2.3: Campos vectoriales conservadores

No todos los campos vectoriales son iguales. En particular, algunos campos vectoriales son más fáciles de trabajar que otros. Una clase importante de campos vectoriales con los que es relativamente fácil trabajar, al menos a veces, pero que aún surgen en muchas aplicaciones son los “campos vectoriales conservadores”.

Definición 2.3.1: Campos conservadores

1. \(\vecs{F} \)Se dice que el campo vectorial es conservador si existe una función\(\varphi\) tal que\(\vecs{F} = \vecs{ \nabla} \varphi\text{.}\) Entonces\(\varphi\) se llama potencial para\(\vecs{F} \text{.}\) Tenga en cuenta que si\(\varphi\) es un potencial para\(\vecs{F} \) y si\(C\) es una constante, entonces\(\varphi+C\) es también un potencial para\(\vecs{F} \text{.}\)
2. Si\(\vecs{F} =\vecs{ \nabla} \varphi\) es un campo conservador con potencial\(\varphi\) y si\(C\) es una constante, entonces el conjunto de puntos que obedecen\(\varphi(x,y,z)=C\) se denomina superficie equipotencial. De igual manera, en dos dimensiones, el conjunto de puntos que obedecen\(\varphi(x,y)=C\) se denomina curva equipotencial.

Advertencia 2.3.2

En física, cuando un campo vectorial es de la forma\(\vecs{F} =-\vecs{ \nabla} \varphi\text{,}\), entonces\(\varphi\) se llama potencial para\(\vecs{F} \text{.}\) Tenga en cuenta el signo menos ¹\(\vecs{F} =\underset{\uparrow}{-}\vecs{ \nabla} \varphi\text{.}\)

Ejemplo 2.3.3. Energía potencial

El “conservador” en “campo vectorial conservador” no tiene nada que ver con la política. Proviene de “conservación de energía”. Aquí está cómo. Supongamos que tienes una partícula de masa\(m\) moviéndose en un campo de fuerza\(\vecs{F} \) que pasa a ser de la forma\(\vecs{F} =\vecs{ \nabla} \varphi\) para alguna función\(\varphi\text{.}\) Si la posición de la partícula un tiempo\(t\) es\(\big(x(t),y(t),z(t)\big)\text{,}\) entonces, por la ley del movimiento de Newton,

\ begin {alignat*} {2} m\ vecs {a} =\ vecs {F}\ qquad &\ implica & m\ dfrac {d\ vecs {v}} {dt} (t) &=\ vecs {F}\ grande (x (t), y (t), z (t)\ grande)\ &\ implica & m\ dfrac {d\ vecs s {v}} {dt} (t) &=\ vecs {\ nabla}\ varphi\ grande (x (t), y (t), z (t)\ grande)\\\ final {alinear*}

Ahora puntea ambos lados con\(\vecs{v}(t)\text{.}\)

\ begin {alignat*} {2} &\ implica & m\,\ vecs {v} (t)\ cdot\ dfrac {d\ vecs {v}} {dt} (t) &=\ vecs {v} (t)\ cdot\ vecs {\ nabla}\ varphi\ big (x (t), y (t), z (t)\ big)\\ & & &=x' (t)\ frac {\ parcial\ varphi} {\ parcial x}\ grande (x (t), y (t), z (t)\ grande) +y' (t)\ frac {\ parcial\ varphi} {\ parcial y}\ grande (x (t), y (t), z (t)\ grande)\\ & amp; &\ hskip1in +z' (t)\ frac {\ parcial\ varphi} {\ z parcial}\ grande (x (t), y (t), z (t)\ grande)\\ final {alinear*}

Siguiente uso\(\dfrac{d}{dt}\vecs{v}\cdot\vecs{v}=2\vecs{v}\cdot\dfrac{d\vecs{v}}{dt}\) en el lado izquierdo y la regla de la cadena en el lado derecho.

\ begin {alignat*} {2} &\ implica &\\\ dfrac {d\} {dt}\ Grande (\ frac {1} {2} m\ vecs {v} (t)\ cdot\ vecs {v} (t)\ Grande) &=\ dfrac {d\} {dt}\ Grande (\ varphi\ grande (x (t), y (t), z (t)\ grande)\ grande)\\ &\ implica & &\ hskip-1.3in\ dfrac {d\} {dt}\ grande (\ frac {1} {2} m\ vecs {v} (t)\ cdot\ vecs {v} (t) -\ varphi\ grande (x (t), y (t), z (t) grande\)\ Grande) = 0\\ &\ implica & &\ hskip-1.0in\ frac {1} {2} m |\ vecs {v} (t) |^2 -\ varphi\ big (x (t), y (t), z (t)\ big) =\ text {const}\ end {alignat*}

Entonces\(\frac{1}{2} m |\vecs{v}(t)|^2 -\varphi\big(x(t),y(t),z(t)\big)\text{,}\), lo que se llama la energía ² de la partícula en el momento en realidad\(t\text{,}\) no depende del tiempo — se conserva. Llamemos a la energía inicial Es\(E\text{.}\) decir,\(E=\frac{1}{2} m |\vecs{v}(0)|^2 -\varphi\big(x(0),y(0),z(0)\big)\text{.}\) Entonces\(\frac{1}{2} m |\vecs{v}(t)|^2 -\varphi\big(x(t),y(t),z(t)\big)=E\) para todos\(t\) y, en particular

\[ \varphi\big(x(t),y(t),z(t)\big) = \frac{1}{2} m |\vecs{v}(t)|^2 -E \ge -E \nonumber \]

Así que incluso sin tener que encontrar\(\big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\text{,}\) sabemos que nuestra partícula nunca podrá escapar de la región\(\left \{(x,y,z)|\varphi(x,y,z)\ge -E\right \} \text{.}\)

Ejemplo 2.3.4. Gravedad

La fuerza gravitacional que un cuerpo de masa\(M\) en el origen ejerce sobre un cuerpo de masa\(m\)\(\vecs{r} =(x,y,z)\) es

\[ \vecs{F} (\vecs{r} ) = -\frac{GMm}{r^3}\vecs{r} \nonumber \]

donde\(r=|\vecs{r} |=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) y\(G\) es la constante gravitacional. Esta fuerza es conservadora, con potencial\(\varphi(\vecs{r} ) = \frac{GMm}{r}\text{.}\) Para verificar que esto es correcto, observe que

\ begin {alignat*} {2}\ frac {\ parcial\} {\ parcial x}\ varphi (\ vecs {r}) &=\ frac {\ parcial\} {\ parcial x}\ frac {gMM} {\ sqrt {x^2+y^2+z^2}} &=-\ frac {1} {2}\ frac {GMm (2x)} {[x^2+y^2+z^2] ^ {3/2}} &=-\ frac {gMM} {r^3} x\\ frac {\ parcial\} {\ parcial y}\ varphi (\ vecs {r}) &=\ frac {\ parcial\} {\ parcial y}\ frac {gMM} {\ sqrt { x^2+y^2+z^2}} &=-\ frac {1} {2}\ frac {GMm (2y)} {[x^2+y^2+z^2] ^ {3/2}} &=-\ frac {gMM} {r^3} y\\ frac {\ parcial\} {\ z parcial}\ varphi (\ s {r}) &=\ frac {\ parcial\} {\ parcial z}\ frac {gMM} {\ sqrt {x^2+y^2+z^2}} &=-\ frac {1} {2}\ frac {gMM (2z)} {[x^2+y^2+z^2] ^ {3/2}} &=-\ frac {gMM} {r^3} z\ end {alignat*}

Ya hemos encontrado muy útil la conservación de energía un par de veces en la Sección 1.7 (Deslizamiento sobre una curva). Entonces, en este punto, probablemente hay varias preguntas que te roen.

• ¿Todos los campos vectoriales son conservadores?
• Si no es así, ¿hay una manera fácil de saber si un campo vectorial es conservador o no?
• Si sabemos que un campo vectorial dado es conservador, ¿cómo encuentra potencial para ello?

No tengas miedo. En breve consideraremos esas preguntas con cierto detalle. Pero primero, un par de ejemplos más.

Ejemplo 2.3.5

En este ejemplo mostraremos que el campo vectorial\(\vecs{F} (x,y) = x\,\hat{\pmb{\imath}}-y\,\hat{\pmb{\jmath}}\) es conservador y encuentra tanto su potencial como sus líneas de campo.

1. El potencial: Nuestro campo vectorial\(\vecs{F} (x,y) = x\,\hat{\pmb{\imath}}-y\,\hat{\pmb{\jmath}}\) es conservador si podemos encontrar un\(\varphi\) obedeciente

   \[\begin{align*} \frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y) &= x\\ \frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y) &= -y \end{align*}\]

   Recordemos que, al tomar la derivada parcial\(\frac{\partial\ }{\partial x}\) la coordenada\(y\) es vista como una constante. Entonces la primera de estas ecuaciones se satisface si y solo si hay una de la\(\psi(y)\text{,}\) que no depende\(x\text{,}\) para que

   \[ \varphi(x,y) = \frac{x^2}{2} +\psi(y) \nonumber \]

   Para que esto también satisfaga la segunda ecuación, necesitamos

   \[\begin{gather*} -y=\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y) =\frac{\partial\ }{\partial y}\Big(\frac{x^2}{2} +\psi(y)\Big) =\psi'(y) \end{gather*}\]

   que es el caso si y solo si hay una constante\(C\) con

   \[ \psi(y) =-\frac{y^2}{2} +C \nonumber \]

   Entonces, para cualquier elección de la constante\(C\text{,}\)

   \[ \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} +C \nonumber \]

   es un potencial. En particular, tomar\(C=0\text{,}\) un potencial posible es

   \[ \varphi(x,y) = \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} \nonumber \]

   Algunas curvas equipotenciales para este potencial se esbozan en (c) a continuación. Son las curvas azules.
2. Las líneas de campo (Opcional): Recordando (2.2.5), las líneas de campo del campo vectorial\(\vecs{F} (x,y) = x\,\hat{\pmb{\imath}}-y\,\hat{\pmb{\jmath}}\) están determinadas por

   \[\begin{align*} \frac{\text{d}x}{x} = \frac{\mathrm{d} y}{-y} &\iff -y\mathrm{d} x = x\text{d}y\\ &\iff x\text{d}y + y\mathrm{d}x = 0\\ &\iff \text{d}(xy) = 0 \qquad\text{by the product rule}\\ &\iff xy = C \end{align*}\]

   para alguna constante\(C\text{.}\) Si no te sientes cómodo con el uso de la regla de producto anterior, aquí tienes otra forma de escribir el mismo cálculo.

   \[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}=-\frac{y}{x} &\iff x\dfrac{dy}{dx} = -y\\ &\iff x\dfrac{dy}{dx} +y = 0\\ &\iff \dfrac{d}{dx}(xy) = 0 \qquad\text{by the product rule}\\ &\iff xy = C \end{align*}\]

   Algunas líneas de campo se esbozan en (c) a continuación. Son las curvas rojas. Tenga en cuenta que parecen cruzar las curvas equipotenciales, las curvas azules, en ángulo recto. Veremos en Lema 2.3.6, a continuación, que esto no es una coincidencia. También tenga en cuenta que, si bien el cómputo anterior indica cuáles son las líneas de campo, no nos da la dirección del movimiento a lo largo de las líneas de campo. Determinamos la dirección del movimiento siguiente.
3. Dirección de movimiento (Opcional): Los datos de la señal

   \[\begin{align*} &\hat{\pmb{\imath}}\cdot\vecs{F} (x,y) = x \left.\begin{cases} \gt 0 &\text{if } x \gt 0 \\ =0 &\text{if } x=0 \\ \lt 0 &\text{if } x \lt 0 \end{cases}\right\}\\ &\hat{\pmb{\jmath}}\cdot\vecs{F} (x,y) = -y \left.\begin{cases} \gt 0 &\text{if } y \lt 0 \\ =0 &\text{if } y=0 \\ \lt 0 &\text{if } y \gt 0 \end{cases}\right\}\qquad \end{align*}\]

   se muestra visualmente en la figura de abajo a la izquierda. Las flechas en la figura de la izquierda nos dan la dirección del movimiento a lo largo de las líneas de campo (en rojo) en la figura de abajo a la derecha. Algunas curvas equipotenciales también se esbozan (en azul) en la figura de abajo a la derecha.

Acabamos de ver un ejemplo de un campo vectorial conservador para el que las líneas de campo parecen cruzar las curvas equipotenciales en ángulo recto. Aquí hay un resultado que dice que eso no fue un accidente. Las líneas de campo de los campos conservadores siempre cruzan las superficies equipotenciales en ángulo recto.

Lema 2.3.6. Opcional

Si\(\vecs{F} \) es un campo vectorial conservador, entonces las líneas de campo de\(\vecs{F} \) son perpendiculares a las superficies equipotenciales de\(\vecs{F} \text{.}\)

Prueba

Let\(\vecs{F} =\vecs{ \nabla} \varphi\text{.}\) Pick cualquier punto\(\vecs{r} _0\) y cualquier vector distinto de cero\(\vecs{T} \) que sea tangente a la superficie equipotencial en\(\vecs{r} _0\text{.}\) Esa superficie equipotencial es\(\varphi\big(x,y,z\big)=\varphi(\vecs{r} _0)\text{.}\) Considere cualquier curva\(\vecs{r} (t)=\big(x(t),y(t),z(t)\big)\) que

• yace en la superficie equipotencial de\(\vecs{F} \) través\(\varphi\big(\vecs{r} (t)\big)=\varphi(\vecs{r} _0)\) para\(\vecs{r} _0\text{,}\) que para todos\(t\text{,}\) y también obedezca
• \(\vecs{r} (0)=\vecs{r} _0\)y
• \(\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(0) = \vecs{T} \text{.}\)

Diferenciar\(\varphi\big(\vecs{r} (t)\big)=\varphi(\vecs{r} _0)\) con respecto\(t\) y aplicar la regla de la cadena da

\[\begin{align*} \dfrac{d\ }{dt}\big[\varphi\big(x(t),y(t),z(t)\big)\big] &=0 \end{align*}\]

o

\[\begin{align*} \frac{\partial\varphi}{\partial x}\big(x(t),y(t),z(t)\big)\dfrac{dx}{dt}(t) &+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\big(x(t),y(t),z(t)\big)\dfrac{dy}{dt}(t)\\ &+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\big(x(t),y(t),z(t)\big)\dfrac{dz}{dt}(t) =0 \end{align*}\]

Observe que el lado izquierdo es exactamente el producto punto de\(\big(\frac{\partial\varphi}{\partial x} \,,\,\frac{\partial\varphi}{\partial y} \,,\,\frac{\partial\varphi}{\partial z}\big)=\vecs{ \nabla} \varphi\) con\(\big(\dfrac{dx}{dt} \,,\,\dfrac{dy}{dt} \,,\,\dfrac{dz}{dt}\big) =\dfrac{d\vecs{r} }{dt}\text{.}\) So

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \varphi\big(\vecs{r} (t)\big)\cdot\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t) &= 0\\ \vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)\cdot\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t) &= 0 \end{align*}\]

A continuación, configurar\(t=0\) para obtener

\[ \vecs{F} \big(\vecs{r} _0\big)\cdot\vecs{T} = 0 \nonumber \]

Esto dice que el vector\(\vecs{T} \text{,}\) que es tangente a la superficie equipotencial en\(\vecs{r} _0\text{,}\) es perpendicular al campo vectorial en el\(\vecs{r} _0\text{,}\) que es un vector tangente a la línea de campo de\(\vecs{F} \) a través\(\vecs{r} _0\text{.}\)

Aquí hay otro ejemplo en el que tratamos de encontrar un potencial para un campo vectorial.

Ejemplo 2.3.7

Tratemos de encontrar un potencial para el campo de vectores de vórtice\(\vecs{v}(x,y) = \Omega\big(-y\hat{\pmb{\imath}} +x\hat{\pmb{\jmath}}\big)\) del Ejemplo 2.1.4. El potencial tendría que obedecer

\[\begin{align*} \frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y) &= -\Omega y\\ \frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y) &= \Omega x \end{align*}\]

Procedemos tal como hicimos en el Ejemplo 2.3.5. La primera de estas ecuaciones se satisface si y solo si hay una de la\(\psi(y)\text{,}\) que no depende\(x\text{,}\) para que

\[ \varphi(x,y) = -\Omega xy +\psi(y) \nonumber \]

Para que esto también satisfaga la segunda ecuación, necesitamos

\[\begin{gather*} \Omega x=\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y) =\frac{\partial\ }{\partial y}\Big(-\Omega xy +\psi(y)\Big) =-\Omega x +\psi'(y) \iff \psi'(y) = 2\Omega x \end{gather*}\]

Si\(\Omega\ne 0\text{,}\) el lado derecho de esta ecuación depende de\(x\) mientras que el lado izquierdo es independiente\(x\text{,}\) de lo que\(\psi\) sea. Entonces no\(\psi\) puede funcionar, y no\(\vecs{v}(x,y) = \Omega\big(-y\hat{\pmb{\imath}} +x\hat{\pmb{\jmath}}\big)\) es conservador.

El ejemplo anterior muestra que no todos los campos vectoriales son conservadores. Eso responde a la primera de las preguntas que planteamos justo antes del Ejemplo 2.3.5. El siguiente teorema proporciona una simple prueba de cribado para la conservatividad, que responde parcialmente a la segunda pregunta. La manera fácil de recordar la prueba de cribado utiliza el rizo, que ahora definimos.

Definición 2.3.8

El rizo de un campo vectorial\(\vecs{F} (x,y,z)\) se denota por\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} (x,y,z)\) y se define por

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} &=\Big(\frac{\partial F_3}{\partial y} -\frac{\partial F_2}{\partial z} \Big)\hat{\pmb{\imath}} +\Big(\frac{\partial F_1}{\partial z} -\frac{\partial F_3}{\partial x} \Big)\hat{\pmb{\jmath}} +\Big(\frac{\partial F_2}{\partial x} -\frac{\partial F_1}{\partial y} \Big)\hat{\mathbf{k}}\\ &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} &\hat{\pmb{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial\ }{\partial x} & \frac{\partial\ }{\partial y} & \frac{\partial\ }{\partial z} \\ F_1(x,y,z) & F_2(x,y,z) & F_3(x,y,z) \end{matrix}\right] \end{align*}\]

El determinante en la segunda fila es realmente solo un dispositivo mnemotécnico utilizado para facilitar el recuerdo de la expresión después del signo igual en la primera fila. Hay que tener cuidado con los signos en esta definición —el determinante ayuda con eso.

Teorema 2.3.9. Prueba de tamizaje para campos vectoriales conservadores.

1. Supongamos que\(F_1(x,y)\) y\(F_2(x,y)\) son continuamente diferenciables. Si el campo vectorial\(F_1(x,y)\hat{\pmb{\imath}} + F_2(x,y)\hat{\pmb{\jmath}}\) es conservador, entonces debemos tener

   \[ \frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial F_2}{\partial x} \nonumber \]

2. Supongamos que\(F_1(x,y,z)\text{,}\)\(F_2(x,y,z)\) y\(F_3(x,y,z)\) son continuamente diferenciables. Si el campo vectorial\(F_1(x,y,z)\hat{\pmb{\imath}} + F_2(x,y,z)\hat{\pmb{\jmath}} + F_3(x,y,z)\hat{\mathbf{k}}\) es conservador, entonces

   \[ \frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial F_2}{\partial x}\qquad \frac{\partial F_1}{\partial z} = \frac{\partial F_3}{\partial x}\qquad \frac{\partial F_2}{\partial z} = \frac{\partial F_3}{\partial y} \nonumber \]

   Equivalentemente,

   \[ \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} =\Big(\frac{\partial F_3}{\partial y} -\frac{\partial F_2}{\partial z} \Big)\hat{\pmb{\imath}} +\Big(\frac{\partial F_1}{\partial z} -\frac{\partial F_3}{\partial x} \Big)\hat{\pmb{\jmath}} +\Big(\frac{\partial F_2}{\partial x} -\frac{\partial F_1}{\partial y} \Big)\hat{\mathbf{k}} =\vecs{0} \nonumber \]

   Es decir,\(\vecs{F} \) está libre de rizo.

Prueba

(a) Si el campo vectorial\(F_1(x,y)\hat{\pmb{\imath}} + F_2(x,y)\hat{\pmb{\jmath}}\) es conservador, entonces existe un potencial\(\varphi(x,y)\) tal que

\[\begin{align*} \frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y) &= F_1(x,y)\\ \frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y) &= F_2(x,y) \end{align*}\]

Aplicando\(\frac{\partial\ }{\partial y}\) a la primera ecuación y\(\frac{\partial\ }{\partial x}\) a la segunda ecuación da

\[\begin{align*} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y\partial x} &= \frac{\partial F_1}{\partial y}\\ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x\partial y} &= \frac{\partial F_2}{\partial x} \end{align*}\]

Recordemos que, para cualquier función dos veces continuamente diferenciable,\(\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y\partial x} = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x\partial y}\text{.}\) Así que los dos lados izquierdos son iguales, y los dos lados de la derecha también deben ser iguales.

(b) Si el campo vectorial\(F_1(x,y,z)\hat{\pmb{\imath}} + F_2(x,y,z)\hat{\pmb{\jmath}} + F_3(x,y,z)\hat{\mathbf{k}}\) es conservador, entonces existe un potencial\(\varphi(x,y,z)\) tal que

\[\begin{align*} \frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y,z) &= F_1(x,y,z)\\ \frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y,z) &= F_2(x,y,z)\\ \frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,y,z) &= F_3(x,y,z) \end{align*}\]

Procedemos igual que en (a).

• Aplicando\(\frac{\partial\ }{\partial y}\) a la primera ecuación y\(\frac{\partial\ }{\partial x}\) a la segunda ecuación da

  \[\begin{gather*} \begin{Bmatrix} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y\partial x} = \frac{\partial F_1}{\partial y} \\  \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x\partial y} = \frac{\partial F_2}{\partial x} \end{Bmatrix} \implies \frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial F_2}{\partial x} \end{gather*}\]

• Aplicando\(\frac{\partial\ }{\partial z}\) a la primera ecuación y\(\frac{\partial\ }{\partial x}\) a la tercera ecuación da

  \[\begin{gather*} \begin{Bmatrix} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z\partial x} = \frac{\partial F_1}{\partial z} \\ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x\partial z} = \frac{\partial F_3}{\partial x} \end{Bmatrix} \implies \frac{\partial F_1}{\partial z} = \frac{\partial F_3}{\partial x} \end{gather*}\]

• Aplicando\(\frac{\partial\ }{\partial z}\) a la segunda ecuación y\(\frac{\partial\ }{\partial y}\) a la tercera ecuación da

  \[\begin{gather*} \begin{Bmatrix} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z\partial y} = \frac{\partial F_2}{\partial z} \\ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y\partial z} = \frac{\partial F_3}{\partial y} \end{Bmatrix} \implies \frac{\partial F_2}{\partial z} = \frac{\partial F_3}{\partial y} \end{gather*}\]

Combinar las tres viñetas da\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} =\vecs{0}\text{.}\)

Advertencia 2.3.10

Como siempre, hay que tener cuidado con el flujo de la lógica ³. La prueba de tamizaje en el Teorema 2.3.9 es una prueba unidireccional. Si, por ejemplo,\(\frac{\partial F_1}{\partial y} \ne \frac{\partial F_2}{\partial x}\) entonces el campo vectorial\(\vecs{F} \) no puede ser conservador. Pero si\(\frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial F_2}{\partial x}\) Teorema 2.3.9 no garantiza que\(\vecs{F} \) sea conservador. De hecho hay campos que no son conservadores pero sí obedecen\(\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial F_2}{\partial x}\text{.}\) Veremos uno en el Ejemplo 2.3.14, a continuación. Posteriormente encontraremos algunas condiciones adicionales de regularidad que, cuando se combinan con\(\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial F_2}{\partial x}\text{,}\) sí, implican conservatividad. Véase Teorema 2.4.8, a continuación.

Ejemplo 2.3.11. Ejemplo 2.3.7 revisitado

En el Ejemplo 2.3.7, intentamos encontrar un potencial para el campo vectorial

\[ \vecs{v}(x,y) = \Omega\big(-y\hat{\pmb{\imath}} +x\hat{\pmb{\jmath}}\big) \nonumber \]

Al final demostramos que, si\(\Omega\ne 0\text{,}\) no podría existir ningún potencial, es decir, no\(\vecs{v}(x,y)\) es conservador. Si hubiéramos conocido la prueba de tamizaje del Teorema 2.3.9.a, podríamos haber concluido que no\(\vecs{v}(x,y)\) es conservador simplemente observando que

\[\begin{alignat*}{2} \frac{\partial \vecs{v}_1}{\partial y}&= \frac{\partial \ }{\partial y}\big(-\Omega y) &= -\Omega\\ \frac{\partial \vecs{v}_2}{\partial x}&= \ \ \frac{\partial \ }{\partial x}\big(\Omega x) &= +\Omega \end{alignat*}\]

no son iguales, a menos\(\Omega=0\) que\(\Omega=0\text{.}\) Pero haga un campo vectorial bastante aburrido.

Ejemplo 2.3.12

Determinar si el campo vectorial

\[ \vecs{F} (x,y,z) = y\hat{\pmb{\imath}} -z\hat{\pmb{\jmath}} +x\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

es conservadora. Si es conservadora, encuentra un potencial.

Solución

Empecemos por aplicar la prueba de tamizaje Teorema 2.3.9.b. Desde

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} &\hat{\pmb{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\partial\ }{\partial x} & \frac{\partial\ }{\partial y} & \frac{\partial\ }{\partial z}\\ y & -z & x \end{matrix}\right] =\hat{\pmb{\imath}}-\hat{\pmb{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

no es\(\vecs{0}\text{,}\) el campo vectorial\(\vecs{F} \) no puede ser conservador.

Ejemplo 2.3.13

Determinar si el campo vectorial

\[ \vecs{F} (x,y,z) = (y^2+2xz^2-1)\hat{\pmb{\imath}} +(2x+1)y\,\hat{\pmb{\jmath}} +(2x^2z+z^3)\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

es conservadora. Si es conservadora, encuentra un potencial.

Solución

De nuevo comenzar aplicando la prueba de tamizaje Teorema 2.3.9.b. Esta vez

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} &\hat{\pmb{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial\ }{\partial x} & \frac{\partial\ }{\partial y} & \frac{\partial\ }{\partial z} \\ y^2+2xz^2-1 & (2x+1)y & 2x^2z+z^3 \end{matrix}\right]\\ &=0\hat{\pmb{\imath}}-(4xz-4xz)\hat{\pmb{\jmath}}+(2y-2y)\hat{\mathbf{k}}\\ &=\vecs{0} \end{align*}\]

Así\(\vecs{F} \) pasa la prueba de tamizaje. Busquemos una función\(\varphi(x,y,z)\) obedeciendo

\[\begin{align*} \frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y,z) &= y^2+2xz^2-1 \\ \frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y,z) &= (2x+1)y \tag{$*$}\\ \frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,y,z) &= 2x^2z+z^3 \end{align*}\]

La derivada parcial\(\frac{\partial \ }{\partial x}\) trata\(y\) y\(z\) como constantes. Entonces\(\varphi(x,y,z)\) obedece la primera ecuación si y solo si hay una función\(\psi(y,z)\) con

\[ \varphi(x,y,z) =xy^2+x^2z^2-x +\psi(y,z) \nonumber \]

Esto\(\varphi(x,y,z)\) también obedecerá la segunda ecuación si y solo si

\[\begin{align*} &\frac{\partial \ }{\partial y}\big(xy^2+x^2z^2-x+\psi(y,z)\big) = (2x+1)y\\ &\hskip1in\iff 2xy +\frac{\partial\psi}{\partial y}(y,z) = (2x+1)y\\ &\hskip1in\iff \frac{\partial\psi}{\partial y}(y,z) = y\\ &\hskip1in\iff \psi(y,z) = \frac{y^2}{2} +\zeta(z) \end{align*}\]

para alguna función\(\zeta(z)\) que depende sólo de\(z\text{.}\) En esta etapa sabemos que

\[ \varphi(x,y,z) =xy^2+x^2z^2-x+\psi(y,z) =xy^2+x^2z^2-x+\frac{y^2}{2}+\zeta(z) \nonumber \]

obedece las dos primeras ecuaciones de (\(*\)), para cualquier función\(\zeta(z)\text{.}\) Finalmente para tener la tercera ecuación de (\(*\)) también satisfecha, también necesitamos optar por\(\zeta(z)\) obedecer

\[\begin{align*} &\frac{\partial \ }{\partial z}\left(xy^2+x^2z^2-x+\frac{y^2}{2}+\zeta(z)\right) = 2x^2z+z^3\\ &\hskip1in\iff 2x^2z +\zeta'(z) = 2x^2z + z^3\\ &\hskip1in\iff \zeta'(z) = z^3\\ &\hskip1in\iff \zeta(z) = \frac{z^4}{4} + C \end{align*}\]

para cualquier constante\(C\text{.}\) Así que un potencial posible, es decir, que con\(C=0\text{,}\) es

\[ \varphi(x,y,z) =xy^2+x^2z^2-x+\frac{y^2}{2}+\frac{z^4}{4} \nonumber \]

Tenga en cuenta, como cheque ⁴, que

\[ \vecs{ \nabla} \varphi(x,y,z) =\big(y^2+2xz^2-1\big)\hat{\pmb{\imath}}+\big(2xy+y)\hat{\pmb{\jmath}}+\big(2x^2z+z^3\big)\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

según se desee.

Ejemplo 2.3.14. Opcional: Primer vistazo\(-\frac{y}{x^2+y^2}\hat{\pmb{\imath}} + \frac{x}{x^2+y^2}\hat{\pmb{\jmath}}\)

Ahora es un buen momento para releer Advertencia 2.3.10. En este ejemplo vamos a mostrar que el campo vectorial

\[\begin{align*} &\vecs{F} (x,y) = -\frac{y}{x^2+y^2}\hat{\pmb{\imath}} + \frac{x}{x^2+y^2}\hat{\pmb{\jmath}}\\ &\qquad \text{defined for all $(x,y)$ in $\mathbb{R}^2$ except $(x,y)=(0,0)$} \end{align*}\]

pasa la prueba de tamizaje del Teorema 2.3.9.a. También empezaremos a ver por qué no es conservador en el dominio\(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\text{.}\) Para verificar la prueba de tamizaje, calculamos

\[\begin{alignat*}{2} \frac{\partial\ }{\partial y}\Big(-\frac{y}{x^2+y^2}\Big) &= -\frac{(x^2+y^2) - y(2y)}{{(x^2+y^2)}^2} &&= \frac{y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^2}\\ \frac{\partial\ }{\partial x}\Big(\frac{x}{x^2+y^2}\Big) &=\phantom{-} \frac{(x^2+y^2) - x(2x)}{{(x^2+y^2)}^2} &&= \frac{y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^2} \end{alignat*}\]

y observar que los dos lados de la derecha son idénticos. Por lo que se pasa la prueba de cribado.

\(\vecs{F} \)Para que sea conservador en el dominio debe\(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0\}\text{,}\) existir una función\(\varphi(x,y)\text{,}\) que, junto con ambas derivadas parciales\(\frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y)\) y\(\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y)\text{,}\) se defina para todos\((x,y)\) en\(\mathbb{R}^2\) excepto\((x,y)=(0,0)\text{,}\) y obedezca

\[\begin{alignat*}{3} \frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y) &= -\frac{y}{x^2+y^2} &&= \frac{-\frac{y}{x^2}}{1+\big(\frac{y}{x}\big)^2} &&=\frac{\partial\ }{\partial x}\Big(\arctan\frac{y}{x}\Big)\\ \frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y) &= \phantom{-} \frac{x}{x^2+y^2} &&= \frac{\frac{1}{x}}{1+\big(\frac{y}{x}\big)^2} &&=\frac{\partial\ }{\partial y}\Big(\arctan\frac{y}{x}\Big) \end{alignat*}\]

por la regla de la cadena, porque

\[ \frac{\partial\ }{\partial x}\Big(\frac{y}{x}\Big) =-\frac{y}{x^2} \qquad \frac{\partial\ }{\partial y}\Big(\frac{y}{x}\Big)=\frac{1}{x} \nonumber \]

Parece que hemos encontrado un potencial, es decir,\(\arctan\frac{y}{x}\text{.}\) Pero hay un problema. Recordemos que, por definición,\(\arctan\frac{y}{x}\) es un ángulo\(\theta(x,y)\) que obedece\(\tan\theta(x,y)= \arctan\frac{y}{x}\text{;}\) pero para cualquiera\((x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0\}\) hay infinitamente muchos ángulos teniendo la tangente\(\frac{y}{x}\text{.}\) Para definir\(\varphi(x,y)\) tenemos que seleccionar exactamente uno de esos ángulos. Es imposible hacerlo de tal manera que\(\varphi(x,y)\) sea continua en todos\(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0\}\text{.}\)

Para ver por qué, arregla alguna\(r \gt 0\text{,}\) e imagina que estás caminando en el círculo\(x^2+y^2=r^2\) en el\(xy\) plano. En el momento\(\theta\text{,}\) estás en\(x=r\cos\theta\text{,}\)\(y=r\sin\theta\) y luego\(\frac{y}{x} = \tan\theta\) y se te permite definir\(\varphi(x,y)=\theta+k\pi\text{,}\) para cualquier número entero\(k\text{.}\)

Supongamos que en el momento\(k=0\text{.}\) que\(\theta=0\) elijas Es decir, eliges\(\varphi(r,0)=0\text{.}\) Ahora empieza a caminar, eligiendo un permitido\(\varphi(x,y)\text{,}\) es decir, eligiendo un\(k\text{,}\) para cada punto\((x,y)\) que cruces. Porque\(\varphi(x,y)\) tiene que variar continuamente ⁵ con\((x,y)\text{,}\) usted tiene que seguir eligiendo\(k=0\text{.}\) Pero se corre de un acantilado como\(\theta\) se acerca\(2\pi\text{,}\) porque entonces

• te estás acercando\((r,0)\) desde abajo, como en la figura de abajo, y
• porque estás eligiendo\(k=0\text{,}\)\(\varphi(x,y)\) es solo un poco menos que\(2\pi\text{,}\) pero
• ya has elegido\(\varphi(r,0)=0\text{,}\) no\(2\pi\text{.}\) Así\(\varphi(x,y)\) tiene una discontinuidad de salto ⁶ a lo largo del\(x\) eje positivo.

Si estás teniendo problemas para seguir este argumento, no te preocupes por ello. Volveremos con un argumento menos ondulado a mano más adelante.

Ejercicios

Etapa 1

1

Hemos visto dos cálculos de la energía\(E\) de un sistema. La ecuación 1.7.1 nos dijo\(E=\frac{1}{2}m|\vecs{v}|^2+mgy\text{,}\) mientras que el Ejemplo 2.3.3 dice\(\frac{1}{2} m |\vecs{v}(t)|^2 -\varphi\big(x(t),y(t),z(t)\big)=E\text{.}\)

Considerar una fuerza dada por\(\vecs{F} = \vecs{ \nabla} \varphi\) para alguna función diferenciable\(\varphi:\mathbb R^3 \to \mathbb R\text{.}\) Una partícula de masa\(m\) está siendo actuada por\(\vecs{F} \) y ninguna otra fuerza, y su posición en el momento\(t\) viene dada por\((x(t),y(t),0)\text{.}\)

Verdadero o falso:\(mgy(t)=-\varphi(x(t),y(t),0)\text{.}\)

2

Para cada uno de los siguientes campos, decida cuál de las siguientes detenciones:

1. La prueba de cribado para campos vectoriales conservadores nos dice\(\vecs{F} \) que es conservadora.
2. La prueba de cribado para campos vectoriales conservadores nos dice\(\vecs{F} \) que no es conservadora.
3. La prueba de cribado para campos vectoriales conservadores no nos dice si\(\vecs{F} \) es conservador o no.

(La prueba de tamizaje es Teorema 2.3.9.)

1. \(\displaystyle \vecs{F} =x\hat{\pmb{\imath}} + z\hat{\pmb{\jmath}} + y\hat{\mathbf{k}}\)
2. \(\displaystyle \vecs{F} =y^2z\hat{\pmb{\imath}} + x^2z\hat{\pmb{\jmath}} + x^2y\hat{\mathbf{k}}\)
3. \(\displaystyle \vecs{F} =(ye^{xy}+1)\hat{\pmb{\imath}} + (xe^{xy}+z)\hat{\pmb{\jmath}} + \left( \frac1z+y\right)\hat{\mathbf{k}}\)
4. \(\displaystyle \vecs{F} =y\cos(xy)\hat{\pmb{\imath}} + x\sin(xy)\hat{\pmb{\jmath}} \)

3

Supongamos que\(\vecs{F} \) es conservador\(a\text{,}\)\(b\text{,}\) y dejar y\(c\) ser constantes. Encontrar un potencial para\(\vecs{F} +(a,b,c)\text{,}\) OR dar un campo conservador\(\vecs{F} \) y constantes\(a\text{,}\)\(b\text{,}\) y\(c\) para el cual no\(\vecs{F} +(a,b,c)\) es conservador.

4

Probar, o encontrar un contraejemplo para, cada una de las siguientes declaraciones.

1. Si\(\vecs{F} \) es un campo conservador y\(\textbf{G}\) es un campo no conservador, entonces\(\vecs{F} +\textbf{G}\) es no conservador.
2. Si\(\vecs{F} \) y\(\textbf{G}\) son ambos campos no conservadores, entonces\(\vecs{F} +\textbf{G}\) es no conservador.
3. Si\(\vecs{F} \) y\(\textbf{G}\) son ambos campos conservadores, entonces\(\vecs{F} +\textbf{G}\) es conservador.

Etapa 2

5 ✳

Dejar\(D\) ser el dominio que consiste en todos los\((x,y)\) tales que\(x \gt 1\text{,}\) y dejar que\(\vecs{F} \) sea el campo vector

\[\begin{gather*} \vecs{F} = -\frac{y}{x^2+y^2}\,\hat{\pmb{\imath}} + \frac{x}{x^2+y^2}\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{gather*}\]

Es\(\vecs{F} \) conservador en\(D\text{?}\) Da razones para tu respuesta.

6

Encontrar un potencial\(\varphi\) para\(\vecs{F} (x,y)=(x+y)\hat{\pmb{\imath}}+(x-y)\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\) o probar que ninguno existe.

7

Encontrar un potencial\(\varphi\) para\(\vecs{F} (x,y)=\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)\hat{\pmb{\imath}}+\left(\frac{x}{y^2}\right)\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\) o probar que ninguno existe.

8

Encontrar un potencial\(\varphi\) para\(\vecs{F} (x,y,z)=\left(x^2yz+xz\right)\hat{\pmb{\imath}}+\left( \frac13x^3z+y \right)\hat{\pmb{\jmath}}+\left(\frac13x^3y+\frac12x^2+y\right)\hat{\mathbf{k}}\text{,}\) o probar que ninguno existe.

9

Encuentre un potencial\(\varphi\) para

\[ \vecs{F} (x,y)=\left( \frac{x}{x^2+y^2+z^2}\right)\hat{\pmb{\imath}}+\left( \frac{y}{x^2+y^2+z^2}\right)\hat{\pmb{\jmath}}+\left( \frac{z}{x^2+y^2+z^2}\right)\hat{\mathbf{k}}, \nonumber \]

o probar que no existe.

10

Determinar si cada uno de los siguientes campos vectoriales es conservador o no. Encuentra el potencial si lo es.

1. \(\displaystyle \vecs{F} (x,y,z)=x\hat{\pmb{\imath}}-2y\hat{\pmb{\jmath}}+3z\hat{\mathbf{k}}\)
2. \(\displaystyle \vecs{F} (x,y)=\frac{x\hat{\pmb{\imath}}-y\hat{\pmb{\jmath}}}{x^2+y^2}\)

11

Let\(\vecs{F} = e^{(z^2)}\,\hat{\pmb{\imath}}+2Byz^3\,\hat{\pmb{\jmath}} +\big(Axze^{(z^2)}+3By^2z^2\big)\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)

1. Para qué valores de las constantes\(A\) y\(B\) es el campo vectorial\(\vecs{F} \) conservador en\(\mathbb{R}^3\text{?}\)
2. Si\(A\) y\(B\) tienen valores encontrados en (a), encuentre una función potencial para\(\vecs{F} \text{.}\)

Etapa 3

12

Encuentre el campo de velocidad para un fluido incompresible bidimensional cuando haya una fuente puntual de fuerza\(m\) en el origen. Es decir, el fluido se emite desde el origen a tasa de área\(2\pi m\)\({\rm cm}^2\) /seg. Demostrar que este campo de velocidad es conservador y encuentra su potencial.

13

Una partícula de masa\(10\) kg se mueve en el campo de fuerza\(\vecs{F} =\vecs{ \nabla} \varphi\text{,}\) donde\(\varphi(x,y,z)=-(x^2+y^2+z^2)\text{.}\) Cuando su energía potencial es 0, la partícula está en el origen, y se mueve con una velocidad\(2\) m/s.

Siguiendo el Ejemplo 2.3.3, dar una región a la que la partícula nunca podrá escapar.

14

Una partícula con masa constante\(m=1/2\) se mueve bajo un campo de fuerza\(\vecs{F} =\hat{\pmb{\jmath}}+3\sqrt[3]{z}\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) En la posición\((0,0,0)\text{,}\) su velocidad es\(1\text{.}\) Cuál es su velocidad a\((1,1,1)\text{?}\)

(Puede asumir sin pruebas que la partícula efectivamente llega al punto\((1,1,1)\text{.}\))

15

Para algunas funciones diferenciables de valor real\(f,g,h:\mathbb R \to \mathbb R\text{,}\) definimos

\[ \vecs{F} =2f(x)f'(x)\hat{\pmb{\imath}}+g'(y)h(z)\hat{\pmb{\jmath}}+g(y)h'(z). \nonumber \]

Verificar que\(\vecs{F} \) sea conservador.

16

Describir la región en\(\mathbb R^3\) donde el campo

\[ \vecs{F} =\left \lt xy, xz,y^2+z \right \gt \nonumber \]

tiene rizo\(\mathbf0\text{.}\)

1. Los físicos introducen este signo menos para eliminar el signo menos en la siguiente nota al pie de página.
2. \(\frac{1}{2} m |\vecs{v}(t)|^2\)es la energía cinética y\(-\varphi\) es la energía potencial. Ver Advertencia 2.3.2.
3. Usa tu buscador favorito para buscar una lista de errores lógicos comunes. Uno es “afirmar lo consecuente”. Un ejemplo sería concluir que debido a que Shakespeare está muerto, Elvis, quien también está muerto, también debe ser Shakespeare.
4. Siempre vale la pena hacer esta comprobación.
5. Si no\(\varphi(x,y)\) es continuo, su gradiente no existe, y\(\varphi\) no puede ser un potencial.
6. Aquellos que han realizado algún análisis complejo pueden reconocer esto como el corte de rama en\(\ln z\text{.}\)