1.6: Integración a lo largo de una curva
- Page ID
- 118965
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Supongamos que tenemos una curva\(\mathcal{C}\) que está parametrizada como\(\vecs{r} (t)\) con\(a\le t\le b\text{.}\) Supongamos además que en realidad\(\mathcal{C}\) es un trozo de alambre y que la densidad (es decir, masa por unidad de longitud) del alambre en el punto\(\vecs{r} \) es\(\rho(\vecs{r} )\text{.}\) ¿Cómo averiguamos la masa\(\mathcal{C}\text{?}\) de Por supuesto que utilizar la estrategia estándar de Dividir y conquistar Cálculo. Seleccionamos un número natural\(n\) y
- dividir el intervalo\(a\le t\le b\) en subintervalos\(n\) iguales, cada uno de longitud\(\Delta t=\frac{b-a}{n}\text{.}\) Denotamos por\(t_\ell = a + \ell\Delta t\) el extremo derecho del número de intervalo\(\ell\text{.}\)
- Luego aproximamos la longitud de la parte de la curva entre\(\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)\) y\(\vecs{r} \big(t_\ell\big)\) por\(\big|\vecs{r} \big(t_\ell\big)-\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)\big|\) y la masa de la parte de la curva entre\(\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)\) y\(\vecs{r} \big(t_\ell\big)\) por\(\rho\big(\vecs{r} (t_\ell)\big) \big|\vecs{r} \big(t_\ell\big)-\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)\big|\text{.}\)
- Esto nos da, como masa aproximada para\(\mathcal{C}\) de
\[ \sum_{\ell=1}^n \rho\big(\vecs{r} (t_\ell)\big) \big|\vecs{r} \big(t_\ell\big)-\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)\big| =\sum_{\ell=1}^n \rho\big(\vecs{r} (t_\ell)\big) \bigg|\frac{\vecs{r} \big(t_\ell\big)-\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)} {t_\ell-t_{\ell-1}}\bigg|\Delta t \nonumber \]
Entonces tomamos el límite como\(n\rightarrow\infty\text{.}\) Suponiendo 1 que\(\vecs{r} (t)\) es continuamente diferenciable y que\(\rho(\vecs{r} )\) es continuo obtenemos
\[ \text{Mass of } \mathcal{C} = \int_a^b \rho\big(\vecs{r} (t)\big) \left|\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\right|\,\text{d}t \nonumber \]
que tomamos como definición.
- Para una curva parametrizada\(\big(x(t),y(t), z(t)\big)\text{,}\)\(a\le t\le b\text{,}\) en\(\mathbb{R}^3\) que llamamos\(\mathcal{C}\text{,}\) y para una función\(f(x,y,z)\text{,}\) definimos
\[ \int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\text{d}s =\int_a^b f\big(x(t), y(t) , z(t) \big)\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\ \text{d}t \nonumber \]
En esta notación el subíndice\(\mathcal{C}\) especifica la curva, y\(\text{d}s\) significa longitud de arco. - Por una curva\(y=f(x)\text{,}\)\(a\le x\le b\text{,}\) en la\(\mathbb{R}^2\) que llamamos\(C\text{,}\) y para una función\(g(x,y)\text{,}\) definimos
\[ \int_C g(x,y)\,\text{d}s =\int_a^b g\big(x, f(x) \big)\sqrt{1+f'(x)^2}\ \text{d}x \nonumber \]
Supongamos que tenemos un alambre helicoidal 2
\[ \vecs{r} (t) = \big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big) =\big(a\cos t\,,\,a\sin t\,,\, bt\big)\qquad 0\le t\le 2\pi \nonumber \]
y que este alambre tiene densidad de masa constante\(\rho\text{.}\) Vamos a encontrar el centro de masa del alambre. Recordemos que el centro de masa es\(\big(\bar x,\bar y,\bar z)\) con, por ejemplo,\(\bar x\) ser el promedio ponderado
\[ \bar x = \frac{\int x\rho \text{d}s}{\int \rho\text{d}s} = \frac{\int x \text{d}s}{\int \text{d}s} \qquad\text{(since $\rho$ is constant)} \nonumber \]
de\(x\) sobre el cable. Similarmente\(\bar y = \frac{\int y \text{d}s}{\int \text{d}s}\) y\(\bar z = \frac{\int z \text{d}s}{\int \text{d}s} \text{.}\) Para la curva dada
\[\begin{align*} \big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big) &=\big(a\cos t\,,\,a\sin t\,,\, bt\big)\\ \big(x'(t)\,,\,y'(t)\,,\,z'(t)\big) &=\big(-a\sin t\,,\,a\cos t\,,\, b\big)\\ \dfrac{ds}{dt}(t) &=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\\ &=\sqrt{a^2\sin^2t+a^2\cos^2t+b^2}\\ &=\sqrt{a^2+b^2} \end{align*}\]
para que
\[\begin{align*} \bar x &= \frac{\int x \text{d}s}{\int \text{d}s} = \frac{\int_0^{2\pi} x(t) \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} {\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} = \frac{\int_0^{2\pi} a\cos(t) \,\text{d}t}{2\pi} =0\\ \bar y &= \frac{\int y \text{d}s}{\int \text{d}s} = \frac{\int_0^{2\pi} y(t) \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} {\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} = \frac{\int_0^{2\pi} a\sin(t) \,\text{d}t}{2\pi} =0\\ \bar z &= \frac{\int z \text{d}s}{\int \text{d}s} = \frac{\int_0^{2\pi} z(t) \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} {\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} = \frac{\int_0^{2\pi} bt \,\text{d}t}{2\pi} =\frac{b}{2\pi}\Big[\frac{t^2}{2}\Big]_0^{2\pi} =b\pi \end{align*}\]
Entonces el centro de masa está justo sobre el eje de la hélice, a mitad de camino hacia arriba, lo que tiene perfecto sentido.
Ejercicios
Etapa 1
Dar una ecuación para la longitud de arco de una curva\(C\) como una integral de línea.
- Mostrar que la integral\(\int_\mathcal{C} f(x,y)\,ds\) a lo largo de la curva\(\mathcal{C}\) dada en coordenadas polares por\(r=r(\theta)\text{,}\)\(\theta_1\le \theta\le\theta_2\text{,}\) es
\[ \int_{\theta_1}^{\theta_2}f\big(r(\theta)\cos\theta, r(\theta)\sin\theta\big) \sqrt{r(\theta)^2+\left(\dfrac{dr}{d\theta}(\theta)\right)^2}\, \text{d}\theta \nonumber \]
- Calcular la longitud del arco de\(r=1+\cos\theta,\ 0\le \theta\le 2\pi\text{.}\) Puede usar la fórmula
\[ 1+\cos\theta=2\cos^2\frac{\theta}{2} \nonumber \]
para simplificar el cómputo.
Etapa 2
Calcular de\(\int_C \left(\frac{xy}{z}\right)\text{d}s\text{,}\) dónde\(C\) está la curva\(\left( \frac23t^3 , \sqrt{3}t^2 , 3t \right)\) de\(t=1\) a\(t=2\text{.}\)
Un aro de radio\(r\) traza la curva\(x^2+y^2=1\text{,}\) donde\(x\) y\(y\) se miden en metros. En un punto\((x,y)\text{,}\) su densidad es de\(x^2\) kg por metro. ¿Cuál es la masa del aro?
Calcular\(\int_C (xy+z) \text{d}s\) dónde\(C\) está la línea recta de\((1,2,3)\) a\((2,4,5)\text{.}\)
Evaluar el camino integral\(\int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\text{d}s\) para
- \(f(x,y,z)=x\cos z\text{,}\)\(\mathcal{C}:\vecs{r} (t)=t\hat{\pmb{\imath}}+t^2\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\)\(0\le t\le 1\text{.}\)
- \(f(x,y,z)=\frac{x+y}{y+z}\text{,}\)\(\mathcal{C}:\vecs{r} (t)= \big(t,\frac{2}{3}t^{3/2},t\big)\text{,}\)\(1\le t\le 2\text{.}\)
Evaluar\(\int_C \sin x\,\text{d}s\text{,}\) dónde\(C\) está la curva\((\textrm{arcsec}(t), \ln t)\text{,}\)\(1 \le t \le \sqrt{2}\text{.}\)
✳
Una partícula de masa\(m = 1\) tiene posición\(\vecs{r} (0) = \hat{\pmb{\jmath}}\) y velocidad\(\vecs{v} _0 = \hat{\pmb{\imath}} + \hat{\mathbf{k}}\) en\(t = 0\text{.}\) el tiempo La partícula se mueve bajo una fuerza
\[ \vecs{F} (t) = \hat{\pmb{\jmath}} - \sin t\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
donde\(t\) denota tiempo.
- Encuentra la posición\(\vecs{r} (t)\) de la partícula en función de\(t\text{.}\)
- Encuentra la posición\(\vecs{r} (t_1)\) de la partícula cuando cruza el avión\(x = \pi/2\) por primera vez en\(t_1\text{.}\)
- Determinar el trabajo realizado\(\vecs{F} \) al mover la partícula de\(\vecs{r} (0)\) a\(\vecs{r} (t_1)\text{.}\)
Etapa 3
✳
Evaluar la integral de línea\(\int_C \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}s\) donde\(\vecs{F} (x,y) = xy^2 \,\hat{\pmb{\imath}} + ye^x \,\hat{\pmb{\jmath}}\),\(C\) es el límite del rectángulo\(R\text{:}\)\(0 \le x \le 3\text{,}\)\(-1 \le y \le 1\text{,}\) y\(\hat{\textbf{n}}\) es el vector unitario, normal a\(C\text{,}\) apuntar hacia el exterior del rectángulo.
✳
Dejar\(\mathcal{C}\) ser la curva dada por
\[ \vecs{r} (t)=t\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+t\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}+t^2\,\hat{\mathbf{k}},\qquad 0\le t\le \pi \nonumber \]
- Encuentra la unidad tangente\(\hat{\textbf{T}}\) a\(\mathcal{C}\) en el punto\((-\pi,0,\pi^2)\text{.}\)
- Calcular la integral de línea
\[ \int_\mathcal{C} \sqrt{x^2+y^2}\ \text{d}s \nonumber \]
- Encontrar la ecuación de una superficie lisa en\(3\) -espacio que contiene la curva\(\mathcal{C}\text{.}\)
- Croquis de la curva\(\mathcal{C}\text{.}\)
Un cable traza una trayectoria\(C\) descrita por la curva\((t+\frac12t^2 , t-\frac12t^2 , \frac{4}{3}\,t^{3/2})\text{,}\)\(0 \leq t \leq 4\text{.}\) Su densidad en el punto\((x,y,z)\) es\(\rho(x,y,z)={\left( \frac{x+y}{2}\right)}\text{.}\) Encontrar su centro de masa.
- Podríamos relajar un poco estas condiciones asumiendo que\(\vecs{r} '(t)\) y\(\rho(t)\) están delimitadas y son continuas excepto en un número finito de puntos. (no es\(\vecs{r} '(t)\) necesario existir en absoluto en esos puntos.)
- Por ejemplo, tu solenoide o resorte favorito o slinky.