inmediatas de la definición. Por ejemplo, para la propiedad 3 (que se llama la ley distributiva) en la dimensión 2,

\begin{align*} \textbf{a}\cdot(\textbf{b}+\textbf{c}) &=\left \langle a_1,a_2\right \rangle \cdot\left \langle b_1+c_1,b_2+c_2\right \rangle\\ &=a_1(b_1+c_1)+a_2(b_2+c_2)=a_1b_1+a_1c_1+a_2b_2+a_2c_2\\ \textbf{a}\cdot\textbf{b}+\textbf{a}\cdot\textbf{b} &=\left \langle a_1,a_2\right \rangle \cdot\left \langle b_1,b_2\right \rangle +\left \langle a_1,a_2\right \rangle \cdot\left \langle c_1,c_2\right \rangle\\ &=a_1b_1+a_2b_2+a_1c_1+a_2c_2 \end{align*}

La propiedad 6 es lo suficientemente importante como para que a menudo se utilice como definición de producto punto. No es en absoluto una consecuencia obvia de la definición. Para verificarlo, solo escribimos$$|\textbf{a}-\textbf{b}|^2$$ de dos formas distintas. El primero expresa$$|\textbf{a}-\textbf{b}|^2$$ en términos de$$\textbf{a}\cdot\textbf{b}\text{.}$$ Es

\begin{align*} |\textbf{a}-\textbf{b}|^2\ &{\buildrel 1 \over =}\ (\textbf{a}-\textbf{b}\,)\cdot(\textbf{a}-\textbf{b}\,)\\ &{\buildrel 3 \over =}\ \textbf{a}\cdot\textbf{a}-\textbf{a}\cdot\textbf{b}-\textbf{b}\cdot\textbf{a} +\textbf{b}\cdot\textbf{b}\\ &{\buildrel 1,2 \over =}\ |\textbf{a}|^2+|\textbf{b}|^2-2\textbf{a}\cdot\textbf{b} \end{align*}

Aquí,$${\buildrel 1 \over =}\text{,}$$ por ejemplo, significa que la igualdad es consecuencia de la propiedad 1. La segunda forma en que escribimos$$|\textbf{a}-\textbf{b}|^2$$ implica$$\cos\theta$$ y se desprende de la ley coseno para los triángulos. Por si acaso no recuerdas la ley del coseno, ¡la derivaremos ahora mismo! Comienza aplicando Pitágoras al triángulo sombreado en la figura derecha de

Ese triángulo es un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud$$|\textbf{a}-\textbf{b}|$$ y cuyos otros dos lados tienen longitudes$$\big(|\textbf{b}|-|\textbf{a}|\cos\theta\big)$$ y$$|\textbf{a}|\sin\theta\text{.}$$ Así Pitágoras da

\begin{align*} |\textbf{a}-\textbf{b}|^2&=\big(|\textbf{b}|-|\textbf{a}|\cos\theta\big)^2+ \big(|\textbf{a}|\sin\theta\big)^2\\ &=|\textbf{b}|^2-2|\textbf{a}|\,|\textbf{b}|\,\cos\theta+|\textbf{a}|^2\cos^2\theta +|\textbf{a}|^2\sin^2\theta\\ &=|\textbf{b}|^2-2|\textbf{a}|\,|\textbf{b}|\,\cos\theta+|\textbf{a}|^2 \end{align*}

Esta es precisamente la ley del coseno 5. Observe que, cuando$$\theta=\tfrac{\pi}{2}\text{,}$$ esto se reduce a, (¡sorpresa!) Teorema de Pitágoras.

Estableciendo nuestras dos expresiones para$$|\textbf{a}-\textbf{b}|^2$$ iguales entre sí,

$\begin{gather*} |\textbf{a}-\textbf{b}|^2=|\textbf{a}|^2+|\textbf{b}|^2-2\textbf{a}\cdot\textbf{b} =|\textbf{b}|^2-2|\textbf{a}|\,|\textbf{b}|\,\cos\theta+|\textbf{a}|^2 \end{gather*}$

cancelando el$$|\textbf{a}|^2$$ y$$|\textbf{b}|^2$$ común a ambos lados

$\begin{gather*} -2\textbf{a}\cdot\textbf{b} =-2|\textbf{a}|\,|\textbf{b}|\,\cos\theta \end{gather*}$

y dividiendo por$$-2$$ da

$\begin{gather*} \textbf{a}\cdot\textbf{b}=|\textbf{a}|\,|\textbf{b}|\,\cos\theta \end{gather*}$

La propiedad 7 sigue directamente de la propiedad 6. Primero tenga en cuenta que el producto punto$$\textbf{a}\cdot\textbf{b}=|\textbf{a}|\,|\textbf{b}|\,\cos\theta$$ es cero si y solo si al menos uno de los tres factores$$|\textbf{a}|,\ |\textbf{b}|,\ \cos\theta$$ es cero. El primer factor es cero si y solo si$$\textbf{a}=\textbf{0} \text{.}$$ El segundo factor es cero si y solo si$$\textbf{b}=\textbf{0} \text{.}$$ El tercer factor es cero si y solo si$$\theta=\pm\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\text{,}$$ para algún entero$$k\text{,}$$ que a su vez es verdadero si y solo si$$\textbf{a}$$ y$$\textbf{b}$$ son mutuamente perpendiculares.

Debido a la Propiedad 7 del Teorema 1.2.11, el producto punto se puede utilizar para probar si dos vectores son perpendiculares entre sí o no. Es decir, si el ángulo entre los dos vectores es o no$$90^\circ\text{.}$$ Otro nombre 6 para “perpendicular” es “ortogonal”. La prueba de ortogonalidad es uno de los principales usos del producto dot.

##### Ejemplo 1.2.12

Considere los tres vectores

$\textbf{a}=\left \langle 1,1,0 \right \rangle\qquad \textbf{b}=\left \langle 1,0,1 \right \rangle \qquad \textbf{c}=\left \langle -1,1,1\right \rangle \nonumber$

Sus productos dot

\begin{alignat*}{3} \textbf{a}\cdot\textbf{b} & = \left \langle 1,1,0 \right \rangle \cdot \left \langle 1,0,1 \right \rangle && = 1\times 1 +1\times 0+0\times 1 && = 1\\ \textbf{a}\cdot\textbf{c} & = \left \langle 1,1,0 \right \rangle \cdot \left \langle -1,1,1 \right \rangle && = 1\times(-1) +1\times 1+0\times 1 && = 0\\ \textbf{b}\cdot\textbf{c} & = \left \langle 1,0,1 \right \rangle \cdot \left \langle -1,1,1 \right \rangle && = 1\times(-1) +0\times 1+1\times 1 && = 0 \end{alignat*}

nos dicen que$$\textbf{c}$$ es perpendicular a ambos$$\textbf{a}$$ y$$\textbf{b}\text{.}$$ ya que tanto$$|\textbf{a}|=|\textbf{b}|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$$ el primer punto producto nos dice que el ángulo,$$\theta\text{,}$$ entre$$\textbf{a}$$ y$$\textbf{b}$$ obedece

\ begin {reunir*}\ cos\ theta =\ frac {\ textbf {a}\ cdot\ textbf {b}} {|\ textbf {a} |\, |\ textbf {b} |} =\ frac {1} {2}\ implica\ theta =\ frac {\ pi} {3}\ fin {reunir*}

Los productos de punto también se utilizan para calcular proyecciones. Primero, aquí está la definición.

##### Definición 1.2.13. Proyección.

Dibuja dos vectores,$$\textbf{a}$$ y$$\textbf{b}\text{,}$$ con sus colas en un punto común y suelte una perpendicular desde la cabeza de$$\textbf{a}$$ hasta la línea que pasa tanto por la cabeza como$$\textbf{b}\text{.}$$ por la cola de Por definición, la proyección del vector$$\textbf{a}$$ sobre el vector$$\textbf{b}$$ es el vector de la cola de$$\textbf{b}$$ hasta el punto en la línea donde golpea la perpendicular.

Piense en la proyección de$$\textbf{a}$$ on$$\textbf{b}$$ como parte de$$\textbf{a}$$ eso está en la dirección de$$\textbf{b}\text{.}$$

Ahora desarrollemos una fórmula para la proyección de$$\textbf{a}$$ on$$\textbf{b}\text{.}$$ Denote por$$\theta$$ el ángulo entre$$\textbf{a}$$ y$$\textbf{b}\text{.}$$ Si no$$|\theta|$$ es más que$$90^\circ\text{,}$$ como en la figura de arriba a la izquierda, la longitud de la proyección de$$\textbf{a}$$ on$$\textbf{b}$$ es$$|\textbf{a}|\cos\theta\text{.}$$ Por Propiedad 6 del Teorema 1.2.11,$$|\textbf{a}|\cos\theta=\textbf{a}\cdot\textbf{b}/|\textbf{b}|\text{,}$$ por lo que la proyección es un vector cuya longitud es$$\textbf{a}\cdot\textbf{b}/|\textbf{b}|$$ y cuya dirección viene dada por el vector unitario$$\textbf{b}/|\textbf{b}|\text{.}$$ Por lo tanto

$\begin{gather*} \text{projection of $$\textbf{a}$$ on $$\textbf{b}$$}={\rm proj}_{\textbf{b}}\,\textbf{a} =\frac{\textbf{a}\cdot\textbf{b}}{|\textbf{b}|}\frac{\textbf{b}}{|\textbf{b}|} =\frac{\textbf{a}\cdot\textbf{b}}{|\textbf{b}|^2}\,\textbf{b} \end{gather*}$

Si$$|\theta|$$ es mayor que$$90^\circ\text{,}$$ como en la figura de la derecha arriba, la proyección tiene longitud$$|\textbf{a}|\,\cos(\pi-\theta)=-|\textbf{a}|\cos\theta=-\textbf{a}\cdot\textbf{b}/|\textbf{b}|$$ y dirección$$-\textbf{b}/|\textbf{b}|\text{.}$$ En este caso

$\begin{gather*} {\rm proj}_{\textbf{b}}\,\textbf{a} =-\frac{\textbf{a}\cdot\textbf{b}}{|\textbf{b}|}\ \frac{-\textbf{b}}{|\textbf{b}|} =\frac{\textbf{a}\cdot\textbf{b}}{|\textbf{b}|^2}\ \textbf{b} \end{gather*}$

también. Entonces la fórmula

##### Ecuación 1.2.14

${\rm proj}_{\textbf{b}}\,\textbf{a}=\frac{\textbf{a}\cdot\textbf{b}}{|\textbf{b}|^2}\,\textbf{b} \nonumber$

es aplicable siempre que$$\textbf{b}\ne\textbf{0} \text{.}$$ podamos reescribir$${\rm proj}_{\textbf{b}}\,\textbf{a}=\frac{\textbf{a}\cdot\textbf{b}}{|\textbf{b}|}\,\frac{\textbf{b}}{|\textbf{b}|}\text{.}$$ El coeficiente,$$\frac{\textbf{a}\cdot\textbf{b}}{|\textbf{b}|}\text{,}$$ del vector unitario$$\frac{\textbf{b}}{|\textbf{b}|}\text{,}$$ se llama el componente de$$\textbf{a}$$ en la dirección$$\textbf{b}\text{.}$$ Como caso especial, si$$\textbf{b}$$ pasa a ser un vector unitario, el cual, para énfasis, ahora escribiremos tiene$$\hat{\textbf{b}}\text{,}$$ el fórmula de proyección simplifica

##### Ecuación 1.2.15

${\rm proj}_{\hat{\textbf{b}}}\,\textbf{a} = (\textbf{a}\cdot\hat{\textbf{b}})\,\hat{\textbf{b}} \nonumber$

##### Ejemplo 1.2.16

En este ejemplo, encontraremos la proyección del vector$$\left \langle 0,3 \right \rangle$$ sobre el vector$$\left \langle 1,1 \right \rangle\text{,}$$ como en la figura

Por Ecuación 1.2.14 con$$\textbf{a}=\left \langle 0,3 \right \rangle$$ y$$\textbf{b}=\left \langle 1,1 \right \rangle\text{,}$$ esa proyección es

\begin{align*} {\rm proj}_{\left \langle 1,1 \right \rangle}\,\left \langle 0,3 \right \rangle &=\frac{\left \langle 0,3 \right \rangle\cdot\left \langle 1,1 \right \rangle}{|\left \langle 1,1 \right \rangle|^2}\,\left \langle 1,1 \right \rangle\\ &=\frac{0\times1+3\times 1}{1^2+1^2}\,\left \langle 1,1 \right \rangle =\left \langle \frac{3}{2},\frac{3}{2} \right \rangle \end{align*}

Un uso de las proyecciones es “resolver fuerzas”. Hay un ejemplo en la siguiente sección (opcional).

## (Opcional) Uso de Productos Dot para Resolver Fuerzas — El Péndulo

Modelar un péndulo por una masa$$m$$ que está conectada a una bisagra por una varilla idealizada que es sin masa y de longitud fija$$\ell\text{.}$$ Denote por$$\theta$$ el ángulo entre la varilla y la vertical. Las fuerzas que actúan sobre la masa son

• gravedad, que tiene magnitud$$mg$$ y dirección$$\left \langle 0,-1 \right \rangle\text{,}$$
• tensión en la varilla, cuya magnitud se ajusta$$\tau(t)$$ automáticamente para que la distancia entre la masa y la bisagra se fije a$$\ell$$ (para que la varilla no se estire ni se contraiga) y cuya dirección sea siempre paralela a la varilla,
• y posiblemente algunas fuerzas de fricción, como la fricción en la bisagra y la resistencia al aire. Supongamos que la fuerza total de fricción tiene una magnitud proporcional 7 a la velocidad de la masa y tiene dirección opuesta a la dirección de movimiento de la masa. Llamaremos a la constante de proporcionalidad$$\beta\text{.}$$

Si usamos un sistema de coordenadas centrado en la bisagra, las$$(x,y)$$ coordenadas de la masa en el momento$$t$$ son

\begin{align*} x(t)&=\ell\sin\theta(t)\\ y(t)&=-\ell\cos\theta(t) \end{align*}

donde$$\theta(t)$$ esta el angulo entre la varilla y la vertical en el momento Ahora$$t\text{.}$$ vamos a usar la ley del movimiento de Newton

$\begin{gather*} \text{mass}\times\text{acceleration}=\text{total applied force} \end{gather*}$

para determinar ahora$$\theta$$ evoluciona en el tiempo. Por definición, los vectores de velocidad y aceleración 8 para el vector de posición$$\left \langle x(t),y(t) \right \rangle$$ son

\begin{align*} \frac{d}{dt}\left \langle x(t),y(t) \right \rangle &= \left \langle \frac{dx}{dt}(t),\frac{dy}{dt}(t) \right \rangle\\ \frac{d^{2}}{dt^{2}}\left \langle x(t),y(t) \right \rangle &=\left \langle \frac{d^{2}x}{dt^{2}}(t),\frac{d^{2}y}{dt^{2}}(t) \right \rangle \end{align*}

Entonces, los vectores de velocidad y aceleración de nuestra masa son

\begin{alignat*}{1} \textbf{v}(t)&=\frac{d}{dt}\left \langle x(t),y(t) \right \rangle\\ &=\left \langle \ell\frac{d}{dt}\sin\theta(t),-\ell\frac{d}{dt}\cos\theta(t) \right \rangle\\ &=\left \langle \ell\cos\theta(t)\,\frac{d\theta }{dt}(t)\,,\, \ell\sin\theta(t)\,\frac{d\theta }{dt}(t) \right \rangle\\ &=\ell\,\frac{d\theta }{dt}(t)\,\left \langle \cos\theta(t),\sin\theta(t) \right \rangle\\ \textbf{a}(t)&=\frac{d^{2}}{dt^{2}}\left \langle x(t),y(t) \right \rangle\\ &=\frac{d}{dt} \left\{\ell\,\frac{d\theta }{dt}(t)\, \left \langle \cos\theta(t),\sin\theta(t) \right \rangle \right\}\\ &=\ell\,\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}(t)\,\left \langle \cos\theta(t),\sin\theta(t) \right \rangle +\ell\,\frac{d\theta }{dt}(t) \left \langle \frac{d }{dt}\cos\theta(t),\frac{d}{dt}\sin\theta(t) \right \rangle\\ &= \ell\,\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}(t)\left \langle \cos\theta(t),\sin\theta(t) \right \rangle +\ell \Big(\frac{d\theta }{dt}(t)\Big)^2 \left \langle -\sin\theta(t),\cos\theta(t) \right \rangle \end{alignat*}

El negativo del vector de velocidad es$$- \ell\, \frac{d\theta }{dt}\left \langle \cos\theta,\sin\theta \right \rangle\text{,}$$ así que la fuerza de fricción total es

$-\beta\ell\, \frac{d\theta }{dt}\left \langle \cos\theta,\sin\theta \right \rangle \nonumber$

con$$\beta$$ nuestra constante de proporcionalidad.

El vector

$\tau(t) \left \langle -\sin\theta(t),\cos\theta(t) \right \rangle \nonumber$

tiene magnitud$$\tau(t)$$ y dirección paralela a la varilla apuntando desde la masa hacia la bisagra y así lo es la fuerza debida a la tensión en la varilla.

De ahí que para este sistema físico, la ley del movimiento de Newton sea

\begin{align*} &\overbrace{m\ell\,\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}\left \langle \cos\theta,\sin\theta \right \rangle +m\ell\,\Big(\frac{d\theta }{dt}\Big)^2\left \langle -\sin\theta,\cos\theta \right \rangle}^ {\text{mass}\times\text{acceleration}}\\ &\hskip1in= \overbrace{mg\left \langle 0,-1 \right \rangle}^{\rm gravity} +\overbrace{\tau \left \langle -\sin\theta,\cos\theta \right \rangle}^{\rm tension} -\overbrace{\beta\ell\,\frac{d\theta }{dt}\left \langle \cos\theta,\sin\theta \right \rangle}^{\rm friction} \tag{$$*$$} \end{align*}

Esta es una ecuación de aspecto bastante complicado. Escribir sus$$x$$ -y$$y$$ -componentes no ayuda. También se ven complicados. En cambio, la ecuación puede simplificarse considerablemente (y, en consecuencia, comprenderse mejor) “tomando sus componentes paralelos y perpendiculares a la dirección del movimiento”. Del vector de velocidad$$\textbf{v}(t)\text{,}$$ vemos que$$\left \langle \cos\theta(t),\sin\theta(t) \right \rangle$$ es un vector unitario paralelo a la dirección del movimiento en el tiempo$$t\text{.}$$ Recordemos, de 1.2.15, que la proyección de cualquier vector$$\textbf{b}$$ sobre cualquier vector unitario$$\hat{\textbf{d}}$$ (con el “sombrero” en$$\hat{\textbf{d}}$$ recordarnos a nosotros mismos que el vector es una unidad vector) es

$\begin{gather*} \big(\textbf{b}\cdot \hat{\textbf{d}}\big)\,\hat{\textbf{d}} \end{gather*}$

El coeficiente$$\textbf{b}\cdot \hat{\textbf{d}}$$ es, por definición, el componente de$$\textbf{b}$$ en la dirección$$\hat{\textbf{d}}\text{.}$$ Así, punteando ambos lados de la ecuación de movimiento$$(*)$$ con$$\hat{\textbf{d}}=\left \langle \cos\theta(t),\sin\theta(t) \right \rangle \text{,}$$ extraemos el componente paralelo a la dirección del movimiento. Desde

\begin{align*} \left \langle \cos\theta,\sin\theta \right \rangle \cdot\left \langle \cos\theta,\sin\theta \right \rangle &=1\\ \left \langle \cos\theta,\sin\theta \right \rangle \cdot\left \langle -\sin\theta,\cos\theta \right \rangle &=0\\ \left \langle \cos\theta,\sin\theta \right \rangle \cdot\left \langle 0,-1 \right \rangle &=-\sin\theta \end{align*}

esto da

$\begin{gather*} m\ell\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}=-mg\sin\theta-\beta\ell\frac{d\theta }{dt} \end{gather*}$

que es mucho más limpio que$$(*)\text{!}$$ Cuando$$\theta$$ es pequeño, podemos aproximarnos$$\sin\theta\approx\theta$$ y obtener la ecuación

$\begin{gather*} \frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}+\frac{\beta}{m}\frac{d\theta }{dt}+\frac{g}{\ell}\theta=0 \end{gather*}$

que se resuelve fácilmente. Existen procedimientos sistemáticos para encontrar la solución, pero solo adivinaremos.

Cuando no hay fricción (de modo que$$\beta=0$$), esperaríamos que el péndulo simplemente oscilara. Entonces es natural adivinar

$\theta(t)=A\sin(\omega t-\delta) \nonumber$

que es una oscilación con$$A\text{,}$$ frecuencia de amplitud (desconocida)$$\omega$$ (radianes por unidad de tiempo) y fase$$\delta\text{.}$$ Sustituyendo esta conjetura en el lado izquierdo,$$\theta'' + \tfrac{g}{\ell}\theta\text{,}$$ produce

$-A\omega^2\sin(\omega t-\delta)+A\tfrac{g}{\ell}\sin(\omega t-\delta) \nonumber$

que es cero si$$\omega=\sqrt{g/\ell}\text{.}$$ So$$\ \theta(t)=A\sin(\omega t-\delta)\$$ es una solución para cualquier amplitud$$A$$ y fase$$\delta\text{,}$$ siempre que la frecuencia$$\omega=\sqrt{g/\ell}\text{.}$$

Cuando hay algo, pero no demasiado, fricción, por lo que$$\beta \gt 0$$ es relativamente pequeña, esperaríamos “oscilación con amplitud en descomposición”. Así que adivinamos

$\theta(t)=Ae^{-\gamma t}\sin(\omega t-\delta) \nonumber$

para que se determine alguna tasa de$$\gamma \text{,}$$ decaimiento constante. Con esta suposición,

\begin{alignat*}{3} \theta(t)&=\phantom{- -\gamma\omega^{2})} Ae^{-\gamma t} &\sin(\omega t-\delta)\\ \theta'(t)&=\phantom{-\omega^{2})}-\gamma Ae^{-\gamma t} &\sin(\omega t-\delta) &+\phantom{2\gamma }\omega A e^{-\gamma t}&\cos(\omega t-\delta)\\ \theta''(t)&=(\gamma ^2-\omega^2)Ae^{-\gamma t}&\sin(\omega t-\delta) &-2\gamma\omega A e^{-\gamma t}&\cos(\omega t-\delta) \end{alignat*}

\begin{align*} \frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}+\frac{\beta}{m}\frac{d\theta }{dt}+\frac{g}{\ell}\theta & =\left[\gamma^2-\omega^2-\frac{\beta}{m}\gamma+\frac{g}{\ell}\right] Ae^{-\gamma t}\sin(\omega t-\delta)\\ &\hskip0.5in+\left[-2\gamma\omega+\frac{\beta}{m}\omega\right] Ae^{-\gamma t}\cos(\omega t-\delta) \end{align*}

desaparece si$$\gamma^2-\omega^2-\frac{\beta}{m}\gamma +\tfrac{g}{\ell}=0$$ y$$-2\gamma \omega+\frac{\beta}{m}\omega=0.$$ La segunda ecuación nos dice la tasa de decaimiento$$\gamma=\tfrac{\beta}{2m}$$ y luego la primera nos dice la frecuencia

$\begin{gather*} \omega=\sqrt{\gamma^2-\tfrac{\beta}{m}\gamma+\tfrac{g}{\ell}} =\sqrt{\tfrac{g}{\ell}-\tfrac{\beta^2}{4m^2}} \end{gather*}$

Cuando hay mucha fricción (es decir, cuando$$\tfrac{\beta^2}{4m^2} \gt \tfrac{g}{\ell}\text{,}$$ para que la frecuencia no$$\omega$$ sea un número real), esperaríamos amortiguar sin oscilación y así adivinaría$$\theta(t)=Ae^{-\gamma t}\text{.}$$ Puedes determinar los valores permitidos de$$\gamma$$ sustituyendo esta conjetura en.

Para extraer los componentes perpendiculares a la dirección del movimiento, punteamos con$$\left \langle -\sin\theta,\cos\theta \right \rangle$$ en lugar de$$\left \langle \cos\theta,\sin\theta \right \rangle \text{.}$$ Tenga en cuenta que, porque

$\left \langle -\sin\theta,\cos\theta \right \rangle \cdot \left \langle \cos\theta,\sin\theta \right \rangle =0, \nonumber$

el vector$$\left \langle -\sin\theta,\cos\theta \right \rangle$$ realmente es perpendicular a la dirección del movimiento. Desde

\begin{align*} \left \langle -\sin\theta,\cos\theta \right \rangle \cdot\left \langle \cos\theta,\sin\theta \right \rangle &=0\\ \left \langle -\sin\theta,\cos\theta \right \rangle \cdot\left \langle -\sin\theta,cos\theta \right \rangle &=1\\ \left \langle -\sin\theta,\cos\theta \right \rangle \cdot\left \langle 0,-1 \right \rangle &=-\cos\theta \end{align*}

punteando ambos lados de la ecuación de movimiento$$(*)$$ con$$\left \langle -\sin\theta,\cos\theta \right \rangle$$ da

$\begin{gather*} m\ell\Big(\frac{d\theta }{dt}\Big)^2=-mg\cos\theta+\tau \end{gather*}$

Esta ecuación solo determina la tensión

$\tau=m\ell\big(\frac{d\theta }{dt}\big)^2+mg\cos\theta \nonumber$

en la vara, una vez que sepas$$\theta(t)\text{.}$$

## (Opcional) Áreas de Paralelogramos

Un paralelogramo está determinado naturalmente por los dos vectores que definen sus lados. Ahora desarrollaremos una fórmula para el área de un paralelogramo en términos de estos dos vectores.

Construir un paralelogramo de la siguiente manera. Escoge dos vectores$$\left \langle a,b \right \rangle$$ y$$\left \langle c,d \right \rangle \text{.}$$ dibuja con sus colas en un punto común. Después dibuja$$\left \langle a,b \right \rangle$$ una segunda vez con su cola a la cabeza de$$\left \langle c,d \right \rangle$$ y dibuja$$\left \langle c,d \right \rangle$$ una segunda vez con su cola a la cabeza de$$\left \langle a,b \right \rangle \text{.}$$ Si el punto común es el origen, se obtiene una imagen como la figura de abajo.

Cualquier paralelogramo se puede construir así si elige el punto común y dos vectores apropiadamente. Calculemos el área del paralelogramo. El área del rectángulo grande con vértices$$(0,0),\ (0, b+d),\ (a+c,0)$$ y$$(a+c,b+d)$$ es$$(a+c)(b+d)\text{.}$$ El paralelogramo que queremos se puede extraer del rectángulo grande eliminando los dos rectángulos pequeños (cada uno de área$$bc$$), y los dos triángulos ligeramente sombreados (cada uno de área$$\frac{1}{2} cd$$), y los dos sombreados de manera oscura triángulos (cada uno de área$$\frac{1}{2} ab$$). Así que el deseado

$\begin{gather*} {\rm area} = (a+c)(b+d) - (2\times bc) -\big(2\times \frac{1}{2} cd\big) -\big(2\times\frac{1}{2} ab\big) =ad-bc \end{gather*}$

En la figura anterior, hemos asumido implícitamente que$$a,\ b,\ c,\ d\ge 0$$ y$$d/c\ge b/a\text{.}$$ En palabras, hemos asumido que ambos vectores se$$\left \langle a,b \right \rangle ,\ \left \langle c,d \right \rangle$$ encuentran en el primer cuadrante y que$$\left \langle c,d \right \rangle$$ se encuentra arriba$$\left \langle a,b \right \rangle \text{.}$$ Simplemente intercambiando$$a\leftrightarrow c$$ y$$b\leftrightarrow d$$ en la imagen y a lo largo del argumento, vemos que cuando$$a,\ b,\ c,\ d\ge 0$$ y$$b/a\ge d/c\text{,}$$ para que el vector$$\left \langle c,d \right \rangle$$ se encuentre por debajo$$\left \langle a,b \right \rangle \text{,}$$ del área del paralelogramo es$$bc-ad\text{.}$$ De hecho, todos los casos están cubiertos por la fórmula

##### Ecuación 1.2.17

$\begin{gather*} \text{area of parallelogram with sides } \left \langle a,b \right \rangle \text{ and } \left \langle c,d \right \rangle =|ad-bc| \end{gather*}$

Dados dos vectores$$\left \langle a,b \right \rangle$$ y$$\left \langle c,d \right \rangle \text{,}$$ la expresión generalmente$$ad-bc$$ se escribe

\begin{align*} \det\left[\begin{matrix}a&b\\ c&d\end{matrix}\right]=ad-bc \end{align*}

y se llama el determinante de la matriz 9

\begin{align*} \left[\begin{matrix}a&b \\ c&d\end{matrix}\right] \end{align*}

con filas$$\left \langle a,b \right \rangle$$ y$$\left \langle c,d \right \rangle \text{.}$$ El determinante de una$$2\times 2$$ matriz es el producto de las entradas diagonales menos el producto de las entradas fuera de diagonal.

Existe una fórmula similar en tres dimensiones. Tres vectores cualesquiera$$\textbf{a}=\left \langle a_1,a_2,a_3 \right \rangle ,\ \textbf{b}=\left \langle b_1,b_2,b_3 \right \rangle$$ y$$\textbf{c}=\left \langle c_1,c_2,c_3 \right \rangle$$ en tres dimensiones

determinar un paralelepípedo (paralelogramo tridimensional). Su volumen viene dado por la fórmula

##### Ecuación 1.2.18

\begin{align*} \text{volume of parallelepiped with edges } \textbf{a},\ \textbf{b},\ \textbf{c}\ =\ \left| \det\left[\begin{matrix}a_1&a_2&a_3 \\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3\end{matrix}\right] \right| \end{align*}

El determinante de una$$3\times 3$$ matriz puede definirse en términos de algunos$$2\times 2$$ determinantes por

Esta fórmula se llama “expansión a lo largo de la fila superior”. Hay un término en la fórmula para cada entrada en la fila superior de la$$3\times 3$$ matriz. El término es un signo multiplicado por la entrada misma multiplicado por el determinante de la$$2\times 2$$ matriz obtenida al eliminar la fila y columna que contiene la entrada. El letrero alterna, empezando por un “$$+$$”.

No vamos a probar esta fórmula completamente aquí 10. Se pone un poco tedioso. Pero, hay un caso en el que podemos verificar fácilmente que el volumen del paralelepípedo está realmente dado por el valor absoluto del determinante reclamado. Si los vectores$$\textbf{b}$$ y$$\textbf{c}$$ pasan a estar en el$$xy$$ plano, de modo que$$b_3=c_3=0\text{,}$$ entonces

\begin{align*} \det\left[\begin{matrix} a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&0\\ c_1&c_2&0 \end{matrix}\right] &=a_1(b_20-0c_2) -a_2(b_10-0c_1) +a_3(b_1c_2-b_2c_1)\\ &=a_3(b_1c_2-b_2c_1) \end{align*}

El primer factor,$$a_3\text{,}$$ es la$$z$$ coordenada de un vector no contenido en el$$xy$$ plano. Es (hasta un signo) la altura del paralelepípedo. El segundo factor es, hasta un signo, el área del paralelogramo determinada por$$\textbf{b}$$ y$$\textbf{c}\text{.}$$ Este paralelogramo forma la base del paralelepípedo. El producto es efectivamente, hasta una señal, el volumen del paralelepípedo. Que la fórmula sea cierta en general es consecuencia del hecho (que no vamos a probar) que el valor de un determinante no cambia cuando uno gira el sistema de coordenadas y que siempre se puede rotar nuestros ejes de coordenadas alrededor para que$$\textbf{b}$$ y$$\textbf{c}$$ ambos se encuentren en el$$xy$$ plano -plano.

Ya hemos visto dos productos diferentes que involucran vectores: la multiplicación de un vector por un escalar y el producto punto de dos vectores. El producto de punto de dos vectores produce un escalar. Ahora introducimos otro producto de dos vectores, llamado el producto cruzado. El producto cruzado de dos vectores dará un vector. Existen aplicaciones que tienen dos vectores como entradas y producen un vector como salida, y que están relacionadas con el producto cruzado. Aquí hay una breve mención de dos aplicaciones de este tipo. Los veremos con mucho más detalle más adelante.

• Considera un paralelogramo en tres dimensiones. Un paralelogramo está determinado naturalmente por los dos vectores que definen sus lados. Una medida del tamaño de un paralelogramo es su área. Una forma de especificar la orientación del paralelogramo es dar un vector que sea perpendicular a él. Una forma muy compacta de codificar tanto el área como la orientación del paralelogramo es dar un vector cuya dirección es perpendicular al plano en el que se encuentra y cuya magnitud es su área. Veremos que dicho vector puede construirse fácilmente tomando el producto cruzado (definición próximamente) de los dos vectores que dan los lados del paralelogramo.
• Imagínese un cuerpo rígido que está girando a una velocidad$$\Omega$$ radianes por segundo alrededor de un eje cuya dirección viene dada por el vector unitario$$\hat{\textbf{a}}\text{.}$$ Let$$P$$ ser cualquier punto en el cuerpo. Veremos, en el (opcional) §1.2.7, que la velocidad,$$\textbf{v}\text{,}$$ del punto$$P$$ es el producto cruzado (de nuevo, definición próximamente) del vector$$\Omega \hat{\textbf{a}}$$ con el vector$$\textbf{r}$$ desde cualquier punto del eje de rotación hasta$$P\text{.}$$

Por último, aquí está la definición del producto cruzado. Tenga en cuenta que solo aplica a vectores en tres dimensiones.

El producto cruzado de los vectores$$\textbf{a}=\left \langle a_1,a_2,a_3 \right \rangle$$ y$$\textbf{b}=\left \langle b_1,b_2,b_3 \right \rangle$$ se denota$$\textbf{a}\times\textbf{b}$$ y se define por

$\begin{gather*} \textbf{a}\times\textbf{b} = \left \langle a_2b_3-a_3b_2\,,\, a_3b_1-a_1b_3\,,\, a_1b_2-a_2b_1 \right \rangle \end{gather*}$

Tenga en cuenta que cada componente tiene$$a_ib_j-a_jb_i\text{.}$$ la forma El índice$$i$$ del primero$$a$$ en número$$k$$ de componente de$$\textbf{a}\times\textbf{b}$$ es justo después$$k$$ en la lista$$1,2,3,1,2,3,1,2,3,\cdots\text{.}$$ El índice$$j$$ del primero$$b$$ está justo antes$$k$$ en la lista.

$\begin{gather*} (\textbf{a}\times\textbf{b})_k =a_{{\rm just\ after\ }k}\ b_{{\rm just\ before\ }k} -a_{{\rm just\ before\ }k}\ b_{{\rm just\ after\ }k} \end{gather*}$

Por ejemplo, para el número de componente$$k=3\text{,}$$

$\begin{gather*} \left.{\text{''just after 3'' is 1}}\atop{\text{''just before 3'' is 2}}\right\} \implies (\textbf{a}\times\textbf{b})_3= a_1b_2-a_2b_1 \end{gather*}$

Hay una manera mucho mejor de recordar esta definición. Recordemos que una$$2\times 2$$ matriz es una matriz de números que tiene dos filas y dos columnas y que el determinante de una$$2\times 2$$ matriz se define por

\begin{align*} \det \left[\begin{matrix}a& b \\ c&d\end{matrix}\right]=ad-bc \end{align*}

Es el producto de las entradas en la diagonal menos el producto de las entradas no en la diagonal.

Una$$3\times 3$$ matriz es una matriz de números que tiene tres filas y tres columnas.

\begin{align*} \left[\begin{matrix} i& j &k \\ a_1&a_2&a_3 \\ b_1&b_2&b_3\end{matrix}\right] \end{align*}

En breve verá por qué a las entradas de la fila superior se les han dado los nombres bastante peculiares$$i\text{,}$$$$j$$ y$$k\text{.}$$ El determinante de una$$3\times 3$$ matriz se puede definir en términos de algunos$$2\times 2$$ determinantes por

Esta fórmula se llama “expansión del determinante a lo largo de la fila superior”. Hay un término en la fórmula para cada entrada en la fila superior. El término es un signo multiplicado por la entrada misma multiplicado por el determinante de la$$2\times 2$$ matriz obtenida al eliminar la fila y columna que contiene la entrada. El signo alterna, comenzando con un$$+\text{.}$$ Si ahora reemplazamos$$i$$$$\hat{\imath } \text{,}$$$$j$$ por$$\hat{\jmath }$$ y$$k$$ por$$\hat{k}\text{,}$$ obtenemos exactamente la fórmula para$$\textbf{a}\times \textbf{b}$$ de Definición 1.2.19. Esa es la razón de la peculiar elección de nombres para las entradas matriciales. Entonces

\begin{align*} \textbf{a}\times\textbf{b} &=\det\left[\begin{matrix}\hat{\imath } & \hat{\jmath } &\hat{k} \\ a_1&a_2&a_3 \\ b_1&b_2&b_3\end{matrix}\right]\\ &=\hat{\imath } \big(a_2b_3-a_3b_2) -\hat{\jmath }(a_1b_3-a_3b_1) +\hat{k}(a_1b_2-a_2b_1) \end{align*}

es un dispositivo mnemotécnico para recordar la definición de$$\textbf{a}\times\textbf{b}\text{.}$$ También es bueno desde el punto de vista de la evaluación$$\textbf{a}\times\textbf{b}\text{.}$$ Aquí hay varios ejemplos en los que utilizamos el dispositivo mnemotécnico determinante para evaluar productos cruzados.

##### Ejemplo 1.2.20

En este ejemplo, usaremos el dispositivo mnemotécnico para calcular dos productos cruzados muy simples. Primero

Segundo

Tenga en cuenta que, a diferencia de la mayoría (o tal vez incluso todos) los productos que ha visto antes, no$$\hat{\imath }\times\hat{\jmath }$$ es lo mismo que$$\hat{\jmath }\times\hat{\imath }\text{!}$$

##### Ejemplo 1.2.21

En este ejemplo, usaremos el dispositivo mnemotécnico para calcular dos productos cruzados más complicados. Let$$\textbf{a}=\left \langle 1,2,3 \right \rangle$$ y$$\textbf{b}=\left \langle 1,-1,2 \right \rangle\text{.}$$ Primero

Segundo

Aquí hay algunas observaciones importantes.

• ¡Los vectores$$\textbf{a}\times\textbf{b}$$ y no$$\textbf{b}\times\textbf{a}$$ son lo mismo! De hecho$$\textbf{b}\times\textbf{a}=-\textbf{a}\times\textbf{b}\text{.}$$ Veremos en el Teorema 1.2.23 a continuación que esto no fue una suerte.
• El vector$$\textbf{a}\times\textbf{b}$$ tiene punto producto cero con ambos$$\textbf{a}$$ y$$\textbf{b}\text{.}$$ Así el vector$$\textbf{a}\times\textbf{b}$$ es prependicular a ambos$$\textbf{a}$$ y$$\textbf{b}\text{.}$$ veremos en el Teorema 1.2.23 a continuación que esto tampoco era una casualidad.
##### Ejemplo 1.2.22

Una vez más utilizamos el dispositivo mnemotécnico para calcular un producto cruzado más complicado. Esta vez vamos$$\textbf{a}=\left \langle 3,2,1 \right \rangle$$ y$$\textbf{b}=\left \langle 6,4,2 \right \rangle\text{.}$$ Entonces

Veremos en el Teorema 1.2.23 a continuación que no es una casualidad que el producto cruzado$$\textbf{0}\text{.}$$ sea Es consecuencia del hecho de que$$\textbf{a}$$ y$$\textbf{b}=2\textbf{a}$$ son paralelos.

Ahora pasamos a conocer las propiedades del producto cruzado. Nuestras primeras propiedades conducen a una definición geométrica más intuitiva de la$$\textbf{a}\times\textbf{b}\text{,}$$ cual es mejor para interpretar$$\textbf{a}\times\textbf{b}\text{.}$$ Estas propiedades del producto cruzado, que establecen que$$\textbf{a}\times\textbf{b}$$ es un vector y luego determinan su dirección y longitud, son las siguientes. Recogeremos estas propiedades, y algunas otras, en un teorema en breve.

(0)

$$\textbf{a},\textbf{b}$$son vectores en tres dimensiones y$$\textbf{a}\times\textbf{b}$$ es un vector en tres dimensiones.

(1)

$$\textbf{a}\times\textbf{b}$$es perpendicular a ambos$$\textbf{a}$$ y$$\textbf{b}\text{.}$$

Comprobante.

Para comprobar eso$$\textbf{a}$$ y$$\textbf{a}\times \textbf{b}$$ son perpendiculares, uno solo tiene que comprobar que el producto punto$$\textbf{a}\cdot(\textbf{a}\times \textbf{b})=0\text{.}$$ Los seis términos en

$\textbf{a}\cdot(\textbf{a}\times \textbf{b})= a_1(a_2b_3-a_3b_2)+a_2(a_3b_1-a_1b_3)+a_3(a_1b_2-a_2b_1) \nonumber$

cancelar por pares. El cálculo que muestra que$$\textbf{b}\cdot(\textbf{a}\times \textbf{b})=0$$ es similar.

(2)

\ begin {align*} |\ textbf {a}\ times\ textbf {b} | & = |\ textbf {a} |\, |\ textbf {b} |\ sin\ theta\ text {donde} 0\ le\ theta\ le\ pi\ text {es el ángulo entre}\ textbf {a},\ textbf {b}\\ & = text {el área del paralelogramo con lados}\ textbf {a},\ textbf {b}\ end {align*}

Prueba.

La fórmula$$|\textbf{a}\times\textbf{b}|=|\textbf{a}|\,|\textbf{b}|\sin\theta$$ se obtiene verificando que

\ begin {alinear*} |\ textbf {a}\ veces\ textbf {b} |^2 &=\ grande (\ textbf {a}\ veces\ textbf {b}\ grande)\ cdot\ grande (\ textbf {a}\ veces\ textbf {b}\ grande)\\ &= (a_2b_3-a_3b_2) ^2+ (a_3a_3b_2) ^2+ (a_3_3b_2 b_1-a_1b_3) ^2+ (a_1b_2-a_2b_1) ^2\\ &=a_2^2b_3^2-2a_2b_3a_3a_3b_2+a_3^2b_2^2 +a_3^2b_1^2-2a_3b_1a_1b_3+a_1^2b_3^2\\ &\ hskip0.5in +a_1^2b_2b_2^2-2a_1b_2a_ 2b_1+a_2^2b_1^2\\\ final {alinear*}

es igual a

\ begin {align*} |\ textbf {a} |^2\, |\ textbf {b} |^2\ sin^2\ theta &=|\ textbf {a} |^2|\ textbf {b} |^2 (1-\ cos^2\ theta)\\ &=|\ textbf {a} |^2|\ textbf {b} |^2- (\ textbf {a}\ cdot\ textbf {b}) ^2\\ &=\ grande (a_1^2+a_2^2+a_3^2\ grande)\ grande (b_1^2+b_2^2+b_3^2\ grande) -\ grande (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\ grande) ^2\ &=a_1^2b_2^2+a_1^2b_3^2+a_ 2^2b_1^2+a_2^2b_3^2+a_3^2b_1^2+a_3^2b_2^2\ &\ hskip0.5in -\ grande (2a_1b_1a_2b_2+2a_1b_1a_3b_3+2a_2b_2a_3b_3\ grande)\ end {align*}

Para ver esa$$|\textbf{a}|\,|\textbf{b}|\sin\theta$$ es el área del paralelogramo con lados$$\textbf{a}$$ y$$\textbf{b}\text{,}$$ solo recordar que el área de cualquier paralelogramo viene dada por la longitud de su base multiplicada por su altura. Piense en$$\textbf{a}$$ como la base del paralelogramo. Entonces$$|\textbf{a}|$$ es la longitud de la base y$$|\textbf{b}|\sin\theta$$ es la altura.

Estas propiedades casi determinan$$\textbf{a}\times\textbf{b}\text{.}$$ Propiedad 1 obliga al vector$$\textbf{a}\times\textbf{b}$$ a mentir sobre la línea perpendicular al plano que contiene$$\textbf{a}$$ y$$\textbf{b}\text{.}$$ Hay precisamente dos vectores en esta línea que tienen la longitud dada por la propiedad 2. En la figura de la mano izquierda de

los dos vectores están etiquetados$$\textbf{c}$$ y ¿$$\textbf{d}\text{.}$$Cuál de estos dos candidatos es el correcto está determinado por la regla de la mano derecha 11, que dice que si forma su mano derecha en un puño con los dedos curvados de$$\textbf{a}$$ a$$\textbf{b}\text{,}$$ entonces cuando le pega el pulgar recto desde el puño, apunta en la dirección de$$\textbf{a}\times\textbf{b}\text{.}$$ Esto se ilustra en la figura de la derecha arriba 12. Los casos especiales importantes

(3)

$\hat{\imath }\times\hat{\jmath }=\phantom{-}\hat{k},\ \ \ \hat{\jmath }\times\hat{k}=\phantom{-}\hat{\imath },\ \ \ \hat{k}\times\hat{\imath }=\phantom{-}\hat{\jmath } \nonumber$

$\hat{\jmath }\times\hat{\imath }=-\hat{k},\ \ \ \hat{k}\times\hat{\jmath }=-\hat{\imath },\ \ \ \hat{\imath }\times\hat{k}=-\hat{\jmath } \nonumber$

todos siguen directamente de la definición del producto cruzado (ver, por ejemplo, Ejemplo 1.2.20) y todos obedecen la regla de la mano derecha. Combinando las propiedades 1, 2 y la regla de la mano derecha dan la definición geométrica de$$\textbf{a}\times\textbf{b}\text{.}$$ Para recordar estos tres casos especiales, solo recuerda esta figura.

El producto de dos vectores base estándar cualesquiera, tomados en el orden de las flechas en la figura, es el tercer vector base estándar. Ir contra las flechas introduce un signo menos.

(4)

$\textbf{a}\times\textbf{b}=|\textbf{a}|\,|\textbf{b}|\sin\theta\ \hat{\textbf{n}} \nonumber$

donde$$\theta$$ está el ángulo entre$$\textbf{a}, \textbf{b}\text{,}$$$$|\hat{\textbf{n}}|=1,\ \hat{\textbf{n}}\perp\textbf{a},\textbf{b}\text{,}$$ y$$(\textbf{a},\textbf{b},\hat{\textbf{n}})$$ obedecer la regla de la mano derecha.

Esquema de Prueba.

Ya hemos visto que el lado derecho tiene la longitud correcta y, salvo posiblemente por una señal, dirección. Para verificar que la regla de la mano derecha se mantenga en general, gire su sistema de coordenadas alrededor de 13 para que$$\textbf{a}$$ apunte a lo largo del$$x$$ eje positivo y$$\textbf{b}$$ se encuentre en el$$xy$$ plano -plano con$$y$$ componente positivo. Eso es$$\textbf{a}=\alpha \hat{\imath }$$ y$$\textbf{b}=\beta\hat{\imath }+\gamma mma\hat{\jmath }$$ con$$\alpha ,\gamma mma\ge 0\text{.}$$ Entonces

$\textbf{a}\times\textbf{b}=\alpha \hat{\imath }\times(\beta\hat{\imath }+\gamma mma\hat{\jmath }) =\alpha \beta\,\hat{\imath }\times\hat{\imath }+\alpha \gamma mma\,\hat{\imath }\times\hat{\jmath }. \nonumber$

El primer término desaparece por la propiedad 2, porque el ángulo$$\theta$$ entre$$\hat{\imath }$$ y$$\hat{\imath }$$ es cero. Entonces, por propiedad 3,$$\textbf{a}\times\textbf{b}= \alpha \gamma mma\hat{k}$$ apunta a lo largo del$$z$$ eje positivo, lo que es consistente con la regla de la mano derecha.

El análogo de propiedad 7 del producto punto (que dice que$$\textbf{a}\cdot\textbf{b}$$ es cero si y solo si$$\textbf{a}=\textbf{0}$$ o$$\textbf{b}=\textbf{0}$$ o$$\textbf{a}\perp\textbf{b}$$) se desprende inmediatamente de la propiedad 2.

(5)

$\textbf{a}\times\textbf{b}=\textbf{0}\iff \textbf{a}=\textbf{0} \text{ or } \textbf{b}=\textbf{0} \text{ or } \textbf{a}\parallel\textbf{b}. \nonumber$

Las propiedades restantes son todas herramientas para ayudar a hacer cálculos con productos cruzados. Aquí hay un teorema que resume las propiedades del producto cruzado. Ya hemos visto los cinco primeros. Las otras propiedades son todas herramientas para ayudar a hacer cálculos con productos cruzados.

(0)

$$\textbf{a},\textbf{b}$$son vectores en tres dimensiones y$$\textbf{a}\times\textbf{b}$$ es un vector en tres dimensiones.

(1)

$$\textbf{a}\times\textbf{b}$$es perpendicular a ambos$$\textbf{a}$$ y$$\textbf{b}\text{.}$$

(2)

\ begin {align*} |\ textbf {a}\ times\ textbf {b} | & = |\ textbf {a} |\, |\ textbf {b} |\ sin\ theta\ text {donde} 0\ le\ theta\ le\ pi\ text {es el ángulo entre}\ textbf {a},\ textbf {b}\\ & = text {el área del paralelogramo con lados}\ textbf {a},\ textbf {b}\ end {align*}

(3)

$\hat{\imath }\times\hat{\jmath }=\phantom{-}\hat{k},\ \ \ \hat{\jmath }\times\hat{k}=\phantom{-}\hat{\imath },\ \ \ \hat{k}\times\hat{\imath }=\phantom{-}\hat{\jmath } \nonumber$

(4)

$\textbf{a}\times\textbf{b}=|\textbf{a}|\,|\textbf{b}|\sin\theta\ \hat{\textbf{n}} \nonumber$

donde$$\theta$$ está el ángulo entre$$\textbf{a}, \textbf{b}\text{,}$$$$|\hat{\textbf{n}}|=1,\ \hat{\textbf{n}}\perp\textbf{a},\textbf{b}\text{,}$$ y$$(\textbf{a},\textbf{b},\hat{\textbf{n}})$$ obedecer la regla de la mano derecha.

(5)

$\textbf{a}\times\textbf{b}=\textbf{0}\iff \textbf{a}=\textbf{0} \text{ or } \textbf{b}=\textbf{0} \text{ or } \textbf{a}\parallel\textbf{b}. \nonumber$

(6)

$\textbf{a}\times \textbf{b}=-\textbf{b}\times\textbf{a} \nonumber$

(7)

$(s\textbf{a})\times \textbf{b}=\textbf{a}\times(s\textbf{b})=s(\textbf{a}\times \textbf{b}) \nonumber$

para cualquier escalar (es decir, número)$$s\text{.}$$

(8)

$\textbf{a}\times(\textbf{b}+\textbf{c})=\textbf{a}\times\textbf{b}+\textbf{a}\times \textbf{c} \nonumber$

(9)

$\textbf{a}\cdot(\textbf{b}\times\textbf{c})=(\textbf{a}\times\textbf{b})\cdot\textbf{c} \nonumber$

(10)

$\textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c})=(\textbf{c}\cdot\textbf{a})\textbf{b} -(\textbf{b}\cdot\textbf{a})\textbf{c} \nonumber$

Prueba.

Ya hemos visto las pruebas hasta el número 5. Los números 6, 7 y 8 siguen inmediatamente de la definición, utilizando un poco de álgebra. Para probar los números 9 y 10 solo escribimos las definiciones de los lados izquierdos y los lados de la derecha y observamos que son iguales.

\begin{align*} \textbf{a}\cdot(\textbf{b}\times\textbf{c}) &=\left \langle a_1,a_2,a_3 \right \rangle\cdot \left \langle b_2c_3\!-\!b_3c_2\,,\, b_3c_1\!-\!b_1c_3\,,\, b_1c_2\!-\!b_2c_1 \right \rangle\\ &={\color{blue}{a_1b_2c_3}} \!-\! {\color{blue}{a_1b_3c_2}} \!+\! {\color{orange}{a_2b_3c_1}} \!-\! {\color{orange}{a_2b_1c_3}} \!+\! a_3b_1c_2 \!-\! a_3b_2c_1 \end{align*}

\begin{align*} (\textbf{a}\times\textbf{b})\cdot\textbf{c} &=\left \langle a_2b_3\!-\!a_3b_2\,,\, a_3b_1\!-\!a_1b_3\,,\, a_1b_2\!-\!a_2b_1 \right \rangle\cdot \left \langle c_1,c_2,c_3 \right \rangle\\ &={\color{orange}{a_2b_3c_1}} \!-\! a_3b_2c_1 \!+\! a_3b_1c_2 \!-\! {\color{blue}{a_1b_3c_2}} \!+\! {\color{blue}{a_1b_2c_3}} \!-\! {\color{orange}{a_2b_1c_3}} \end{align*}

Los lados izquierdo y derecho son los mismos.

(10) Daremos los cálculos directos, pero ligeramente tediosos, en (el opcional) §1.2.6.

Tenga especial cuidado con las propiedades 6 y 10. Son contrarios a la intuición y son una fuente frecuente de errores. En particular, para vectores generales$$\textbf{a}\text{,}$$$$\textbf{b}\text{,}$$$$\textbf{c}\text{,}$$ el producto cruzado no es ni conmutativo ni asociativo, lo que significa que

\begin{align*} \textbf{a}\times\textbf{b}&\ne\textbf{b}\times\textbf{a}\\ \textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c})&\ne (\textbf{a}\times\textbf{b})\times\textbf{c} \end{align*}

Por ejemplo

\begin{align*} \hat{\imath }\times(\hat{\imath }\times\hat{\jmath }) &=\hat{\imath }\times\hat{k}=-\hat{k}\times\hat{\imath }=-\hat{\jmath }\\ (\hat{\imath }\times \hat{\imath })\times\hat{\jmath }&= \textbf{0} \times\hat{\jmath }=\textbf{0} \end{align*}

##### Ejemplo 1.2.25

Como ilustración de las propiedades del producto punto y cruz, ahora derivamos la fórmula para el volumen del paralelepípedo con bordes$$\textbf{a}=\left \langle a_1,a_2,a_3 \right \rangle \text{,}$$$$\textbf{b} =\left \langle b_1,b_2,b_3 \right \rangle \text{,}$$$$\textbf{c} = \left \langle c_1,c_2,c_3 \right \rangle$$ que se mencionó en §1.2.4.

El volumen del paralelepípedo es el área de su base multiplicada por su altura 14. La base es el paralelogramo con lados$$\textbf{b}$$ y$$\textbf{c}\text{.}$$ Su área es la longitud de su base, que es por$$|\textbf{b}|\text{,}$$ su altura, que es$$|\textbf{c}|\,\sin\theta\text{.}$$ (Caída una perpendicular desde la cabeza de$$\textbf{c}$$ hasta la línea que contiene$$\textbf{b}$$). Aquí$$\theta$$ está el ángulo entre$$\textbf{b}$$ y$$\textbf{c}\text{.}$$ Entonces el área de la base es$$|\textbf{b}|\,|\textbf{c}|\,\sin\theta= |\textbf{b}\times\textbf{c}|\text{,}$$ por propiedad 2 del producto cruzado.

Para obtener la altura del paralelepípedo, dejamos caer una perpendicular desde la cabeza de$$\textbf{a}$$ hasta la línea que pasa por la cola de$$\textbf{a}$$ y es perpendicular a la base del paralelepípedo. Es decir, de la cabeza de$$\textbf{a}$$ a la línea que contiene tanto la cabeza como la cola de$$\textbf{b}\times\textbf{c}\text{.}$$ Así la altura del paralelepípedo es$$|\textbf{a}|\,|\cos\vec{a}rphi|\text{.}$$ (Se han incluido los valores absolutos porque si el ángulo entre$$\textbf{b}\times\textbf{c}$$ y$$\textbf{a}$$ pasa a ser mayor que$$90^\circ\text{,}$$ el $$\cos\vec{a}rphi$$producido tomando el producto punto de$$\textbf{a}$$ y$$(\textbf{b}\times\textbf{c}$$) será negativo.)

Todos juntos

\begin{align*} \text{volume of parallelepiped} &=(\text{area of base})\,(\text{height})\\ &=|\textbf{b}\times\textbf{c}|\ |\textbf{a}|\ |\cos\vec{a}rphi|\\ &=\big|\textbf{a}\cdot(\textbf{b}\times\textbf{c})\big|\\ &=\left|a_1 (\textbf{b}\times\textbf{c})_1 +a_2 (\textbf{b}\times\textbf{c})_2 +a_3 (\textbf{b}\times\textbf{c})_3\right|\\ &=\left|a_1\det\left[\begin{matrix} b_2&b_3 \\ c_2&c_3\end{matrix}\right] -a_2 \det\left[\begin{matrix}b_1&b_3 \\ c_1&c_3\end{matrix}\right] +a_3\det\left[\begin{matrix}b_1&b_2 \\ c_1&c_2\end{matrix}\right]\right|\\ &=\left|\det\left[\begin{matrix}a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{matrix}\right]\right| \end{align*}

##### Ejemplo 1.2.26

Como ejemplo concreto del cálculo del volumen de un paralelepípedo, consideramos el paralelepípedo con aristas

\begin{align*} \textbf{a} &= \left \langle 0,1,2 \right \rangle\\ \textbf{b} &= \left \langle 1,1,0 \right \rangle\\ \textbf{c} &= \left \langle 0,1,0 \right \rangle \end{align*}

Aquí hay un boceto.

La base del paralelepípedo es el paralelogramo con lados$$\textbf{b}$$ y$$\textbf{c}\text{.}$$ es el paralelogramo sombreado en el boceto anterior. Como

\begin{align*} \textbf{b}\times\textbf{c} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\imath }& \hat{\jmath } &\hat{k} \\ 1&1&0 \\ 0&1&0\end{matrix}\right]\\ &=\hat{\imath }\det\left[\begin{matrix} 1&0 \\ 1&0\end{matrix}\right] -\hat{\jmath }\det\left[\begin{matrix}1&0 \\ 0&0\end{matrix}\right] +\hat{k}\det\left[\begin{matrix} 1&1 \\ 0&1\end{matrix}\right]\\ &=\hat{\imath }\big(1\times 0-0\times 1) -\hat{\jmath }(1\times 0-0\times 0) +\hat{k}(1\times 1-1\times 0)\\ &=\hat{k} \end{align*}

No debemos sorprendernos que$$\textbf{b}\times\textbf{c}$$ tenga dirección$$\hat{k}\text{.}$$

• $$\textbf{b}\times\textbf{c}$$tiene que ser perpendicular a ambos$$\textbf{b}$$ y$$\textbf{c}$$ y
• ambos$$\textbf{b}$$ y$$\textbf{c}$$ se encuentran en el$$xy$$ -plano,
• por lo que$$\textbf{b}\times\textbf{c}$$ tiene a la perpendicular al$$xy$$ -plano,
• así que$$\textbf{b}\times\textbf{c}$$ tiene al paralelo al$$z$$ eje -.

El área de la base, es decir, del paralelogramo sombreado en la figura anterior, es

$|\textbf{b}\times\textbf{c}| = |\hat{k}| =1 \nonumber$

y el volumen del paralelepípedo es

$|\textbf{a}\cdot (\textbf{b}\times\textbf{c})| = |\left \langle 0,1,2 \right \rangle\cdot\left \langle 0,0,1 \right \rangle|=2 \nonumber$

Aquí hay algunas identidades que involucran productos de punto y cruz.

##### Lema 1.2.27
1. $$\displaystyle \textbf{a}\cdot(\textbf{b}\times\textbf{c})=(\textbf{a}\times\textbf{b})\cdot\textbf{c}$$
2. $$\displaystyle \textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c})=(\textbf{c}\cdot\textbf{a})\textbf{b}-(\textbf{b}\cdot\textbf{a})\textbf{c}$$
3. $$\displaystyle \textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c}) + \textbf{b}\times(\textbf{c}\times\textbf{a}) + \textbf{c}\times(\textbf{a}\times\textbf{b}) =\textbf{0}$$
Comprobante de (a).

Esto lo demostramos en el Teorema 1.2.23, evaluando los lados izquierdo y derecho, y observando que son los mismos. Aquí hay una segunda prueba, en la que nuevamente escribimos ambas partes, pero esta vez las expresamos en términos de determinantes.

\ [\ begin {align*}\ textbf {a}\ cdot\ textbf {b}\ times\ textbf {c} &= (a_1, a_2, a_3)\ cdot\ det\ left [\ begin {matrix}\ hat {\ imath} &\ hat {\ jmath} &\ hat {k}
\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3\ end {matrix}\ right]\\ &=a_1\ det\ left [\ begin {matrix} b_2&b_3\\ c_2&c_3\ end {matrix}\ derecha] -a_2\ det\ left [\ begin {matrix} b_1&b_3\\ c_1&c_3\ end {matrix}\ right] +a_3\ det\ left [\ begin {matrix} b_1&b_2\\ c_1&c_2\ end {matrix}\ right]\\ &=\ det\ left [\ begin {matrix} a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3\ end {matriz}\ derecha]\\ textbf {a}\ veces\ textbf {b}\ cdot\ textbf {c} &=\ det\ left [\ begin {matrix}\ hat {\ imath} &\ hat {\ jmath} &\ hat {k}\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\ end {matriz}\ derecha]\ cdot (c_1, c_2, c_3)\\ &=c_1\ det\ left [\ begin {matrix} a_2&a_3\\ b_2&b_3\ end {matrix}\ right] -c_2\ det\ left [\ begin {matrix} a_1&a_3 b_1&b_3\ end {matrix} \ derecha] +c_3\ det\ left [\ begin {matrix} a_1&a_2\\ b_1&b_2\ end {matrix}\ right]\\ &=\ det\ left [\ begin {matrix} c_1&c_2&c_3\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_1&b_2\ end {matrix}\ derecha]\ end {alinear*}\]

El intercambio de dos filas en un determinante cambia el signo del determinante. Mover la fila superior de un$$3\times 3$$ determinante a la fila inferior requiere dos intercambios de filas. Entonces los dos$$3\times 3$$ determinantes son iguales.

Comprobante de (b).

La prueba no es excepcionalmente difícil, solo escribe ambos lados y muela. Sustituyendo en

$\textbf{b}\times\textbf{c} \ =\ (b_2c_3-b_3c_2)\hat{\imath }-(b_1c_3-b_3c_1)\hat{\jmath } + (b_1c_2-b_2c_1)\hat{k} \nonumber$

\begin{align*} \textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c}) =\phantom{-}&\!\!\!\det\left[\begin{matrix} \hat{\imath }&\hat{\jmath } &\hat{k} \\ a_1&a_2&a_3\\ b_2c_3-b_3c_2&-b_1c_3+b_3c_1&b_1c_2-b_2c_1 \end{matrix}\right]\\ =\phantom{-}&\hat{\imath }\big[a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(-b_1c_3+b_3c_1)\big]\\ -&\hat{\jmath }\big[a_1(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_2c_3-b_3c_2)\big]\\ +&\hat{k}\big[a_1(-b_1c_3+b_3c_1)-a_2(b_2c_3-b_3c_2)\big] \end{align*}

\begin{align*} (\textbf{a}\cdot\textbf{c})\textbf{b}-(\textbf{a}\cdot\textbf{b})\textbf{c} &=(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)(b_1\hat{\imath }+b_2\hat{\jmath }+b_3\hat{k})\\ &\hskip0.5in-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)(c_1\hat{\imath }+c_2\hat{\jmath }+c_3\hat{k})\\ &=\phantom{-} \hat{\imath }\ \big[{\color{blue}{a_1b_1c_1}} +a_2b_1c_2+a_3b_1c_3- {\color{blue}{a_1b_1c_1}} -a_2b_2c_1-a_3b_3c_1\big]\\ &\phantom{=}+\hat{\jmath }\ \big[a_1b_2c_1 +{\color{blue}{a_2b_2c_2}} +a_3b_2c_3-a_1b_1c_2 -{\color{blue}{a_2b_2c_2}} -a_3b_3c_2\big]\\ &\phantom{=}+\hat{k}\ \big[a_1b_3c_1+a_2b_3c_2 +{\color{blue}{a_3b_3c_3}} -a_1b_1c_3-a_2b_2c_3 -{\color{blue}{a_3b_3c_3}}\big]\\ &=\phantom{-} \hat{\imath }\ [a_2b_1c_2+a_3b_1c_3-a_2b_2c_1-a_3b_3c_1]\\ &\phantom{=}+\hat{\jmath }\ [a_1b_2c_1+a_3b_2c_3-a_1b_1c_2-a_3b_3c_2]\\ &\phantom{=}+\hat{k}\ [a_1b_3c_1+a_2b_3c_2-a_1b_1c_3-a_2b_2c_3] \end{align*}

La última fórmula que tuvimos para el lado izquierdo es la misma que la última fórmula que tuvimos para el lado derecho. ¡Oof! Esto es un poco tedioso de hacer a mano. Pero cualquier sistema de álgebra informática lo hará por ti en un instante.

Comprobante de (c).

Solo aplicamos la parte (b) tres veces

\begin{align*} &\textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c}) + \textbf{b}\times(\textbf{c}\times\textbf{a}) + \textbf{c}\times(\textbf{a}\times\textbf{b})\\ & = (\textbf{c}\cdot\textbf{a})\textbf{b}-(\textbf{b}\cdot\textbf{a})\textbf{c} + (\textbf{a}\cdot\textbf{b})\textbf{c}-(\textbf{c}\cdot\textbf{b})\textbf{a} + (\textbf{b}\cdot\textbf{c})\textbf{a}-(\textbf{a}\cdot\textbf{c})\textbf{b}\\ & =\textbf{0} \end{align*}

## (Opcional) Aplicación de Productos Cruzados al Movimiento Rotacional

En la mayoría de los cálculos que involucran movimiento rotacional, el producto cruzado aparece de una forma u otra. Esta es una de las principales aplicaciones del producto cruzado. Consideremos, por ejemplo, un cuerpo rígido que está rotando a una velocidad constante de$$\Omega$$ radianes por segundo alrededor de un eje cuya dirección viene dada por el vector unitario$$\hat{\textbf{a}}\text{.}$$ Let$$P$$ ser cualquier punto del cuerpo. Averiguemos su velocidad. Escoja cualquier punto en el eje de rotación y designarlo como origen de nuestro sistema de coordenadas. Denotar por$$\textbf{r}$$ el vector desde el origen hasta el punto$$P\text{.}$$ Let$$\theta$$ denotar el ángulo entre$$\hat{\textbf{a}}$$ y$$\textbf{r}\text{.}$$ A medida que avanza el tiempo el punto$$P$$ barre un círculo de radio$$R=|\textbf{r}\,|\sin\theta\text{.}$$

En un segundo$$P$$ viaja a lo largo de un arco que subtiende un ángulo de$$\Omega$$ radianes, que es la fracción$$\tfrac{\Omega}{2\pi}$$ de un círculo completo. La longitud de este arco es$$\tfrac{\Omega}{2\pi}\times 2\pi R=\Omega R=\Omega|\textbf{r}\,|\sin\theta$$ así$$P$$ recorre la distancia$$\Omega|\textbf{r}\,|\sin\theta$$ en un segundo y su velocidad, que es también la longitud de su vector de velocidad, es$$\Omega|\textbf{r}\,|\sin\theta\text{.}$$

Ahora solo necesitamos averiguar la dirección del vector de velocidad. Es decir, la dirección de movimiento del punto$$P\text{.}$$ Imagínese que ambos$$\hat{\textbf{a}}$$ y se$$\textbf{r}$$ encuentran en el plano de una hoja de papel, como en la figura anterior. Entonces$$\textbf{v}$$ señala ya sea directamente dentro o directamente fuera de la página y consecuentemente es perpendicular a ambos$$\hat{\textbf{a}}$$ y$$\textbf{r}\text{.}$$ Para distinguir entre los casos “dentro de la página” y “fuera de la página”, vamos a imponer las convenciones que$$\Omega \gt 0$$ y el eje de rotación$$\hat{\textbf{a}}$$ se elige para obedecer la regla de la mano derecha, es decir, que si el pulgar de tu mano derecha está apuntando en la dirección$$\hat{\textbf{a}}\text{,}$$ entonces tus dedos están apuntando en la dirección del movimiento del cuerpo rígido. Bajo estas convenciones, el vector de velocidad$$\textbf{v}$$ obedece

• $$\displaystyle |\textbf{v}|=\Omega|\textbf{r}||\hat{\textbf{a}}|\sin\theta$$
• $$\displaystyle \textbf{v}\perp\hat{\textbf{a}},\textbf{r}$$
• $$(\hat{\textbf{a}},\textbf{r},\textbf{v})$$obedecer la regla de la mano derecha

Es decir,$$\textbf{v}$$ es exactamente$$\Omega\hat{\textbf{a}}\times\textbf{r}\text{.}$$ Es convencional definir la “velocidad angular” de un cuerpo rígido para ser vector Es$$\mathbf{\Omega}=\Omega\hat{\textbf{a}}\text{.}$$ decir, el vector con longitud dada por la velocidad de rotación y dirección dada por el eje de rotación del cuerpo rígido. En particular, cuanto mayor sea la velocidad de rotación, mayor será el vector de velocidad angular. En términos de este vector de velocidad angular, la velocidad del punto$$P$$ es

$\begin{gather*} \textbf{v}=\mathbf{\Omega}\times\textbf{r} \end{gather*}$

## (Opcional) Aplicación de Productos Cruzados a Marcos de Referencia Giratorios

Imagínese una partícula en movimiento que está siendo rastreada por dos observadores.

1. Un observador es fijo (fuera en el espacio) y mide la posición de la partícula a ser$$\big(X(t), Y(t), Z(t)\big)\text{.}$$
2. El otro observador está atado a un tiovivo (la Tierra) y mide la posición de la partícula para ser$$\big(x(t),y(t),z(t)\big)\text{.}$$

El tiovivo está bosquejado en la figura de abajo a la izquierda. Está rotando alrededor del$$Z$$ eje a una velocidad (constante) de$$\Omega$$ radianes por segundo. El vector$$\boldsymbol{\Omega} = \Omega \hat{k}\text{,}$$ cuya longitud es la velocidad de rotación y cuya dirección es el eje de rotación, se llama la velocidad angular.

Los$$y$$ ejes$$x$$ - y -del observador en movimiento están pintados de rojo en el carrusel. La figura de arriba a la derecha muestra una vista superior del tiovivo. Los$$y$$ ejes$$x$$ - y -del observador en movimiento vuelven a ser rojos. Los$$Y$$ ejes$$X$$ - y -del observador fijo son azules. Estamos asumiendo que en$$0\text{,}$$ el momento coinciden el$$x$$ eje -del observador móvil y el$$X$$ -eje del observador fijo. Como el tiovivo gira a$$\Omega$$ radianes por segundo, el ángulo entre el$$X$$ eje y el$$x$$ eje después de$$t$$ segundos es$$\Omega t\text{.}$$

Como ejemplo, supongamos que la partícula en movimiento está atada a la punta del$$x$$ vector unitario del observador en movimiento. Entonces

\begin{align*} x(t) & = 1 & y(t) &= 0 & z(t) &= 0\\ X(t) & = \cos(\Omega t) & Y(t) &=\sin(\Omega t) & Z(t) &= 0 \end{align*}

o, si escribimos$$\textbf{r}(t) = \big(x(t), y(t), z(t)\big)$$ y$$\textbf{R}(t) = \big(X(t), Y(t), Z(t)\big)\text{,}$$ luego

$\begin{gather*} \textbf{r}(t) = (1\,,\,0\,,\,0) \qquad \textbf{R}(t)= \big(\cos(\Omega t)\,,\,\sin(\Omega t)\,,\,0\Big) \end{gather*}$

En general, denotar por$$\hat{\imath }(t)$$ las coordenadas de la unidad$$x$$ -vector del observador en movimiento en el tiempo$$t\text{,}$$ medido por el observador fijo. De manera similar$$\hat{\jmath }(t)$$ para la unidad$$y$$ -vector, y$$\hat{k}(t)$$ para la unidad$$z$$ -vector. Como el tiovivo gira alrededor del$$Z$$ eje a una velocidad de$$\Omega$$ radianes por segundo, el ángulo entre el$$X$$ eje y el$$x$$ eje después de$$t$$ segundos es$$\Omega t\text{,}$$ y

\begin{align*} \hat{\imath }(t) &= \big(\cos(\Omega t)\,,\,\sin(\Omega t)\,,\,0\Big)\\ \hat{\jmath }(t) &= \big(-\sin(\Omega t)\,,\,\cos(\Omega t)\,,\,0\Big)\\ \hat{k}(t) &= \big(0\,,\,0\,,\,1\Big) \end{align*}

La posición de la partícula móvil, vista por el observador fijo es

\begin{align*} \textbf{R}(t) &= x(t)\,\hat{\imath }(t) + y(t)\,\hat{\jmath }(t) +z(t)\,\hat{k}(t) \end{align*}

Diferenciando, la velocidad de la partícula en movimiento, medida por el observador fijo es

\begin{align*} \textbf{V}(t)=\frac{d\textbf{R}}{dt} &= \phantom{+}\frac{dx}{dt}\!(t)\ \hat{\imath }(t) + \frac{dy}{dt}\!(t)\ \hat{\jmath }(t) + \frac{dz}{dt}\!(t)\ \hat{k}(t)\\ &\phantom{=} +x(t)\frac{d}{dt} \hat{\imath }(t) +y(t)\frac{d}{dt} \hat{\jmath }(t) +z(t)\frac{d}{dt} \hat{k}(t) \end{align*}

Vimos, en el último (optativo) §1.2.7, que

$\begin{gather*} \frac{d}{dt} \hat{\imath }(t)=\boldsymbol{\Omega}\times\hat{\imath }(t)\quad \frac{d}{dt} \hat{\jmath }(t)=\boldsymbol{\Omega}\times\hat{\jmath }(t)\quad \frac{d}{dt} \hat{k}(t)=\boldsymbol{\Omega}\times\hat{k}(t) \end{gather*}$

(También podría verificar que estos son correctos ingresando$$\boldsymbol{\Omega} = (0,0,\Omega)$$ y calculando explícitamente los productos cruzados). Entonces

\begin{align*} \textbf{V}(t)&= \Big(\frac{dx}{dt}\!(t)\ \hat{\imath }(t) + \frac{dy}{dt}\!(t)\ \hat{\jmath }(t) + \frac{dz}{dt}\!(t)\ \hat{k}(t)\Big)\\ &\hskip0.5in +\boldsymbol{\Omega}\times\Big(x(t)\ \hat{\imath }(t) +y(t)\ \hat{\jmath }(t) +z(t)\ \hat{k}(t)\Big) \end{align*}

Diferenciando una segunda vez, la aceleración de la partícula móvil (que es también$$\frac{\textbf{F}}{m}\text{,}$$ donde$$\textbf{F}$$ está la fuerza neta que se aplica a la partícula y$$m$$ es la masa de la partícula) medida por el observador fijo es

\begin{align*} \frac{\textbf{F}}{m} =\textbf{A}(t) =& \Big(\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\!(t)\ \hat{\imath }(t) + \frac{d^{2}y}{dt^{2}}\!(t)\ \hat{\jmath }(t) + \frac{d^{2}z}{dt^{2}}\!(t)\ \hat{k}(t)\Big)\\ & +2\boldsymbol{\Omega}\times\Big(\frac{dx}{dt}\!(t)\ \hat{\imath }(t) +\frac{dy}{dt}\!(t)\ \hat{\jmath }(t) +\frac{dz}{dt}\!(t)\ \hat{k}(t)\Big)\\ &+\boldsymbol{\Omega}\times\Big(\boldsymbol{\Omega}\times\big[ x(t)\ \hat{\imath }(t) +y(t)\ \hat{\jmath }(t) +z(t)\ \hat{k}(t)\big]\Big) \end{align*}

Recordemos que la velocidad angular$$\boldsymbol{\Omega}=(0,0,\Omega)$$ no depende del tiempo. El observador giratorio ve$$\hat{\imath }(t)$$ como$$\hat{\imath }=(1,0,0)\text{,}$$ ve$$\hat{\jmath }(t)$$ como$$\hat{\jmath }=(0,1,0)\text{,}$$ y ve$$\hat{k}(t)$$ como$$\hat{k}=(0,0,1)$$ y así ve

\begin{align*} \frac{\textbf{F}}{m} &=\textbf{a}(t) + 2\boldsymbol{\Omega}\times\textbf{v}(t) +\boldsymbol{\Omega}\times\big[\boldsymbol{\Omega}\times\textbf{r}(t)\big] \end{align*}

donde, como de costumbre,

\begin{alignat*}{2} \textbf{v}(t) &= \frac{d}{dt}\textbf{r}(t) &&= \Big(\frac{dx}{dt}(t)\,,\,\frac{dy}{dt}(t)\,,\,\frac{dz}{dt}(t)\Big)\\ \textbf{a}(t) &= \frac{d^{2}}{dt^{2}}\textbf{r}(t) &&= \Big(\frac{d^{2}x}{dt^{2}}(t)\,,\,\frac{d^{2}y}{dt^{2}}(t)\,,\,\frac{d^{2}z}{dt^{2}}(t)\Big) \end{alignat*}

Entonces la aceleración de la partícula vista por el observador en movimiento es

$\begin{gather*} \textbf{a}(t) = \frac{\textbf{F}}{m} - 2\boldsymbol{\Omega}\times\textbf{v}(t) - \boldsymbol{\Omega}\times\big[\boldsymbol{\Omega}\times\textbf{r}(t)\big] \end{gather*}$

Aquí

• $$\textbf{F}$$es la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre la partícula en movimiento,
• $$\textbf{F}_{\rm cor}=-2 \boldsymbol{\Omega}\times\textbf{v}(t)$$se llama la fuerza Coriolis y
• $$- \boldsymbol{\Omega}\times\big[\boldsymbol{\Omega}\times\textbf{r}(t)\big]$$se llama la fuerza centrífuga.

Como ejemplo, supongamos que usted es la partícula en movimiento y que está al borde del tiovivo. Digamos$$t=0$$ y estás en$$\hat{\imath }\text{.}$$ Entonces$$\textbf{F}$$ es la fricción que la superficie del tiovivo aplica a las suelas de tus zapatos. Si solo estás parado ahí,$$\textbf{v}(t)=\textbf{0}\text{,}$$ entonces eso$$\textbf{F}_{\rm cor}=\textbf{0}\text{,}$$ y la fricción cancela$$\textbf{F}$$ exactamente la fuerza centrífuga$$-\boldsymbol{\Omega}\times\big[\boldsymbol{\Omega}\times\textbf{r}(t)\big]$$ para que te quedes en$$\hat{\imath }(t)\text{.}$$ Supongamos que$$\Omega \gt 0\text{.}$$ Ahora suponga que empiezas a caminar por el borde del tiovivo. Luego, en$$t=0\text{,}$$$$\textbf{r}=\hat{\imath }$$ y

• si caminas en sentido de rotación (con velocidad uno), como en la figura de abajo a la izquierda,$$\textbf{v}=\hat{\jmath }$$ y la fuerza de Coriolis$$\textbf{F}_{\rm cor}= -2\Omega\hat{k}\times\hat{\jmath } = 2\Omega\,\hat{\imath }$$ intenta sacarte del tiovivo, mientras
• si caminas opuesto al sentido de rotación (con velocidad uno), como en la figura de abajo a la derecha, de$$\textbf{v}=-\hat{\jmath }$$ manera que la fuerza de Coriolis$$\textbf{F}_{\rm cor}=-2\Omega\hat{k}\times(-\hat{\jmath }) = -2\Omega\,\hat{\imath }$$ intenta meterte en el centro del tiovivo.

En una bola giratoria, como la Tierra, la fuerza de Coriolis desvía el viento hacia la derecha (en sentido contrario a las agujas del reloj) en el hemisferio norte y a la izquierda (en el sentido de las agujas del reloj) está el hemisferio sur. En particular, los huracánes/ciclones/tifones giran en sentido antihorario en el hemisferio norte y en sentido horario en el hemisferio sur. Por otro lado, cuando se trata de que el agua drene de, por ejemplo, un inodoro, los efectos de fuerza de Coriolis están dominados por otros factores como la asimetría del inodoro.

## Ejercicios

### Etapa 1

##### 1.

Dejar$$\textbf{a}=\left \langle 2,0 \right \rangle$$ y$$\textbf{b}=\left \langle 1,1 \right \rangle \text{.}$$ evaluar y bosquejar$$\textbf{a}+\textbf{b},\ \textbf{a}+2\textbf{b}$$ y$$2\textbf{a}-\textbf{b}\text{.}$$

##### 2.

Determinar si los puntos dados son colineales o no (es decir, se encuentran en una línea recta común)

1. $$\displaystyle (1,2,3),\ (0,3,7),\ (3,5,11)$$
2. $$\displaystyle (0,3,-5),\ (1,2,-2),\ (3,0,4)$$
##### 3.

Determinar si el par de vectores dado es perpendicular

1. $$\displaystyle \left \langle 1,3,2 \right \rangle ,\ \left \langle 2,-2,2 \right \rangle$$
2. $$\displaystyle \left \langle -3,1,7 \right \rangle ,\ \left \langle 2,-1,1 \right \rangle$$
3. $$\displaystyle \left \langle 2,1,1 \right \rangle ,\ \left \langle -1,4,2 \right \rangle$$
##### 4.

Considera el vector$$\textbf{a}=\left \langle 3,4 \right \rangle\text{.}$$

1. Encuentra un vector de unidad en la misma dirección que$$\textbf{a}\text{.}$$
2. Buscar todos los vectores unitarios que son paralelos a$$\textbf{a}\text{.}$$
3. Buscar todos los vectores que son paralelos$$\textbf{a}$$ y tienen longitud$$10\text{.}$$
4. Buscar todos los vectores unitarios que son perpendiculares a$$\textbf{a}\text{.}$$
##### 5.

Considera el vector$$\textbf{b}=\left \langle 3,4,0 \right \rangle\text{.}$$

1. Encuentra un vector de unidad en la misma dirección que$$\textbf{b}\text{.}$$
2. Buscar todos los vectores unitarios que son paralelos a$$\textbf{b}\text{.}$$
3. Encuentra cuatro vectores unitarios diferentes que son perpendiculares a$$\textbf{b}\text{.}$$
##### 6.

Vamos a$$\textbf{a}=\left \langle a_1,a_2 \right \rangle\text{.}$$ Calcular la proyección de$$\textbf{a}$$ on$$\hat{\imath }$$ y$$\hat{\jmath }\text{.}$$

##### 7.

¿El triángulo con vértices$$(1,2,3),\ (4,0,5)$$ y$$(3,6,4)$$ tiene un ángulo recto?

##### 8.

Mostrar que el área del paralelogramo determinada por los vectores$$\textbf{a}$$ y$$\textbf{b}$$ es$$|\textbf{a}\times \textbf{b}|\text{.}$$

##### 9.

Mostrar que el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores$$\textbf{a},\ \textbf{b}$$ y$$\textbf{c}$$ es

$|\textbf{a}\cdot(\textbf{b}\times\textbf{c})| \nonumber$

##### 10.

Verificar por cómputo directo que

1. $$\hat{\imath }\times\hat{\jmath }=\hat{k} \text{,}$$$$\hat{\jmath }\times\hat{k} =\hat{\imath }\text{,}$$$$\hat{k} \times\hat{\imath }=\hat{\jmath }$$
2. $$\displaystyle \textbf{a}\cdot(\textbf{a}\times\textbf{b})=\textbf{b}\cdot(\textbf{a}\times\textbf{b})=\textbf{0}$$
##### 11.

Considera la siguiente afirmación: “Si$$\textbf{a}\ne\textbf{0}$$ y si$$\textbf{a}\cdot\textbf{b}=\textbf{a}\cdot\textbf{c}$$ entonces$$\textbf{b}=\textbf{c}\text{.}$$” Si la declaración es verdadera, demuéstrala. Si la declaración es falsa, dar un contraejemplo.

##### 12.

Considera la siguiente afirmación: “El vector$$\textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c})$$ es de la forma$$\alpha \textbf{b}+\beta \textbf{c}$$ para algunos números reales$$\alpha$$ y$$\beta \text{.}$$” Si la afirmación es verdadera, demuéstrala. Si la declaración es falsa, dar un contraejemplo.

##### 13.

De qué conclusiones geométricas puedes sacar$$\textbf{a}\cdot(\textbf{b}\times\textbf{c})=\left \langle 1,2,3 \right \rangle\text{?}$$

##### 14.

De qué conclusiones geométricas puedes sacar$$\textbf{a}\cdot(\textbf{b}\times\textbf{c})=0\text{?}$$

##### 15.

Considerar los tres puntos$$O=(0,0)\text{,}$$$$A=(a,0)$$ y$$B=(b,c)\text{.}$$

1. Sketch, en una sola figura,
• el triángulo con vértices$$O\text{,}$$$$A$$ y$$B\text{,}$$ y
• el círculo circunscrito para el triángulo (es decir, el círculo que atraviesa los tres vértices), y
• los vectores
• $$\overrightarrow{OA}\text{,}$$de$$O$$ a$$A\text{,}$$
• $$\overrightarrow{OB}\text{,}$$de$$O$$ a$$B\text{,}$$
• $$\overrightarrow{OC}\text{,}$$desde$$C\text{,}$$ donde$$O$$ se$$C$$ encuentra el centro del círculo circunscrito.

Luego agregue al boceto y evalúe, a partir del boceto,

• la proyección del vector$$\overrightarrow{OC}$$ sobre el vector$$\overrightarrow{OA}\text{,}$$ y
• la proyección del vector$$\overrightarrow{OC}$$ sobre el vector$$\overrightarrow{OB}\text{.}$$
2. Determinar$$C\text{.}$$
3. Evaluar, utilizando la fórmula 1.2.14,
• la proyección del vector$$\overrightarrow{OC}$$ sobre el vector$$\overrightarrow{OA}\text{,}$$ y
• la proyección del vector$$\overrightarrow{OC}$$ sobre el vector$$\overrightarrow{OB}\text{.}$$

### Etapa 2

##### 16.

Encuentre la ecuación de una esfera si uno de sus diámetros tiene puntos finales$$(2,1,4)$$ y$$(4,3,10)\text{.}$$

##### 17.

Usa vectores para demostrar que la línea que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al tercer lado y la mitad de su longitud.

##### 18.

Calcular las áreas de los paralelogramos determinadas por los siguientes vectores.

1. $$\displaystyle \left \langle -3,1 \right \rangle,\ \left \langle 4,3 \right \rangle$$
2. $$\displaystyle \left \langle 4,2 \right \rangle,\ \left \langle 6,8 \right \rangle$$
##### 19 ✳.

Considera el plano$$W\text{,}$$ definido por:

$W\ :\ -x + 3y + 3z = 6,\qquad \nonumber$

Encuentra el área del paralelogramo en$$W$$ definido por$$0 \le x \le 3\text{,}$$$$0 \le y \le 2\text{.}$$

##### 20.

Calcular los volúmenes de los paralelepípedos determinados por los siguientes vectores.

1. $$\displaystyle \left \langle 4,1,-1 \right \rangle,\ \left \langle -1,5,2 \right \rangle,\ \left \langle 1,1,6 \right \rangle$$
2. $$\displaystyle \left \langle -2,1,2 \right \rangle,\ \left \langle 3,1,2 \right \rangle,\ \left \langle 0,2,5 \right \rangle$$
##### 21.

Calcule el producto punto de los vectores$$\textbf{a}$$ y$$\textbf{b}\text{.}$$ encuentre el ángulo entre ellos.

1. $$\displaystyle \textbf{a}=\left \langle 1,2 \right \rangle ,\ \textbf{b}=\left \langle -2,3 \right \rangle$$
2. $$\displaystyle \textbf{a}=\left \langle -1,1 \right \rangle ,\ \textbf{b}=\left \langle 1,1 \right \rangle$$
3. $$\displaystyle \textbf{a}=\left \langle 1,1 \right \rangle ,\ \textbf{b}=\left \langle 2,2 \right \rangle$$
4. $$\displaystyle \textbf{a}=\left \langle 1,2,1 \right \rangle ,\ \textbf{b}=\left \langle -1,1,1 \right \rangle$$
5. $$\displaystyle \textbf{a}=\left \langle -1,2,3 \right \rangle ,\ \textbf{b}=\left \langle 3,0,1 \right \rangle$$
##### 22.

Determinar el ángulo entre los vectores$$\textbf{a}$$ y$$\textbf{b}$$ si

1. $$\displaystyle \textbf{a}=\left \langle 1,2 \right \rangle,\ \textbf{b}=\left \langle 3,4 \right \rangle$$
2. $$\displaystyle \textbf{a}=\left \langle 2,1,4 \right \rangle,\ \textbf{b}=\left \langle 4,-2,1 \right \rangle$$
3. $$\displaystyle \textbf{a}=\left \langle 1,-2,1 \right \rangle,\ \textbf{b}=\left \langle 3,1,0 \right \rangle$$
##### 23.

Determinar todos los valores de$$y$$ para los cuales los vectores dados son perpendiculares.

1. $$\displaystyle \left \langle 2,4 \right \rangle ,\ \left \langle 2,y \right \rangle$$
2. $$\displaystyle \left \langle 4,-1 \right \rangle ,\ \left \langle y,y^2 \right \rangle$$
3. $$\displaystyle \left \langle 3,1,1 \right \rangle ,\ \left \langle 2,5y,y^2 \right \rangle$$
##### 24.

Let$$\textbf{u}=-2\hat{\imath } +5\hat{\jmath }$$ and$$\textbf{v}=\alpha \hat{\imath }-2\hat{\jmath }\text{.}$$ Find$$\alpha$$ para que

1. $$\displaystyle \textbf{u}\perp\textbf{v}$$
2. $$\displaystyle \textbf{u} \| \textbf{v}$$
3. El ángulo entre$$\textbf{u}$$ y$$\textbf{v}$$ es$$60^\circ\text{.}$$
##### 25.

Definir$$\textbf{a}=\left \langle 1,2,3 \right \rangle$$ y$$\textbf{b}=\left \langle 4,10,6 \right \rangle\text{.}$$

1. Encuentra el componente de$$\textbf{b}$$ en la dirección$$\textbf{a}\text{.}$$
2. Encuentra la proyección de$$\textbf{b}$$ on$$\textbf{a}\text{.}$$
3. Encuentra la proyección de$$\textbf{b}$$ perpendicular a$$\textbf{a}\text{.}$$
##### 26.

Compute$$\left \langle 1,2,3 \right \rangle\times\left \langle 4,5,6 \right \rangle\text{.}$$

##### 27.

1. $$\displaystyle \left \langle 1,-5,2 \right \rangle \times\left \langle -2,1,5 \right \rangle$$
2. $$\displaystyle \left \langle 2,-3,-5 \right \rangle \times\left \langle 4,-2,7 \right \rangle$$
3. $$\displaystyle \left \langle -1,0,1 \right \rangle \times\left \langle 0,4,5 \right \rangle$$
##### 28.

Let$$\textbf{p}=\left \langle -1,4,2 \right \rangle ,\ \textbf{q}=\left \langle 3,1,-1 \right \rangle ,\ \textbf{r}=\left \langle 2,-3,-1 \right \rangle \text{.}$$ Check, por cómputo directo, que

1. $$\displaystyle \textbf{p}\times\textbf{p}=\textbf{0}$$
2. $$\displaystyle \textbf{p}\times\textbf{q}=-\textbf{q}\times\textbf{p}$$
3. $$\displaystyle \textbf{p}\times(3\textbf{r})=3(\textbf{p}\times\textbf{r})$$
4. $$\displaystyle \textbf{p}\times(\textbf{q}+\textbf{r}) = \textbf{p}\times\textbf{q}+\textbf{p}\times\textbf{r}$$
5. $$\displaystyle \textbf{p}\times(\textbf{q}\times\textbf{r}) \ne (\textbf{p}\times\textbf{q})\times\textbf{r}$$
##### 29.

Calcular el área del triángulo con vértices$$(0,0,0)\text{,}$$$$(1,2,3)$$ y$$(3,2,1)\text{.}$$

##### 30 ✳.

Una partícula$$P$$ de masa unitaria cuya posición en el espacio en el tiempo$$t$$ es$$\textbf{r}(t)$$ tiene momento angular$$L(t)=\textbf{r}(t)\times\textbf{r}'(t)\text{.}$$ Si$$\textbf{r}''(t)=\rho(t)\textbf{r}(t)$$ para una función escalar$$\rho\text{,}$$ muestran que$$L$$ es constante, es decir, no cambia con el tiempo. Aquí$$'$$ denota$$\frac{d}{dt}\text{.}$$

### Etapa 3

##### 31.

Mostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.

##### 32.

Considera un cubo tal que cada lado tenga longitud$$s\text{.}$$ Nombre, en orden, los cuatro vértices en la parte inferior del cubo$$A, B, C, D$$ y los cuatro vértices correspondientes en la parte superior del cubo$$A', B', C', D'\text{.}$$

1. Mostrar que todos los bordes del tetraedro$$A'C'BD$$ tienen la misma longitud.
2. Deja$$E$$ ser el centro del cubo. Encuentra el ángulo entre$$EA$$ y$$EC\text{.}$$
##### 33.

Encuentra el ángulo entre la diagonal de un cubo y la diagonal de una de sus caras.

##### 34.

Considera a un esquiador que se desliza sin fricción en la colina$$y=h(x)$$ en un mundo bidimensional. El esquiador está sujeto a dos fuerzas. Uno es la gravedad. El otro actúa perpendicularmente al cerro. La segunda fuerza ajusta automáticamente su magnitud para evitar que el esquiador se adentrara en la colina. Supongamos que el esquiador se volvió aerotransportado en algunos$$(x_0,y_0)$$ con$$y_0=h(x_0)\text{.}$$ ¿Qué tan rápido iba el esquiador?

##### 35.

Se coloca una canica en el plano$$ax+by+cz=d\text{.}$$ El sistema de coordenadas ha sido elegido para que el$$z$$ eje positivo apunte hacia arriba. El coeficiente$$c$$ es distinto de cero y los coeficientes$$a$$ y no$$b$$ son ambos cero. ¿En qué dirección rueda el mármol? ¿Por qué se impusieron las condiciones “$$c\ne 0$$” y “$$a,b$$no ambas cero”?

##### 36.

Demostrar que$$\textbf{a}\cdot(\textbf{b}\times\textbf{c}) =(\textbf{a}\times\textbf{b})\cdot\textbf{c}\text{.}$$

##### 37.

Demostrar que$$\textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c}) =(\textbf{a}\cdot\textbf{c})\textbf{b}-(\textbf{a}\cdot\textbf{b})\textbf{c}\text{.}$$

##### 38.

Derivar una fórmula para$$(\textbf{a}\times\textbf{b})\cdot(\textbf{c}\times\textbf{d})$$ eso implica productos punteados pero no cruzados.

##### 39.

Un prisma tiene los seis vértices

\begin{alignat*}{2} A&=(1,0,0)\qquad & A'&=(5,0,1)\\ B&=(0,3,0) & B'&=(4,3,1)\\ C&=(0,0,4) & C'&=(4,0,5) \end{alignat*}

1. Verifique que tres de las caras sean paralelogramos. ¿Son rectangulares?
2. Encuentra la longitud de$$AA'\text{.}$$
3. Encuentra el área del triángulo$$ABC\text{.}$$
4. Encuentra el volumen del prisma.
##### 40.

(Teorema de Pitágoras tridimensionales) Un cuerpo sólido en el espacio con exactamente cuatro vértices se llama tetraedro. Dejar$$A\text{,}$$$$B\text{,}$$$$C$$ y$$D$$ ser las áreas de las cuatro caras de un tetraedro. Supongamos que los tres bordes que se encuentran en el vértice opuesto a la cara del área$$D$$ son perpendiculares entre sí. Demostrar que$$D^2=A^2+B^2+C^2\text{.}$$

##### 41.

(Ley tridimensional de los cosenos) Dejar$$A\text{,}$$$$B\text{,}$$$$C$$ y$$D$$ ser las áreas de las cuatro caras de un tetraedro. Dejar$$\alpha$$ ser el ángulo entre las caras con áreas$$B$$ y$$C\text{,}$$$$\beta$$ ser el ángulo entre las caras con áreas$$A$$ y$$C$$ y$$\gamma$$ ser el ángulo entre las caras con áreas$$A$$ y$$B\text{.}$$ (Por definición, el ángulo entre dos caras es el ángulo entre los vectores normales a las caras.) Demostrar que

$D^2=A^2+B^2+C^2-2BC\cos\alpha -2AC\cos\beta-2AB\cos\gamma \nonumber$

1. Algunas personas usan un subrayado, como en$$\underline{v}\text{,}$$ más que una flecha.
2. O, en la jerga de Wikipedia, desambiguar.
3. OK. OK. Fuera en esa (ciertamente muy pequeña) parte del mundo real que en realidad sabe lo que es un vector.
4. La notación también$$\|\textbf{a}\|$$ se utiliza para la longitud de$$\textbf{a}\text{.}$$
5. Puede estar acostumbrado a verlo escrito como$$c^2=a^2+b^2-2 a b \cos C\text{,}$$ dónde$$a\text{,}$$$$b$$ y$$c$$ son las longitudes de los tres lados del triángulo y$$C$$ es el ángulo opuesto al lado de la longitud$$c$$
6. Los conceptos del producto punto y la perpendicularidad se han generalizado mucho en las matemáticas (por ejemplo, desde los vectores 2d y 3d hasta las funciones). La generalización del producto punto se llama el “producto interno” y la generalización de la perpendicularidad se llama “ortogonalidad”.
8. Para un tratamiento más integral de las derivadas de las funciones valoradas por vectores$$\textbf{r}(t)\text{,}$$ y en particular de la velocidad y aceleración, véase la Sección 1.6 en este texto y la Sección 1.1 en el texto CLP-4.
9. Los temas de matrices y determinantes aparecen de manera destacada en los cursos de álgebra lineal. Sólo los vamos a utilizar como notación, y vamos a explicar explícitamente esa notación. Un curso de álgebra lineal no es un requisito previo para este texto.
10. Para obtener una derivación completa, consulte el Ejemplo 1.2.25
11. Que el producto cruzado use la regla de la mano derecha, en lugar de la regla de la mano izquierda, es un ejemplo de la tiranía de las masas — solo aproximadamente el 10\% de los humanos son zurdos.
12. Esta cifra es una variante de https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Right_hand_rule_simple.png
13. Tenga en cuenta que a medida que traslada o gira el sistema de coordenadas, se conserva la regla de la derecha. Si$$(\textbf{a},\textbf{b},\hat{\textbf{n}})$$ obedecen la regla de la mano derecha también lo hacen sus versiones rotadas y traducidas.
14. Este es un simple ejercicio de cálculo integral.

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