Saltar al contenido principal

# 1.6: Integración a lo largo de una curva

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Supongamos que tenemos una curva$$\mathcal{C}$$ que está parametrizada como$$\vecs{r} (t)$$ con$$a\le t\le b\text{.}$$ Supongamos además que en realidad$$\mathcal{C}$$ es un trozo de alambre y que la densidad (es decir, masa por unidad de longitud) del alambre en el punto$$\vecs{r}$$ es$$\rho(\vecs{r} )\text{.}$$ ¿Cómo averiguamos la masa$$\mathcal{C}\text{?}$$ de Por supuesto que utilizar la estrategia estándar de Dividir y conquistar Cálculo. Seleccionamos un número natural$$n$$ y

• dividir el intervalo$$a\le t\le b$$ en subintervalos$$n$$ iguales, cada uno de longitud$$\Delta t=\frac{b-a}{n}\text{.}$$ Denotamos por$$t_\ell = a + \ell\Delta t$$ el extremo derecho del número de intervalo$$\ell\text{.}$$
• Luego aproximamos la longitud de la parte de la curva entre$$\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)$$ y$$\vecs{r} \big(t_\ell\big)$$ por$$\big|\vecs{r} \big(t_\ell\big)-\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)\big|$$ y la masa de la parte de la curva entre$$\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)$$ y$$\vecs{r} \big(t_\ell\big)$$ por$$\rho\big(\vecs{r} (t_\ell)\big) \big|\vecs{r} \big(t_\ell\big)-\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)\big|\text{.}$$
• Esto nos da, como masa aproximada para$$\mathcal{C}$$ de

$\sum_{\ell=1}^n \rho\big(\vecs{r} (t_\ell)\big) \big|\vecs{r} \big(t_\ell\big)-\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)\big| =\sum_{\ell=1}^n \rho\big(\vecs{r} (t_\ell)\big) \bigg|\frac{\vecs{r} \big(t_\ell\big)-\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)} {t_\ell-t_{\ell-1}}\bigg|\Delta t \nonumber$

Entonces tomamos el límite como$$n\rightarrow\infty\text{.}$$ Suponiendo 1 que$$\vecs{r} (t)$$ es continuamente diferenciable y que$$\rho(\vecs{r} )$$ es continuo obtenemos

$\text{Mass of } \mathcal{C} = \int_a^b \rho\big(\vecs{r} (t)\big) \left|\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\right|\,\text{d}t \nonumber$

que tomamos como definición.

##### Definición 1.6.1
1. Para una curva parametrizada$$\big(x(t),y(t), z(t)\big)\text{,}$$$$a\le t\le b\text{,}$$ en$$\mathbb{R}^3$$ que llamamos$$\mathcal{C}\text{,}$$ y para una función$$f(x,y,z)\text{,}$$ definimos

$\int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\text{d}s =\int_a^b f\big(x(t), y(t) , z(t) \big)\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\ \text{d}t \nonumber$

En esta notación el subíndice$$\mathcal{C}$$ especifica la curva, y$$\text{d}s$$ significa longitud de arco.
2. Por una curva$$y=f(x)\text{,}$$$$a\le x\le b\text{,}$$ en la$$\mathbb{R}^2$$ que llamamos$$C\text{,}$$ y para una función$$g(x,y)\text{,}$$ definimos

$\int_C g(x,y)\,\text{d}s =\int_a^b g\big(x, f(x) \big)\sqrt{1+f'(x)^2}\ \text{d}x \nonumber$

##### Ejemplo 1.6.2

Supongamos que tenemos un alambre helicoidal 2

$\vecs{r} (t) = \big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big) =\big(a\cos t\,,\,a\sin t\,,\, bt\big)\qquad 0\le t\le 2\pi \nonumber$

y que este alambre tiene densidad de masa constante$$\rho\text{.}$$ Vamos a encontrar el centro de masa del alambre. Recordemos que el centro de masa es$$\big(\bar x,\bar y,\bar z)$$ con, por ejemplo,$$\bar x$$ ser el promedio ponderado

$\bar x = \frac{\int x\rho \text{d}s}{\int \rho\text{d}s} = \frac{\int x \text{d}s}{\int \text{d}s} \qquad\text{(since \rho is constant)} \nonumber$

de$$x$$ sobre el cable. Similarmente$$\bar y = \frac{\int y \text{d}s}{\int \text{d}s}$$ y$$\bar z = \frac{\int z \text{d}s}{\int \text{d}s} \text{.}$$ Para la curva dada

\begin{align*} \big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big) &=\big(a\cos t\,,\,a\sin t\,,\, bt\big)\\ \big(x'(t)\,,\,y'(t)\,,\,z'(t)\big) &=\big(-a\sin t\,,\,a\cos t\,,\, b\big)\\ \dfrac{ds}{dt}(t) &=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\\ &=\sqrt{a^2\sin^2t+a^2\cos^2t+b^2}\\ &=\sqrt{a^2+b^2} \end{align*}

para que

\begin{align*} \bar x &= \frac{\int x \text{d}s}{\int \text{d}s} = \frac{\int_0^{2\pi} x(t) \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} {\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} = \frac{\int_0^{2\pi} a\cos(t) \,\text{d}t}{2\pi} =0\\ \bar y &= \frac{\int y \text{d}s}{\int \text{d}s} = \frac{\int_0^{2\pi} y(t) \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} {\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} = \frac{\int_0^{2\pi} a\sin(t) \,\text{d}t}{2\pi} =0\\ \bar z &= \frac{\int z \text{d}s}{\int \text{d}s} = \frac{\int_0^{2\pi} z(t) \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} {\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} = \frac{\int_0^{2\pi} bt \,\text{d}t}{2\pi} =\frac{b}{2\pi}\Big[\frac{t^2}{2}\Big]_0^{2\pi} =b\pi \end{align*}

Entonces el centro de masa está justo sobre el eje de la hélice, a mitad de camino hacia arriba, lo que tiene perfecto sentido.

## Ejercicios

### Etapa 1

##### 1

Dar una ecuación para la longitud de arco de una curva$$C$$ como una integral de línea.

##### 2
1. Mostrar que la integral$$\int_\mathcal{C} f(x,y)\,ds$$ a lo largo de la curva$$\mathcal{C}$$ dada en coordenadas polares por$$r=r(\theta)\text{,}$$$$\theta_1\le \theta\le\theta_2\text{,}$$ es

$\int_{\theta_1}^{\theta_2}f\big(r(\theta)\cos\theta, r(\theta)\sin\theta\big) \sqrt{r(\theta)^2+\left(\dfrac{dr}{d\theta}(\theta)\right)^2}\, \text{d}\theta \nonumber$

2. Calcular la longitud del arco de$$r=1+\cos\theta,\ 0\le \theta\le 2\pi\text{.}$$ Puede usar la fórmula

$1+\cos\theta=2\cos^2\frac{\theta}{2} \nonumber$

para simplificar el cómputo.

### Etapa 2

##### 3

Calcular de$$\int_C \left(\frac{xy}{z}\right)\text{d}s\text{,}$$ dónde$$C$$ está la curva$$\left( \frac23t^3 , \sqrt{3}t^2 , 3t \right)$$ de$$t=1$$ a$$t=2\text{.}$$

##### 4

Un aro de radio$$r$$ traza la curva$$x^2+y^2=1\text{,}$$ donde$$x$$ y$$y$$ se miden en metros. En un punto$$(x,y)\text{,}$$ su densidad es de$$x^2$$ kg por metro. ¿Cuál es la masa del aro?

##### 5

Calcular$$\int_C (xy+z) \text{d}s$$ dónde$$C$$ está la línea recta de$$(1,2,3)$$ a$$(2,4,5)\text{.}$$

##### 6

Evaluar el camino integral$$\int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\text{d}s$$ para

1. $$f(x,y,z)=x\cos z\text{,}$$$$\mathcal{C}:\vecs{r} (t)=t\hat{\pmb{\imath}}+t^2\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}$$$$0\le t\le 1\text{.}$$
2. $$f(x,y,z)=\frac{x+y}{y+z}\text{,}$$$$\mathcal{C}:\vecs{r} (t)= \big(t,\frac{2}{3}t^{3/2},t\big)\text{,}$$$$1\le t\le 2\text{.}$$
##### 7

Evaluar$$\int_C \sin x\,\text{d}s\text{,}$$ dónde$$C$$ está la curva$$(\textrm{arcsec}(t), \ln t)\text{,}$$$$1 \le t \le \sqrt{2}\text{.}$$

##### 8. ✳

Una partícula de masa$$m = 1$$ tiene posición$$\vecs{r} (0) = \hat{\pmb{\jmath}}$$ y velocidad$$\vecs{v} _0 = \hat{\pmb{\imath}} + \hat{\mathbf{k}}$$ en$$t = 0\text{.}$$ el tiempo La partícula se mueve bajo una fuerza

$\vecs{F} (t) = \hat{\pmb{\jmath}} - \sin t\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber$

donde$$t$$ denota tiempo.

1. Encuentra la posición$$\vecs{r} (t)$$ de la partícula en función de$$t\text{.}$$
2. Encuentra la posición$$\vecs{r} (t_1)$$ de la partícula cuando cruza el avión$$x = \pi/2$$ por primera vez en$$t_1\text{.}$$
3. Determinar el trabajo realizado$$\vecs{F}$$ al mover la partícula de$$\vecs{r} (0)$$ a$$\vecs{r} (t_1)\text{.}$$

### Etapa 3

##### 9. ✳

Evaluar la integral de línea$$\int_C \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}s$$ donde$$\vecs{F} (x,y) = xy^2 \,\hat{\pmb{\imath}} + ye^x \,\hat{\pmb{\jmath}}$$,$$C$$ es el límite del rectángulo$$R\text{:}$$$$0 \le x \le 3\text{,}$$$$-1 \le y \le 1\text{,}$$ y$$\hat{\textbf{n}}$$ es el vector unitario, normal a$$C\text{,}$$ apuntar hacia el exterior del rectángulo.

##### 10. ✳

Dejar$$\mathcal{C}$$ ser la curva dada por

$\vecs{r} (t)=t\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+t\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}+t^2\,\hat{\mathbf{k}},\qquad 0\le t\le \pi \nonumber$

1. Encuentra la unidad tangente$$\hat{\textbf{T}}$$ a$$\mathcal{C}$$ en el punto$$(-\pi,0,\pi^2)\text{.}$$
2. Calcular la integral de línea

$\int_\mathcal{C} \sqrt{x^2+y^2}\ \text{d}s \nonumber$

3. Encontrar la ecuación de una superficie lisa en$$3$$ -espacio que contiene la curva$$\mathcal{C}\text{.}$$
4. Croquis de la curva$$\mathcal{C}\text{.}$$
##### 11

Un cable traza una trayectoria$$C$$ descrita por la curva$$(t+\frac12t^2 , t-\frac12t^2 , \frac{4}{3}\,t^{3/2})\text{,}$$$$0 \leq t \leq 4\text{.}$$ Su densidad en el punto$$(x,y,z)$$ es$$\rho(x,y,z)={\left( \frac{x+y}{2}\right)}\text{.}$$ Encontrar su centro de masa.

1. Podríamos relajar un poco estas condiciones asumiendo que$$\vecs{r} '(t)$$ y$$\rho(t)$$ están delimitadas y son continuas excepto en un número finito de puntos. (no es$$\vecs{r} '(t)$$ necesario existir en absoluto en esos puntos.)
2. Por ejemplo, tu solenoide o resorte favorito o slinky.

This page titled 1.6: Integración a lo largo de una curva is shared under a not declared license and was authored, remixed, and/or curated by Joel Feldman, Andrew Rechnitzer and Elyse Yeager via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.