2.6: Aproximaciones lineales y error

Una estrategia de uso frecuente y eficaz para construir una comprensión del comportamiento de una función complicada cerca de un punto es aproximarla mediante una función simple. El siguiente conjunto de tales aproximaciones es la tarifa estándar en los cursos de Cálculo I. Véase, por ejemplo, §3.4 en el texto CLP-1.

\[\begin{align*} g(t_0+\Delta t) &\approx g(t_0) &&\text{constant approximation}\\ g(t_0+\Delta t) &\approx g(t_0) +g'(t_0)\,\Delta t &&\text{linear, or tangent line, approximation}\\ g(t_0+\Delta t) &\approx g(t_0) +g'(t_0)\,\Delta t +\tfrac{1}{2} g''(t_0)\,\Delta t^2 &&\text{quadratic approximation} \end{align*}\]

De manera más general, para cualquier número natural\(n\text{,}\) la aproximación

\[\begin{align*} g(t_0+\Delta t) &\approx g(t_0) +g'(t_0)\,\Delta t + \tfrac{1}{2} g''(t_0)\,\Delta t^2 +\cdots+ \tfrac{1}{n!} g^{(n)}(t_0)\,\Delta t^n \end{align*}\]

es conocido como el polinomio Taylor de grado También\(n\text{.}\) puede haber encontrado una fórmula para el error introducido al hacer esta aproximación. El error\(E_n(\Delta t)\) está definido por

\[\begin{align*} g(t_0+\Delta t) &= g(t_0)+g'(t_0)\Delta t+\tfrac{1}{2!}g''(t_0)\Delta t^2 +\cdots +\tfrac{1}{n!}g^{(n)}(t_0) \Delta t^n +E_n(\Delta t) \end{align*}\]

y obedece a ¹

\[ E_n(\Delta t)= \tfrac{1}{(n+1)!}g^{(n+1)}(t_0+c\Delta t) \Delta t^{n+1} \nonumber \]

para algunos (desconocido)\(0\le c\le 1\text{.}\)

Es una cuestión sencilla utilizar estas aproximaciones unidimensionales para generar las aproximaciones multidimensionales análogas. Para introducir las ideas, generaremos la aproximación lineal a una función,\(f(x,y)\text{,}\) de dos variables, cerca del punto\((x_0,y_0)\text{.}\) Definir

\[ g(t) = f\big(x_0+t\,\Delta x\,,\,y_0+t\,\Delta y\big) \nonumber \]

Hemos definido de\(g(t)\) manera que

\[ g(0) = f\big(x_0\,,\,y_0\big)\qquad\text{and}\qquad g(1) = f\big(x_0 + \Delta x\,,\,y_0+\Delta y\big) \nonumber \]

En consecuencia, el establecimiento\(t_0=0\) y\(\Delta t=1\text{,}\)

\[\begin{align*} f\big(x_0+\Delta x\,,\,y_0+\Delta y\big) &=g(1) = g(t_0+\Delta t)\\ &\approx g(t_0) + g'(t_0)\,\Delta t\\ &= g(0) + g'(0) \end{align*}\]

Ahora podemos calcular\(g'(0)\) usando la regla de cadena multivariable de 2.4.2:

\[ g'(t) = \frac{\partial f}{\partial x}\big(x_0+t\,\Delta x\,,\,y_0+t\,\Delta y\big)\,\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\big(x_0+t\,\Delta x\,,\,y_0+t\,\Delta y\big)\,\Delta y \nonumber \]

de manera que,

Ecuación 2.6.1

\[\begin{align*} f\big(x_0+\Delta x\,,\,y_0+\Delta y\big) &\approx f\big(x_0\,,\,y_0\big) + \frac{\partial f}{\partial x}\big(x_0\,,\,y_0\big)\,\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\big(x_0\,,\,y_0\big)\,\Delta y \end{align*}\]

Por supuesto exactamente el mismo procedimiento funciona para funciones de tres o más variables. En particular

Ecuación 2.6.2

\[\begin{align*} &f\big(x_0+\Delta x\,,\,y_0+\Delta y\,,\,z_0 + \Delta z\big)\\ &\hskip0.25in\approx f\big(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big) + \frac{\partial f}{\partial x}\big(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\,\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\big(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\,\Delta y\\ &\hskip2in + \frac{\partial f}{\partial z}\big(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\,\Delta z \end{align*}\]

Si bien estas aproximaciones lineales son bastante simples, tienden a ser bastante decentes siempre\(\Delta x\) y\(\Delta y\) son pequeñas. Consulte la optativa §2.6.1 para una declaración más precisa.

OBSERVACIÓN 2.6.3

Aplicando 2.6.1, con\(\Delta x=x-x_0\) y\(\Delta y = y-y_0\text{.}\) da

\[\begin{align*} f\big(x\,,\,y\big) &\approx f\big(x_0\,,\,y_0\big) + \frac{\partial f}{\partial x}\big(x_0\,,\,y_0\big)\,(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}\big(x_0\,,\,y_0\big)\,(y-y_0) \end{align*}\]

Mirando la parte (b) del Teorema 2.5.1, vemos que esto solo dice que el plano tangente a la superficie\(z=f(x,y)\) en el punto\(\big(x_0\,,\,y_0\,,\,f(x_0,y_0)\big)\) permanece cerca de la superficie cuando\((x,y)\) está cerca de\((x_0,y_0)\text{.}\)

Ejemplo 2.6.4

Let

\[ f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2} \nonumber \]

Entonces

\[\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)&=\frac{1}{2}\,\frac{2x}{\sqrt{x^2+y^2}} & f_x(x_0,y_0)&=\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)&=\frac{1}{2}\,\frac{2y}{\sqrt{x^2+y^2}} & f_y(x_0,y_0)&=\frac{y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}} \end{align*}\]

de modo que la aproximación lineal a\(f(x,y)\) at\((x_0,y_0)\) es

\[\begin{align*} f\big(x_0+\Delta x\,,\,y_0+\Delta y\big) &\approx f\big(x_0\,,\,y_0\big) + f_x\big(x_0\,,\,y_0\big)\,\Delta x + f_y\big(x_0\,,\,y_0\big)\,\Delta y\\ &=\sqrt{x_0^2+y_0^2} + \frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}\,\Delta x + \frac{y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}\,\Delta y \end{align*}\]

Definición 2.6.5

La gente suele escribir\(\Delta f\) para el cambio\(f\big(x_0+\Delta x\,,\,y_0+\Delta y\big) - f\big(x_0\,,\,y_0\big)\) en el valor de\(f\text{.}\) Entonces la aproximación lineal 2.6.1 se convierte

\[\begin{align*} \Delta f &\approx \frac{\partial f}{\partial x}\big(x_0\,,\,y_0\big)\,\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\big(x_0\,,\,y_0\big)\,\Delta y \end{align*}\]

Si quieren enfatizar eso\(\Delta x\text{,}\)\(\Delta y\) y\(\Delta f\) son realmente pequeños (incluso pueden decir “infinitesimal”), escribirán ²\(\mathrm{d}{x}\text{,}\)\(\mathrm{d}{y}\) y\(\mathrm{d}{f}\) en su lugar. En esta notación

\[\begin{align*} \mathrm{d}{f} &\approx \frac{\partial f}{\partial x}\big(x_0\,,\,y_0\big)\,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial f}{\partial y}\big(x_0\,,\,y_0\big)\,\mathrm{d}{y} \end{align*}\]

Definición 2.6.6

Supongamos que deseamos aproximar una cantidad\(Q\) y que la aproximación resulte ser\(Q+\Delta Q\text{.}\) Entonces

• el error absoluto en la aproximación es\(|\Delta Q|\) y
• el error relativo en la aproximación es\(\left|\frac{\Delta Q}{Q}\right|\) y
• el error porcentual en la aproximación es\(100\left|\frac{\Delta Q}{Q}\right|\)

En el Ejemplo 3.4.5 del texto CLP-1 encontramos un valor aproximado para el número\(\sqrt{4.1}\) mediante el uso de una aproximación lineal a la función de variable única\(f(x)=\sqrt{x}\text{.}\) Podemos hacer un uso similar de aproximaciones lineales a funciones multivariables.

Ejemplo 2.6.7

Encuentra un valor aproximado para\(\frac{(0.998)^3}{1.003}\text{.}\)

Solución

Set\(f(x,y) = \dfrac{x^3}{y}\text{.}\) Estamos para encontrar (aproximadamente)\(f(0.998\,,\,1.003)\text{.}\) Podemos encontrar fácilmente

\[\begin{align*} f(1,1) &= \frac{1^3}{1}=1 \end{align*}\]

y desde

\[ \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{3x^2}{y}\qquad \text{and}\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{x^3}{y^2} \nonumber \]

también podemos encontrar fácilmente

\[\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(1,1) &= 3\frac{1^2}{1}=3\\ \frac{\partial f}{\partial y}(1,1) &= 1\frac{1^3}{1^2}=-1 \end{align*}\]

Entonces, configurando\(\Delta x=-0.002\) y\(\Delta y=0.003\text{,}\) tenemos

\[\begin{align*} \frac{0.998^3}{1.003} &=f(0.998\,,\,1.003) =f(1+\Delta x\,,\,1+\Delta y)\\ &\approx f\big(1,1\big) + \frac{\partial f}{\partial x}\big(1,1\big)\,\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\big(1,1\big)\,\Delta y\\ &\approx 1 +3(-0.002)-1(0.003) =0.991 \end{align*}\]

A modo de comparación, la respuesta exacta es\(0.9910389\) a siete decimales.

Ejemplo 2.6.8

Encuentra un valor aproximado para\((4.2)^{1/2} + (26.7)^{1/3} + (256.4)^{1/4}\text{.}\)

Solución

Set\(f(x,y,z) = x^{1/2} + y^{1/3} + z^{1/4}\text{.}\) Estamos para encontrar (aproximadamente)\(f(4.2\,,\,26.7\,,\,256.4)\text{.}\) Podemos encontrar fácilmente

\[\begin{align*} f(4,27,256) &= (4)^{1/2} + (27)^{1/3} + (256)^{1/4} = 2+3+4 =9 \end{align*}\]

y desde

\[ \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2x^{1/2}}\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{3y^{2/3}}\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{1}{4z^{3/4}} \nonumber \]

también podemos encontrar fácilmente

\[\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(4,27,256) &= \frac{1}{2(4)^{1/2}} =\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\\ \frac{\partial f}{\partial y}(4,27,256) &= \frac{1}{3(27)^{2/3}}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{9}\\ \frac{\partial f}{\partial z}(4,27,256) &= \frac{1}{4(256)^{3/4}}=\frac{1}{4}\times\frac{1}{64} \end{align*}\]

Entonces, configurando\(\Delta x=0.2\text{,}\)\(\Delta y=-0.3\text{,}\) y\(\Delta z=0.4\text{,}\) tenemos

\[\begin{align*} &(4.2)^{1/2} + (26.7)^{1/3} + (256.4)^{1/4} =f(4.2\,,\,26.7\,,\,256.4)\\ &\hskip0.5in=f(4+\Delta x\,,\,27+\Delta y\,,\,256+\Delta z)\\ &\hskip0.5in\approx f\big(4,27,256\big) + \frac{\partial f}{\partial x}\big(4,27,256\big)\,\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\big(4,27,256\big)\,\Delta y\\ &\hskip1in + \frac{\partial f}{\partial z}\big(4,27,256\big)\,\Delta z\\ &\hskip0.5in\approx 9 +\frac{0.2}{2\times2}-\frac{0.3}{3\times9} +\frac{0.4}{4\times64} = 9+\frac{1}{20}-\frac{1}{90}+\frac{1}{640}\\ &\hskip0.5in=9.0405 \end{align*}\]

a cuatro decimales. La respuesta exacta es\(9.03980\) a cinco decimales.

Esa es una diferencia de aproximadamente

\[ 100\frac{9.0405-9.0398}{9}\% =0.008\% \nonumber \]

Tenga en cuenta que podríamos haber utilizado las técnicas de aproximación de variable única en el texto CLP-1 para aproximar por separado\((4.2)^{1/2}\text{,}\)\((26.7)^{1/3}\)\((256.4)^{1/4}\) y luego sumar los resultados juntos. Efectivamente lo que hemos hecho aquí es equivalente.

Ejemplo 2.6.9

Un triángulo tiene lados\(a=10.1\) cm y\(b=19.8\) cm los cuales incluyen un ángulo\(35^\circ\text{.}\) Aproximado al área del triángulo.

Solución

El triángulo tiene altura\(h=a\sin\theta\) y por lo tanto tiene área

\[ A(a,b,\theta) = \frac{1}{2} bh =\frac{1}{2} ab\sin\theta \nonumber \]

El\(\sin\theta\) en esta fórmula esconde una trampa explosiva integrada en este problema. Al preparar la aproximación lineal necesitaremos usar la derivada de\(\sin\theta\text{.}\) Pero la derivada estándar\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\sin\theta =\cos\theta\) solo se aplica cuando\(\theta\) se expresa en radianes —no en grados. Ver Advertencia 3.4.23 en el texto CLP-1.

Así que estamos obligados a convertirnos\(35^\circ\) en

\[ 35^\circ = (30+5) \frac{\pi}{180}\ \text{radians} =\Big(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{36}\Big)\ \text{radians} \nonumber \]

Tenemos que computar (aproximadamente)\(A(10.1\,,\,19.8\,,\,\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{36}\big)\text{.}\) Nosotros, por supuesto ³, elegiremos

\[\begin{align*} a_0&=10 & b_0&=20 & \theta_0&=\frac{\pi}{6}\\ \Delta a&=0.1 & \Delta b&=-0.2 & \Delta\theta&=\frac{\pi}{36} \end{align*}\]

A modo de preparación, evaluamos

\[\begin{align*} A\big(a_0,b_0,\theta_0\big) &=\frac{1}{2}a_0b_0\sin\theta_0 =\frac{1}{2}(10)(20)\frac{1}{2}=50\\ \frac{\partial A}{\partial a}\big(a_0,b_0,\theta_0\big) &=\frac{1}{2}b_0\sin\theta_0 =\frac{1}{2}(20)\frac{1}{2} =5\\ \frac{\partial A}{\partial b}\big(a_0,b_0,\theta_0\big) &=\frac{1}{2}a_0\sin\theta_0 =\frac{1}{2}(10)\frac{1}{2} =\frac{5}{2}\\ \frac{\partial A}{\partial \theta}\big(a_0,b_0,\theta_0\big) &=\frac{1}{2}a_0b_0\cos\theta_0 =\frac{1}{2}(10)(20)\frac{\sqrt{3}}{2} = 50\,\sqrt{3} \end{align*}\]

Así que la aproximación lineal da

\[\begin{align*} \text{Area} & = A(10.1\,,\,19.8\,,\,\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{36}\big) = A(a_0+\Delta a\,,\,b_0+\Delta b\,,\,\theta_0+\Delta\theta\big)\\ &\approx A\big(a_0,b_0,\theta_0\big) + \frac{\partial A}{\partial a}\big(a_0,b_0,\theta_0\big)\Delta a + \frac{\partial A}{\partial b}\big(a_0,b_0,\theta_0\big)\Delta b\\ &\hskip1in + \frac{\partial A}{\partial \theta}\big(a_0,b_0,\theta_0\big)\Delta\theta\\ &=50 +5\times 0.1 +\frac{5}{2}\times (-0.2) +50\sqrt{3}\frac{\pi}{36}\\ &=50 +\frac{5}{10} -\frac{5}{10} +50\sqrt{3}\frac{\pi}{36}\\ &=50\left(1+\sqrt{3}\frac{\pi}{36}\right)\\ &\approx 57.56 \end{align*}\]

a dos decimales. La respuesta exacta es\(57.35\) a dos decimales. Nuestra aproximación tiene un error de aproximadamente

\[ 100\ \frac{57.56-57.35}{57.35}\% =0.37\% \nonumber \]

Otro uso práctico de estas aproximaciones lineales es cuantificar cómo los errores cometidos en las cantidades medidas se propagan en cálculos utilizando esas cantidades medidas. Exploremos un poco esta idea reciclando el último ejemplo.

Ejemplo 2.6.10. Ejemplo 2.6.9, continuación

Supongamos que, como en el Ejemplo 2.6.9, estamos intentando determinar el área de un triángulo midiendo las longitudes de dos de sus lados junto con el ángulo entre ellos y luego usando la fórmula

\[ A(a,b,\theta) = \frac{1}{2} ab\sin\theta \nonumber \]

Por supuesto, en el mundo real ⁴, no podemos medir longitudes y ángulos exactamente. Entonces, si necesitamos conocer el área dentro del 1%, la pregunta es: “¿Con qué precisión tenemos que medir las longitudes laterales y el ángulo incluido si queremos que el área que calculamos tenga un error de no más de aproximadamente 1%?”

Llamemos a las longitudes de lado exactas y ángulo incluido\(a_0\text{,}\)\(b_0\) y\(\theta_0\text{,}\) respectivamente, y las longitudes laterales medidas y ángulo incluido\(a_0+\Delta a\text{,}\)\(b_0+\Delta b\) y\(\theta_0+\Delta\theta\text{.}\) So\(\Delta a\text{,}\)\(\Delta b\) y\(\Delta\theta\) representemos los errores en nuestras medidas. Entonces, para 2.6.2, el error en nuestra área computada será aproximadamente

\[\begin{align*} \Delta A &\approx \frac{\partial A}{\partial a}\big(a_0,b_0,\theta_0\big)\,\Delta a + \frac{\partial A}{\partial b}\big(a_0,b_0,\theta_0\big)\,\Delta b + \frac{\partial A}{\partial \theta}\big(a_0,b_0,\theta_0\big)\,\Delta\theta\\ &=\frac{\Delta a}{2} b_0\sin\theta_0 +\frac{\Delta b}{2} a_0\sin\theta_0 +\frac{\Delta \theta}{2} a_0b_0\cos\theta_0 \end{align*}\]

y el porcentaje de error en nuestra área computada será

\[\begin{align*} 100\frac{|\Delta A|}{A(a_0,b_0,\theta_0)} &\approx \left| 100\frac{\Delta a}{a_0} + 100\frac{\Delta b}{b_0} +100\Delta\theta\frac{\cos\theta_0}{\sin\theta_0} \right| \end{align*}\]

Por el triángulo de la desigualdad,\(|u+v|\le |u|+|v|\text{,}\) y el hecho de que\(|uv|=|u|\ |v|\text{,}\)

\[\begin{align*} &\left| 100\frac{\Delta a}{a_0} + 100\frac{\Delta b}{b_0} +100\Delta\theta\frac{\cos\theta_0}{\sin\theta_0} \right|\\ &\hskip1in\le 100\left|\frac{\Delta a}{a_0}\right| + 100\left|\frac{\Delta b}{b_0} \right| +100|\Delta\theta|\ \left|\frac{\cos\theta_0}{\sin\theta_0} \right| \end{align*}\]

Queremos que esto sea menor que\(1\text{.}\)

Por supuesto que no sabemos exactamente qué\(a_0\text{,}\)\(b_0\) y\(\theta_0\) somos. Pero supongamos que estamos seguros de que\(a_0\ge 10\text{,}\)\(b_0\ge 10\) y\(\frac{\pi}{6}\le \theta_0 \le \frac{\pi}{2}\) para que\(\cot\theta_0\le \cot\frac{\pi}{6}=\sqrt{3}\le 2\text{.}\) Entonces

\[\begin{align*} 100\left|\frac{\Delta a}{a_0}\right|&\le 100\left|\frac{\Delta a}{10}\right| = 10\,|\Delta a|\\ 100\left|\frac{\Delta b}{b_0} \right|&\le 100\left|\frac{\Delta b}{10} \right| = 10\,|\Delta b|\\ 100|\Delta\theta|\ \left|\frac{\cos\theta_0}{\sin\theta_0} \right| &\le 100|\Delta\theta|\ 2 =200\,|\Delta\theta| \end{align*}\]

y

\[\begin{gather*} 100\frac{|\Delta A|}{A(a_0,b_0,\theta_0)} \lesssim 10\,|\Delta a| + 10\,|\Delta b| +200\,|\Delta\theta| \end{gather*}\]

Entonces bastará con tener errores de medición\(|\Delta a|\text{,}\)\(|\Delta b|\) y\(|\Delta\theta|\) obedecer

\[ 10\,|\Delta a| + 10\,|\Delta b| +200\,|\Delta\theta| \lt 1 \nonumber \]

Ejemplo 2.6.11

Una pregunta

Supongamos que se miden tres variables con porcentaje de error\(\varepsilon_1,\ \varepsilon_2\) y\(\varepsilon_3\) respectivamente. En otras palabras, si el valor exacto del número variable\(i\) es\(x_i\) y el valor medido del número variable\(i\) es\(x_i+\Delta x_i\) entonces

\[ 100\ \left|\frac{\Delta x_i}{x_i}\right|=\varepsilon_i \nonumber \]

Supongamos además que entonces\(P\) se calcula una cantidad tomando el producto de las tres variables. Entonces el valor exacto de\(P\) es

\[ P(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2x_3 \nonumber \]

y el valor medido es\(P(x_1+\Delta x_1\,,\,x_2+\Delta x_2\,,\,x_3+\Delta x_3)\text{.}\) ¿Cuál es el error porcentual en este valor medido de\(P\text{?}\)

Solución

El error porcentual en el valor medido\(P(x_1+\Delta x_1\,,\,x_2+\Delta x_2\,,\,x_3+\Delta x_3)\) es

\[ 100\ \left|\frac{P(x_1+\Delta x_1\,,\,x_2+\Delta x_2\,,\,x_3+\Delta x_3)-P(x_1,x_2,x_3)} {P(x_1,x_2,x_3)}\right| \nonumber \]

Podemos obtener una expresión aproximada mucho más simple para este error porcentual, que es lo suficientemente bueno para prácticamente todas las aplicaciones, aplicando

\[\begin{align*} P(x_1+\Delta &x_1\,,\,x_2+\Delta x_2\,,\,x_3+\Delta x_3)\\ &\approx P(x_1,x_2,x_3) +P_{x_1}(x_1,x_2,x_3)\,\Delta x_1 +P_{x_2}(x_1,x_2,x_3)\,\Delta x_2\\ &\hskip1in+P_{x_3}(x_1,x_2,x_3)\,\Delta x_3 \end{align*}\]

Las tres derivadas parciales son

\[\begin{alignat*}{4} P_{x_1}(x_1,x_2,x_3)&=\frac{\partial }{\partial x_1}\big[x_1x_2x_3\big] &=x_2x_3\cr P_{x_2}(x_1,x_2,x_3)&=\frac{\partial }{\partial x_2}\big[x_1x_2x_3\big] &=x_1x_3\cr P_{x_3}(x_1,x_2,x_3)&=\frac{\partial }{\partial x_3}\big[x_1x_2x_3\big] &=x_1x_2 \end{alignat*}\]

Entonces

\[\begin{align*} &P(x_1+\Delta x_1\,,\,x_2+\Delta x_2\,,\,x_3+\Delta x_3)\\ &\hskip1in\approx P(x_1,x_2,x_3) +x_2x_3\,\Delta x_1+x_1x_3\,\Delta x_2+x_1x_2\,\Delta x_3 \end{align*}\]

y el error porcentual (aproximado) en\(P\) es

\[\begin{align*} &100\ \left| \frac{P(x_1+\Delta x_1,x_2+\Delta x_2,x_3+\Delta x_3)-P(x_1,x_2,x_3)}{P(x_1,x_2,x_3)} \right|\\ &\hskip0.5in \approx 100\ \left| \frac{x_2x_3\Delta x_1+x_1x_3\Delta x_2+x_1x_2\Delta x_3}{P(x_1,x_2,x_3)} \right|\\ &\hskip0.5in =100\ \left|\frac{x_2x_3\Delta x_1+x_1x_3\Delta x_2+x_1x_2\Delta x_3}{x_1x_2x_3}\right|\\ &\hskip0.5in=\left|100\frac{\Delta x_1}{x_1}+100\frac{\Delta x_2}{x_2} +100\frac{\Delta x_3}{x_3}\right|\\ &\hskip0.5in\le \varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3 \end{align*}\]

De manera más general, si tomamos un producto de\(n\text{,}\) más que tres, variables el error porcentual en el producto se convierte como máximo (aproximadamente)\(\sum\limits_{i=1}^n\varepsilon_i\). Esta es la base de la regla general del experimentalista que cuando tomas productos, los errores porcentuales agregan.

Aún más generalmente, si tomamos un “producto”\(\prod_{i=1}^n x_i^{m_i}\text{,}\) el error porcentual en el “producto” se vuelve como máximo (aproximadamente)\(\sum\limits_{i=1}^n|m_i|\varepsilon_i\)

Aproximación cuadrática y límites de error

Recordemos que, en el texto CLP-1, comenzamos con la aproximación constante, luego la mejoramos a la aproximación lineal agregando en términos de grado uno, luego mejoramos eso a la aproximación cuadrática agregando en términos de grado dos, y así sucesivamente. Aquí podemos hacer lo mismo. Una vez más, establecer

\[ g(t) = f\big(x_0+t\,\Delta x\,,\,y_0+t\,\Delta y\big) \nonumber \]

y recordemos que

\[ g(0) = f\big(x_0\,,\,y_0\big)\qquad\text{and}\qquad g(1) = f\big(x_0 + \Delta x\,,\,y_0+\Delta y\big) \nonumber \]

Ahora veremos lo que la aproximación cuadrática

\[ g(t_0+\Delta t) \approx g(t_0) +g'(t_0)\,\Delta t +\tfrac{1}{2} g''(t_0)\,\Delta t^2 \nonumber \]

y la fórmula exacta correspondiente (véase (3.4.32) en el texto CLP-1)

\[ g(t_0+\Delta t) = g(t_0) +g'(t_0)\,\Delta t +\tfrac{1}{2} g''(t_0+c\Delta t)\,\Delta t^2 \qquad\text{for some } 0\le c\le 1 \nonumber \]

nos habla de Ya\(f\text{.}\) hemos encontrado, usando la regla de la cadena, que

\[ g'(t) = \frac{\partial f}{\partial x}\big(x_0+t\,\Delta x\,,\,y_0+t\,\Delta y\big)\,\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\big(x_0+t\,\Delta x\,,\,y_0+t\,\Delta y\big)\,\Delta y \nonumber \]

Ahora necesitamos evaluar Escribir\(g''(t)\text{.}\) temporalmente\(f_1=\frac{\partial f}{\partial x}\) y\(f_2=\frac{\partial f}{\partial y}\) para que

\[ g'(t) = f_1\big(x_0+t\,\Delta x\,,\,y_0+t\,\Delta y\big)\,\Delta x + f_2\big(x_0+t\,\Delta x\,,\,y_0+t\,\Delta y\big)\,\Delta y \nonumber \]

Entonces tenemos, nuevamente usando la regla de la cadena,

\[\begin{align*} &\frac{d}{dt}\left[f_1\big(x_0+t\,\Delta x\,,\,y_0+t\,\Delta y\big)\right]\\ &=\frac{\partial f_1}{\partial x}\big(x_0+t\,\Delta x\,,\,y_0+t\,\Delta y\big) \,\Delta x +\frac{\partial f_1}{\partial y} \big(x_0+t\,\Delta x\,,\,y_0+t\,\Delta y\big) \,\Delta y\\ & =\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(x_0+t\,\Delta x\,,\,y_0+t\,\Delta y\big) \,\Delta x +\frac{\partial^2\ f}{\partial y\partial x} \big(x_0+t\,\Delta x\,,\,y_0+t\,\Delta y\big) \,\Delta y \tag{$*$} \end{align*}\]

y

\[\begin{align*} &\frac{d}{dt}\left[f_2\big(x_0+t\,\Delta x\,,\,y_0+t\,\Delta y\big)\right]\\ &=\frac{\partial f_2}{\partial x}\big(x_0+t\,\Delta x\,,\,y_0+t\,\Delta y\big) \,\Delta x +\frac{\partial f_2}{\partial y} \big(x_0+t\,\Delta x\,,\,y_0+t\,\Delta y\big) \,\Delta y\\ & =\frac{\partial^2\ f}{\partial x\partial y} \big(x_0+t\,\Delta x\,,\,y_0+t\,\Delta y\big) \,\Delta x +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \big(x_0+t\,\Delta x\,,\,y_0+t\,\Delta y\big) \,\Delta y \tag{$**$} \end{align*}\]

Sumando\(\Delta x\) tiempos\((*)\) a\(\Delta y\) tiempos\((**)\) y recordando que\(\frac{\partial^2\ f}{\partial y\partial x} =\frac{\partial^2\ f}{\partial x\partial y}\text{,}\) da

\[\begin{align*} g''(t) &= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(x_0+t\,\Delta x\,,\,y_0+t\,\Delta y\big) \,\Delta x^2\\ &\hskip0.5in +2\frac{\partial^2\ f}{\partial x\partial y} \big(x_0+t\,\Delta x\,,\,y_0+t\,\Delta y\big) \,\Delta x\Delta y\\ &\hskip1in+ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(x_0+t\,\Delta x\,,\,y_0+t\,\Delta y\big) \,\Delta y^2 \end{align*}\]

Ahora el ajuste\(t_0=0\) y\(\Delta t=1\text{,}\) la aproximación cuadrática

\[\begin{align*} f\big(x_0 + \Delta x\,,\,y_0+\Delta y\big) &=g(1)\approx g(0) +g'(0) +\tfrac{1}{2} g''(0) \end{align*}\]

es

Ecuación 2.6.12

\[\begin{align*} &f\big(x_0 + \Delta x\,,\,y_0+\Delta y\big)\\ &\hskip0.25in\approx f\big(x_0\,,\,y_0\big) + \frac{\partial f}{\partial x}\big(x_0\,,\,y_0\big)\,\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\big(x_0\,,\,y_0\big)\,\Delta y\\ &\hskip0.5in +\frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(x_0,y_0\big)\,\Delta x^2 +2\frac{\partial^2\ f}{\partial x\partial y} \big(x_0,y_0\big) \,\Delta x\Delta y + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(x_0,y_0\big)\,\Delta y^2 \right\} \end{align*}\]

y la fórmula exacta correspondiente

\[\begin{align*} f\big(x_0 + \Delta x\,,\,y_0+\Delta y\big) &=g(1) = g(0) +g'(0) +\tfrac{1}{2} g''(c) \end{align*}\]

es

Ecuación 2.6.13

\[\begin{align*} &f\big(x_0 + \Delta x\,,\,y_0+\Delta y\big)\\ &\hskip0.25in= f\big(x_0\,,\,y_0\big) + \frac{\partial f}{\partial x}\big(x_0\,,\,y_0\big)\,\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\big(x_0\,,\,y_0\big)\,\Delta y\\ &\hskip0.5in +\frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(\vec{r}(c)\big)\,\Delta x^2 +2\frac{\partial^2\ f}{\partial x\partial y} \big(\vec{r}(c)\big) \,\Delta x\Delta y + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(\vec{r}(c)\big)\,\Delta y^2 \right\} \end{align*}\]

donde\(\vec{r}(c) = \big(x_0+c\,\Delta x\,,\,y_0+c\,\Delta y\big)\) y\(c\) es algún número (desconocido) satisfactorio\(0\le c\le 1\text{.}\)

Ecuación 2.6.14

Si podemos encuadernar los segundos derivados

\[ \left|\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(\vec{r}(c)\big)\right|\ ,\ \left|\frac{\partial^2\ f}{\partial x\partial y} \big(\vec{r}(c)\big)\right|\ ,\ \left|\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(\vec{r}(c)\big)\right|\le M \nonumber \]

podemos masajear 2.6.13 en la forma

\[\begin{align*} &\left|f\big(x_0 + \Delta x\,,\,y_0+\Delta y\big) -\Big\{f\big(x_0\,,\,y_0\big) + \frac{\partial f}{\partial x}\big(x_0\,,\,y_0\big)\,\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\big(x_0\,,\,y_0\big)\,\Delta y\Big\}\right|\\ &\hskip 3.2in \le \frac{M}{2}\big(|\Delta x|^2 +2|\Delta x|\,|\Delta y| +|\Delta y|^2\big) \end{align*}\]

¿Por qué podríamos querer hacer esto? El lado izquierdo de 2.6.14 es exactamente el error en la aproximación lineal 2.6.1. Entonces el lado derecho es un límite riguroso sobre el error en la aproximación lineal.

Ejemplo 2.6.15. Ejemplo 2.6.7, continuación

Supongamos que nos aproximamos\(\frac{(0.998)^3}{1.003}\) como en el Ejemplo 2.6.7 y queremos un límite riguroso en la aproximación. Podemos conseguir un límite tan riguroso aplicando 2.6.13. Set

\[ f(x,y)=\frac{x^3}{y} \nonumber \]

y

\[ x_0=1\qquad \Delta x=-0.002\qquad y_0=1\qquad \Delta y=0.003 \nonumber \]

Entonces la respuesta exacta es\(f\big(x_0 + \Delta x\,,\,y_0+\Delta y\big)\) y la respuesta aproximada es\(f\big(x_0\,,\,y_0\big) + \frac{\partial f}{\partial x}\big(x_0\,,\,y_0\big)\,\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\big(x_0\,,\,y_0\big)\,\Delta y\text{,}\) tal que, para 2.6.13, el error en la aproximación es exactamente

\[\begin{gather*} \frac{1}{2}\left| \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(\vec{r}(c)\big)\,\Delta x^2 +2\frac{\partial^2\ f}{\partial x\partial y} \big(\vec{r}(c)\big) \,\Delta x\Delta y + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(\vec{r}(c)\big)\,\Delta y^2 \right| \end{gather*}\]

con\(\vec{r}(c) = \big(1-0.002 c\,,\,1+0.0003 c\big)\) para algunos, desconocido,\(0\le c\le 1\text{.}\) Para nuestra función\(f\)

\[\begin{align*} f(x,y)&=\frac{x^3}{y} & \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)&=\frac{3 x^2}{y} & \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)&=-\frac{x^3}{y^2}\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)&=\frac{6 x}{y} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)&=-\frac{3 x^2}{y^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)&=\frac{2 x^3}{y^3} \end{align*}\]

No sabemos qué\(\vec{r}(c)=\big(1-0.002 c\,,\,1+0.0003 c\big)\) es. Pero sabemos eso\(0\le c\le 1\text{,}\) así que definitivamente sabemos que el\(x\) componente de\(\vec{r}(c)\) es más pequeño que\(1\) y el\(y\) componente de\(\vec{r}(c)\) es más grande\(1\text{.}\) que So

\[\begin{align*} \left|\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(\vec{r}(c)\big)\right|&\le 6 & \left|\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\big(\vec{r}(c)\big)\right|&\le 3 & \left|\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(\vec{r}(c)\big)\right|&\le 2 \end{align*}\]

y

\[\begin{align*} \text{error} &\le \frac{1}{2}\left[6\Delta x^2 +2\times 3 |\Delta x\,\Delta y| +2\Delta y^2\right]\\ &\le 3(0.002)^2 + 3(0.002)(0.003) +(0.003)^2\\ &= 0.000039 \end{align*}\]

A modo de comparación, el error exacto es 0.0000389, a siete decimales.

Ejemplo 2.6.16

En este ejemplo, encontramos la aproximación cuadrática de\(f(x,y)=\sqrt{1+4x^2+y^2}\) at\((x_0,y_0)=(1,2)\) y la usamos para calcular aproximadamente\(f(1.1\,,\,2.05)\text{.}\) Sabemos que necesitaremos todas las derivadas parciales hasta el orden 2, así que primero las calculamos y evaluamos en\((x_0,y_0)=(1,2)\text{.}\)

\[\begin{align*} f(x,y)&=\sqrt{1+4x^2+y^2} & f(x_0,y_0)&=3\\ f_x(x,y)&=\frac{4x}{\sqrt{1+4x^2+y^2}} & f_x(x_0,y_0)&=\frac{4}{3}\\ f_y(x,y)&=\frac{y}{\sqrt{1+4x^2+y^2}} & f_y(x_0,y_0)&=\frac{2}{3}\\ f_{xx}(x,y)&=\frac{4}{\sqrt{1+4x^2+y^2}} -\frac{16x^2}{[1+4x^2+y^2]^{3/2}} & f_{xx}(x_0,y_0)&=\frac{4}{3} -\frac{16}{27}\\ &&&=\frac{20}{27}\\ f_{xy}(x,y)&=-\frac{4xy}{[1+4x^2+y^2]^{3/2}} & f_{xy}(x_0,y_0)&= -\frac{8}{27}\\ f_{yy}(x,y)&=\frac{1}{\sqrt{1+4x^2+y^2}} -\frac{y^2}{[1+4x^2+y^2]^{3/2}} & f_{yy}(x_0,y_0)&=\frac{1}{3} -\frac{4}{27}\\ &&&=\frac{5}{27} \end{align*}\]

Ahora solo los sustituimos en 2.6.12 para conseguir que la aproximación cuadrática a\(f\) aproximadamente\((x_0,y_0)\) es

\[\begin{align*} &f\big(x_0+\Delta x\,,\,y_0+\Delta y\big)\\ &\hskip0.5in \approx f(x_0, y_0) +f_x(x_0, y_0)\Delta x+f_y(x_0, y_0)\Delta y \cr &\hskip1.0in +\frac{1}{2}\bigg[f_{xx}(x_0, y_0)\Delta x^2 +2f_{xy}(x_0, y_0)\Delta x\Delta y +f_{yy}(x_0, y_0)\Delta y^2\bigg] \cr &\hskip0.5in= 3+\frac{4}{3} \Delta x+\frac{2}{3}\Delta y +\frac{10}{27}\Delta x^2 -\frac{8}{27}\Delta x\Delta y+\frac{5}{54}\Delta y^2 \end{align*}\]

En particular, con\(\Delta x=0.1\) y\(\Delta y=0.05\text{,}\)

\[\begin{align*} f(1.1\,,\,2.05)&\approx 3 \!+\!\frac{4}{3} (0.1)\!+\!\frac{2}{3}(0.05) \!+\!\frac{10}{27}(0.01) \!-\!\frac{8}{27}(0.005)\!+\!\frac{5}{54}(0.0025)\\ &=3.1691 \end{align*}\]

El valor real, a cuatro decimales, es\(3.1690\text{.}\) El error porcentual es de aproximadamente 0.004\%.

Ejemplo 2.6.17

En este ejemplo, encontramos la aproximación cuadrática de\(f(x,y)=e^{2x}\sin(3y)\) aproximadamente\((x_0,y_0)=(0,0)\) de dos maneras diferentes.

La primera forma utiliza la fórmula enlatada 2.6.12. Calculamos todas las derivadas parciales hasta el orden 2 en\((x_0,y_0)\text{.}\)

\[\begin{align*} f(x,y)&= e^{2x}\sin(3y) & f(x_0,y_0)&=0\\ f_x(x,y)&= 2e^{2x}\sin(3y) & f_x(x_0,y_0)&=0\\ f_y(x,y)&= 3e^{2x}\cos(3y) & f_y(x_0,y_0)&=3\\ f_{xx}(x,y)&=4e^{2x}\sin(3y) & f_{xx}(x_0,y_0)&=0\\ f_{xy}(x,y)&=6e^{2x}\cos(3y) & f_{xy}(x_0,y_0)&= 6\\ f_{yy}(x,y)&=-9e^{2x}\sin(3y) &\qquad f_{yy}(x_0,y_0)&=0 \end{align*}\]

Entonces la aproximación cuadrática a\(f\) aproximadamente\((0,0)\) es

\[\begin{align*} f\big(x\,,\,y\big) & \approx f(x, y) +f_x(x, y) x+f_y(0, 0)y\\ &\hskip1in+\frac{1}{2}\bigg[f_{xx}(0, 0)x^2 +2f_{xy}(0, 0) x y +f_{yy}(0, 0) y^2\bigg]\\ &=3y+6xy \end{align*}\]

Eso es bastante simple — solo computar un montón de derivados parciales y sustituirlos en la fórmula 2.6.12.

Pero también hay un método más furtivo, y muchas veces computacionalmente más eficiente, para obtener el mismo resultado. Explota las expansiones de Taylor de variable única

\[\begin{align*} e^{x}&=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots\\ \sin y &=y - \frac{1}{3!}y^3+\cdots \end{align*}\]

Sustituir\(x\) por\(2x\) en el primero y\(y\) por\(3y\) en el segundo y multiplicar los dos juntos, haciendo un seguimiento solo de términos de grado como máximo dos, da

\[\begin{align*} f(x,y)&= e^{2x}\sin(3y)\cr &= \Big[1+(2x)+\frac{1}{2!}(2x)^2+\cdots\Big] \Big[(3y) - \frac{1}{3!}(3y)^3+\cdots\Big]\\ &= \Big[1+2x+2x^2+\cdots\Big] \Big[3y - \frac{9}{2}y^3+\cdots\Big]\\ &= 3y+6xy+6x^2y+\cdots - \frac{9}{2}y^3- 9xy^3- 9x^2y^3+\cdots\\ &=3y + 6xy + \cdots \end{align*}\]

al igual que en el primer cómputo.

Opcional — Taylor Polynomials

Acabamos de encontrar aproximaciones lineales y cuadráticas a la función\(f(x,y)\text{,}\) para\((x,y)\) cerca del punto\((x_0,y_0)\text{.}\) En CLP-1, encontramos no sólo aproximaciones lineales y cuadráticas, sino de hecho toda una jerarquía de aproximaciones. Para cada entero\(n\ge 0\text{,}\) se\(x=a\) definió el\(n^\mathrm{th}\) grado polinomio Taylor para\(f(x)\) aproximadamente, en la Definición 3.4.11 del texto CLP-1, para ser

\[\begin{gather*} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} f^{(k)}(a) \cdot (x-a)^k \end{gather*}\]

Ahora definiremos, y encontraremos, el polinomio Taylor de grado\(n\) para la función\(f(x,y)\) sobre\((x,y)=(x_0,y_0)\text{.}\) Va a ser un polinomio de grado\(n\) en\(\Delta x\) y\(\Delta y\text{.}\) El polinomio más general de este tipo es

\[ T_n(\Delta x,\Delta y) =\sum_{\ell,m\ge 0\\ \ell+m\le n} a_{\ell,m}\ (\Delta x)^\ell (\Delta y)^m \nonumber \]

\(a_{\ell,m}\)siendo constantes todos los coeficientes. Los coeficientes específicos para el polinomio Taylor están determinados por el requisito de que todas las derivadas parciales de\(T_n(\Delta x,\Delta y)\) at\(\Delta x=\Delta y=0\) sean las mismas que las derivadas parciales correspondientes de\(f\big(x_0 + \Delta x\,,\,y_0+\Delta y\big)\) at\(\Delta x=\Delta y=0\text{.}\)

A modo de preparación para nuestro cómputo de las derivadas de\(T_n(\Delta x,\Delta y)\text{,}\) considerar

\[\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}t^4&=4t^3 & \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{t}^2}t^4&=(4)(3)t^2 & \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}{t}^3}t^4&=(4)(3)(2)t\\ \frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}{t}^4}t^4&=(4)(3)(2)(1)=4! & \frac{\mathrm{d}^5}{\mathrm{d}{t}^5}t^4&=0 & \frac{\mathrm{d}^6}{\mathrm{d}{t}^6}t^4&=0 \end{align*}\]

y

\[\begin{align*} \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}t^4\right|_{t=0}&=0 & \left.\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{t}^2}t^4\right|_{t=0}&=0 & \left.\frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}{t}^3}t^4\right|_{t=0}&=0\\ \left.\frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}{t}^4}t^4\right|_{t=0}&=4! & \left.\frac{\mathrm{d}^5}{\mathrm{d}{t}^5}t^4\right|_{t=0}&=0 & \left.\frac{\mathrm{d}^6}{\mathrm{d}{t}^6}t^4\right|_{t=0}&=0 \end{align*}\]

De manera más general, para cualquier número natural\(p\text{,}\)\(m\text{,}\)

\[ \frac{\mathrm{d}^p}{\mathrm{d}{t}^p} t^m = \begin{cases} m(m-1)\cdots(m-p+1) t^{m-p} &\text {if } p\le m \\ 0 &\text{if }p \gt m \end{cases} \nonumber \]

para que

\[ \left.\frac{\mathrm{d}^p}{\mathrm{d}{t}^p} t^m\right|_{t=0} = \begin{cases} m! &\text {if } p = m \\ 0 &\text{if } p\ne m \end{cases} \nonumber \]

En consecuencia

\[ \left.\frac{\partial^p}{\partial (\Delta x)^p}\frac{\partial^q}{\partial (\Delta y)^q} (\Delta x)^\ell (\Delta y)^m\right|_{\Delta x=\Delta y=0} =\begin{cases} \ell!\,m! &\text {if $p = \ell$ and $q=m$} \\ 0 &\text{if $p\ne\ell$ or $q\ne m$} \end{cases} \nonumber \]

y

\[\begin{align*} \frac{\partial^{p+q}\ \ T_n}{\partial (\Delta x)^p\, \partial (\Delta y)^q}(0,0) &=\sum_{\ell,m\ge 0\\ \ell+m\le n} a_{\ell,m}\ \left.\frac{\partial^p}{\partial (\Delta x)^p}\frac{\partial^q}{\partial (\Delta y)^q} (\Delta x)^\ell (\Delta y)^m\right|_{\Delta x=\Delta y=0}\\ &=\begin{cases} p!\,q!\,a_{p,q} &\text {if } p+q\le n \\ 0 &\text{if } p+q \gt n \end{cases} \end{align*}\]

Nuestro requisito de que los derivados de\(f\) y\(T_n\) coincidan es el requisito de que, para todos\(p+q\le n\text{,}\)

\[\begin{align*} \frac{\partial^{p+q}\ \ T_n}{\partial (\Delta x)^p\, \partial (\Delta y)^q}(0,0) &=\frac{\partial^{p+q}\ }{\partial (\Delta x)^p\, \partial (\Delta y)^q} f\big(x_0 + \Delta x\,,\,y_0+\Delta y\big)\Big|_{\Delta x=\Delta y=0}\\ &=\frac{\partial^{p+q}\ f}{\partial x^p\, \partial y^q}(x_0,y_0) \end{align*}\]

Este requisito da

\[ p!\,q!\,a_{p,q} = \frac{\partial^{p+q}\ f}{\partial x^p\, \partial y^q}(x_0,y_0) \nonumber \]

Entonces el polinomio Taylor de grado\(n\) para la función\(f(x,y)\) acerca\((x,y)=(x_0,y_0)\) es el lado derecho de

Ecuación 2.6.18

\[\begin{align*} f\big(x_0 + \Delta x\,,\,y_0+\Delta y\big) &\approx \sum_{\ell,m\ge 0\\ \ell+m\le n} \frac{1}{\ell!\ m!}\ \frac{\partial^{\ell+m}\ f}{\partial x^\ell\,\partial y^m}(x_0,y_0)\ (\Delta x)^\ell (\Delta y)^m \end{align*}\]

Esto es para funciones,\(f(x,y)\text{,}\) de dos variables. Hay extensiones naturales de esto para funciones de cualquier número (finito) de variables. Por ejemplo, el polinomio Taylor de grado\(n\) para una función,\(f(x,y,z)\text{,}\) de tres variables es el lado derecho de

\[\begin{align*} &f\big(x_0 + \Delta x\,,\,y_0+\Delta y\,,\,z_0+\Delta z\big)\\ &\hskip1in\approx \sum_{k,\ell,m\ge 0\\ k+\ell+m\le n} \frac{1}{k!\ \ell!\ m!}\ \frac{\partial^{k+\ell+m}\ f} {\partial x^k\,\partial y^\ell\,\partial z^m}(x_0,y_0,z_0)\ (\Delta x)^k (\Delta y)^\ell (\Delta z)^m \end{align*}\]

Ejercicios

Etapa 1

1

Dejar\(x_0\) y\(y_0\) ser constantes y dejar\(m\) y\(n\) ser enteros. Si\(m \lt 0\) asuma eso\(x_0\ne 0\text{,}\) y si\(n \lt 0\) asuma que\(y_0\ne 0\text{.}\) Definir\(P(x,y) = x^m y^n\text{.}\)

1. Encuentra la aproximación lineal a\(P(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\text{.}\)
2. Denotar por

   \[\begin{align*} P_\% &= 100\left|\frac{P(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-P(x_0,y_0)}{P(x_0,y_0)}\right|\\ x_\% &= 100\left|\frac{\Delta x}{x_0}\right|\\ y_\% &= 100\left|\frac{\Delta y}{y_0}\right| \end{align*}\]

   los errores porcentuales en\(P\text{,}\)\(x\) y\(y\) respectivamente. Utilice la aproximación lineal para encontrar un límite superior (aproximado)\(P_\%\) en términos de\(m\text{,}\)\(n\text{,}\)\(x_\%\) y\(y_\%\text{.}\)

2

Considera el siguiente trabajo.

Calculamos, aproximadamente, la\(y\) coordenada -del punto cuyas coordenadas polares son\(r=0.9\) y\(\theta=2^\circ\text{.}\) En general, la\(y\) coordenada -del punto cuyas coordenadas polares son\(r\) y\(\theta\) es\(Y(r,\theta) = r\sin\theta\text{.}\) Las derivadas parciales

\[ Y_r(r,\theta)=\sin\theta\qquad Y_\theta(r,\theta) = r\cos\theta \nonumber \]

Entonces la aproximación lineal a\(Y(r_0+\Delta r,\ theta_0+\ Delta\ theta)\) con\(r_0=1\) y\(\theta_0=0\) es

\[\begin{align*} Y(1+\Delta r,0+\Delta\theta) &\approx Y(1,0) + Y_r(1,0)\,\Delta r + Y_\theta(1,0)\,\Delta\theta\\ &= 0\ +\ (0)\,\Delta r\ +\ (1)\Delta\theta \end{align*}\]

Aplicando esto con\(\Delta r=-0.1\) y\(\Delta\theta=2\) da la\(y\) coordenada (aproximada)

\[\begin{gather*} Y(0.9,2) = Y(1-0.1\,,\, 0+2)\approx 0\ +\ (0)\,(-0.1)\ +\ (1)(2) =2 \end{gather*}\]

Esta conclusión es ridícula. Estamos diciendo que la\(y\) coordenada -es más del doble de la distancia desde el punto hasta el origen. ¿Cuál fue el error?

Etapa 2

3

Encuentra un valor aproximado para\(f(x,y)=\sin(\pi xy+\ln y)\) at\((0.01,1.05)\) sin usar una calculadora o computadora.

4 ✳

Deje\(\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+2y^2}\text{.}\) Encontrar un valor aproximado para\(f (-0.9\,,\, 1.1)\) sin usar una calculadora o computadora.

5

Cuatro números, cada uno al menos cero y cada uno como máximo 50, se redondean al primer decimal y luego se multiplican juntos. Estimar el máximo error posible en el producto calculado.

6 ✳

Un lado de un triángulo rectángulo se mide para estar\(3\) con un error máximo posible de\(\pm 0.1\text{,}\) y el otro lado se mide para estar\(4\) con un error máximo posible de\(\pm 0.2\text{.}\) Usar la aproximación lineal para estimar el máximo error posible en el cálculo de la longitud de la hipotenusa de el triángulo rectángulo.

7 ✳

Si dos resistencias de resistencia\(R_1\) y\(R_2\) están cableadas en paralelo, entonces la resistencia resultante R satisface la ecuación\(\frac{1}{R} =\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\text{.}\) Usar la aproximación lineal para estimar el cambio en\(R\) si\(R_1\) disminuye de\(2\) a\(1.9\) ohmios y\(R_2\) aumenta de 8 a 8.1 ohmios.

8

La resistencia total\(R\) de tres resistencias,\(R_1\text{,}\)\(R_2\text{,}\)\(R_3\text{,}\) conectadas en paralelo está determinada por

\[ \frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3} \nonumber \]

Si las resistencias, medidas en Ohmios, son\(R_1=25\Omega\text{,}\)\(R_2=40\Omega\) y\(R_3=50\Omega\text{,}\) con un posible error de 0.5\% en cada caso, estime el error máximo en el valor calculado de\(R\text{.}\)

9

La gravedad específica\(S\) de un objeto viene dada por\(\ S=\frac{A}{A-W}\ \) dónde\(A\) está el peso del objeto en el aire y\(W\) es el peso del objeto en el agua. Si\(\ A=20\pm .01\ \) y\(\ W=12\pm.02\ \) encuentra el error porcentual aproximado en el cálculo\(S\) a partir de las mediciones dadas.

10 ✳

La presión en un sólido viene dada por

\[ P(s,r) = sr(4s^2 - r^2 - 2) \nonumber \]

donde\(s\) está el calor específico y\(r\) es la densidad. Esperamos que la medida\((s,r)\) sea aproximadamente\((2,2)\) y nos gustaría tener el valor más preciso para\(P\text{.}\) Hay dos formas diferentes de medir\(s\) y\(r\text{.}\) Método\(1\) tiene un error en\(s\) de\(\pm 0.01\) y un error en\(r\) de\(\pm 0.1\text{,}\) tiempo método 2 tiene un error de\(\pm 0.02\) para ambos\(s\) y\(r\text{.}\)

¿Deberíamos usar el método 1 o el método 2? Explica tu razonamiento con detenimiento.

11

Una viga rectangular que se soporta en sus dos extremos y se somete a una carga uniforme se hunde en una cantidad

\[ S=C\frac{p\ell^4}{w h^3} \nonumber \]

donde\(p={\rm load}\text{,}\)\(\ell={\rm length}\text{,}\)\(h={\rm height}\text{,}\)\(w={\rm width}\) y\(C\) es una constante. Supongamos\(p\approx 100\text{,}\)\(\ell\approx 4\text{,}\)\(w\approx .1\) y\(h\approx.2\text{.}\) Será el pandeo de la viga más sensible a los cambios en la altura de la viga o a los cambios en el ancho de la viga.

12 ✳

Let\(z=f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}\text{.}\) Encuentra un valor aproximado para\(f(-0.8,2.1)\text{.}\)

13 ✳

Supongamos que una función\(z = f (x, y)\) está implícitamente definida por una ecuación:

\[ xyz + x + y^2 + z^3 = 0 \nonumber \]

1. Encuentra\(\frac{\partial z}{\partial x}\text{.}\)
2. Si\(f(-1, 1) \lt 0\text{,}\) encuentra la aproximación lineal de la función\(z = f (x, y)\) en\((-1, 1)\text{.}\)
3. Si se\(f(-1, 1) \lt 0\text{,}\) utiliza la aproximación lineal en (b) para aproximar\(f(-1.02, 0.97)\text{.}\)

14 ✳

\(z = f(x,y)\)Déjese dar implícitamente por

\[ e^z + yz = x + y. \nonumber \]

1. Encuentra el diferencial\(\mathrm{d}{z}\text{.}\)
2. Usar aproximación lineal en el punto\((1,0)\) a aproximar\(f(0.99,0.01)\text{.}\)

15 ✳

Dos lados y el ángulo cerrado de un triángulo se miden para ser\(3\pm.1\) m,\(4\pm.1\) m y\(90\pm 1^\circ\) respectivamente. Luego se calcula la longitud del tercer lado usando la ley del coseno\(C^2=A^2+B^2-2AB\cos\theta\text{.}\) ¿Cuál es el error máximo aproximado en el valor calculado de\(C\text{?}\)

16 ✳

Utilice diferenciales para encontrar una aproximación razonable al valor de\(f(x,y)=xy\sqrt{x^2+y^2}\) at\(x=3.02\text{,}\)\(y=3.96\text{.}\) Tenga en cuenta que\(3.02\approx 3\) y\(3.96\approx 4\text{.}\)

17 ✳

Utilice diferenciales para estimar el volumen de metal en una lata metálica cerrada con diámetro 8cm y altura 12cm si el metal tiene 0.04cm de espesor.

18 ✳

\(z\)Sea una función de\(x\text{,}\)\(y\) tal que

\[ z^3 - z + 2xy - y^2 = 0,\qquad z(2, 4) = 1. \nonumber \]

1. Encuentra la aproximación lineal a\(z\) en el punto\((2, 4)\text{.}\)
2. Usa tu respuesta en (a) para estimar el valor de\(z\) at\((2.02, 3.96)\text{.}\)

Etapa 3

19 ✳

Considere la superficie dada por:

\[ z^3 - xyz^2 - 4x = 0. \nonumber \]

1. Buscar expresiones para\(\frac{\partial z}{\partial x}\text{,}\)\(\frac{\partial z}{\partial y}\) funciones de\(x\text{,}\)\(y\text{,}\)\(z\text{.}\)
2. Evaluar\(\frac{\partial z}{\partial y}\text{,}\)\(\frac{\partial z}{\partial y}\) en\((1, 1, 2)\text{.}\)
3. Las mediciones se realizan con errores, de manera que\(x = 1 \pm 0.03\) y\(y = 1 \pm 0.02\text{.}\) Encuentra el error máximo correspondiente en la medición\(z\text{.}\)
4. Una partícula se mueve sobre la superficie a lo largo de la trayectoria cuya proyección en el\(xy\) plano —se da en términos del ángulo\(\theta\) como

   \[ x(\theta) = 1 + \cos\theta,\ y(\theta) = \sin\theta \nonumber \]

   del punto\(A : x = 2,\ y = 0\) al punto\(B : x = 1,\ y = 1\text{.}\) Encuentra\(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta}\) en puntos\(A\) y\(B\text{.}\)

20 ✳

Considere la función\(f\) que mapea cada punto\((x, y)\) en\(\mathbb{R}^2\)\(ye^{-x}\text{.}\)

1. Supongamos que\(x = 1\) y\(y = e\text{,}\) pero\(0.1\) se cometen errores de tamaño al medir cada uno de\(x\) y\(y\text{.}\) Estimar el error máximo que esto podría causar en\(f(x,y)\text{.}\)
2. El gráfico de la función\(f\) se asienta en\(\mathbb{R}^3\), y el punto\((1, e, 1)\) se encuentra en esa gráfica. Encuentra un vector distinto de cero que sea perpendicular a esa gráfica en ese punto.

21 ✳

Una superficie se define implícitamente por\(z^4 - xy^2 z^2 + y = 0\text{.}\)

1. Calcular\(\frac{\partial z}{\partial x}\text{,}\)\(\frac{\partial z}{\partial y}\) en términos de\(x\text{,}\)\(y\text{,}\)\(z\text{.}\)
2. Evaluar\(\frac{\partial z}{\partial x}\) y\(\frac{\partial z}{\partial y}\) en\((x, y, z) = (2, -1/2, 1)\text{.}\)
3. Si\(x\) disminuye de\(2\) a\(1.94\text{,}\) y\(y\) aumenta de\(-0.5\) para\(-0.4\text{,}\) encontrar el cambio aproximado en\(z\) de\(1\text{.}\)
4. Encuentra la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto\((2, -1/2, 1)\text{.}\)

22 ✳

Una superficie\(z = f (x, y)\) tiene derivados\(\frac{\partial f}{\partial x}=3\) y\(\frac{\partial f}{\partial y}=-2\) en\((x, y, z) = (1, 3, 1)\text{.}\)

1. Si\(x\) aumenta de\(1\) a\(1.2\text{,}\) y\(y\) disminuye de\(3\) para\(2.6\text{,}\) encontrar el cambio en el\(z\) uso de una aproximación lineal.
2. Encuentra la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto\((1, 3, 1)\text{.}\)

23 ✳

Según la ecuación de van der Waal, un gas satisface la ecuación

\[ (pV^2 + 16)(V - 1) = T V^2 , \nonumber \]

donde\(p\text{,}\)\(V\) y\(T\) denotan presión, volumen y temperatura respectivamente. Supongamos que el gas está ahora en\(1\text{,}\) volumen de presión\(2\) y temperatura\(5\text{.}\) Encuentra el cambio aproximado en su volumen si\(p\) se incrementa en\(0.2\) y\(T\) se incrementa en\(0.3\text{.}\)

24 ✳

Considera la función\(f(x, y) = e^{-x^2 +4y^2}\text{.}\)

1. Encuentra la ecuación del plano tangente a la gráfica\(z = f (x,y)\) en el punto donde\((x, y) = (2, 1)\text{.}\)
2. Encuentre la aproximación del plano tangente al valor de\(f(1.99, 1.01)\) usar el plano tangente de la parte (a).

25 ✳

Let\(z = f (x, y) = \ln(4x^2 + y^2)\text{.}\)

1. Usar una aproximación lineal de la función\(z = f (x, y)\) en\((0, 1)\) para estimar\(f(0.1, 1.2)\text{.}\)
2. Encontrar un punto\(P (a, b, c)\) en la gráfica de\(z = f(x, y)\) tal manera que el plano tangente a la gráfica de\(z = f (x, y)\) en el punto\(P\) es paralelo al plano\(2x + 2y - z = 3\text{.}\)

26 ✳

1. Encuentra la ecuación del plano tangente a la superficie\(x^2 z^3 + y \sin(\pi x) = -y^2\) en el punto\(P = (1,1,-1)\text{.}\)
2. \(z\)Déjese definir implícitamente por\(x^2 z^3 + y \sin(\pi x) = -y^2\text{.}\) Find\(\frac{\partial z}{\partial x}\) en el punto\(P = (1,1,-1)\text{.}\)
3. Dejar\(z\) ser la misma función implícita que en la parte (ii), definida por la ecuación\(x^2 z^3 + y \sin(\pi x) = -y^2\text{.}\) Let\(x = 0.97\text{,}\) y\(y = 1\text{.}\) Find el valor aproximado de\(z\text{.}\)

27 ✳

La superficie\(x^4+y^4+z^4+xyz=17\) pasa a través\((0,1,2)\text{,}\) y cerca de este punto la superficie determina\(x\) como una función,\(x=F(y,z)\text{,}\) de\(y\) y\(z\text{.}\)

1. Encuentra\(F_y\) y\(F_z\) en\((x,y,z)=(0,1,2)\text{.}\)
2. Utilice la aproximación del plano tangente (también conocida como aproximación lineal, de primer orden o diferencial) para encontrar el valor aproximado de\(x\) (cerca\(0\)) tal que\((x,1.01, 1.98)\) se encuentra en la superficie.

1. Es posible que lo hayas visto escrito como\(E_n(x)=\tfrac{1}{(n+1)!}g^{(n+1)}(c) (x-a)^{n+1}\)
2. No tomes demasiado en serio la notación\(\mathrm{d}{x}\) o la terminología “infinitesimal”. Sólo se pretende señalar “muy pequeña”.
3. Hay otras opciones posibles. Por ejemplo, podríamos escribir\(35^\circ=45^\circ-10^\circ\text{.}\) Para obtener una buena aproximación tratamos de hacer lo más pequeña\(\Delta\theta\) posible, manteniendo la aritmética razonablemente simple.
4. Por supuesto en nuestro “mundo real” todo el mundo usa el cálculo.