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# 1.6: Curvas y sus vectores tangentes

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El lado derecho de la ecuación paramétrica$$(x,y,z)=(1,1,0)+t\left \langle 1,2,-2 \right \rangle$$ que acabamos de ver en Warning 1.5.3 es una función vectorizada de la única variable real Ahora$$t\text{.}$$ vamos a estudiar funciones vectoriales más generales de una variable real. Es decir, vamos a estudiar funciones que asignen a cada número real$$t$$ (típicamente en algún intervalo) un vector$$\vec{r}(t)\text{.}$$ Por ejemplo

$\vec{r}(t) = \big( x(t), y(t), z(t)\big) \nonumber$

podría ser la posición 1 de una partícula en el tiempo$$t\text{.}$$ As$$t$$ varía$$\vec{r}(t)$$ barre una curva.

Si bien en algunas aplicaciones efectivamente$$t$$ será “tiempo”, no tiene por qué serlo. Puede ser simplemente un parámetro que se usa para etiquetar los diferentes puntos de la curva que$$\vec{r}(t)$$ barre. Entonces decimos que$$\vec{r}(t)$$ proporciona una parametrización de la curva.

##### Ejemplo 1.6.1. Parametrización de$$x^2+y^2=a^2$$

Si bien a menudo usaremos$$t$$ como parámetro en una curva parametrizada no$$\vec{r}(t)\text{,}$$ hay necesidad de llamarla$$t\text{.}$$ A veces es natural usar un nombre diferente para el parámetro. Por ejemplo, considera el círculo 2$$x^2+y^2=a^2\text{.}$$ Es natural usar el ángulo$$\theta$$ en el boceto a continuación para etiquetar el punto$$\big(a\cos\theta\,,\,a\sin\theta\big)$$ en el círculo.

Es decir,

$\vec{r}(\theta) = \big(a\cos\theta\,,\,a\sin\theta\big)\qquad 0\le \theta\lt 2\pi \nonumber$

es una parametrización del círculo$$x^2+y^2=a^2\text{.}$$ Con solo mirar la figura de arriba, queda claro que, como$$\theta$$ corre de$$0$$ a$$2\pi\text{,}$$$$\vec{r}(\theta)$$ traza el círculo completo.

Sin embargo, ten en cuenta que solo saber que$$\vec{r}(t)$$ se encuentra en una curva especificada no garantiza que, como$$t$$ varía,$$\vec{r}(t)$$ cubra toda la curva. Por ejemplo, como$$t$$ corre sobre toda la línea real,$$\frac{2}{\pi}\arctan(t)$$ corre sobre el intervalo$$(-1,1)\text{.}$$ For all$$t\text{,}$$

$\vec{r}(t) = \big(x(t),y(t)\big) = a\left(\frac{2}{\pi}\arctan(t)\,,\, \sqrt{1-\frac{4}{\pi^2}\arctan^2(t)}\,\right) \nonumber$

está bien definido y obedece$$x(t)^2+y(t)^2=a^2\text{.}$$ Pero esto$$\vec{r}(t)$$ no cubre todo el círculo porque siempre$$y(t)$$ es positivo.

##### Ejemplo 1.6.2. Parametrización de$$(x-h)^2+(y-k)^2=a^2$$

Podemos ajustar la parametrización del Ejemplo 1.6.1 para obtener una parametrización del círculo de radio en el$$a$$ que se centra$$(h,k)\text{.}$$ Una forma de hacerlo es redibujar el boceto del Ejemplo 1.6.1 con el círculo traducido para que su centro esté en$$(h,k)\text{.}$$

Vemos por el boceto que

$\vec{r}(\theta) = \big(h+a\cos\theta\,,\,k+a\sin\theta\big)\qquad 0\le \theta\lt 2\pi \nonumber$

es una parametrización del círculo$$(x-h)^2+(y-k)^2=a^2\text{.}$$

Una segunda forma de llegar a esta parametrización es observar que podemos convertir la identidad trigonométrica$$\cos^2 t + \sin^2 t=1$$ en la ecuación$$(x-h)^2+(y-k)^2=a^2$$ del círculo mediante

• multiplicando la identidad trigonométrica por$$a^2$$ para obtener$$(a\cos t)^2 +(a\sin t)^2 =a^2$$ y luego
• ambientación$$\ a\cos t=x-h\$$ y$$\ a\sin t=y-k\ \text{,}$$ que se$$(a\cos t)^2 +(a\sin t)^2 =a^2$$ convierte en$$(x-h)^2+(y-k)^2=a^2\text{.}$$
##### Ejemplo 1.6.3. Parametrización de$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ and of $$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$$

Podemos construir parametrizaciones de las curvas$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ y$$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$$ a partir de la identidad$$\cos^2 t + \sin^2 t=1\text{,}$$ trigonométrica como hicimos en la segunda parte del último ejemplo.

• Ajuste$$\ \cos t=\frac{x}{a}\$$ y$$\ \sin t=\frac{y}{b}\$$ se$$\cos^2 t +\sin^2 t =1$$ convierte en$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\text{.}$$
• Ajuste$$\ \cos t= \big(\frac{x}{a}\big)^{\frac{1}{3}}\$$ y$$\ \sin t=\big(\frac{y}{a}\big)^{\frac{1}{3}}\$$ se$$\cos^2 t +\sin^2 t =1$$ convierte en$$\frac{x^{2/3}}{a^{2/3}}+\frac{y^{2/3}}{a^{2/3}}=1\text{.}$$

Entonces

\begin{alignat*}{2} \vec{r}(t) &= \big(a\cos t\,,\,b\sin t\big)\qquad &0\le t\lt 2\pi\\ \vec{r}(t) &= \big(a\cos^3 t\,,\,a\sin^3 t\big) &0\le t\lt 2\pi \end{alignat*}

dar parametrizaciones de$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ y$$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\text{,}$$ respectivamente. Para ver que correr$$t$$ de$$0$$ a$$2\pi$$ corre$$\vec{r}(t)$$ una vez alrededor de la curva, mira las figuras a continuación.

La curva$$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$$ se llama astroide. De su ecuación, esperaríamos que su boceto pareciera un círculo deformado. Pero probablemente no sea tan obvio que tendría los trozos puntiagudos de la figura de la mano derecha. No vamos a explicar aquí por qué surgen. El astroide se estudia con cierto detalle en el Ejemplo 1.1.7 del texto CLP-4. En particular, allí se desarrolla cuidadosamente el boceto anterior.

##### Ejemplo 1.6.4. Parametrización de$$e^y=1+x^2$$

Un método muy fácil que a menudo puede crear parametrizaciones para una curva es usar$$x$$ o$$y$$ como parámetro. Porque podemos resolver$$e^y=1+x^2$$ para$$y$$ como una función de$$x\text{,}$$ saber$$y=\ln\big(1+x^2\big)\text{,}$$ podemos usar$$x$$ como parámetro simplemente configurando$$t=x\text{.}$$ Esto da la parametrización

$\vec{r}(t) = \big(t\,,\,\ln(1+t^2)\big)\qquad -\infty\lt t\lt \infty \nonumber$

##### Ejemplo 1.6.5. Parametrización de$$x^2+y^2=a^2\text{,}$$ again

También es bastante común que se pueda usar cualquiera$$x$$ o$$y$$ para parametrizar parte de, pero la totalidad de, una curva. Un ejemplo sencillo es el círculo$$x^2+y^2=a^2\text{.}$$ Para cada uno$$-a\lt x\lt a\text{,}$$ hay dos puntos en el círculo con ese valor de$$x\text{.}$$ Así no se puede usar$$x$$ para parametrizar todo el círculo. De igual manera, para cada uno$$-a\lt y\lt a\text{,}$$ hay dos puntos en el círculo con ese valor de$$y\text{.}$$ Así que no se puede usar$$y$$ para parametrizar todo el círculo. Por otro lado

\begin{alignat*}{2} \vec{r}(t) &= \big(t\,,\,\sqrt{a^2-t^2}\big)\qquad &-a\lt t\lt a \\ \vec{r}(t) &= \big(t\,,\,-\sqrt{a^2-t^2}\big)\qquad &-a\lt t\lt a \end{alignat*}

proporcionar parametrizaciones de la mitad superior y la mitad inferior, respectivamente, del círculo utilizando$$x$$ como parámetro, y

\begin{alignat*}{2} \vec{r}(t) &= \big(\sqrt{a^2-t^2}\,,\,t\big)\qquad &-a\lt t\lt a \\ \vec{r}(t) &= \big(-\sqrt{a^2-t^2}\,,\,t\big)\qquad &-a\lt t\lt a \end{alignat*}

proporcionar parametrizaciones de la mitad derecha y la mitad izquierda, respectivamente, del círculo utilizando$$y$$ como parámetro.

##### Ejemplo 1.6.6. Unparametrización de$$\vec{r}(t)=(\cos t, 7-t)$$

En este ejemplo, desharemos la parametrización$$\vec{r}(t)=(\cos t, 7-t)$$ y encontraremos la ecuación cartesiana de la curva en cuestión. Podemos reescribir la parametrización como

\begin{align*} x&=\cos t \\ y&=7-t \end{align*}

Tenga en cuenta que podemos eliminar el parámetro$$t$$ simplemente usando la segunda ecuación para resolver para$$t$$ como una función de Saber$$y\text{.}$$$$t=7-y\text{.}$$ Sustituir esto en la primera ecuación nos da la ecuación cartesiana

$x=\cos(7-y) \nonumber$

Las curvas a menudo surgen como la intersección de dos superficies. Por ejemplo, la intersección de la esfera$$x^2+y^2+z^2=1$$ con el plano$$y=x$$ es un círculo. La parte de ese círculo que se encuentra en el primer octante es la curva roja en la siguiente figura.

Una forma de parametrizar tales curvas es elegir una de las tres coordenadas$$x\text{,}$$$$y\text{,}$$$$z$$ como parámetro, y resolver las dos ecuaciones dadas para las dos coordenadas restantes, como funciones del parámetro. Aquí hay dos ejemplos.

##### Ejemplo 1.6.7

El conjunto de todos$$(x,y,z)$$ obedeciendo

\begin{alignat*}{2} x&-y &&=0\\ x^2&+y^2 +z^2 &&=1 \end{alignat*}

es el círculo esbozado arriba. Podemos optar por usar$$y$$ como parámetro y pensar en

\begin{alignat*}{2} x& &&=y\\ x^2&+z^2 &&=1-y^2 \end{alignat*}

como un sistema de dos ecuaciones para las dos incógnitas$$x$$ y$$z\text{,}$$ con$$y$$ ser tratado como una constante dada, más que como una desconocida. Ahora podemos resolver (trivialmente) la primera ecuación para$$x\text{,}$$ sustituir el resultado en la segunda ecuación, y finalmente resolver para$$z\text{.}$$

\begin{alignat*}{2} x=y,\ x^2+z^2 &&=1-y^2 \quad \implies z^2 = 1-2y^2 \end{alignat*}

Si, por ejemplo, nos interesan los puntos$$(x,y,z)$$ en la curva con los$$z\ge 0\text{,}$$ que tenemos$$z=\sqrt{1-2y^2}$$ y

$\vec{r}(y) = \left(y\,,\,y\,,\,\sqrt{1-2y^2}\,\right),\qquad -\frac{1}{\sqrt{2}}\le y \le \frac{1}{\sqrt{2}} \nonumber$

es una parametrización para la parte del círculo por encima del$$xy$$ plano. Si, por otro lado, nos interesan los puntos$$(x,y,z)$$ en la curva con los$$z\le 0\text{,}$$ que tenemos$$z=-\sqrt{1-2y^2}$$ y

$\vec{r}(y) = \left(y\,,\,y\,,\,-\sqrt{1-2y^2}\,\right),\qquad -\frac{1}{\sqrt{2}}\le y \le \frac{1}{\sqrt{2}} \nonumber$

es una parametrización para la parte del círculo debajo del$$xy$$ plano.

##### Ejemplo 1.6.8

El ejemplo anterior fue amañado para que fuera fácil de resolver para$$x$$ y$$z$$ como funciones de$$y\text{.}$$ En la práctica no siempre es fácil, o incluso posible, hacerlo. Un ejemplo más realista es el conjunto de todos$$(x,y,z)$$ obedeciendo

\begin{alignat*}{1} x^2+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{3}&=1\\ x^2+2y^2&=z \end{alignat*}

que es la curva azul en la figura

(No te preocupes por cómo hacemos bocetos como este. Vamos a desarrollar alguna técnica de esbozo de superficie en § 1.7 abajo.) Sustituir$$x^2=z-2y^2$$ (de la segunda ecuación) en la primera ecuación da

$-\frac{3}{2}y^2+z+\frac{z^2}{3}=1 \nonumber$

o, completando la plaza,

$-\frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{3}\Big(z+\frac{3}{2}\Big)^2 = \frac{7}{4} \nonumber$

Si, por ejemplo, nos interesan los puntos$$(x,y,z)$$ en la curva con$$y\ge 0\text{,}$$ esto se puede resolver para dar$$y$$ en función de$$z\text{.}$$

$y=\sqrt{\frac{2}{9}\Big(z+\frac{3}{2}\Big)^2-\frac{14}{12}} \nonumber$

Entonces$$x^2=z-2y^2$$ también da$$x$$ como una función de$$z\text{.}$$ Si$$x\ge 0\text{,}$$

\begin{align*} x&=\sqrt{z-\frac{4}{9}\Big(z+\frac{3}{2}\Big)^2+\frac{14}{6}}\\ &=\sqrt{\frac{4}{3}-\frac{4}{9}z^2-\frac{1}{3}z} \end{align*}

Los otros signos de$$x$$ y se$$y$$ pueden obtener mediante el uso de las raíces cuadradas apropiadas. En este ejemplo,$$(x,y,z)$$ está en la curva, es decir, satisface las dos ecuaciones originales, si y sólo si todas$$(\pm x,\pm y, z)$$ están también en la curva.

Siendo este un texto de Cálculo, una de nuestras principales operaciones es la diferenciación. Ahora nos interesan las parametrizaciones$$\vec{r}(t)\text{.}$$ Es muy fácil y natural extender nuestra definición de derivado de la$$\vec{r}(t)$$ siguiente manera.

##### Definición 1.6.9

La derivada de la función de valor vectorial$$\vec{r}(t)$$ se define como

$\vec{r}'(t) = \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d} t}(t)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\vec{r}(t+h)-\vec{r}(t)}{h} \nonumber$

cuando exista el límite. En particular, si$$\vec{r}(t)=x(t)\hat{\pmb{\imath}} + y(t)\hat{\pmb{\jmath}} + z(t)\hat{\mathbf{k}}\text{,}$$ entonces

$\vec{r}'(t)=x'(t)\hat{\pmb{\imath}} + y'(t)\hat{\pmb{\jmath}} + z'(t)\hat{\mathbf{k}} \nonumber$

Es decir, diferenciar una función valorada vectorial de$$t\text{,}$$ solo diferenciar cada uno de sus componentes.

Y por supuesto la diferenciación interactúa con las operaciones aritméticas, como la suma, de la manera obvia. Solo se requiere un poco más de reflexión para ver que la diferenciación interactúa bastante bien con los productos de punto y cruz también. Aquí hay algunos ejemplos.

##### Ejemplo 1.6.10

Let

\begin{align*} \vec{a}(t)&= t^2\,\hat{\pmb{\imath}} + t^4\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^6\,\hat{\mathbf{k}}\\ \vec{b}(t)&= e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}} + e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \gamma (t)&= t^2\\ s(t)&= \sin t \end{align*}

Estamos a punto de computar algunas derivadas. Para que sea más fácil seguir lo que está pasando, usaremos algo de color. Cuando aplicamos la regla del producto

$\frac{d}{dt}\big[f(t)\,g(t)\big] ={\color{blue}{f'(t)}}\,g(t) + f(t)\,{\color{blue}{g'(t)}} \nonumber$

usaremos el azul para resaltar los factores$$f'(t)$$ y$$g'(t)\text{.}$$ Aquí vamos.

\begin{align*} \gamma (t)\,\vec{b}(t) & = t^2e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}} + t^2 e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^2 e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}} \end{align*}

da

\begin{align*} \frac{d}{dt}\big[\gamma (t)\vec{b}(t)\big] &=\big[{\color{blue}{2t}} e^{-t}{\color{blue}{-}}t^2{\color{blue}{e^{-t}}}\big]\hat{\pmb{\imath}} +\big[{\color{blue}{2t}} e^{-3t}{\color{blue}{-3}}t^2{\color{blue}{e^{-3t}}}\big]\hat{\pmb{\jmath}} +\big[{\color{blue}{2t}} e^{-5t}{\color{blue}{-5}}t^2{\color{blue}{e^{-5t}}}\big]\hat{\mathbf{k}}\\ &={\color{blue}{2t}}\big\{e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}} + e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big\} + t^2{\color{blue}{\big\{-e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}} -3 e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}} -5 e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big\}}}\\ &={\color{blue}{\gamma '(t)}}\vec{b}(t)+\gamma (t){\color{blue}{\vec{b}'(t)}} \end{align*}

y

\begin{align*} \vec{a}(t)\cdot\vec{b}(t) & = t^2e^{-t} + t^4 e^{-3t} + t^6 e^{-5t} \end{align*}

da

\begin{align*} \frac{d}{dt}\big[\vec{a}(t)\cdot\vec{b}(t)\big] &=\big[{\color{blue}{2t}} e^{-t}{\color{blue}{-}}t^2{\color{blue}{e^{-t}}}\big] +\big[{\color{blue}{4t^3}} e^{-3t}{\color{blue}{-3}}t^4{\color{blue}{e^{-3t}}}\big] +\big[{\color{blue}{6t^5}} e^{-5t}{\color{blue}{-5}}t^6{\color{blue}{e^{-5t}}}\big]\\ &=\big[{\color{blue}{2t}} e^{-t}+{\color{blue}{4t^3}} e^{-3t}+{\color{blue}{6t^5}} e^{-5t}\big] +\big[{\color{blue}{-}}t^2{\color{blue}{e^{-t}}} {\color{blue}{-3}}t^4{\color{blue}{e^{-3t}}} {\color{blue}{-5}}t^6{\color{blue}{e^{-5t}}}\big]\\ &={\color{blue}{\big\{2t\,\hat{\pmb{\imath}}+4t^3\,\hat{\pmb{\jmath}}+6t^5\,\hat{\mathbf{k}}\big\}}}\cdot \big\{e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}} + e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big\}\\&\hskip0.5in +\big\{t^2\,\hat{\pmb{\imath}} + t^4\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^6\,\hat{\mathbf{k}}\big\}\cdot {\color{blue}{\big\{-e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}}-3e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}}-5e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big\}}}\\ &={\color{blue}{\vec{a}'(t)}}\cdot\vec{b}(t)+\vec{a}(t)\cdot{\color{blue}{\vec{b}'(t)}} \end{align*}

y

\begin{align*} \vec{a}(t)\times\vec{b}(t) &=\det\left[\begin{matrix}\hat{\pmb{\imath}}& \hat{\pmb{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}}\\ t^2 & t^4 & t^6\\ e^{-t} & e^{-3t} & e^{-5t}\end{matrix}\right]\\ &=\hat{\pmb{\imath}}\big(t^4 e^{-5t}-t^6 e^{-3t}) -\hat{\pmb{\jmath}}(t^2 e^{-5t}- t^6 e^{-t}) +\hat{\mathbf{k}}(t^2 e^{-3t}-t^4 e^{-t}) \end{align*}

da

\begin{align*} &\frac{d}{dt}\big[\vec{a}(t)\times\vec{b}(t)\big]\\ &=\ \hat{\pmb{\imath}}\big(\ {\color{blue}{4t^3}} e^{-5t}\ \ -\ {\color{blue}{6t^5}} e^{-3t}) \ -\ \hat{\pmb{\jmath}}(\ {\color{blue}{2t}} e^{-5t}\ -\ {\color{blue}{6t^5}} e^{-t}) +\hat{\mathbf{k}}(\ {\color{blue}{2t}} e^{-3t}\ -\ {\color{blue}{4t^3}} e^{-t}) \\&\hskip0.1in +\hat{\pmb{\imath}}\big({\color{blue}{-5}}t^4 {\color{blue}{e^{-5t}}}{\color{blue}{+3}}t^6 {\color{blue}{e^{-3t}}}) -\hat{\pmb{\jmath}}({\color{blue}{-5}}t^2 {\color{blue}{e^{-5t}}}{\color{blue}{+}} t^6 {\color{blue}{e^{-t}}}) +\hat{\mathbf{k}}({\color{blue}{-3}}t^2 {\color{blue}{e^{-3t}}}{\color{blue}{+}}t^4 {\color{blue}{e^{-t}}})\\ &={\color{blue}{\big\{2t\,\hat{\pmb{\imath}}+4t^3\,\hat{\pmb{\jmath}}+6t^5\,\hat{\mathbf{k}}\big\}}}\times \big\{e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}} + e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big\}\\&\hskip0.5in +\big\{t^2\,\hat{\pmb{\imath}} + t^4\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^6\,\hat{\mathbf{k}}\big\}\times {\color{blue}{\big\{-e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}}-3e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}}-5e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big\}}}\\ &={\color{blue}{\vec{a}'(t)}}\times\vec{b}(t)+\vec{a}(t)\times{\color{blue}{\vec{b}'(t)}} \end{align*}

y

\begin{align*} \vec{a}\big(s(t)\big) &=(\sin t)^2\,\hat{\pmb{\imath}} +(\sin t)^4\,\hat{\pmb{\jmath}} + (\sin t)^6\,\hat{\mathbf{k}}\\ \implies \frac{d}{dt}\big[\vec{a}\big(s(t)\big)\big] &=2(\sin t)\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} +4(\sin t)^3\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} + 6(\sin t)^5\cos t\,\hat{\mathbf{k}}\\ &=\big\{2(\sin t)\,\hat{\pmb{\imath}} +4(\sin t)^3\hat{\pmb{\jmath}} + 6(\sin t)^5\hat{\mathbf{k}}\big\}\cos t \\ &=\vec{a}'\big(s(t)\big)\,s'(t) \end{align*}

Por supuesto estos ejemplos se extienden a general (diferenciables)$$\vec{a}(t)\text{,}$$$$\vec{b}(t)\text{,}$$$$\gamma (t)$$ y$$s(t)$$ y nos dan (la mayor parte de) el siguiente teorema.

##### Teorema 1.6.11. Aritmética de diferenciación

Let

• $$\vec{a}(t),\vec{b}(t)$$ser vector valuado funciones diferenciables de$$t\in\mathbb{R}$$ que toman valores en$$\mathbb{R}^n$$ y
• $$\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$$ser constantes y
• $$\gamma (t)$$y$$s(t)$$ ser funciones diferenciables valoradas reales de$$t\in\mathbb{R}$$

Entonces

\begin{alignat*}{3} &\text{(a)}\quad &&\frac{d}{dt}\big[\alpha \,\vec{a}(t)+\beta\,\vec{b}(t)\big] =\alpha \,\vec{a}'(t)+\beta\,\vec{b}'(t) &&\text{(linear combination)}\\ &\text{(b)} &&\frac{d}{dt}\big[\gamma (t)\vec{b}(t)\big] =\gamma '(t)\vec{b}(t)+\gamma (t)\vec{b}'(t) &&\text{(multiplication by scalar function)}\\ &\text{(c)} &&\frac{d}{dt}\big[\vec{a}(t)\cdot\vec{b}(t)\big] =\vec{a}'(t)\cdot\vec{b}(t)+\vec{a}(t)\cdot\vec{b}'(t) &&\text{(dot product)}\\ &\text{(d)} &&\frac{d}{dt}\big[\vec{a}(t)\times\vec{b}(t)\big] =\vec{a}'(t)\times\vec{b}(t)+\vec{a}(t)\times\vec{b}'(t) \ \ &&\text{(cross product)}\\ &\text{(e)} &&\frac{d}{dt}\big[\vec{a}\big(s(t)\big)\big] =\vec{a}'\big(s(t)\big)\,s'(t) &&\text{(composition)} \end{alignat*}

Pensemos en el significado geométrico de$$\vec{r}'(t)\text{.}$$ En particular, pensemos en la relación entre$$\vec{r}'(t)$$ y distancias a lo largo de la curva. La derivada$$\vec{r}'(t)$$ es el límite de$$\frac{\vec{r}(t+h)-\vec{r}(t)}{h}$$ como$$h\rightarrow 0\text{.}$$ El numerador,$$\vec{r}(t+h)-\vec{r}(t)\text{,}$$ es el vector con la cabeza en$$\vec{r}(t+h)$$ y la cola en$$\vec{r}(t)\text{.}$$

Cuando$$h$$ es muy pequeño este vector

• tiene esencialmente la misma dirección que el vector tangente a la curva en$$\vec{r}(t)$$ y
• tiene longitud que es esencialmente la longitud de la parte de la curva entre$$\vec{r}(t)$$ y$$\vec{r}(t+h)\text{.}$$

Tomando el límite como$$h\rightarrow 0$$ rendimientos que

• $$\vec{r}'(t)$$es un vector tangente a la curva en$$\vec{r}(t)$$ ese punto en la dirección de aumento$$t$$ y
• si$$s(t)$$ es la longitud de la parte de la curva entre$$\vec{r}(0)$$ y$$\vec{r}(t)\text{,}$$ luego$$\frac{ds}{dt}(t)=\big|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d} t}(t)\big|\text{.}$$

Esto vale la pena afirmarlo formalmente.

##### Lema 1.6.12

Dejar$$\vec{r}(t)$$ ser una curva parametrizada.

1. Denote por$$\hat{\textbf{T}}$$ el vector tangente unitario a la curva al$$\vec{r}(t)$$ apuntar en la dirección de aumentar$$t\text{.}$$ If$$\vec{r}'(t)\ne 0$$ entonces

$\hat{\textbf{T}}(t) = \frac{\vec{r}'(t)}{|\vec{r}'(t)|} \nonumber$

2. Denote por$$s(t)$$ la longitud de la parte de la curva entre$$\vec{r}(0)$$ y$$\vec{r}(t)\text{.}$$ Entonces

\begin{align*} \frac{ds}{dt}(t)&=\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d} t}(t)\right|\\ s(T)-s(T_0)&= \int_{T_0}^T \left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d} t}(t)\right|\,\mathrm{d} \end{align*}

3. En particular, si el parámetro pasa a ser la longitud del arco, es decir, si es$$t=s\text{,}$$ así que$$\frac{ds}{ds}=1\text{,}$$ entonces

$\left|\frac{d\vec{r}}{dt}(s)\right|=1\qquad \hat{\textbf{T}}(s) = \vec{r}'(s) \nonumber$

Como aplicación, tenemos el

##### Lema 1.6.13

Si$$\vec{r}(t)=\big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)$$ es la posición de una partícula en el momento$$t\text{,}$$ entonces

\ begin {align*}\ text {velocidad en el tiempo} t &=\ vec {v} (t) =\ vec {r} '(t) =x' (t)\ hat {\ pmb {\ imath}} + y' (t)\ hat {\ pmb {\ jmath}} + z' (t)\ hat {\ mathbf {k}} =\ frac {ds} {dt} (t)\,\ hat {\ textbf {T}} (t)\\\ text {velocidad en el tiempo} t &=\ frac {ds} {dt} (t) =|\ vec {v} (t) |=|\ vec {r}' (t) |=\ sqrt {(x' (t) ^2+y' (t) ^2+z' (t) ^2+z' (t) ^2}\\\ texto {aceleración en el tiempo} t &=\ vec {a} (t) =\ vec {r} "(t) =\ vec {v} '(t) =\ grande (x" (t)\ hat {\ pmb {\ imath}} + y "(t)\ hat {\ pmb {\ jmath}} + z" (t)\ hat {\ mathbf {k}}\\ end {alinear*}

y la distancia recorrida entre tiempos$$T_0$$ y$$T$$ es

\ begin {alinear*} s (T) -s (T_0) &=\ int_ {T_0} ^T\ Big|\ dfrac {\ mathrm {d}\ vec {r}} {\ mathrm {d} t} (t)\ Big|\,\ mathrm {d} {t} =\ int_ {T_0} ^T\ sqrt {(x' (t) 2+y' (t) ^2+z' (t) ^2}\,\ mathrm {d} {t}\ end {alinear*}

Tenga en cuenta que la velocidad$$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t)$$ es una cantidad vectorial mientras que la velocidad$$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\vec{r}'(t)|$$ es una cantidad escalar.

##### Ejemplo 1.6.14. Circunferencia de un círculo

En general puede ser bastante difícil calcular longitudes de arco. Entonces, como ejemplo de fácil caldeo, calcularemos la circunferencia del círculo 3 También$$x^2+y^2=a^2\text{.}$$ encontraremos una unidad tangente al círculo en cualquier punto del círculo. Utilizaremos la parametrización

$\vec{r}(\theta) = \big(a\cos\theta\,,\,a\sin\theta\big)\qquad 0\le \theta\le 2\pi \nonumber$

del Ejemplo 1.6.1. Usando Lemma 1.6.12, pero con el parámetro$$t$$ renombrado a$$\theta$$

\begin{align*} \vec{r}'(\theta) &= -a\sin\theta\hat{\pmb{\imath}} + a\cos\theta\hat{\pmb{\jmath}}\\ \hat{\textbf{T}}(\theta) &= \frac{\vec{r}'(\theta)}{|\vec{r}'(\theta)|} = -\sin\theta\hat{\pmb{\imath}} + \cos\theta\hat{\pmb{\jmath}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}(\theta)&=\big|\vec{r}'(\theta)\big| = a\\ s(\Theta)-s(0)&= \int_{0}^\Theta \big|\vec{r}'(\theta)\big|\,\mathrm{d}{\theta} =a\Theta \end{align*}

Como 4$$s(\Theta)$$ es la longitud del arco de la parte del círculo con$$0\le\theta\le\Theta\text{,}$$ la circunferencia de todo el círculo es

$s(2\pi) = 2\pi a \nonumber$

lo cual es tranquilizador, ya que esta fórmula se conoce 5 desde hace miles de años.

La fórmula$$s(\Theta)-s(0)=a\Theta$$ también tiene sentido — la parte del círculo con$$0\le\theta\le\Theta$$ es la fracción$$\frac{\Theta}{2\pi}$$ de todo el círculo, y así debería tener longitud$$\frac{\Theta}{2\pi}\times 2\pi a\text{.}$$ También tenga en cuenta que

$\vec{r}(\theta)\cdot\hat{\textbf{T}}(\theta) = \big(a\cos\theta\,,\,a\sin\theta\big) \cdot \big(-\sin\theta\,,\cos\theta\big) =0 \nonumber$

de manera que la tangente al círculo en cualquier punto sea perpendicular al vector de radio del círculo en ese punto. Este es otro hecho geométrico que se conoce 6 desde hace miles de años.

Se trata de la Proposición 18 en el Libro 3 de los Elementos de Euclides. Fue publicado alrededor del 300a.C.
##### Ejemplo 1.6.15. Longitud de arco de una hélice

Considera la curva

$\vec{r}(t) = 6\sin(2t)\hat{\pmb{\imath}} + 6\cos(2t)\hat{\pmb{\jmath}} +5t\hat{\mathbf{k}} \nonumber$

donde los vectores de base estándar$$\hat{\pmb{\imath}} = (1,0,0)\text{,}$$$$\hat{\pmb{\jmath}}=(0,1,0)$$ y Primero lo$$\hat{\mathbf{k}} =(0,0,1)\text{.}$$ esbozaremos, observando que

• $$x(t)=6\sin(2t)$$y$$y(t) =6\cos(2t)$$ obedecer

$x(t)^2+y(t)^2 = 36 \sin^2(2t) + 36\cos^2(2t) = 36 \nonumber$

Así que todos los puntos de la curva se encuentran en el cilindro$$x^2+y^2=36$$ y
• a$$t$$ medida que aumenta,$$\big(x(t),y(t)\big)$$ corre en sentido horario alrededor del círculo$$x^2+y^2=36$$ y al mismo tiempo$$z(t) = 5t$$ solo aumenta linealmente.

Nuestra curva es la hélice

Hemos marcado tres puntos de la curva en el boceto anterior. El primero tiene$$t=0$$ y es$$0\hat{\pmb{\imath}}+6\hat{\pmb{\jmath}}+0\hat{\mathbf{k}}\text{.}$$ El segundo tiene$$t=\frac{\pi}{2}$$ y es$$0\hat{\pmb{\imath}}-6\hat{\pmb{\jmath}}+\frac{5\pi}{2}\hat{\mathbf{k}}\text{,}$$ y el tercero tiene$$t=\pi$$ y es Ahora$$0\hat{\pmb{\imath}}+6\hat{\pmb{\jmath}}+5\pi\hat{\mathbf{k}}\text{.}$$ usaremos Lemma 1.6.12 para encontrar una unidad tangente$$\hat{\textbf{T}}(t)$$ a la curva en$$\vec{r}(t)$$ y también la longitud del arco de la parte de curva entre$$t=0$$ y$$t=\pi\text{.}$$

\begin{align*} \vec{r}(t) &= 6\sin(2t)\hat{\pmb{\imath}} + 6\cos(2t)\hat{\pmb{\jmath}} +5t\hat{\mathbf{k}}\\ \vec{r}'(t) &= 12\cos(2t)\hat{\pmb{\imath}} -12\sin(2t)\hat{\pmb{\jmath}} +5\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)&=\big|\vec{r}'(t)\big| =\sqrt{12^2\cos^2(2t) +12^2\sin^2(2t)+5^2} = \sqrt{12^2+5^2}\\ & = 13\\ \hat{\textbf{T}}(t) &= \frac{\vec{r}'(t)}{|\vec{r}'(t))|} = \frac{12}{13}\cos(2t)\hat{\pmb{\imath}} -\frac{12}{13}\sin(2t)\hat{\pmb{\jmath}} +\frac{5}{13}\hat{\mathbf{k}}\\ s(\pi)-s(0)&= \int_{0}^\pi \big|\vec{r}'(t)\big|\,\mathrm{d}{t} =13\pi \end{align*}

##### Ejemplo 1.6.16. Velocidad y aceleración

Imagínese que, en el momento$$t\text{,}$$ una partícula está en

$\vec{r}(t) = \left[h+a\cos\left(2\pi\frac{t}{T}\right)\right]\hat{\pmb{\imath}} +\left[k+a\sin\left(2\pi\frac{t}{T}\right)\right]\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber$

A medida que$$|\vec{r}(t) -h\,\hat{\pmb{\imath}}-k\,\hat{\pmb{\jmath}}| = a\text{,}$$ la partícula corre alrededor del círculo de radio$$a$$ centrado en$$(h,k)\text{.}$$ Cuando$$t$$ aumenta por$$T\text{,}$$ el argumento,$$2\pi\frac{t}{T}\text{,}$$ de$$\cos\left(2\pi\tfrac{t}{T}\right)$$ y$$\sin\left(2\pi\tfrac{t}{T}\right)$$ aumenta exactamente$$2\pi$$ y la partícula corre exactamente una vez alrededor del círculo. En particular, recorre una distancia$$2\pi a\text{.}$$ Así que se mueve a velocidad$$\frac{2\pi a}{T}\text{.}$$ Según Lemma 1.6.13, tiene

\begin{align*} \text{velocity } =\vec{r}'(t) &=-\frac{2\pi a}{T}\sin\left(2\pi\frac{t}{T}\right)\hat{\pmb{\imath}} +\frac{2\pi a}{T}\cos\left(2\pi\frac{t}{T}\right)\hat{\pmb{\jmath}}\\ \text{speed} = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)&=|\vec{r}'(t)|=\frac{2\pi a}{T}\\ \text{acceleration} =\vec{r}''(t) &=-\frac{4\pi^2 a}{T^2}\cos\left(2\pi\frac{t}{T}\right)\hat{\pmb{\imath}} -\frac{4\pi^2 a}{T^2}\sin\left(2\pi\frac{t}{T}\right)\hat{\pmb{\jmath}} \\ &= - \frac{4\pi^2}{T^2}\big[\vec{r}(t) -h\,\hat{\pmb{\imath}}-k\,\hat{\pmb{\jmath}}\big] \end{align*}

Aquí algunas observaciones.

• La velocidad$$\vec{r}'(t)$$ tiene punto producto cero con el$$\vec{r}(t) -h\,\hat{\pmb{\imath}}-k\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}$$ cual es el radio vector desde el centro del círculo hasta la partícula. Entonces la velocidad es perpendicular al vector de radio, y por lo tanto paralela al vector tangente del círculo en$$\vec{r}(t)\text{.}$$
• La velocidad dada por Lemma 1.6.13 es exactamente la velocidad que encontramos arriba, justo antes de comenzar a aplicar Lemma 1.6.13.
• La aceleración$$\vec{r}''(t)$$ apunta en la dirección opuesta al vector de radio.

## Ejercicios

### Etapa 1

Las preguntas 1.6.2.1 a 1.6.2.5 proporcionan práctica con parametrización de curvas. Estar cómodo con el álgebra y la interpretación de estas descripciones son ingredientes esenciales para trabajar eficazmente con parametrizaciones.

##### 1

Considere la siguiente curva parametrizada en el tiempo:

$\vec{r}(t)=\left( \cos\left(\frac{\pi}{4}t\right), (t-5)^2\right) \nonumber$

Enumerar los tres puntos$$(-1/\sqrt{2},0)\text{,}$$$$(1,25)\text{,}$$ y$$(0,25)$$ en orden cronológico.

##### 2

¿En qué puntos del$$xy$$ plano se$$(\sin t, t^2)$$ cruza la curva? ¿Cuál es la diferencia$$t$$ entre la primera vez que la curva cruza un punto y la última?

##### 3

Encuentra la parametrización especificada de la primera parte del cuadrante del círculo$$x^2+y^2=a^2\text{.}$$

1. En cuanto a la$$y$$ coordenada.
2. En cuanto al ángulo entre la línea tangente y el$$x$$ eje positivo.
3. En términos de la longitud del arco desde$$(0,a)\text{.}$$
##### 4

Un círculo de radio$$a$$ rueda a lo largo del$$x$$ eje -en la dirección positiva, comenzando por su centro$$(a,a)\text{.}$$ en En esa posición, marcamos el punto más alto del círculo$$P\text{.}$$ A medida que el círculo se mueve,$$P$$ se mueve con él. $$\theta$$Sea el ángulo que el círculo ha rodado - vea el diagrama a continuación.

1. Dar la posición del centro del círculo en función de$$\theta\text{.}$$
2. Dar la posición de$$P$$ una función de$$\theta\text{.}$$

##### 5

La curva$$C$$ se define como la intersección del elipsoide

$x^2-\frac{1}{4}y^2+3z^2=1 \nonumber$

y el avión

$x+y+z=0. \nonumber$

Cuando$$y$$ está muy cerca de 0, y$$z$$ es negativo, encuentra una expresión dando$$z$$ en términos de$$y\text{.}$$

##### 6

Una partícula traza una curva en el espacio, de modo que su posición en el tiempo$$t$$ es

$\vec{r}(t)=e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}}+\frac{1}{t}\,\hat{\pmb{\jmath}}+(t-1)^2(t-3)^2\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber$

para$$t \gt 0\text{.}$$

Dejar que el$$z$$ eje positivo apunte verticalmente hacia arriba, como es habitual. ¿Cuándo se mueve la partícula hacia arriba y cuándo se mueve hacia abajo? ¿Se mueve más rápido en el momento$$t=1$$ o en el momento$$t=3\text{?}$$

##### 7

A continuación se muestra la gráfica de la función parametrizada$$\vec{r}(t)\text{.}$$ Let$$s(t)$$ be la longitud de arco a lo largo de la curva de$$\vec{r}(0)$$ a$$\vec{r}(t)\text{.}$$

Indicar en la gráfica$$s(t+h)-s(t)$$ y$$\vec{r}(t+h)-\vec{r}(t)\text{.}$$ ¿Las cantidades son escalares o vectores?

##### 8

¿Cuál es la relación entre velocidad y velocidad en una función vectorial del tiempo?

##### 9 ✳

Let$$\vec{r}(t)$$ Ser una función valorada vectorial. Dejar$$\vec{r}'\text{,}$$$$\vec{r}''$$, y$$\vec{r}'''$$ denotar$$\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d} t}\text{,}$$$$\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}{t}^2}\text{,}$$ y$$\frac{\mathrm{d}^3\vec{r}}{\mathrm{d}{t}^3}\text{,}$$ respectivamente. Express

$\frac{d}{dt}\big[ (\vec{r} \times \vec{r}')\cdot\vec{r}'' \big] \nonumber$

en términos de$$\vec{r}\text{,}$$$$\vec{r}'$$,$$\vec{r}''$$, y$$\vec{r}'''\text{.}$$ Seleccione la respuesta correcta.

1. $$\displaystyle (\vec{r}'\times\vec{r}'' )\cdot\vec{r}'''$$
2. $$\displaystyle (\vec{r}'\times\vec{r}'' )\cdot\vec{r} + (\vec{r}\times\vec{r}' )\cdot\vec{r}'''$$
3. $$\displaystyle (\vec{r}\times\vec{r}' )\cdot\vec{r}'''$$
4. $$\displaystyle 0$$
5. Ninguna de las anteriores.

### Etapa 2

##### 10 ✳

Encuentra la velocidad de una partícula con la función de posición dada

$\vec{r}(t) = 5 \sqrt{2}\,t\,\hat{\pmb{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\pmb{\jmath}} - e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber$

Selecciona la respuesta correcta:

1. $$\displaystyle |\vec{v}(t)| = \big(e^{5t} + e^{-5t}\big)$$
2. $$\displaystyle |\vec{v}(t)| = \sqrt{10 + 5e^{t} + 5e^{-t}}$$
3. $$\displaystyle |\vec{v}(t)| = \sqrt{10 + e^{10t} + e^{-10t}}$$
4. $$\displaystyle |\vec{v}(t)| = 5\big(e^{5t} + e^{-5t}\big)$$
5. $$\displaystyle |\vec{v}(t)| = 5\big(e^t + e^{-t}\big)$$
##### 11

Encuentra la velocidad, velocidad y aceleración en el momento$$t$$ de la partícula cuya posición es$$\vec{r}(t)\text{.}$$ Describir la trayectoria de la partícula.

1. $$\displaystyle \vec{r}(t)= a \cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + a\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} + ct\,\hat{\mathbf{k}}$$
2. $$\displaystyle \vec{r}(t)= a \cos t\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} + a\sin^2 t\,\hat{\pmb{\jmath}} + a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}$$
##### 12 ✳
1. Let

$\vec{r}(t) = \left(t^2 , 3, \tfrac{1}{3} t^3 \right) \nonumber$

Encuentra el vector tangente unitario a esta curva parametrizada$$t = 1\text{,}$$ apuntando en la dirección de aumento$$t\text{.}$$
2. Encuentra la longitud del arco de la curva desde (a) entre los puntos$$(0, 3, 0)$$ y$$(1, 3, -\frac{1}{3})\text{.}$$
##### 13

Usando Lemma 1.6.12, encuentra la longitud del arco$$\vec{r}(t)=\left(t,\sqrt{\frac{3}{2}}t^2,t^3\right)$$ de$$t=0$$ a$$t=1\text{.}$$

##### 14

La posición de una partícula en el tiempo$$t$$ viene dada por$$\vec{r}(t)=(t+\sin t, \cos t)$$ 7. Cuál es la magnitud de la aceleración de la partícula en el momento$$t\text{?}$$

La partícula traza un cicloide (ver Pregunta 1.6.2.4)
##### 15 ✳

Una curva en$$\mathbb{R}^3$$ viene dada por la ecuación vectorial$$\vec{r}(t) = \left(2t \cos t, 2t \sin t,\frac{t^3}{3}\right)$$

1. Encuentra la longitud de la curva entre$$t = 0$$ y$$t = 2\text{.}$$
2. Encuentre las ecuaciones paramétricas de la línea tangente a la curva en$$t = \pi\text{.}$$
##### 16 ✳

Dejar$$\vec{r}(t) = \big(3 \cos t, 3 \sin t, 4t\big)$$ ser el vector de posición de una partícula en función del tiempo$$t \ge 0\text{.}$$

1. Encuentra la velocidad de la partícula en función del tiempo$$t\text{.}$$
2. Encuentra la longitud del arco de su camino entre$$t = 1$$ y$$t = 2\text{.}$$
##### 17 ✳

Considera la curva

$\vec{r}(t) = \frac{1}{3}\cos^3 t\,\hat{\pmb{\imath}} +\frac{1}{3} \sin^3 t\,\hat{\pmb{\jmath}} + \sin^3 t\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber$

1. Calcular la longitud del arco de la curva de$$t = 0$$ a$$t = \frac{\pi}{2}\text{.}$$
2. Calcular la longitud del arco de la curva de$$t = 0$$ a$$t = \pi\text{.}$$
##### 18 ✳

Let$$\vec{r}(t)=\big(\frac{1}{3}t^3,\frac{1}{2}t^2,\frac{1}{2}t\big)\text{,}$$$$t\ge 0\text{.}$$ Compute$$s(t$$), la longitud de arco de la curva en el momento$$t\text{.}$$

##### 19 ✳

Encuentra la longitud del arco de la curva$$\vec{r}(t) = \big(t^m\,,\, t^m\,,\, t^{3m/2}\big)$$ para$$0 \le a \le t \le b\text{,}$$ y dónde$$m \gt 0\text{.}$$ Expresa tu resultado en términos de$$m\text{,}$$$$a\text{,}$$ y$$b\text{.}$$

##### 20

Si una partícula tiene una$$m\text{,}$$ posición de masa constante$$\vec{r}\text{,}$$ y se mueve con velocidad$$\vec{v}\text{,}$$, entonces su momento angular es$$\textbf{L}=m(\vec{r}\times\vec{v})\text{.}$$

Para una partícula con función de masa$$m=1$$ y posición$$\vec{r}=(\sin t, \cos t, t)\text{,}$$ encontrar$$\left|\frac{\mathrm{d}\textbf{L}{\mathrm{d}t} \right|\text{.}$$

##### 21 ✳

Considere la curva espacial$$\Gamma$$ cuya ecuación vectorial es

$\vec{r}(t)=t\sin(\pi t)\,\hat{\pmb{\imath}}+t\cos(\pi t)\,\hat{\pmb{\jmath}} +t^2\hat{\mathbf{k}}\,\qquad 0\le t \lt \infty \nonumber$

Esta curva parte del origen y finalmente llega al elipsoide$$E$$ cuya ecuación es$$2x^2+2y^2+z^2=24\text{.}$$

1. Determinar las coordenadas del punto$$P$$ donde$$\Gamma$$ se cruza$$E\text{.}$$
2. Encuentra el vector tangente de$$\Gamma$$ en el punto$$P\text{.}$$
3. ¿Se$$\Gamma$$ cruza$$E$$ en ángulo recto? ¿Por qué o por qué no?
##### 22 ✳

Supongamos que una partícula en el espacio tridimensional viaja con vector de posición$$\vec{r}(t)\text{,}$$ que satisface$$\vec{r}''(t)=-\vec{r}(t)\text{.}$$ Mostrar que la “energía”$$|\vec{r}(t)|^2+|\vec{r}'(t)|^2$$ es constante (es decir, independiente de$$t$$).

### Etapa 3

##### 23 ✳

Una partícula se mueve a lo largo$$\cC$$ de la curva de intersección de las superficies$$z^2=12y$$ y$$18x=yz$$ en dirección ascendente. Cuando la partícula está a$$(1,3,6)$$ su velocidad$$\vec{v}$$ y la aceleración$$\vec{a}$$ están dadas por

$\vec{v} =6\,\hat{\pmb{\imath}}+12\,\hat{\pmb{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}\qquad \vec{a} = 27\,\hat{\pmb{\imath}}+30\,\hat{\pmb{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber$

1. Escribe una ecuación paramétrica vectorial para$$\cC$$ usarla$$u=\frac{z}{6}$$ como parámetro.
2. Encuentra la longitud de$$\cC$$ desde$$(0,0,0)$$ hasta$$(1,3,6)\text{.}$$
3. Si$$u=u(t)$$ es el valor del parámetro para la posición de la partícula en el momento$$t\text{,}$$ encontrar$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$$ cuando la partícula está en$$(1,3,6)\text{.}$$
4. $$\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}t^2}$$Averiguar cuando la partícula está en$$(1,3,6)\text{.}$$
##### 24 ✳

Una partícula de masa$$m = 1$$ tiene posición$$\vec{r}_0 = \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}$$ y velocidad$$\vec{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\pmb{\imath}}$$ a la vez$$0\text{.}$$ Se mueve bajo una fuerza

$\textbf{F}(t) = -3t\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}. \nonumber$

1. Determinar la posición$$\vec{r}(t)$$ de la partícula dependiendo de$$t\text{.}$$
2. ¿En qué momento y tiempo$$t = 0$$ la partícula cruza el avión$$x = 0$$ por primera vez?
3. ¿Cuál es la velocidad de la partícula cuando cruza el plano$$x = 0$$ en la parte (b)?
##### 25 ✳

Dejar$$C$$ ser la curva de intersección de las superficies$$y=x^2$$ y$$z=\frac{2}{3}x^3\text{.}$$ una partícula se mueve junto$$C$$ con velocidad constante de tal manera que$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \gt 0\text{.}$$ La partícula está$$(0,0,0)$$ a la vez$$t=0$$ y está$$(3,9,18)$$ a la vez$$t=\frac{7}{2}\text{.}$$

1. Encuentra la longitud de la parte de$$C$$ entre$$(0,0,0)$$ y$$(3,9,18)\text{.}$$
2. Encuentra la velocidad constante de la partícula.
3. Encuentra la velocidad de la partícula cuando está en$$\big(1,1,\frac{2}{3}\big)\text{.}$$
4. Encuentra la aceleración de la partícula cuando está en$$\big(1,1,\frac{2}{3}\big)\text{.}$$
##### 26

Una cámara montada en un poste puede girar alrededor en un círculo completo. Se trata de rastrear un objeto cuya posición en el tiempo$$t$$ segundos es$$x(t)$$ metros al este del polo, y$$y(t)$$ metros al norte del polo.

Para estar siempre apuntando directamente al objeto, qué tan rápido debe programarse la cámara para que gire en el momento$$t\text{?}$$ (Da tu respuesta en términos de$$x(t)$$ y$$y(t)$$ y sus derivadas, en las unidades rad/seg.)

##### 27

Un proyectil que cae bajo la influencia de la gravedad y ralentizado por la resistencia del aire proporcional a su velocidad tiene posición satisfactoria

$\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-g\hat{\mathbf{k}}-\alpha \frac{d\vec{r}}{dt} \nonumber$

donde$$\alpha$$ es una constante positiva. Si$$\vec{r}=\vec{r}_0$$ y$$\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v}_0$$ en el momento$$t=0\text{,}$$ find$$\vec{r}(t)\text{.}$$ (Pista: Definir$$\textbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\vec{r}}{dt}(t)$$ y sustituir$$\frac{d\vec{r}}{dt}(t)=e^{-\alpha t}\textbf{u}(t)$$ en la ecuación diferencial dada para encontrar una ecuación diferencial para$$\textbf{u}\text{.}$$)

##### 28 ✳

En el momento$$t=0$$ una partícula tiene vectores de posición y velocidad$$\vec{r}(0)=\left \langle -1,0,0 \right \rangle$$ y$$\vec{v}(0)=\left \langle 0,-1,1 \right \rangle\text{.}$$ En$$t\text{,}$$ el momento la partícula tiene vector de aceleración

$\vec{a}(t)=\left \langle \cos t,\sin t,0 \right \rangle \nonumber$

1. Encuentra la posición de la partícula después de$$t$$ segundos.
2. Mostrar que la velocidad y aceleración de la partícula son siempre perpendiculares para cada$$t\text{.}$$
3. Encuentra la ecuación de la línea tangente a la trayectoria de la partícula en$$t=-\pi/2\text{.}$$
4. Verdadero o Falso: Ninguna de las líneas tangentes al camino de la partícula pasa por$$(0,0,0)\text{.}$$ Justifica tu respuesta.
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La posición de una partícula en el tiempo$$t$$ (medida en segundos s) viene dada por

$\vec{r}(t)=t\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)\hat{\pmb{\imath}} +t\sin\left(\frac{\pi t}{2}\right)\hat{\pmb{\jmath}} +t\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber$

1. Demostrar que el camino de la partícula se encuentra en el cono$$z^2=x^2+y^2\text{.}$$
2. Encuentra el vector de velocidad y la velocidad en el momento$$t\text{.}$$
3. Supongamos que en el tiempo$$t=1$$ s la partícula vuela fuera del camino$$L$$ en una línea en la dirección tangente al camino. Encuentra la ecuación de la línea$$L\text{.}$$
4. ¿Cuánto tiempo tarda la partícula en golpear el avión$$x=-1$$ después de que comenzó a moverse a lo largo de la línea recta?$$L\text{?}$$
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1. La curva$$\vec{r}_1(t)=\left \langle 1+t, t^2, t^3 \right \rangle$$ y la$$\vec{r}_2(t)=\left \langle \cos t, \sin t, t \right \rangle$$ intersección en el punto$$P(1,0,0)\text{.}$$ Encuentra el ángulo de intersección entre las curvas en el punto$$P\text{.}$$
2. Encuentra la distancia entre la línea de intersección de los planos$$x+y-z=4$$ y$$2x-z=4$$ y la línea$$\vec{r}(t)=\left \langle t, -1+2t, 1+3t \right \rangle\text{.}$$
1. Cuando decimos$$\vec{r}(t) = \big( x(t), y(t), z(t)\big)\text{,}$$ queremos decir que ese$$\big( x(t), y(t), z(t)\big)$$ es el punto a la cabeza del vector$$\vec{r}(t)$$ cuando su cola está en el origen.
2. Por supuesto, asumimos que la constante$$a\gt 0\text{.}$$
3. Por supuesto, asumimos que la constante$$a\gt 0\text{.}$$
4. Se podría adivinar que$$\Theta$$ es una theta griega mayúscula. Tendrías razón.
5. Las primeras aproximaciones escritas conocidas de$$\pi$$ Egipto y Babilonia, datan de 1900 a 1600 a.C. El primer algoritmo registrado para evaluar rigurosamente$$\pi$$ fue desarrollado por Arquímedes alrededor del 250 a.C. El primer uso del símbolo$$\pi$$ para la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, en impresión fue en 1706 por William Jones.
6. Se trata de la Proposición 18 en el Libro 3 de los Elementos de Euclides. Fue publicado alrededor del 300a.C.

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