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LibreTexts Español

1.6: Integración a lo largo de una curva

  • Page ID
    118965
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    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Supongamos que tenemos una curva\(\mathcal{C}\) que está parametrizada como\(\vecs{r} (t)\) con\(a\le t\le b\text{.}\) Supongamos además que en realidad\(\mathcal{C}\) es un trozo de alambre y que la densidad (es decir, masa por unidad de longitud) del alambre en el punto\(\vecs{r} \) es\(\rho(\vecs{r} )\text{.}\) ¿Cómo averiguamos la masa\(\mathcal{C}\text{?}\) de Por supuesto que utilizar la estrategia estándar de Dividir y conquistar Cálculo. Seleccionamos un número natural\(n\) y

    • dividir el intervalo\(a\le t\le b\) en subintervalos\(n\) iguales, cada uno de longitud\(\Delta t=\frac{b-a}{n}\text{.}\) Denotamos por\(t_\ell = a + \ell\Delta t\) el extremo derecho del número de intervalo\(\ell\text{.}\)
    • Luego aproximamos la longitud de la parte de la curva entre\(\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)\) y\(\vecs{r} \big(t_\ell\big)\) por\(\big|\vecs{r} \big(t_\ell\big)-\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)\big|\) y la masa de la parte de la curva entre\(\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)\) y\(\vecs{r} \big(t_\ell\big)\) por\(\rho\big(\vecs{r} (t_\ell)\big) \big|\vecs{r} \big(t_\ell\big)-\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)\big|\text{.}\)
      parCurveL.svg
    • Esto nos da, como masa aproximada para\(\mathcal{C}\) de

      \[ \sum_{\ell=1}^n \rho\big(\vecs{r} (t_\ell)\big) \big|\vecs{r} \big(t_\ell\big)-\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)\big| =\sum_{\ell=1}^n \rho\big(\vecs{r} (t_\ell)\big) \bigg|\frac{\vecs{r} \big(t_\ell\big)-\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)} {t_\ell-t_{\ell-1}}\bigg|\Delta t \nonumber \]

    Entonces tomamos el límite como\(n\rightarrow\infty\text{.}\) Suponiendo 1 que\(\vecs{r} (t)\) es continuamente diferenciable y que\(\rho(\vecs{r} )\) es continuo obtenemos

    \[ \text{Mass of } \mathcal{C} = \int_a^b \rho\big(\vecs{r} (t)\big) \left|\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\right|\,\text{d}t \nonumber \]

    que tomamos como definición.

    Definición 1.6.1
    1. Para una curva parametrizada\(\big(x(t),y(t), z(t)\big)\text{,}\)\(a\le t\le b\text{,}\) en\(\mathbb{R}^3\) que llamamos\(\mathcal{C}\text{,}\) y para una función\(f(x,y,z)\text{,}\) definimos

      \[ \int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\text{d}s =\int_a^b f\big(x(t), y(t) , z(t) \big)\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\ \text{d}t \nonumber \]

      En esta notación el subíndice\(\mathcal{C}\) especifica la curva, y\(\text{d}s\) significa longitud de arco.
    2. Por una curva\(y=f(x)\text{,}\)\(a\le x\le b\text{,}\) en la\(\mathbb{R}^2\) que llamamos\(C\text{,}\) y para una función\(g(x,y)\text{,}\) definimos

      \[ \int_C g(x,y)\,\text{d}s =\int_a^b g\big(x, f(x) \big)\sqrt{1+f'(x)^2}\ \text{d}x \nonumber \]

    Ejemplo 1.6.2

    Supongamos que tenemos un alambre helicoidal 2

    \[ \vecs{r} (t) = \big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big) =\big(a\cos t\,,\,a\sin t\,,\, bt\big)\qquad 0\le t\le 2\pi \nonumber \]

    y que este alambre tiene densidad de masa constante\(\rho\text{.}\) Vamos a encontrar el centro de masa del alambre. Recordemos que el centro de masa es\(\big(\bar x,\bar y,\bar z)\) con, por ejemplo,\(\bar x\) ser el promedio ponderado

    \[ \bar x = \frac{\int x\rho \text{d}s}{\int \rho\text{d}s} = \frac{\int x \text{d}s}{\int \text{d}s} \qquad\text{(since $\rho$ is constant)} \nonumber \]

    de\(x\) sobre el cable. Similarmente\(\bar y = \frac{\int y \text{d}s}{\int \text{d}s}\) y\(\bar z = \frac{\int z \text{d}s}{\int \text{d}s} \text{.}\) Para la curva dada

    \[\begin{align*} \big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big) &=\big(a\cos t\,,\,a\sin t\,,\, bt\big)\\ \big(x'(t)\,,\,y'(t)\,,\,z'(t)\big) &=\big(-a\sin t\,,\,a\cos t\,,\, b\big)\\ \dfrac{ds}{dt}(t) &=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\\ &=\sqrt{a^2\sin^2t+a^2\cos^2t+b^2}\\ &=\sqrt{a^2+b^2} \end{align*}\]

    para que

    \[\begin{align*} \bar x &= \frac{\int x \text{d}s}{\int \text{d}s} = \frac{\int_0^{2\pi} x(t) \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} {\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} = \frac{\int_0^{2\pi} a\cos(t) \,\text{d}t}{2\pi} =0\\ \bar y &= \frac{\int y \text{d}s}{\int \text{d}s} = \frac{\int_0^{2\pi} y(t) \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} {\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} = \frac{\int_0^{2\pi} a\sin(t) \,\text{d}t}{2\pi} =0\\ \bar z &= \frac{\int z \text{d}s}{\int \text{d}s} = \frac{\int_0^{2\pi} z(t) \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} {\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} = \frac{\int_0^{2\pi} bt \,\text{d}t}{2\pi} =\frac{b}{2\pi}\Big[\frac{t^2}{2}\Big]_0^{2\pi} =b\pi \end{align*}\]

    Entonces el centro de masa está justo sobre el eje de la hélice, a mitad de camino hacia arriba, lo que tiene perfecto sentido.

    Ejercicios

    Etapa 1

    1

    Dar una ecuación para la longitud de arco de una curva\(C\) como una integral de línea.

    2
    1. Mostrar que la integral\(\int_\mathcal{C} f(x,y)\,ds\) a lo largo de la curva\(\mathcal{C}\) dada en coordenadas polares por\(r=r(\theta)\text{,}\)\(\theta_1\le \theta\le\theta_2\text{,}\) es

      \[ \int_{\theta_1}^{\theta_2}f\big(r(\theta)\cos\theta, r(\theta)\sin\theta\big) \sqrt{r(\theta)^2+\left(\dfrac{dr}{d\theta}(\theta)\right)^2}\, \text{d}\theta \nonumber \]

    2. Calcular la longitud del arco de\(r=1+\cos\theta,\ 0\le \theta\le 2\pi\text{.}\) Puede usar la fórmula

      \[ 1+\cos\theta=2\cos^2\frac{\theta}{2} \nonumber \]

      para simplificar el cómputo.

    Etapa 2

    3

    Calcular de\(\int_C \left(\frac{xy}{z}\right)\text{d}s\text{,}\) dónde\(C\) está la curva\(\left( \frac23t^3 , \sqrt{3}t^2 , 3t \right)\) de\(t=1\) a\(t=2\text{.}\)

    4

    Un aro de radio\(r\) traza la curva\(x^2+y^2=1\text{,}\) donde\(x\) y\(y\) se miden en metros. En un punto\((x,y)\text{,}\) su densidad es de\(x^2\) kg por metro. ¿Cuál es la masa del aro?

    5

    Calcular\(\int_C (xy+z) \text{d}s\) dónde\(C\) está la línea recta de\((1,2,3)\) a\((2,4,5)\text{.}\)

    6

    Evaluar el camino integral\(\int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\text{d}s\) para

    1. \(f(x,y,z)=x\cos z\text{,}\)\(\mathcal{C}:\vecs{r} (t)=t\hat{\pmb{\imath}}+t^2\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\)\(0\le t\le 1\text{.}\)
    2. \(f(x,y,z)=\frac{x+y}{y+z}\text{,}\)\(\mathcal{C}:\vecs{r} (t)= \big(t,\frac{2}{3}t^{3/2},t\big)\text{,}\)\(1\le t\le 2\text{.}\)
    7

    Evaluar\(\int_C \sin x\,\text{d}s\text{,}\) dónde\(C\) está la curva\((\textrm{arcsec}(t), \ln t)\text{,}\)\(1 \le t \le \sqrt{2}\text{.}\)

    8.

    Una partícula de masa\(m = 1\) tiene posición\(\vecs{r} (0) = \hat{\pmb{\jmath}}\) y velocidad\(\vecs{v} _0 = \hat{\pmb{\imath}} + \hat{\mathbf{k}}\) en\(t = 0\text{.}\) el tiempo La partícula se mueve bajo una fuerza

    \[ \vecs{F} (t) = \hat{\pmb{\jmath}} - \sin t\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

    donde\(t\) denota tiempo.

    1. Encuentra la posición\(\vecs{r} (t)\) de la partícula en función de\(t\text{.}\)
    2. Encuentra la posición\(\vecs{r} (t_1)\) de la partícula cuando cruza el avión\(x = \pi/2\) por primera vez en\(t_1\text{.}\)
    3. Determinar el trabajo realizado\(\vecs{F} \) al mover la partícula de\(\vecs{r} (0)\) a\(\vecs{r} (t_1)\text{.}\)

    Etapa 3

    9.

    Evaluar la integral de línea\(\int_C \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}s\) donde\(\vecs{F} (x,y) = xy^2 \,\hat{\pmb{\imath}} + ye^x \,\hat{\pmb{\jmath}}\),\(C\) es el límite del rectángulo\(R\text{:}\)\(0 \le x \le 3\text{,}\)\(-1 \le y \le 1\text{,}\) y\(\hat{\textbf{n}}\) es el vector unitario, normal a\(C\text{,}\) apuntar hacia el exterior del rectángulo.

    10.

    Dejar\(\mathcal{C}\) ser la curva dada por

    \[ \vecs{r} (t)=t\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+t\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}+t^2\,\hat{\mathbf{k}},\qquad 0\le t\le \pi \nonumber \]

    1. Encuentra la unidad tangente\(\hat{\textbf{T}}\) a\(\mathcal{C}\) en el punto\((-\pi,0,\pi^2)\text{.}\)
    2. Calcular la integral de línea

      \[ \int_\mathcal{C} \sqrt{x^2+y^2}\ \text{d}s \nonumber \]

    3. Encontrar la ecuación de una superficie lisa en\(3\) -espacio que contiene la curva\(\mathcal{C}\text{.}\)
    4. Croquis de la curva\(\mathcal{C}\text{.}\)
    11

    Un cable traza una trayectoria\(C\) descrita por la curva\((t+\frac12t^2 , t-\frac12t^2 , \frac{4}{3}\,t^{3/2})\text{,}\)\(0 \leq t \leq 4\text{.}\) Su densidad en el punto\((x,y,z)\) es\(\rho(x,y,z)={\left( \frac{x+y}{2}\right)}\text{.}\) Encontrar su centro de masa.

    1. Podríamos relajar un poco estas condiciones asumiendo que\(\vecs{r} '(t)\) y\(\rho(t)\) están delimitadas y son continuas excepto en un número finito de puntos. (no es\(\vecs{r} '(t)\) necesario existir en absoluto en esos puntos.)
    2. Por ejemplo, tu solenoide o resorte favorito o slinky.

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