2.3: Ponerlos juntos

Cuando combinamos la regla del producto y la regla de suma, podemos explorar preguntas más desafiantes.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Grace se hospeda en una cama y desayuno. Por la noche, se le ofrece una selección de elementos del menú para desayunar en la cama, para ser entregado a la mañana siguiente. Hay tres tipos de artículos: platos principales, guarniciones y bebidas. Se le permite elegir hasta uno de cada uno, pero algunos de ellos vienen con extras opcionales. Del menú de abajo, ¿cuántos desayunos diferentes podría pedir?

Solución

Vemos que el número de opciones que Grace tiene disponibles depende en parte de si ordena o no un artículo o artículos que incluyen extras opcionales. Por lo tanto, dividiremos nuestra consideración en cuatro casos:

1. Grace no pide panqueques, gofres ni tostadas.
2. Grace ordena panqueques o gofres, pero no pide tostadas.
3. Grace no pide panqueques ni gofres, pero sí pide tostadas.
4. Grace ordena tostadas, y también ordena panqueques o gofres.

En el primer caso, Grace tiene tres opciones posibles para su plato principal (avena, tortilla, o nada). Para cada uno de estos, tiene dos opciones para su guarnición (taza de fruta, o nada). Para cada uno de estos, tiene cuatro opciones para su bebida (café, té, jugo de naranja, o nada). Usando la regla del producto, concluimos que Grace podría ordenar\(3 · 2 · 4 = 24\) diferentes desayunos que no incluyan panqueques, gofres o tostadas.

En el segundo caso, Grace tiene dos opciones posibles para su plato principal (panqueques o gofres). Para cada uno de estos, tiene dos opciones para su guarnición (taza de fruta, o nada). Para cada uno de estos, tiene cuatro opciones para su bebida. Además, por cada una de sus opciones de panqueques o waffles, puede optar por tener sirope de arce, o no (dos opciones). Usando la regla del producto, concluimos que Grace podría ordenar\(2 · 2 · 4 · 2 = 32\) diferentes desayunos que incluyan panqueques o gofres, pero no tostadas.

En el tercer caso, Grace tiene tres opciones posibles para su plato principal (avena, tortilla, o nada). Para cada uno de estos, solo tiene una guarnición posible (tostadas), pero tiene cuatro opciones de qué poner en su tostada (mermelada, cuajada de limón, mermelada de mora, o nada). Para cada una de estas opciones, ella tiene cuatro opciones de bebida. Usando la regla del producto, concluimos que Grace podría ordenar\(3 · 4 · 4 = 48\) diferentes desayunos que incluyan tostadas, pero no incluyan panqueques ni gofres.

En el caso final, Grace tiene dos opciones posibles para su plato principal (panqueques o gofres). Tiene dos opciones de qué poner en su plato principal (sirope de arce, o solo mantequilla). Ella está haciendo tostadas, pero tiene cuatro opciones de qué poner en su brindis. Por último, nuevamente tiene cuatro opciones de bebida. Usando la regla del producto, concluimos que Grace podría ordenar\(2 · 2 · 4 · 4 = 64\) diferentes desayunos que incluyan tostadas así como panqueques o gofres.

Usando la regla de suma, vemos que el número total de diferentes desayunos que Grace podría ordenar es\(24 + 32 + 48 + 64 = 168\).

Aquí hay otro ejemplo de combinar las dos reglas.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Los tipos de placas de matrícula en Alberta que están disponibles para particulares (no corporaciones o granjas) para sus autos o motocicletas, se encuentran dentro de una de las siguientes categorías:

• placas de tocador
• placas regulares para automóviles
• placas veteranas
• placas de motocicleta.

Ninguna de estas placas utiliza las letras I u O.

Las placas regulares para automóviles tienen uno de dos formatos: tres letras seguidas de tres dígitos; o tres letras seguidas de cuatro dígitos (en este último caso, no se usa ninguna de las letras A, E, I, O, U o Y).

Las placas de veteranos comienzan con la letra V, seguida de otras dos letras y dos dígitos. Las placas de motocicleta tienen dos letras seguidas de tres dígitos.

Dejando a un lado las placas de tocador e ignorando el hecho de que se evitan algunas palabras de tres letras, ¿cuántas placas están disponibles para las personas en Alberta para sus autos o motocicletas?

Solución

Para responder a esta pregunta, existe una división natural en cuatro casos: placas normales de automóviles con tres dígitos; placas regulares de automóviles con cuatro dígitos; placas de veteranos; y placas de motocicleta.

Para una placa de automóvil normal con tres dígitos, hay 24 opciones para la primera letra, seguidas de 24 opciones para la segunda letra y 24 opciones para la tercera letra. Hay 10 opciones para el primer dígito, 10 opciones para el segundo dígito y 10 opciones para el tercer dígito. Usando la regla del producto, el número total de placas de esta categoría es\(243 \cdot 103 = 13,824,000\).

Para una placa de automóvil normal con cuatro dígitos, hay 20 opciones para la primera letra, seguidas de 20 opciones para la segunda letra y 20 opciones para la tercera letra. Hay 10 opciones para el primer dígito, 10 opciones para el segundo dígito, 10 opciones para el tercer dígito y 10 opciones para el cuarto dígito. Usando la regla del producto, el número total de placas de esta categoría es\(203 \cdot 104 = 80,000,000\).

Para un plato veterano, hay 24 opciones para la primera letra, seguidas de 24 opciones para la segunda letra. Hay 10 opciones para el primer dígito y 10 opciones para el segundo dígito. Usando la regla del producto, el número total de placas de esta categoría es\(242 \cdot 102 = 57,600\).

Por último, para una placa de motocicleta, hay 24 opciones para la primera letra, seguidas de 24 opciones para la segunda letra. Hay 10 opciones para el primer dígito, 10 opciones para el segundo dígito y 10 opciones para el tercer dígito. Usando la regla del producto, el número total de placas de esta categoría es\(242 \cdot 103 = 576,000\).

Usando la regla de suma, vemos que el número total de placas es

\(13,824,000 + 80,000,000 + 57,600 + 576,000\)

que es\(94,457,600\).

No siempre sucede que la regla de suma se aplique primero para descomponer el problema en casos, seguida de la regla del producto dentro de cada caso. En algunos problemas, estos pueden ocurrir en el otro orden. A veces puede parecer una manera “obvia” de ver el problema, pero a menudo hay más de un análisis igualmente efectivo, y diferentes análisis pueden comenzar con reglas diferentes.

En el Ejemplo 2.3.1, podríamos haber comenzado notando que no importa qué más elija, Grace tiene cuatro opciones posibles para su bebida. Así, el número total de posibles pedidos de desayuno será cuatro veces el número de posibles pedidos de principal y lateral (con extras opcionales). Entonces podríamos haber procedido a analizar el número de posibles opciones para su plato principal y su guarnición (junto con los extras). Desglosando las opciones para sus platos principales y guarniciones en los mismos casos que antes, pudimos ver que hay\(3 · 2 = 6\) opciones en el primer caso;\(2 · 2 · 2 = 8\) opciones en el segundo caso;\(3 · 4 = 12\) opciones en el tercer caso; y\(2 · 2 · 4 = 16\) opciones en el cuarto caso. Así tiene un total de\(6 + 8 + 12 + 16 = 42\) opciones para sus platillos principales y guarniciones. La regla del producto ahora nos dice que tiene\(4 · 42 = 168\) posibles pedidos para su desayuno.

Repasemos un ejemplo más (más simple) de usar tanto las reglas de suma como de producto, y resolvamos la respuesta de dos maneras diferentes.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Kathy planea comprarle una camisa a su papá para su cumpleaños. La tienda a la que va tiene tres colores diferentes de camisas de manga corta, y seis colores diferentes de camisas de manga larga. Envolverán para regalo en su elección de dos papeles para envolver. Asumiendo que quiere la camisa envuelta para regalo, ¿cuántas opciones diferentes tiene para su regalo?

Solución

Empecemos por aplicar primero la regla del producto. Hay dos aspectos que puede variar: la camisa, y el envoltorio. Ella tiene dos opciones para el envoltorio, por lo que su número total de opciones será el doble del número de opciones de camisa que tiene. Para la camisa, dividimos sus opciones en dos casos: si opta por una camisa de manga corta entonces tiene tres opciones (de color), mientras que si opta por una camisa de manga larga entonces tiene seis opciones. En total tiene\(3 + 6 = 9\) opciones para la playera. Usando la regla del producto, vemos que tiene\(2 · 9 = 18\) opciones para su regalo.

Alternativamente, podríamos aplicar primero la regla de la suma. Consideraremos los dos casos: que compre una camisa de manga corta; o una camisa de manga larga. Si compra una camisa de manga corta, entonces tiene tres opciones para la camisa, y para cada una de estas tiene dos opciones para el envoltorio, haciendo (según la regla del producto)\(3 · 2 = 6\) opciones de camisas de manga corta. Si compra una camisa de manga larga, entonces tiene seis opciones para la camisa, y para cada una de estas tiene dos opciones para el envoltorio, haciendo (según la regla del producto)\(6 · 2 = 12\) opciones de camisas de manga larga. Usando la regla de la suma, vemos que tiene\(6 + 12 = 18\) opciones para su regalo.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Cuántas contraseñas se pueden crear con las siguientes restricciones:

1. La contraseña tiene tres caracteres y contiene dos letras minúsculas y un dígito, en cierto orden.
2. La contraseña tiene ocho o nueve caracteres y consta enteramente de dígitos.
3. La contraseña tiene cinco caracteres y consta de letras minúsculas y dígitos. Todas las letras deben ir antes que todos los dígitos de la contraseña, pero puede haber cualquier número de letras (de cero a cinco).
4. La contraseña tiene cuatro caracteres y consta de dos caracteres que pueden ser dígitos o uno de 16 caracteres especiales, y dos letras minúsculas. Las dos letras pueden estar en cualquiera de las cuatro posiciones.
5. La contraseña tiene ocho caracteres y debe incluir al menos una letra y al menos un dígito.
6. La contraseña tiene ocho caracteres y no puede incluir ningún carácter más de una vez.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

1. Hay 8 autobuses al día que viajan de Toronto a Ottawa, 20 de Ottawa a Montreal, y 9 autobuses directamente de Toronto a Montreal. Suponiendo que no es necesario completar el viaje en un día (por lo que los horarios de salida y llegada de los autobuses no son un problema), ¿cuántos horarios diferentes podría utilizar para viajar en autobús de Toronto a Montreal?
2. Cuántas cadenas ternarias de 7 bits (es decir, cadenas cuyas únicas entradas son 0, 1 o 2) comienzan con 1 o 01