1.5: Un Compendio de Fórmula Curva

A continuación\(\vecs{r} (t)=\big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\) se presenta una parametrización de alguna curva. Los vectores\(\hat{\textbf{T}}(t),\ \hat{\textbf{N}}(t),\ \) y\(\\hat{\textbf{B}}\ \) son los vectores tangentes unitarios, normales y binormales, respectivamente, en\(\vecs{r} (t)\text{.}\) El vector tangente apunta en la dirección de desplazamiento (es decir, dirección de incremento\(t\)) y el vector normal apunta hacia el centro de curvatura. La longitud del arco de vez\(0\) en cuando\(t\) se denota\(s(t)\text{.}\) El binormal\(\ \hat{\textbf{B}}(t)=\hat{\textbf{T}} (t)\times \hat{\textbf{N}}\ \) es perpendicular al plano que mejor se ajusta a la curva en\(\vecs{r} (t)\text{.}\) Algunas fórmulas utilizan una parametrización de longitud de arco, que se denota\(\vecs{r} (s)\text{.}\)

la velocidad	\(\displaystyle \vecs{v} (t)=\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)=\dfrac{ds}{dt}(t)\,\hat{\textbf{T}}(t)\)
el vector tangente unitario	\(\hat{\textbf{T}}(t)=\frac{\vecs{v} (t)}{|\vecs{v} (t)|}\)(parametrización general) \(\hat{\textbf{T}}(s)=\dfrac{d\vecs{r} }{ds}(s)\)(parametrización de longitud de arco)
la aceleración	\(\displaystyle \textbf{a}(t)=\frac{\mathrm{d}^{2}\vecs{r}}{\mathrm{d}t^{2}}(t)=\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}(t)\,\hat{\textbf{T}}(t) +\kappa(t)\big(\dfrac{ds}{dt}(t)\big)^2\hat{\textbf{N}}(t)\)
la velocidad	\(\displaystyle \dfrac{ds}{dt}(t) = |\vecs{v} (t)| = \big|\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\big|\)
la longitud del arco	\(\displaystyle s(T) = \int_0^T\! \dfrac{ds}{dt}(t)\,\text{d}t = \int_0^T\! \sqrt{x'(t)^2\!+\!y'(t)^2\!+\!z'(t)^2}\,\text{d}t\)
la curvatura	\(\kappa(t) = \big|\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{dt}(t)\big|/\dfrac{ds}{dt}(t) =\displaystyle{ \frac{|\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)|}{(\dfrac{ds}{dt}(t))^3} }\) \(\kappa(s) = \big|\dfrac{d\phi}{ds}(s)\big| = \big|\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}(s)\big|\)
el vector normal de la unidad	\(\displaystyle \hat{\textbf{N}}(t) = \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{dt}(t)/\big|\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{dt}(t)\big| \qquad \hat{\textbf{N}}(s) = \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}(s)/\kappa(s)\)
el radio de curvatura	\(\displaystyle \rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}\)
el centro de curvatura	\(\displaystyle \vecs{r} (t)+\rho(t)\hat{\textbf{N}}(t)\)
la torsión	\(\displaystyle \displaystyle \tau(t)=\frac{\big(\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)\big) \cdot \dfrac{d\textbf{a}}{dt}(t)} {|\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)|^2}\)
el binormal	\(\displaystyle \displaystyle \hat{\textbf{B}}(t)=\hat{\textbf{T}}(t)\times \hat{\textbf{N}}(t)=\frac{\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)}{|\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)|}\)

Bajo parametrización de longitud de arco (es decir, si\(t=s\)) tenemos\(\hat{\textbf{T}}(s)=\frac{d\vecs{r} }{ds}(s)\) y las fórmulas de Frenet-Serret

\[\begin{align*} \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}(s)&=\phantom{-}\kappa(s)\ \hat{\textbf{N}}(s)\cr \dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds}(s)&=\phantom{-}\tau(s)\ \hat{\textbf{B}}(s)-\kappa(s)\ \hat{\textbf{T}} (s)\cr \dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}(s)&=-\tau(s)\ \hat{\textbf{N}}(s)\cr \end{align*}\]

que en forma de matriz es

\[\begin{align*} \dfrac{d}{ds} \left[ \begin{matrix}\hat{\textbf{T}}(s) \\ \hat{\textbf{N}}(s)\\ \hat{\textbf{B}}(s)\end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix} 0 & \kappa(s) & 0 \\ -\kappa(s) & 0 &\tau(s) \\ 0 &-\tau(s) & 0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\hat{\textbf{T}} (s) \\ \hat{\textbf{N}}(s)\\ \hat{\textbf{B}}(s)\end{matrix}\right] \end{align*}\]

Cuando la curva se encuentra completamente en el\(xy\) plano, la curvatura viene dada por

\[\begin{gather*} \kappa(t) =\frac{\big| \dfrac{dx}{dt}(t)\ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}(t)-\dfrac{dy}{dt}(t)\ \frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}(t) \big|}{\Big[\big(\dfrac{dx}{dt}(t)\big)^2 +\big(\dfrac{dy}{dt}(t)\big)^2\Big]^{3/2}} \end{gather*}\]

Cuando la curva se encuentra completamente en el\(xy\) plano y la\(y\) coordenada -se da como una función,\(y(x)\text{,}\) de la\(x\) coordenada, la curvatura es

\[\begin{gather*} \kappa(x) =\frac{\big|\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}(x)\big|} {\Big[1+\big(\dfrac{dy}{dx}(x)\big)^2\Big]^{3/2}} \end{gather*}\]

Observe que esto se desprende de la fórmula anterior desde\(\dfrac{dx}{dx}=1\) y\(\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}x^{2}}=0\text{.}\)