1.5: Un Compendio de Fórmula Curva

A continuación$\vecs{r} (t)=\big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)$ se presenta una parametrización de alguna curva. Los vectores$\hat{\textbf{T}}(t),\ \hat{\textbf{N}}(t),\ $ y$\\hat{\textbf{B}}\ $ son los vectores tangentes unitarios, normales y binormales, respectivamente, en$\vecs{r} (t)\text{.}$ El vector tangente apunta en la dirección de desplazamiento (es decir, dirección de incremento$t$) y el vector normal apunta hacia el centro de curvatura. La longitud del arco de vez$0$ en cuando$t$ se denota$s(t)\text{.}$ El binormal$\ \hat{\textbf{B}}(t)=\hat{\textbf{T}} (t)\times \hat{\textbf{N}}\ $ es perpendicular al plano que mejor se ajusta a la curva en$\vecs{r} (t)\text{.}$ Algunas fórmulas utilizan una parametrización de longitud de arco, que se denota$\vecs{r} (s)\text{.}$

la velocidad	$\displaystyle \vecs{v} (t)=\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)=\dfrac{ds}{dt}(t)\,\hat{\textbf{T}}(t)$
el vector tangente unitario	$\hat{\textbf{T}}(t)=\frac{\vecs{v} (t)}{|\vecs{v} (t)|}$(parametrización general) $\hat{\textbf{T}}(s)=\dfrac{d\vecs{r} }{ds}(s)$(parametrización de longitud de arco)
la aceleración	$\displaystyle \textbf{a}(t)=\frac{\mathrm{d}^{2}\vecs{r}}{\mathrm{d}t^{2}}(t)=\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}(t)\,\hat{\textbf{T}}(t) +\kappa(t)\big(\dfrac{ds}{dt}(t)\big)^2\hat{\textbf{N}}(t)$
la velocidad	$\displaystyle \dfrac{ds}{dt}(t) = |\vecs{v} (t)| = \big|\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\big|$
la longitud del arco	$\displaystyle s(T) = \int_0^T\! \dfrac{ds}{dt}(t)\,\text{d}t = \int_0^T\! \sqrt{x'(t)^2\!+\!y'(t)^2\!+\!z'(t)^2}\,\text{d}t$
la curvatura	$\kappa(t) = \big|\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{dt}(t)\big|/\dfrac{ds}{dt}(t) =\displaystyle{ \frac{|\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)|}{(\dfrac{ds}{dt}(t))^3} }$ $\kappa(s) = \big|\dfrac{d\phi}{ds}(s)\big| = \big|\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}(s)\big|$
el vector normal de la unidad	$\displaystyle \hat{\textbf{N}}(t) = \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{dt}(t)/\big|\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{dt}(t)\big| \qquad \hat{\textbf{N}}(s) = \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}(s)/\kappa(s)$
el radio de curvatura	$\displaystyle \rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}$
el centro de curvatura	$\displaystyle \vecs{r} (t)+\rho(t)\hat{\textbf{N}}(t)$
la torsión	$\displaystyle \displaystyle \tau(t)=\frac{\big(\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)\big) \cdot \dfrac{d\textbf{a}}{dt}(t)} {|\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)|^2}$
el binormal	$\displaystyle \displaystyle \hat{\textbf{B}}(t)=\hat{\textbf{T}}(t)\times \hat{\textbf{N}}(t)=\frac{\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)}{|\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)|}$

Bajo parametrización de longitud de arco (es decir, si$t=s$) tenemos$\hat{\textbf{T}}(s)=\frac{d\vecs{r} }{ds}(s)$ y las fórmulas de Frenet-Serret

$$\begin{align*} \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}(s)&=\phantom{-}\kappa(s)\ \hat{\textbf{N}}(s)\cr \dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds}(s)&=\phantom{-}\tau(s)\ \hat{\textbf{B}}(s)-\kappa(s)\ \hat{\textbf{T}} (s)\cr \dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}(s)&=-\tau(s)\ \hat{\textbf{N}}(s)\cr \end{align*}$$

que en forma de matriz es

$$\begin{align*} \dfrac{d}{ds} \left[ \begin{matrix}\hat{\textbf{T}}(s) \\ \hat{\textbf{N}}(s)\\ \hat{\textbf{B}}(s)\end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix} 0 & \kappa(s) & 0 \\ -\kappa(s) & 0 &\tau(s) \\ 0 &-\tau(s) & 0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\hat{\textbf{T}} (s) \\ \hat{\textbf{N}}(s)\\ \hat{\textbf{B}}(s)\end{matrix}\right] \end{align*}$$

Cuando la curva se encuentra completamente en el$xy$ plano, la curvatura viene dada por

$$\begin{gather*} \kappa(t) =\frac{\big| \dfrac{dx}{dt}(t)\ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}(t)-\dfrac{dy}{dt}(t)\ \frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}(t) \big|}{\Big[\big(\dfrac{dx}{dt}(t)\big)^2 +\big(\dfrac{dy}{dt}(t)\big)^2\Big]^{3/2}} \end{gather*}$$

Cuando la curva se encuentra completamente en el$xy$ plano y la$y$ coordenada -se da como una función,$y(x)\text{,}$ de la$x$ coordenada, la curvatura es

$$\begin{gather*} \kappa(x) =\frac{\big|\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}(x)\big|} {\Big[1+\big(\dfrac{dy}{dx}(x)\big)^2\Big]^{3/2}} \end{gather*}$$

Observe que esto se desprende de la fórmula anterior desde$\dfrac{dx}{dx}=1$ y$\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}x^{2}}=0\text{.}$